Реферат: Роль математики в современном естествознании 2

Содержание

Аннотация……………………………………………………………………….2

Ведение…………………………………………………………………………..4

1. Предмет и специфика математики…………………………………………..6

2. Математика – источник представлений и концепций в

естествознании………………………………………………………………..9

3. Математика – язык точного естествознания……………………………….13

Заключение……………………………………………………………………...19

Список использованной литературы…………………………………………..22

Введение

Вряд ли вызывает сомнение утверждение: математика нужна всем вне зависимости от рода занятий и профессии. Однако для разных людей необходима и различная математика: для продавца может быть достаточно знаний простейших арифметических операций, а для истинного естествоиспытателя обязательно требуются глубокие знания современной математики, поскольку только на их основе возможно открытие законов природы и познание ее гармонического развития. Иногда к познанию математики влекут и субъективные побуждения. Об одном из них Луций Анней Сенека ( 4 до н.э. – 65 н.э.), римский писатель и философ, писал: «Александр, царь Македонский, принялся изучать геометрию – несчастный! – только с тем, чтобы узнать, как мала земля, чью ничтожную часть он захватил. Несчастным я называю его потому, что он должен был понять ложность своего прозвища, ибо можно ли быть великим на ничтожном пространстве». [ 3, c.29].

Возникает вопрос: может ли серьезный естествоиспытатель обойтись без глубокого познания премудростей математики? Ответ несколько неожиданный: да, может. Однако к нему следует добавить: только в исключительном случае. И вот подтверждающий пример. Чарлз Дарвин, обобщая результаты собственных наблюдений и достижения современной ему биологии, вскрыл основные факторы эволюции органического мира. Причем он сделал это, не опираясь на хорошо разработанный к тому времени математический аппарат, хотя и высоко ценил математику: «… в последние годы я глубоко сожалел, что не успел ознакомиться с математикой, по крайней мере настолько, чтобы понимать в ее великих руководящих началах; так усвоившие их производят впечатление людей, обладающих одним органом чувств более, чем простые смертные».

Кто знает – может быть, обладание математическим чувством позволило бы Дарвину внести еще больший вклад в познание гармонии природы.

Известно, что еще в древние времена математике придавалось большое значение. Девиз первой академии – платоновской академии – «Не знающие математики сюда не входят» - ярко свидетельствует о том, насколько высоко ценили математику на заре науки, хотя в те времена основным предметом науки была философия.

Простейшие в современном понимании математические начала, включающие элементарный арифметический счет и простейшие геометрические измерения, служат отправной точкой естествознания.

«Тот, кто хочет решить вопросы естественных наук без помощи математики, ставит неразрешимую задачу. Следует измерять то, что измеримо, и делать измеримым то, что таковым не является», - утверждал выдающийся итальянский физик и астроном, один из основоположников естествознания Галилео Галилей (1564-1642).

1. Предмет и специфика математики

Математика имеет для естествознания непреходящее значение, а потому прежде чем обратиться непосредственно к анализу ее роли, целесообразно рассмотреть вопрос о ее достоинствах.

Самое лаконичное и притом довольно удачное определение математики дает Николай Бурбаки ( коллективное имя группы французских математиков). Он определяет современную математику как науку о структурах, «единственными математическими объектами становятся, собственно говоря, математические структуры». В данном случае под структурой имеется в виду определенным образом упорядоченное многообразие математических элементов (чисел, функций и т.п.). [ 2, c.27].

В основаниях любой математической дисциплины непременно обнаруживаются некоторые математические элементы и постилируемые различия между ними. При этом для построения математической системы используются, как правило, два метода: аксиоматический и конструктивистский.

При аксиоматическом методе исходят из аксиом ( исходных положений теории) и правил вывода ( дедукции) из них других положений. Широко используются символьные записи, а не громоздкие словесные выражения. Замена естественного языка математическими символами называется формализацией. Если формализация состоялась, то аксиоматическая система является формальной, а положения системы приобретают характер формул. Получаемые в результате вывода доказательства формулы называются теоремами. Таково описанное вкратце содержание аксиоматического метода.

В случае конструктивистского метода исходят из принимаемых интуитивно очевидными математических конструктов, на их основе строят более сложные, чем они, элементы ( а не выводят формулы), в процессе конструирования этих элементов используют подходящую для построения последовательность шагов.

