Реферат: Метод моментов в определении ширины линии магнитного резонанса

Оглавление

А.Введение…………………………………………………………………………..2

§1.Локальное поле…………………………………………………………………2

§2.Общая теория магнитного поглощения………………………………………2

Б. Уширение, вызванное взаимодействием между одинаковыми спинами…….5

§3.Диполь-дипольное взаимодействие…………………………………………...5

§4.Определение моментов…………………………………………………………6

§5.Метод вычисления моментов………………………………………………….7

В. Кинетические свойства….………………………………………………………10

§6.Кинетическое уравнение………………………………………………………10

§7.Электропроводность…………………………………………………………...11

А. ВВЕДЕНИЕ

Линия магнитного резонансного поглощения системы спинов, находящихся в неоднородном магнитном поле, обладает некоторой шириной, обусловленной разбросом ларморовских частот. Аналогичное уширение может иметь место в неидеальных кристаллах благодаря взаимодействию ядерных квадрупольных моментов с малыми градиентами электрического поля, значения которых изменяются от одного узла решетки к другому случайным образом. В обоих случаях ширина линии обусловливается различием резонансных частот отдельных спинов, а не взаимодействиями между ними. Соответствующее уширение линии называется неоднородным уширением.

Положение существенно изменяется, если уширение линии обусловлено взаимодействием между соседними спинами. Эта задача и рассмат­ривается в настоящей работе.

§ 1. ЛОКАЛЬНОЕ ПОЛЕ

Энергия взаимодействия между двумя ядерными спинами зависит от величины и ориентации их магнитных моментов, а также от длины и направления вектора, описывающего их относительное расположение. Влияние такого взаимодействия на ширину линии поглощения сущест­венным образом зависит от того, зафиксирован ли этот вектор в простран­стве или его положение быстро меняется со временем вследствие относи­тельного движения ядер.

Последний случай, как правило, встречающийся в жидкостях и га­зах, будет рассмотрен позднее. В этой главе мы ограничимся случаем жест­кой решетки, в которой ядра можно считать неподвижными. Такое при­ближение разумно для многих твердых тел при комнатной температуре, в частности для ионных кристаллов.

Энергия диполь-дипольного взаимодействия двух магнитных моментов m₁ =g₁ ћI₁ и m₂ =g₂ ћI₂ описывается хорошо известным выражением

(1)

которое можно переписать в виде

W₁₂ = – m₂ ∙H₁₂ = – g₂ ћI₂ ∙H₁₂ ,

где H₁₂ — локальное поле, созданное первым спином в месте расположе­ния второго спина. (Введение в рассмотрение понятия локального поля очень удобно.) Поскольку ядерные магнитные моменты имеют порядок 10^-3 магнетона Бора, или 10^-23 CGS, а между ядерные расстояния порядка нескольких ангстрем, то локальные поля в жесткой решетке в общем случае имеют порядок нескольких эрстед.

Взаимодействие двух одинаковых диполей в сильном поле Н₀ может быть описано с классической точки зрения следующим образом. Первый диполь m₁ прецессирует с ларморовской частотой вокруг поля Н₀ и, следова­тельно, обладает постоянной составляющей вдоль этого поля и составляю­щей, которая вращается в плоскости, перпендикулярной полю. Постоян­ная составляющая m₁ создает в месте расположения диполя m₂ слабое постоянное поле, ориентация которого относительно Н₀ зависит от взаим­ного расположения спинов. Если поле Н₀ сильное, то на него заметно влияет только параллельная или антипараллельная ему составляющая слабого поля. Так как каждый спин в решетке имеет несколько соседей с различными относительными положениями и ориентациями, постоянная составляющая локального поля имеет разные значения в различных местах, что приводит к разбросу ларморовских частот и уширению линии.

