Реферат: Классический метод. Постоянное напряжение источника

Дано: E = 150В; E_m = 150В; w = 7000 рад/с; y_e = 120°; L = 4 мГн; C = 5 мкФ; R ₁ = 6 Ом; R ₂ = 10 Ом; R ₃ = 5 Ом; R ₄ = 4 Ом.

Найти: u_C (t ).

Классический метод. Постоянное напряжение источника.

Сопротивление последовательного соединения R ₁ , R ₄

R ₁₄ = R ₁ + R ₄ = 6 + 4 = 10 Ом.

Алгебраизованное выражение для входного комплексного сопротивления относительно источника

Z (p ) = + + R ₁₄ = .

Характеристическое уравнение Z (p ) = 0,

R ₃ (R ₂ + R ₁₄ )LC p ² + ((R ₂ + R ₃ + R ₁₄ )L + R ₂ R ₃ R ₁₄ C )p + R ₂ (R ₃ + R ₁₄ ) = 0;

5∙(10 + 10)∙4∙10^-3 ∙5∙10^-6 p ² + ((10 + 5 + 10)∙4∙10^-3 + 10∙5∙10∙5∙10^-6 )p + 10∙(5 + 10) = 0:

Корни характеристического уравнения p ₁ = – 1510 с; p ₂ = – 49700 с.

Свободная составляющая тока в индуктивности i_{L св} = A ₁ e ^{p 1 t} + A ₂ e ^{p 2 t} = A ₁ e ^{–1510 t} + A ₂ e ^{–49700 t} .

Схема до коммутации.

Начальное значение тока в ветви c индуктивностью i_L (0) = E /(R ₁₄ + R ₃ ) = 150/(10 + 5) = 10 А.

Начальное значение напряжения на емкости u_C (0) = i_L (0)R ₃ = 10∙5 = 50 В.

Схема после коммутации.

Принужденная составляющая напряжения на емкостиu_{C пр} = E = 150 В.

Переходное напряжение на емкости и его производная по времени

u_C (t ) = u_{C пр} + u_{C св} (t ) = 150 + A ₁ e ^–1510t + A ₂ e ^–49700t ;

= – 1510A ₁ e ^–1510t – 49700A ₂ e ^–49700t .

Система уравнений для определения неизвестных коэффициентов

u_C (0) = u_{C пр} (0) + u_{C св} (0) = 150 + A ₁ + A ₂ ;

= – 1510A ₁ – 49700A ₂ .

Уравнения по закону Кирхгофа для схемы после коммутации при t = 0

для правого узла – i_C (0) + i_L (0) + i ₂ (0) = 0;

для левого контура R ₁₄ i_E (0) + L – u_C (0) = E ;

для верхнего контура R ₂ i ₂ (0) – L = 0.

Исключение величин i ₂ (0), : (R ₁₄ + R ₂ )i_C (0) – R ₂ i_L (0) – u_C (0) = E ;

(10 + 10)∙i_C (0) – 10∙1,47 – 30,0 = 150;

Зависимые начальные условия i_C (0) = 7,5 А; = = 7,5/(5∙10^-6 ) = 1,5∙10⁶ В/с.

50 = 180 + A ₁ + A ₂ ;

1,5∙10⁶ = – 1510A ₁ – 49700A ₂ .

Постоянные интегрирования A ₁ = – 3,6 А; A ₂ = 1,1 А.

Искомый переходный ток в индуктивности i_L (t ) = 10 – 3,6e ^{–1510 t} + 1,1e ^{–49700 t} .

Классический метод. Переменное напряжение источника.

Корни характеристического уравнения аналогично p ₁ = – 1510 с; p ₂ = – 49700 с.

Свободная составляющая напряжения на емкости u_{C св} = A ₁ e ^{p 1 t} + A ₂ e ^{p 2 t} = A ₁ e ^{–1510 t} + A ₂ e ^{–49700 t} .