Математик непременно оперирует конструктами, часть из которых принимается интуитивно, выражаясь точнее, на основе обобщения доступного ему математического опыта, а другие либо дедуцируются из аксиом, либо конструируются, чаще всего в форме последовательно осуществляемых символьных записей. Для математика важно задать отличие метематических конструктов друг от друга. В естествознании чувства, мысли, слова и предложения несут информацию об изучаемых природных явлениях, они обращены в сторону природы. В математике дело обстоит принципиально по –другому, здесь математические конструкты « не смотрят по сторонам », они соотносятся исключительно друг с другом. Поясним сказанное на примере задания натуральных чисел.

Натуральное число может быть задано на основе следующих аксиом ( правил):

1. 0 является натуральным числом.

2. Если n натуральное число, то и следующее за ним n′ - натуральное число.

3. Никаких натуральных чисел, кроме тех, которые получаются согласно 1 и 2, не существует.

4. Для любых натуральных чисел m и n из m′=n′ следует m=n.

5. Для любого натурального числа n, n′≠ 0.

Задать натуральное число – значит выразить операцию «′», читается «следующий за» столько раз, сколько это необходимо для задания числа. Так, задать натуральное число означает дважды применить операцию «′». Используя операцию «следующий за», «′», математик строит ряд натуральных чисел настолько далеко, насколько это возможно. Ему важно установить, какое число следует за каким, как соотносятся числа друг с другом ( так, 5 – 3 = 2, «5» - это число, которое на «2» больше, чем «3» ), то есть какова их упорядоченность. Вопрос о том, существуют ли числа в природе, математика не интересует ( природой пусть занимаются естествоиспытатели), ему важно изобрести систему упорядоченных конструктов, характер взаимосвязи которых невозможно установить без задания их отличительных признаков.

Характер математического знания таков, что его приверженцы, оправдывая свой статус, вынуждены, разумеется, это делается в силу их свободного волеизъявления, как можно более детально устанавливать характер упорядоченности тех совокупностей элементов, которые они изобретают и изучают. Именно в этой связи доказательство новой теоремы или построение ранее неизвестного конструкта расценивается как математический успех. Интерес математика заключен в изобретении многообразий упорядоченных математических конструктов.

Если многообразие математических конструктов не упорядочено, то есть невозможно их сопоставление друг с другом, то работа математика теряет всякий смысл. Дабы этого не случилось, математик внимательно следит за тем, чтобы математическая теория была непротиворечивой. Математическая теория называется непротиворечивой, если в ней не наличествуют два или больше взаимно исключающих предположения. Наличие противоречий «разваливает» математическую теорию. Простой пример: если бы согласно таблице умножения 3 × 3 = 9 и 3 × 3 = 8, то ее невозможно было бы продуктивно использовать.

Многовековое развитие математики показывает, что непротиворечивость – это ее основополагающий научный критерий.

2. Математика - источник представлений и концепций в естествознании

Назначение математики состоит в том, она вырабатывает для остальной науки, прежде всего для естествознания, структуры мысли, формулы, на основе которых можно решать проблемы специальных наук.

Это обусловлено особенностью математики описывать не свойства вещей, а свойства свойств, выделяя отношения, независимые от каких-либо конкретных свойств, то есть отношения отношений. Но поскольку и отношения, выводимые математикой, особые (будучи отношениями отношений), то ей удается проникать в самые глубокие характеристики мира и разговаривать на языке не просто отношений, а структур, определяемых как инварианты систем. Поэтому, кстати сказать, математики скорее говорят не о законах (раскрывающих общие, существенные, повторяющиеся и т.д. связи), а именно о структурах.

Эти глубинные проникновения в природу и позволяют математике исполнять роль методологии, выступая носителем плодотворных идей. Относительно сказанного современный американский исследователь Ф. Дайсон пишет: "Математика для физики - это не только инструмент, с помощью которого она может количественно описать явление, но и главный источник представлений и принципов, на основе которых зарождаются новые теории". Близкие мысли высказывает известный математик, академик Б. Гнеденко, также подчеркивая, что роль математики не ограничивается функцией аппарата вычисления, подчеркивал, что математика - определенная концепция природы. [ 7].

