Реферат: Расчет коэффициента эластичности и показателей корреляции и детерминации

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Ульяновская государственная сельскохозяйственная академия

Кафедра «Статистика и анализ хозяйственной деятельности»

Контрольная работа

по Эконометрики

Выполнил: студент 2 курса

заочного отделения «Экономического факультета»

по специальности «Финансы и кредит»

с сокращенным сроком обучения

Антонов Леонид Владимирович

Ульяновск, 2009

Задача 1

По территориям Волго-Вятского, Центрально–Черноземного и Поволжского районов известны данные о потребительских расходах в расчете на душу населения, о средней заработной плате и выплатах социального характера (табл. 1).

Таблица 1

Задание:

1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

2. Рассчитайте параметры уравнений линейной парной регрессии.

3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

4. Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи факторов с результатом.

5. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

6. Оцените с помощью F- критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп.4,5 и данном пункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.

7. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 7 % от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости, а = 0,05.

8. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

Решение:

1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

2. Рассчитайте параметры уравнений линейной парной регрессии.

;

.

Получено уравнение регрессии: .

С увеличением средняя заработная плата и выплаты социального характера на 1 руб., то потребительские расходы в расчете на душу населения возрастает в среднем на 0,33 руб.

3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

Тесноту связи оценивают с помощью показателей корреляции и детерминации:

.

Коэффициент детерминации

Это означает, что 69% вариации потребительские расходы в расчете на душу населения объясняется вариацией факторов средняя заработная плата и выплаты социального характера.

4. Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи факторов с результатом.

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов измениться в среднем результат, если фактор изменится на 1%. Формула для расчета коэффициента эластичности имеет вид:

.

Таким образом, изменение средней заработной платы и выплат социального характера на 1 % приведет к увеличению потребительских расходов в расчете на душу населения на 0,615 %.

5. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

Качество уравнений оцените с помощью средней ошибки аппроксимации:

= 20,7%

Качество построенной модели оценивается как плохое, так как превышает 8 – 10 %.

6. Оцените с помощью F - критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп.4,5 и данном пункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.

Оценим качество уравнения регрессии в целом с помощью -критерия Фишера. Сосчитаем фактическое значение - критерия:

.

Табличное значение (k₁ =1, k₂ =8 ) F_табл. =5,32. Так как , то признается статистическая значимость уравнения в целом.

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитаем - критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Рассчитаем случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции

:

,

,

.

Фактические значения - статистик:

.

Табличное значение - критерия Стьюдента при и t_табл. =2,306. Так как , t_a < t _табл. и .

Рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессии и : и . Получим, что и .

7. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 7 % от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости, а = 0,05.

Найдем прогнозное значение результативного фактора при значении признака-фактора, составляющем 107% от среднего уровня , т.е. найдем потребительские расходы в расчете на душу населения, если средняя заработная плата и выплаты социального характера составят 953,15 тыс. руб.

(тыс. руб.)

Значит, если средняя заработная плата и выплаты социального характера составят 953,15 тыс. руб., то потребительские расходы в расчете на душу населения будут 498,58 тыс. руб.

Найдем доверительный интервал прогноза. Ошибка прогноза

,

а доверительный интервал ():

.

Т.е. прогноз является статистически не точным.

8. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

Из полученных результатов я вижу, что с увеличением средняя заработная плата и выплаты социального характера на 1 руб., то потребительские расходы в расчете на душу населения возрастает в среднем на 0,33 руб. При оценки тесноты связи с помощью показателя детерминации я выявил, что 69% вариации потребительские расходы в расчете на душу населения объясняется вариацией факторов средняя заработная плата и выплаты социального характера. С помощью коэффициент эластичности я определил, что изменение средней заработной платы и выплат социального характера на 1 % приведет к увеличению потребительских расходов в расчете на душу населения на 0,615 %. С увеличится на 7 %заработной платы и выплаты социального характера, потребительские расходы в расчете на душу населения будут равны 498,58 тыс. руб., но этот прогноз является статистически не точным.