Вращающаяся составляющая m₁ создает в месте расположения m₂ локальное магнитное поле, вращающееся с ларморовской частотой m₁ , которая совпадает с ларморовской частотой для m₂ . В свою очередь она имеет составляющую в плоскости, перпендикулярной Н₀ и, следовательно, может заметно изменять ориентацию m₂ благодаря явлению резонанса. Соответствующая ширина линии должна быть порядка величины вращающегося поля. В рассматри­ваемом случае оно того же порядка величины, что и локальное постоянное поле и, следовательно, вносит в уширение вклад сравнимой величины.

Необходимо отчетливо понимать, что механизмы, обусловливающие эти вклады в ширину линии, в действительности различны. Если два спина не являются одинаковыми, то вращающееся поле, созданное m₁ , не является резонансным для m₂ и оказывает на него пренебрежимо малое влияние, в то время как постоянное поле, созданное m₁ , в месте располо­жения m₂ является столь же эффективным, как и в случае одинаковых спи­нов. При прочих равных условиях одинаковые соседние спины оказывают более сильное влияние на уширение резонансной линии, чем неодина­ковые.

§ 2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ МАГНИТНОГО ПОГЛОЩЕНИЯ

Для количественного описания формы линии, обусловленной дипольным уширением, необходимо развить формализм.

Когда все спины образца связаны друг с другом дипольным взаимо­действием, представление об отдельных независимых спинах, находящихся в стационарных состояниях, становится неверным. Этот вывод следует хотя бы из того факта, что вращающееся локальное поле, созданное одним спином, приводит к переориентации его соседей. Поэтому образец при­ходится рассматривать как единую большую систему спинов, а переходы, вызванные радиочастотным полем, — как переходы между различными энергетическими уровнями этой системы. Соответственно изменяется и ста­тистическое описание с использованием матрицы плотности. Вместо ста­тистического ансамбля спинов, описываемых (2I +1) ´ (2I +1) матри­цей плотности, весь образец, содержащий N спинов, теперь становится одним элементом статистического ансамбля и описывается (2I +1)^N ´ (2I +1)^N матрицей плотности. Такое видоизменение никоим образом не ограничивается ядерным магнетизмом, напротив, оно весьма часто встре­чается в статистической физике» а именно всякий раз, когда переходят от описания систем со слабыми взаимодействиями, например, таких, как молекулы газа при низком давлении, к описанию сильно взаимодействую­щих систем, таких, как атомы Кристалла. Первый подход соответствует методу Максвелла – Больцмана, а второй — методу Гиббса.

Стационарное состояние, следуя методу Гиббса, можно описать сле­дующим образом. Если к системе спинов приложено линейно поляризован­ное вдоль оси Ох радиочастотное поле Н₁ cos wt , то при стационарных условиях система приобретает намагниченность, составляющая которой вдоль этой же оси равна

М_х = H₁ {c' (w) cos wt +c'' (w) sin wt }. (la)

Условие линейности или отсутствия насыщения предполагает, что c' и c'' не зависят от H₀ . c' и c'' можно измерить отдельно, а c'' пропорционально скорости поглощения радиочастотной энергии образцом.

Выведем общую формулу для c'' (w). Выше было показано, что в линей­ной теории резонанса между c' (w) и c'' (w) существуют независимо от при­роды рассматриваемой системы общие соотношения (соотношения Крамерса – Кронига), позволяющие вычислить одну из этих величин, когда для всех значений частоты известна другая.

Ниже, чтобы избежать путаницы, мы будем обозначать через М макро­скопическое значение намагниченности образца и через M — соответ­ствующий квантовомеханический оператор. Между ними имеет место соотношение

М = <M > = Sp {rM }, (2)

где r – статистический оператор, или матрица плотности, описывающая систему спинов. Пусть ħH — полный гамильтониан системы в отсутствие внешнего радиочастотного поля. Если до приложения радиочастотного поля система находится в тепловом равновесии при температуре Т, то ее статистический оператор определяется выражением

(3)

которое просто означает, что статистическое поведение системы можно описать, если ее энергетическим уровням ħE_n приписать населенности, пропорциональные exp(—ħ E_n / kT).