Поскольку привилегия математики - выделять чистые, безотносительные к какому-либо физическому (химическому или социально насыщенному содержанию), она тем самым вырабатывает модели возможных еще неизвестных науке состояний. Естествоиспытатель может выбирать из них и примеривать к своей области исследования. Это стимулирует научный поиск, пробуждая и будоража ученую мысль. В силу указанной особенности математику характеризуют как склад готовых костюмов, пошитых на все живые существа, мыслимые и немыслимые (Р. Фейнман), вообще на все возможные природные ситуации. То есть это своеобразный портной для разнообразных вещественных образований, которые могут быть вписаны в эти готовые одежды. Характеризуя рассматриваемую особенность отношений между математикой и физикой, американский физик-теоретик венгерского происхождения Е. Вигнер в режиме шутки произнес: "Физики - безответственные люди: они берут готовые математические уравнения и используют их, не зная, верны они или нет".

В свое время И. Кант метко определил: "Математика - наука, брошенная человеком на исследование мира в его возможных вариантах". Если физику или вообще естествоиспытателю позволено видеть мир таким, каков он есть, то математику дано видеть мир во всех его логических вариантах. Иначе сказать, физик не может строить мир, противоречивый физически (и уж тем более - логически), математику же разрешены построения, противоречивые физически, лишь бы они не страдали логическими противоречиями. Физики говорят, каков мир, математики исследуют, каким бы он мог быть в его потенциальных версиях. Это и придает стимул воображению. Как замечает австрийский математик и писатель нашего времени Р. Музиль, математика есть роскошь броситься вперед, очертя голову, потому математики предаются самому отважному и восхитительному авантюризму, какой доступен человеку. Стоит заметить лишь, что раскованность и рискованность - преимущество не только собственно математика, но и любого исследователя, если и поскольку он мыслит математически, то есть пытаясь дать, по выражению Г. Вейля, "теоретическое изображение бытия на фоне возможного".

Здесь не должно сложиться впечатления о возможности бескрайней фантазийной деятельности ученого. Истина состоит в том, что нематематические науки, сталкиваясь с запретами в проявлении какого-либо свойства, действия, не знают границ, до которых распространяется их компетенция. Это способна определить и узаконить лишь математика, владеющая искусством расчета на основе количественного описания явлений. Другие науки знают лишь, что нечто разрешено, но они не умеют знать той черты, до которой это разрешено, не умеют устанавливать пределов возможного - той количественной меры, определяющей вариантность изменений. Скажем, биолог не располагает сведениями пределов возможного для жизни и познает их в диапазоне лишь наблюдаемого.

Методологическое значение математики для других наук проявляется еще в одном аспекте. Поскольку ее абстракции отвлечены от конкретных свойств, она способна проводить аналогии между качественно различными объектами, переходить от одной области реальности к другой. Д. Пойа назвал это свойство математики умением "наводить мосты над пропастью". Там, где конкретная наука останавливается (кончается ее компетенция), математика в силу ее количественного подхода к явлениям, свободно переносит свои структуры на соседние, близкие и далекие, регионы природы.

Таковы некоторые методологические уроки, внушаемые математикой. Однако, сколь ни эффективна математическая наука, и на нее брошены некоторые тени, а лучше сказать: эти тени - есть продолжение ее достоинств (при неадекватном использовании последних).

Мы говорим: математический аппарат исследования применим там, где выявлена однородность, точнее сказать, математика и приводит природные образования к однородностям. Но тем самым она лишает мир многообразия и богатства качественных проявлений, ибо счет, по выражению отечественного математика современности И. Шафаревича, "убивает индивидуальность". Он пишет. Мы имеем, скажем, яблоко, цветок, кошку, дом, солдата, студента, луну. Можно сосчитать и объявить, что их 7. Но 7 чего? Единственный ответ: "7 предметов". Различия между солдатом, луной, яблоком и т.д. исчезают. Они все потеряли свою индивидуальность и превратились в лишенные признаков "предметы"⁶⁹ . То есть счет выравнивает вещи, убирая "персональные" характеристики. Как шутил В. Маяковский, математику все едино: он может складывать окурки и паровозы.