Задача 8

По группе 10 заводов, производящих однородную продукцию, получено уравнение регрессии себестоимости единицы продукции у (тыс. руб.) от уровня технической оснащенности х (тыс. руб.):

у = 20 + . Доля остаточной дисперсии в общей составила 0,19

Задание:

Определите:

а) коэффициент эластичности, предполагая, что стоимость активных производственных фондов составляет 200 тыс. руб.

б) индекс корреляции;

в) F- критерий Фишера. Сделайте выводы.

Решение:

а) коэффициент эластичности, предполагая, что стоимость активных производственных фондов составляет 200 тыс. руб.

х = 200 тыс. руб.

.

Таким образом, изменение технической оснащенности на 1% приведет к снижению себестоимости единицы продукции на 0,149 %.

б) индекс корреляции:

Уравнение регрессии:

= 23,5/10 = 2,35

Это означает, что 99,6 % вариации себестоимости единицы продукции объясняется вариацией уровня технической оснащенности на долю прочих факторов приходится лишь 0,40%.

в) F - критерий Фишера. Сделайте выводы.

F_табл. = 4,46

F_табл. < F_факт ; Этот результат можно объяснить сравнительно невысокой теснотой выявленной зависимости и небольшим числом наблюдений.

Задача 13

По заводам, выпускающим продукцию А, изучается зависимость потребления электроэнергии У (тыс. кВт. Ч) от производства продукции - Х₁ (тыс.ед.) и уровня механизации труда – Х₂ (%). Данные приведены в табл.4.2.

Задание

1. Постройте уравнение множественной регрессии в стандартизованном и натуральном масштабах.

2. Определите показатели частной и множественной корреляции.

3.Найдите частные коэффициенты эластичности и сравните их с Бэтта коэффициентами.

4. Рассчитайте общие и частные F – критерии Фишера.

Решение:

1. Постройте уравнение множественной регрессии в стандартизованном и натуральном масштабах.

Линейное уравнение множественной регрессии у от х₁ и х₂ имеет вид:

.

Для расчета его параметров применим метод стандартизации переменных, построим искомое уравнение в стандартизованном масштабе:

Расчет - коэффициентов выполним по формулам:

Т.е. уравнение будет выглядеть следующим образом:

.

Для построения уравнения в естественной форме рассчитаем b ₁ и b ₂ ,используя формулы для перехода от к b .

Значение a определим из соотношения:

2. Определите показатели частной и множественной корреляции.

Линейные коэффициенты частной корреляции здесь рассчитываются по рекуррентной формуле:

Если сравнить значения коэффициентов парной и частной корреляции, то приходим к выводу, что из-за слабой межфакторной связи (r_{x 1 x 2} =0,39) коэффициенты парной и частной корреляции отличаются значительно.

Растет линейного коэффициента множественной корреляции выполним с использованием коэффициентов и :

Зависимость у от х₁ и х₂ характеризуется как тесная, в которой 63 % вариации потребления электроэнергии определяется вариацией учетных в модели факторов: производства продукции и уровня механизации труда. Прочие факторы, не включенные в модель, составляют соответственно 37 % от общей вариации y .

3.Найдите частные коэффициенты эластичности и сравните их с Бэтта коэффициентами.

Для характеристики относительной силы влияния х₁ и х₂ на y рассчитаем средние коэффициенты эластичности:

С увеличением производства продукции на 1 % от его среднего потребления электроэнергии возрастает на 0,29 % от своего среднего уровня; при повышении среднего уровня механизации труда на 1 % среднее потребления электроэнергии увеличивается на 0,006% от своего среднего уровня. Очевидно, что сила влияния производства продукции на среднее потребление электроэнергии оказалась больше, чем сила влияния среднего уровня механизации труда.

4. Рассчитайте общие и частные F – критерии Фишера.

Общий F -критерий проверяет гипотезу H ₀ о статистической значимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи (R² = 0):

F _табл. = 9,55

Сравнивая F _табл. и F _факт. , приходим к выводу о необходимости не отклонять гипотезу H ₀ и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.

Частные F -критерий – F _х1. и F _х2 оценивают статистическую значимость присутствия факторов х ₁ и х ₂ в уравнении множественной регрессии, оценивают целесообразность включения в уравнение одного фактора после другого фактора, т.е. F _х1 оценивает целесообразность включения в уравнение фактора х ₁ после того, как в него был включен фактор х ₂ . Соответственно F _х2 указывает на целесообразность включения в модель фактора х ₂ после фактора х _1.