При наличии радиочастотного поля уравнение движения для r имеет вид

(4)

где V – объем образца. Чтобы решить (4) относительно r, сделаем подстановку

r* = e^{i H t} r e ^{– i H t} , (5)

которая преобразует (4) в уравнение

. (6)

Предположим, что радиочастотное поле было включено в момент, когда образец находился в тепловом равновесии и

r (–¥) = r = r* (–¥).

В момент t решение (6) в линейном приближении относительно Н₁ имеет вид

( 7)

Поэтому, возвращаясь к r [см. (5)], находим

(8)

Если предположить, что до включения радиочастотного доля намагни­ченность вдоль оси x была равна нулю, т. е.

М_х (–¥) = Sp {r₀ M _x } =0,

то

(9)

и, согласно определению (1 а),

(10)

Учтем, что температура обычно достаточно высока для того, чтобы для рав­новесной матрицы плотности (3) можно было использовать линейное разложение

где e – единичный оператор; тогда восприимчивость c²(w) становится равной

(11)

откуда, интегрируя по частям, получаем

(12)

Выражение (12) можно преобразовать к более компактной форме двумя способами.

В первом способе, вводя в рассмотрение оператор Гейзенберга

M _x (t) = e ^{i H t} M _x e ^{– i H t} , (12a)

можно переписать (12) в виде

(13)

где

G(t) = Sp{M _x (t) M _x }, (13a)

Функцию G(t) назовем функцией корреляции, или функцией релаксации намагниченности системы.

Во втором способе выражение (12) можно переписать в виде

Отсюда после применения хорошо известной формулы для d-функции

получаем

(14)

где суммирование S¢ производится только по тем энергетическим уровням, для которых | E_n — E_n' | = ħw. Обычно, вводя в рассмотрение вероят­ности переходов, выражение (14) используют как отправную точку для вывода (13) с помощью интегрального представления d-функции. Из равенства (14) в общем виде следует, что функция формы f (w), определяющая форму линии, пропорциональна сумме S¢ |< п | M _x | n ’ >|² . Точная зависимость этого выражения от co вытекает из условия, ограничи­вающего суммирование только по тем уровням, для которых | E_n — E_n' | = ħw. Формулы (13) и (14) являются весьма общими и справедливы в случае, когда спектр магнитного поглощения системы содержит одну или несколько острых резонансных линий, т. е. в случае ядерного маг­нитного резонанса. Математически это условие может быть сформулиро­вано следующим образом.

Гамильтониан ħH системы представляет собой сумму главной части ħH₀ и малой возмущающей части, которую удобно записать в виде ħeH₁ , где e — параметр малости возмущения. В отсутствие H₁ спектр поглоще­ния системы состоит из одной или нескольких бесконечно острых линий c частотами w_a , a восприимчивость c"(w) может быть записана в форме

c¢¢(w) = S A_a d(w-w_a ); (15)

при этом функция релаксации G ( t ), пропорциональная фурье-преобразованию c¢¢(w), имеет вид

(15a)

Если существует возмущение ħeH₁ , то функция релаксации принимает вид G(e, t) и может быть в принципе вычислена вплоть до любого порядка по e методом возмущений; восприимчивость c¢¢(w, e) получается как фурье-преобразование G(e, t).

Прежде чем производить детальный расчет, кратко рассмотрим соот­ношение между c¢¢(w) и поведением намагниченности после окончания действия радиочастотного импульса. Хорошо известно и достаточно оче­видно, что для линейных систем стационарная реакция на возбуждение coswt представляется фурье-преобразованием нестационарной реакции на бесконечно острый импульс d(t). Однако на практике для аппроксима­ции такого импульса к системе спинов необходимо приложить кратковре­менно действующее магнитное поле, значительно большее постоянного поля Н_о .