Описывая объект, процесс, математика выявляет какую-то лишь одну (существенную) характеристику и, прослеживая ее вариации, выводит закономерность. Все остальные характеристики уходят в тень, иначе они будут мешать исследованию. Конечно, эти другие также могут оказаться предметом изучения, но будучи взяты по тому же математическому сценарию: каждый раз только один единственный параметр, одно выделенное свойство в отвлечении от остального разнообразия. Напрашивается аналогия. Ее проводит Ю. Шрейдер, называя математику пародией на природу. И в самом деле. Пародия схватывает какую-то одну характеристическую черту пародируемого, за которой уже не видно других особенностей, просто они не важны.

Однако из этого обстоятельства не следуют лишь негативные выводы. Во-первых, математика по-иному работать не может, а во-вторых, в подобном подходе свое преимущество, оно сопряжено, так сказать, с "чистотой" описания: налицо четкая заданность исследования, когда необходимо проследить "поведение" объекта на основе определенного свойства, вычленить линию изменений, тенденцию развития и передать информацию в строгих графиках, схемах, уравнениях.

Используя математические методы исследования, вовлекая их в познавательный поиск, науки должны учитывать возможности математики, считаясь с границами ее применимости. Имеется в виду то, что сама по себе математическая обработка содержания, его перевод на язык количественных описаний не дает прироста информации.

Таким образом можно подчеркнуть важную роль этой математики как языка, арсенала особых методов исследования, источника представлений и концепций в естествознании .

3. Математика – язык точного естествознания

" ... Все законы выводятся из опыта. Но для выражения их нужен специальный язык. Обиходный язык слишком беден, кроме того, он слишком неопределен для выражения столь богатых содержанием точных и тонких соотношений. Таково первое основание, по которому физик не может обойтись без математики; она дает ему единственный язык, на котором он в состоянии изъясняться". Математика - наука о количественных отношениях действительности. "Подлинно реалистическая математика, подобно физике, представляет собой фрагмент теоретической конструкции одного и того же реального мира."(Г.Вейль) Она является междисциплинарной наукой. Результаты ее используются в естествознании и общественных науках. Роль математики в современном естествознании проявляется в том, что новая теоретическая интерпретация какого-либо явления считается полноценной, если удается создать математический аппарат, отражающий основные закономерности этого явления. Во многих случаях математика играет роль универсального языка естествознания , специально предназначенного для лаконичной точной записи различных утверждений.Точность есть выражение однозначности, исключающее вариантность, разброс значений, неопределенность. Этим и отличаются математические знаки - символы, обозначающие объекты и операции математики. Здесь символы жестко привязаны к значениям, не допуская разночтений, интерпретаций и объяснений, что имеет место относительно знаков других наук.[ 6].

Огромные успехи точных математических наук привели к появлению среди ученых, особенно среди физиков, веры в то, что все реально наблюдаемое в их опытах подчиняется законам математики вплоть до мельчайших деталей. Установление математических законов, которым подчиняется физическая реальность, было одним из самых поразительных чудесных открытий, сделанных человечеством. Ведь математика не основана на эксперименте, а порождена человеческим разумом.
Когда физик использует свои знания для предсказаний и на основе нескольких экспериментов, проведенных в конкретное время и в конкретном месте, и подходящей теории пытается объяснить явления природы, происходящие в совершенно другом месте и в совершенно другое время, и такие предсказания сбываются, то это граничит с чудом. Физик при этом лишь с удовлетворением заключает, что, по-видимому, теория верна. Но почему, собственно говоря, реально существующий мир должен подчиняться теории, математической структуре? Кант дал на этот вопрос остроумный ответ: само наше восприятие выстраивает действительность, т. е. то, что отражается нашим разумом и воспринимается как реальность, подчиняется математическим законам.
Другая мысль такова: в смирительную рубашку математики природу одевает вовсе не наша чувственная или познавательная деятельность, а сама природа в ходе своего эволюционного развития вкладывает математику в наш разум как реально существующую структуру, неотъемлемую от нее самой. Развитие наших способностей к абстрагированию и манипулированию логическими символами должно быть ориентировано на реально существующие структуры реального мира.
"Вступая на проложенный древними путь, скажем вместе с ними, что если приступить к божественному нам дано только через символы, то всего удобнее воспользоваться математическими из-за их непреходящей достоверности" (Н.Кузанский).