Реактивные сопротивления индуктивности и емкости

X_L = wL = 7000∙4∙10^-3 = 28 Ом; X_C = 1/(wC ) = 1/(7000∙5∙10^-6 ) = 28,6 Ом.

Комплексные величины:

амплитуда напряжения источника _m = E_m e ^{y e} = 150e ^{120 °} В;

сопротивления параллельных соединений ветвей R ₂ , L и R ₃ , C

Z _{R 2 L} = = 1/(1/10 + 1/j 28) = 8,87 + j 3,17 Ом;

Z _{R 3C} = = 1/(1/5 + 1/(– j 28,6)) = 4,85 – j 0,85 Ом = 4,93e ^{– j 9,93 °} Ом.

Схема до коммутации.

Комплексные значения:

сопротивление цепи относительно источника Z = Z _{R 2 L} + Z _{R 3 C} + R ₁₄ = (8,87 + j 3,17) + (4,85 – j 0,85) + 10 = 23,8e ^{j 5,58 °} Ом;

амплитуды тока в ветвях с источником и индуктивностью

_em = _m /Z = 150e ^{120 °} /23,8e ^{j 5,58 °} = 6,29e ^{j 114,45 °} А;

_Lm = _em /(jX_L /R ₂ + 1) = 6,29e ^{j 114,45 °} /(j 28/10 + 1) = 2,12e ^{j 44,11 °} А;

амплитуда напряжения на емкости _Cm = _em Z _{R 3 C} = 6,29e ^{j 114,45 °} ∙4,93e ^{– j 9,93 °} = 31,0e ^{j 104,52 °} В;

ЭДС источника, ток в ветви с индуктивностью и напряжение на емкости при t = 0

e (0) = E_m sin y_e = 150∙sin 120° = 129,9 В;

i_L (0) = 2,12 sin 44,11° = 1,47 А;

u_C (0) = 31,0 sin 104,52° = 30,0 В.

Cхема после коммутации.

Комплексные значения:

сопротивление цепи относительно источника Z = Z _{R 2 L} – j X_C + R ₁₄ = (8,87 + j 3,17) – j 28,6 + 10 = 31,6e^{– j 53,34 °} Ом;

амплитуды тока в ветвях с источником и индуктивностью

_em = _m /Z = 150e ^{120 °} /31,6e ^{– j 53,34 °} = 4,74e ^{j 173,43 °} А;

_Lm = _em /(jX_L /R ₂ + 1) = 1,74e ^{j 173,43 °} /(j 28/10 + 1) = 1,59e ^{j 103,09 °} А;

амплитуда напряжения на емкости _Cm = _em (– jX_C ) = 4,74e ^{j 173,43 °} ∙28,6e ^{– j 90 °} = 135,4e ^{j 83,44 °} В.

Принужденная составляющая напряжения на емкости u_{C пр} (t ) = 135,4 sin(7000t + 83,44°).

Переходное напряжение на емкости и его производная по времени

u_C (t ) = u_{C пр} (t ) + u_{C св} (t ) = 135,4 sin(7000t + 83,44°) + A ₁ e ^–1510t + A ₂ e ^–49700t ;

= 94500 cos(7000t + 83,44°) – 1510A ₁ e ^–1510t – 49700A ₂ e ^–49700t .

Система уравнений для определения неизвестных коэффициентов

u_C (0) = u_{C пр} (0) + u_{C св} (0) = 135,4 sin 83,44° + A ₁ + A ₂ ;

= 94500 cos83,44° – 1510A ₁ – 49700A ₂ .

Уравнения по закону Кирхгофа для схемы после коммутации при t = 0

для правого узла – i_С (0) + i_L (0) + i ₂ (0) = 0;

для левого контура R ₁₄ i_С (0) + L – u_C (0) = e (0);

для верхнего контура R ₂ i ₂ (0) – L = 0.