Для системы взаимодействующих ядерных спинов в магнитном поле, характеризующейся острой резонансной линией на частоте w₀ , действие бесконечно острого импульса постоянного поля можно аппроксимировать радиочастотным импульсом частоты w = w₀ со значительно большей длительностью t и меньшей амплитудой H ₁ . Поскольку в системе координат, вращающейся с частотой w, отлично от нуля только постоянное поле H ₁ , то для аппроксимации бесконечно острого импульса конечной амплитуды достаточно того, чтобы H ₁ было значительно больше локального поля; последнее представляет собой гораздо менее жесткое условие.

Б. УШИРЕНИЕ, ВЫЗВАННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ

МЕЖДУ ОДИНАКОВЫМИ СПИНАМИ

§ 3. ДИПОЛЬ-ДИПОЛЬНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ

Полный гамильтониан системы одинаковых взаимодействующих спи­нов в сильном внешнем поле может быть записан в виде

ħH = ħ(H ₀ + H ₁ ). (16)

Основной гамильтониан

ħH ₀ = S_j Z^j = – għH ₀ S_j I^j _z (16a)

описывает энергетические уровни, определяемые выражением ħE⁰ _M = – għН₀ M, где M — собственное значение оператора

I_z = S_j I^j _z

Гамильтониан возмущения ħ H₁ , ответственный за уширение, имеет вид

(16б)

Прежде всего, рассмотрим несколько подробнее взаимодействие между двумя спинами, которые будем обозначать для краткости i и i’. Пусть q и j — полярные координаты вектора r , описывающего их взаимное положение, причем ось z направлена параллельно внешнему полю. Тогда W_ii можно записать в виде

W_{ii '} = {i ×i' — 3[i_z cos q + sin q (i_x cos j + i_y sin j)]x[i'_z cos q + sin q (i'_x cos y + +i'_y sinj)]}g² ħ² /r³ = {i ×i' — 3[i_z cos q + sin q (i₊ e^{- i j} + i_- e^{i j} )/2]x[i'_z cos q + sin q (i₊ e^{- i j} + + i_- e^{i j} )/2)]}g² ħ² /r³ = (A+B+C+D+E+F)g² ħ² /r³ , (17)

где

A = i'_z i_z (l – 3cos² q),

B = – (l – 3cos² q) (i₊ i'_– + i _– i'₊ ) = (l – 3cos² q)(i_z i'_z – i ×i' )/2,

C = – 3sinq cosq e^{- i j} (i_z i'₊ + i ₊ i'_z )/2, (18)

D = С* = – 3sinq cosq e ^{i j} (i_z i'_– + i _– i'_z )/2,

E = – 3sin² q e^{-2 i j} i₊ i'₊ /4,

F = E* = – 3sin² q e^{-2 i j} i _– i'_– /4,.

Запись W в такой форме вызвана следующими причинами. Согласно формуле (14),

c¢¢(w) ~ S¢ |< п | M _x | n ’ >|² .

Это приводит к необходимости определить изменение в положении энер­гетических уровней, отвечающих ħH₀ , обусловленное наличием ħH₁ . Операторы А, В, С, D, E, F дают качественно различным вклады в это изменение. Упомянутые операторы, действуя на состояние невозмущенного гамильтониана, характеризующееся значениями i_z =т , i '_z =т', при­водят к следующему изменению этого состояния:

(19)

Рассмотрим теперь энергетический уровень ħE⁰ _M = – għH₀ M, соот­ветствующий гамильтониану (16a). Этот уровень сильно вырожден, так как существует много способов, которыми можно скомбинировать отдельные значения I^j _z = m_j , чтобы получить величину M = S m_j . Таким образом, уровень ħE⁰ _M соответствует вырожденному множеству состояний |М>, причем вырождение снимается (по крайней мере частично) возмущением, описываемым гамильтонианом ħH₁ , который расщепляет уровень ħE⁰ _M на много подуровней. Согласно первому приближению тео­рии возмущений, вклад первого порядка в расщепление уровня ħE⁰ _M дают лишь те члены гамильтониана возмущения, которые обладают отлич­ными от нуля матричными элементами внутри множества |М>, т. е. те, которые, действуя на состояние |М>, не вызывают изменения величины М. Обращаясь к формуле (19), мы видим, что только те части W, которые отвечают операторам А и В, удовлетворяют этому условию и должны быть сохранены для вычисления энергетических уровней ħH методом возму­щений.