Допустим, вы физик и в вашем распоряжении имеется уравнение, описывающее некоторые физические явления, например состояние движения. «Обрушив» на это уравнение всю мощь математического анализа, вы обнаружите множество регулярностей, упорядоченностей, о которых, возможно, и не подозревали. Предположим, речь идет о равноускоренном движении: S=Vt + at /2, где S– путь, V - начальная скорость, a - ускорение, t - время движения. Вам необходимо определить формулу скорости: V=dS/dt=V + at. Формула скорости найдена легко и не без изящества.

Совершенно очевидно, что наши геометрические и логические возможности простираются далеко за пределы окружающего мира. А это означает, что реальный мир подчиняется математическим законам в значительно большей степени, чем нам известно сейчас. Но даже если эти структурные (математические) принципы экстраполируются все более глубокими конструкциями и теоремами, то и в этом случае просто невероятно, чтобы действительность с исчерпывающей полнотой отражалась математическими конструкциями - от огромных космологических размеров и до микрочастиц. Открытыми остаются вопросы, как математика соотносится с миром и дает возможность познавать его; какой способ познания преобладает в математике - дискурсивный или интуитивный. По мнению В. Гейзенберга, "наиболее важными ему кажутся, прежде всего, математические законы природы, находящиеся за явлениями, а не сам многогранный мир явлений". Физику-теоретику нелегко с этим согласиться, но в эволюционной теории познания фактически неизбежно возникает предположение о том, что математические способности вида "хомо сапиенс" принципиально ограниченны, так как имеют биологическую основу и, следовательно, не могут полностью содержать все структуры, существующие в действительности. Иными словами, должны существовать пределы для математического описания природы. По мнению некоторых методологов, законы природы не сводятся к математическим соотношениям. Их надо понимать как любой вид организованности идеальных прообразов вещей, или пси-функций. Есть три вида организованности: простейший - числовые соотношения; более сложный - ритмика первого порядка, изучаемая математической теорией групп; ритмика второго порядка - "слово". Два первых вида организованности наполняют Вселенную мерой и гармонией, третий вид - смыслом. В рамках этого объяснения математика занимает свое особое место в познании. "Чисто логическое мышление не может принести нам никакого знания эмпирического мира. Все познание реальности отправляется от опыта и возвращается к нему. Предложения, полученные при помощи чисто логических средств, при сравнении с реальностью оказываются совершенно пустыми". (А.Эйнштейн).

Говоря о важности применения математики в естествознании, мы не должны абсолютизировать ее роль. Математические формулы сами по себе абстрактны и лишены конкретного содержания. Математика является лишь орудием, или средством, физического исследования. Только согласованные с научным наблюдением и экспериментом физические исследования наполняют математические формулы конкретным содержанием.

Ньютон обнаружил, что взаимное притяжение небесных тел можно описать законом обратных квадратов, который связывает силу тяготения (F) с расстоянием (r) от центра сферического тела. Закон всемирного тяготения И. Ньютона имеет вид:

F=Gm m /r .

Но так компактно и изящно закон выглядит лишь в формуле, а реально тяготеющие массы, например планеты Солнечной системы, движутся при наблюдении за ними сложно, с теми или иными отклонениями от той траектории, которая предписывается формулой. [ 4].