Исключение величин i ₂ (0), : (R ₁₄ + R ₂ )i_С (0) – R ₂ i_L (0) – u_C (0) = e (0);

(10 + 10)∙i_e (0) – 10∙1,47 – 30,0 = 129,9;

Зависимые начальные условия i_С (0) = 8,73 А; = = 8,73/(5∙10^-6 ) = 1,75∙10⁶ В/с.

30,0 = 135,4 sin 83,44° + A ₁ + A ₂ ;

1,75∙10⁶ = 94500 cos 83,44° – 1510A ₁ – 49700A ₂ .

Постоянные интегрирования A ₁ = – 73,9 А; A ₂ = – 30,7 А.

Искомое переходное напряжение на емкости u_C (t ) = 135,4 sin(7000t + 83,44°) – 73,9e ^{–1510 t} – 30,7e ^{–49700 t} .

Временные диаграммы переходного тока в индуктивности для постоянного и переменного напряжения

Операторный метод. Постоянное напряжение источника.

Эквивалентная операторная схема

Начальные условия

Ток в цепи с индуктивностью при t = 0: i_L (0) = E /(R ₁₄ + R ₃ ) = 150/(10 + 5) = 10 А.

Напряжение на емкости при t = 0: u_C (0) = i_L (0)R ₃ = 10∙5 = 50 В.

Операторные контурные уравнения для смежных контуров-ячеек

I ₁₁ (p )(R ₁₄ + pL + 1/(pC )) – I ₂₂ (p )pL – I ₃₃ (p )(1/(pC )) = – E (p ) – Li_L (0) + u_C (0)/p ;

– I ₁₁ (p )pL + I ₂₂ (p )(R ₂ + pL ) = Li_L (0);

– I ₁₁ (p )(1/(pC )) + I ₃₃ (p )(R ₃ + 1/(pC )) = – u_C (0)/p .

Подстановка данных

I ₁₁ (p )(10 + p ∙4∙10^-3 + 1/(p ∙5∙10^-6 )) – I ₂₂ (p )p ∙4∙10^-3 – I ₃₃ (p )(1/(p ∙5∙10^-6 )) = – 150/p – 4∙10^-3 ∙i_L (0) + 50/p ;

– I ₁₁ (p )p ∙4∙10^-3 + I ₂₂ (p )(10 + p ∙4∙10^-3 ) = 4∙10^-3 ∙i_L (0);

– I ₁₁ (p )(1/(p ∙5∙10^-6 )) + I ₃₃ (p )(5 + 1/(p ∙5∙10^-6 )) = – u_C (0)/p ;

Операторные контурные токи левого и правого контуров

I ₁₁ (p ) = – ;

I ₃₃ (p ) = – .

Операторный ток в ветви с емкостью I_C (p ) = I ₃₃ (p ) – I ₁₁ (p ) = – .

Операторное напряжение на емкости

U_C (p ) = + = = = ;

F ₁ (p ) = u_C (0)p ² + (100∙10³ i_L (0) + 1,25∙10³ u_C (0) + 1,5∙10⁶ )p + 3,75∙10⁹ ;

F ₃ (p ) = p ² + 51,25∙10³ p + 75∙10⁶ ;

F (p ) = 2p + 51250.

Корни характеристического уравнения F ₂ (p ) = 0 p ₀ = 0; p ₁ = – 1510 с; p ₂ = – 49700 с.

Переходное напряжение на емкости по теореме разложения

u_C (t ) = + + =

= + e ^–1510t + e ^–49700t =

= 50 – 1,37∙10^–8 (– 1,51∙10⁸ i_L (0) + 3,9∙10⁵ u_C (0) + 1,49∙10⁶ )e ^–1510t – 4,17∙10^–10 (– 4,97∙10⁹ i_L (0) + 4,41∙10⁹ u_C (0) – 7,08∙10¹⁰ )e ^–49700t А.

При подстановке i_L (0) = 10 А, u_C (0) = 50 В

u_C (t ) = 50 – 0,137e ^{–1510 t} + 0,313e ^{–49700 t} А

Значения тока в индуктивности, полученные классическим и операторным методами, не совпадают.