Член А имеет тот же вид, что и выражение для взаимодействия двух классических диполей и описывает упомянутое в разделе А взаимодействие одного диполя со статическим локальным полем, создаваемым другим дипо­лем. Член В описывает взаимодействие, при котором возможно одновре­менное переворачивание двух соседних спинов в противоположных направ­лениях. Эта часть гамильтониана, названная «переворачивающей» частью, соответствует описанному в разделе А резонансному действию враща­ющегося локального поля. Влияние такого члена, как С, заключается в примешивании к состоянию |М> с невозмущенной энергией ħE⁰ _M = – għH₀ M малой доли состояния |М— 1>. Таким образом, точное соб­ственное состояние ħH₀ следует представить в виде

| М > + a | М – 1 > + …,

где a — малая величина. Взаимодействие системы спинов с радиочастот­ным полем, приложенным вдоль оси ох, пропорционально I_x = S I^j _x и может индуцировать только переходы с DМ = ± 1. Слабые переходы знежду состоянием, скажем, |M – 2> + малая примесь, энергия которого приблизительно равна – għH₀ (M —2), и состоянием | М > + a | М – 1 > + … становятся возможными с вероятностью порядка a² . Разность энергии между этими состояниями приблизительно равна 2ħw₀ . Следовательно, таким переходам на частоте 2w₀ соответствует очень слабая линия, кото­рую обычно трудно наблюдать экспериментально. Легко видеть, что линии сравнимых интенсивностей появляются на частотах 0 и 3w₀ .

Доказательство справедливости сохранения в гамильтониане ħH₁ только членов А и В, которые коммутируют с H₀ обычно называются адиабатической или секулярной частью ħH₁ и которые впредь будут обо­значаться как ħH’₀ , может быть также дано следующим способом. Так как c¢¢(w) пропорционально фурье-преобразованию G(t)=Sp{M _x (t) M _x }, то оно может быть вычислено, если известно M _x (t) = е ^{i H t} M _x е^{– i H t} . В этом случае M _x (t) удовлетворяет уравнению

(1/i) d M /dt = [H ₀ +H ₁ , M _x (t) ]. (20)

§ 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ

Для резонансной кривой, описываемой нормированной функцией формы f(w) с максимумом на частоте w₀ , n-й момент M_n относительно w₀ опреде­ляется выражением

М_n = ∫ (w – w₀ )ⁿ f(w)dw.

Если f(w) симметрична относительно w₀ , то все нечетные моменты равны нулю. Знание моментов дает некоторую информацию о форме резонансной кривой и, в частности, о скорости, с которой она спадает до нуля на крыльях вдали от w₀ .

Достоинство метода моментов состоит в том, что моменты могут быть вычислены на основании общих принципов без определения собственных состояний общего гамильтониана ħH . Прежде чем останавливаться на вычислении моментов, рассмотрим два примера резонансных кривых разном формы. Гауссова кривая описывается нормированной функцией

(24)

для которой легко найти

М₂ = D² , M₄ =3D⁴ ,

М_2n = 1, 3, 5, ..., (2n – 1) D²ⁿ ,

причем нечетные моменты равны нулю. Полуширина на половине высоты d определяемая соотношением f(w₀ + d) = f(w₀ )/2, или ехр( – d² /2D² ) = 1/2 оказывается равной

Отсюда видно, что значение второго момента M₂ = D² для гауссовой кри­вой обеспечивает удовлетворительное приближение для ширины линии d.