Построение различных формальных систем, моделей, алгоритмических схем - лишь одна из сторон научного познания. Научную интуицию и гениальные догадки формализовать не удается. Универсальной "логики открытий" нет. Кроме того, даже наиболее тщательно поставленный эксперимент никогда в конце концов не бывает полностью изолирован от влияния окружающей среды, а состояние системы ни в один момент времени не может быть известным точно. Абсолютная (математическая) точность физически недостижима - небольшие неточности будут всегда, и это принципиальный момент. Почти одинаковые причины будут давать почти одинаковые следствия, причем как в природе, так и в хорошо поставленном эксперименте. Это чаще всего именно так и происходит, особенно для коротких временных отрезков, в противном случае было бы невозможно установить какой-либо закон природы или же построить реально работающую машину.
Но это весьма правдоподобное предположение оказывается справедливым не всегда, более того, оно неверно для больших промежутков времени даже в случае нормального (типичного) течения природных процессов. В этом смысл захватывающего прорыва, осуществленного при исследовании динамических систем.
Существует раздел математики, посвященный анализу конфликтных ситуаций, где под компромиссом понимается коллективное решение, не нарушающее интересы всех сторон (устойчивой системы). Всякий компромисс достигается определенной последовательностью шагов и действий. Например, для разрешения экологических проблем необходимо учесть все ограничения, нарушения которых означало бы нарушение гомеостатического состояния. Это позволило составить формальную систему запретов или минимум условий, необходимых для обеспечения гомеостазиса. В 1944 г. в США опубликована книга Д. Неймана и О. Моргенштерна "Теория игр и экономическое поведение", в которой рассматривались вопросы математического описания способов принятия решений, типичных для конкурентной экономики. Впоследствии теория игр превратилась в общую математическую теорию конфликтов, описывающую военные, экономические и правовые коллизии, столкновения, связанные с биологической борьбой за существование, различные игровые стратегии. В случае игр с противоположными интересами (антагонистическая игра) оптимальной считается стратегия, направленная на достижение максимального выигрыша. Конкуренция здесь является разновидностью конфликта.
Математический аппарат терии катастроф позволяет свести огромное многообразие сложных процессов к небольшому числу точно изученных схем. Для одной-двух переменных, характеризующих состояние системы, и не более пяти управляющих параметров существует семь типов элементарных катастроф. Теория катастроф широко используется в гидро- и аэродинамике, оптике, метеорологии, квантовой динамике для описания нелинейных систем, далеких от равновесия, подводя стандартную и эффективную базу под описание их качественных изменений.

Заключение «Книга природы написана на языке математики», - утверждал Г. Галилей. «В каждом знании столько истины, сколько есть математики», - вторил ему И. Кант. Николай Бурбаки определяет современную математику как науку о структурах, «единственными математическими объектами становятся, собственно говоря, математические структуры». В данном случае под структурой имеется в виду определенным образом упорядоченное многообразие математических элементов (чисел, функций и т.п.).

Логическая стройность, строго дедуктивный характер построений, общеобязательность выводов математики создали ей славу образца научного знания. «Выгоды» естествознания от использования математики многообразны. Во многих случаях математика играет роль универсального языка естествознания, специально предназначенного для лаконичной точной записи различных утверждений. Точность есть выражение однозначности, исключающее вариантность, разброс значений, неопределенность. Этим и отличаются математические знаки - символы, обозначающие объекты и операции математики.

Эти глубинные проникновения в природу и позволяют математике исполнять роль методологии, выступая носителем плодотворных идей.Поскольку привилегия математики - выделять чистые, безотносительные к какому-либо физическому (химическому или социально насыщенному содержанию), она тем самым вырабатывает модели возможных еще неизвестных науке состояний. Естествоиспытатель может выбирать из них и примеривать к своей области исследования. Это стимулирует научный поиск, пробуждая и будоража ученую мысль.

В свое время И. Кант метко определил: "Математика - наука, брошенная человеком на исследование мира в его возможных вариантах".

Если физику или вообще естествоиспытателю позволено видеть мир таким, каков он есть, то математику дано видеть мир во всех его логических вариантах.

Список использованной литературы:

1. Буслова М.К., Горалевич Т.А., Готт В.С. и др. Современное естествознание в системе науки и практики/ под ред. Сачкова Ю.В., Горолевич Т.А. – Мн.: Навука iтэхнiка, 1990.

2. Канке В.А. Концепции современного естествознания: Учебник для вузов. – М.: Логос, 2002.

3. Карпенков С.Х. Концепции современного естествознания. Краткий курс: Учебник. М.: Высш. шк., 2003.

4. Мотылева Л.С., Скоробогатов В.А., Судариков А.М. Концепции современного естествознания: Учебник для вузов/ под ред. Скоробогатова В.А. – Спб.: Союз,2002.

5. Соломантин В.А. История и концепций современного естествознания: Учебник для вузов. – М.: ПЕР СЭ, 2002.

6. www.domino.novsu.ac.ru.

7. www.ou.tsu.ru.

8. www.milogiya.narod.ru.