Другой формой линии, которая часто наблюдается в магнитном резо­нансе, является лоренцева форма, опи­сываемая нормированной функцией

(25)

где d — полуширина на половине высоты.

В этом случае ни второй, ни более высокие моменты не могут быть определены, так как соответствующие интегралы расходятся. Однако иногда теория дает конечные значения для второго и четвертого моментов линий, которые в экспериментально наблюдаемой области имеют лоренцеву форму. В соответствии с конечными значениями M₂ и М₄ далеко на крыльях линии, где невозможно произвести достаточно точные измерения погло­щения вследствие его малой величины, линия должна изменяться более быстро, чем это следует из лоренцевой формы.

Грубая, но удобная пробная модель состоит в описании кривой по формуле (25) внутри интервала |w – w₀ |£a, где a>>d и в пред­положении о том, что она равна нулю вне этого интервала. Тогда, прене­брегая членами порядка d/a, найдем

M₂ = D² = 2ad /p, M₄ = 2a³ d /(3p), (IV.25a)

откуда, если известны M₂ и M₄ можно вычислить d и a. Поскольку

M₄ /( M₂ )² = pa /6d,

упомянутая модель может быть использована лишь, когда теоретическое отношение M₄ /( M₂ )² оказывается большим числом., В этом случае

(IV.25б)

Ширина на половине высоты значительно меньше, чем среднеквадратичная ширина. С другой стороны, предположение о гауссовой форме линии может быть разумным всякий раз, когда отношение M₄ /( M₂ )² порядка 3.

§ 5. МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ МОМЕНТОВ

Основной недостаток метода моментов состоит в том, что важный вклад в значение момента (вклад тем существеннее, чем выше момент) дают крылья кривой, которые на практике не наблюдаются. Необходимо из вычисленных моментов линии магнитного резонанса с центром на ларморовской частоте w =w₀ исключить вклады от сопутствующих линий на частотах w = 0, 2w₀ , 3w₀ о которых упоминалось ранее. Легко видеть, что, несмотря на их малую интенсивность (благодаря удаленности от центральной частоты w₀ ) вклад во второй момент сравним с вкладом от главной линии и тем больше, чем выше порядок момента. Для исключения вкладов от них следует рассматри­вать в гамильтониане возмущения ħH₁ ответственного за уширение, только его секулярную часть ħH ¢₀ , которая коммутирует с H₀ и, следова­тельно, не может отвечать перемешиванию состояний с различными пол­ными М; такое смешивание является причиной появления побочных линий. Таким образом, сокращение дипольного гамильтониана до его секулярной части

не только упрощает вычисление моментов, но и делает его более точным.

Прежде чем начать расчет, отметим, что линия магнитного резонанса симметрична относительно центральной частоты w₀ . Убедимся в правиль­ности этого утверждения. Если | а > и | b > — два собственных состояния ħ(H₀ +H ¢₁ ) с разностью энергии ħ(Е_а — Е_b ) = ħw₀ + d_ab , то два состоя­ния | а^~ > и | b^~ >, полученные из | а > и | b > соответственно путем пово­рота всех спинов в обратном направлении, будут также собственными состояниями ħ(H₀ +H ¢₁ ) с ħ(Е_b ~ – Е_a ~) = ħw₀ + d_ab . Таким образом, каждо­му переходу с частотой w₀ + u соответствует переход равной интенсивности с частотой w₀ – u. Если f(w) — функция формы, то h (u) = f(w₀ + u)— четная функция u. Поскольку моменты кривой пропорциональны про­изводным в начале координат от их фурье-преобразования, мы будем применять для их вычисления формулу (13). Вследствие узости линии ядерного магнитного резонанса можно пренебречь изменением величины w в пределах ширины линии и предположить, что форма линии описывается c¢¢(w)/w, так же как и c¢¢(w). Тогда, поскольку f(w) — нормированная функция формы, (13) может быть переписано в виде

f(w) = A∫ G(t) cos wt dt, (IV.26)

где постоянная A определяется из условия нормировки f(w), а опреде­ленная ранее четная функция G (t) равна Sp{M _x (t) M _x }. Обратно

G(t) = 2/(pA)∫ f(w) cos wt dw, (IV.27)

Согласно вышеизложенному, в выражении

M _x (t) = е ^{i H t} M _x е^{– i H t} .

следует вместо H = H₀ +H₁ подставить H = H₀ +H ¢₁ что значи­тельно упрощает вычисления. Поскольку H₀ и H ¢₁ коммутируют, можно записать

exp{i(H₀ +H ¢₁ )t} = exp(iH₀ t) exp(iH ¢₁ t).

Учитывая, что зеемановский гамильтониан ħH₀ равен ħw₀ I_z функцию G (t) можно переписать в виде

(IV.28)

Шпур произведения операторов инвариантен относительно циклической перестановки, поэтому

(IV.28a)

В этом выражении оператор exp(iw₀ I_z t) определяет поворот на угол w₀ t вокруг оси z, и, следовательно, можно записать

(29)

Легко видеть, что второй член в (29) равен нулю, так как поворот спинов на 180°, например вокруг оси ох, не изменяет H ¢₁ и M _x но преоб­разует M _у в – M _y .

Заменяя в (27) G (t) на G₁ (t) cosw₀ t, где

G₁ (t)=Sp{е xp ( i H ‘₁ t ) M _x е(– i H ‘₁ t )M _x }

называется сокращенной функцией автокорреляции, и вводя обозначение

h (u) = f(w₀ + u),

получаем

Заменяя нижний предел на – ¥, что допустимо для узких линий, найдем

Поскольку h (и) является четной функцией, второй интеграл равен нулю и

G₁ (t)=Sp{е xp ( i H ‘₁ t ) M _x е(– i H ‘₁ t )M _x }

(30)

Различные моменты кривой распределения h (и) относительно резонансной частоты w =w₀ определяются выражением

Нечетные моменты равны нулю, а четные определяются формулой

(31)

Таким образом, для вычисления моментов резонансной кривой достаточно разложить G₁ (t) в выражении (30) по степеням t. При этом коэффициенты разложения представляют собой шпуры от операторов, которые являются полиномами от H ¢₁ и M _x .

Сущность метода заключается в том, что значения упомянутых шпуров не зависят от выбора основных состояний и могут быть вычислены, напри­мер, в представлении, где значения m^j = I^j _z отдельных спинов (поэтому представление называется m^j -представлением) являются хорошими кван­товыми числами. Таким образом, нет необходимости решать проблему отыскания собственных состояний | n > полного гамильтониана. Из опре­деления (30) функции G₁ (t) вытекает, что значение ее р-й произ­водной в момент t = 0 определяется выражением

(IV.32)

Формула (32) просто находится из дифференциального уравнения

(33)

которому удовлетворяет зависящий от времени оператор

M ¢ _x (t) = е(i H₁ ¢ t) M _x е(–i H₁ ¢ t)^t .

Решение этого уравнения может быть представлено в виде ряда

M ¢ _x (t) = M _x + M ¢ ⁽¹⁾ _x (t) + M ¢ ⁽²⁾ _x (t) + …+ M ¢ ⁽ⁿ⁾ _x (t) ,

отдельные члены, которого получаются методом индукции с помощью соот­ношения

из последнего сразу же следует (32). Из (31) и (32) для первых двух четных моментов находим

(34)

(34a)

B (34) M _x заменено полным спином I_x , пропорциональным M _x . По­скольку мы определили гамильтониан в виде ħH , следует помнить, что эти моменты соответствуют ширинам линии, измеренным в единицах w = 2pn.