Низкое значение F _х2 (меньше 1) свидетельствует о статистической незначимости прироста r ² _{yx 1} за счет включения в модель фактора х ₂ после фактора х _{1. следовательно,} подтверждается нулевая гипотеза H ₀ о нецелесообразности включения в модель фактора х _2.

Задача 21

Модель денежного и товарного рынков:

R_t = a₁ + b₁₂ Y_t + b₁₄ M_t + e₁ , (функция денежного рынка);

Y_t = a₂ + b₂₁ R_t + b₂₃ I_t + b₂₅ G_t + e₂ ( функция товарного рынка);

I_t = a₃ + b₃₁ R_t + e₃ (функция инвестиций),

где R- процентные ставки;

Y- реальный ВВП;

M- денежная масса;

I- внутренние инвестиции;

G- реальные государственные расходы.

Решение:

R_t = a₁ + b₁₂ Y_t + b₁₄ M_t + e₁ ,

Y_t = a₂ + b₂₁ R_t + b₂₃ I_t + b₂₅ G_t + e₂

I_t = a₃ + b₃₁ R_t + e₃

С_t = Y_t + I_t + G_t

Модель представляет собой систему одновременных уравнений. Проверим каждое ее уравнение на идентификацию.

Модель включает четыре эндогенные переменные (R_t , Y_t , I_t , С_t ) и две предопределенные переменные ( и ).

Проверим необходимое условие идентификации для каждого из уравнений модели.

Первое уравнение:

R_t = a₁ + b₁₂ Y_t + b₁₄ M_t + e₁ .

Это уравнение содержит две эндогенные переменные и и одну предопределенную переменную . Таким образом,

,

т.е. выполняется условие . Уравнение сверхидентифицируемо.

Второе уравнение:

Y_t = a₂ + b₂₁ R_t + b₂₃ I_t + b₂₅ G_t + e₂ .

Оно включает три эндогенные переменные Y_t , I_t и R_t и одну предопределенную переменную G_t . Выполняется условие

.

Уравнение идентифицируемо.

Третье уравнение:

I_t = a₃ + b₃₁ R_t + e₃ .

Оно включает две эндогенные переменные I_t и R_t . Выполняется условие

.

Уравнение идентифицируемо.

Четвертое уравнение:

С_t = Y_t + I_t + G_t .

Оно представляет собой тождество, параметры которого известны. Необходимости в идентификации нет.

Проверим для каждого уравнения достаточное условие идентификации. Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели.

		Rt
I уравнение	0	0	–1	b12	b14	0
II уравнение	0	b23		–1	0	b25
III уравнение	0	–1	b31	0	0	0
Тождество	–1	1	0	1	0	1

В соответствии с достаточным условием идентификации ранг матрицы коэффициентов при переменных, не входящих в исследуемое уравнение, должен быть равен числу эндогенных переменных модели без одного.

Первое уравнение. Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

	Rt
II уравнение	b23		–1	b25
III уравнение	–1	b31	0	0
Тождество	1	0	1	1

Ранг данной матрицы равен трем, так как определитель квадратной подматрицы не равен нулю:

.

Достаточное условие идентификации для данного уравнения выполняется.

Второе уравнение. Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

		Rt
I уравнение	0	0	–1	b12	b14	0
III уравнение	0	-1	b31	0	0	0
Тождество	–1	1	0	1	0	1

Ранг данной матрицы равен трем, так как определитель квадратной подматрицы не равен нулю:

.

Достаточное условие идентификации для данного уравнения выполняется.

Третье уравнение. Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

		Rt
I уравнение	0	0	–1	b12	b14	0
II уравнение	0	b23		–1	0	b25
Тождество	-1	1	0	1	0	1

Ранг данной матрицы равен трем, так как определитель квадратной подматрицы не равен нулю:

Достаточное условие идентификации для данного уравнения выполняется.

Таким образом, все уравнения модели сверхидентифицируемы. Приведенная форма модели в общем виде будет выглядеть следующим образом:

R_t = a₁ + b₁₁ Y_t + b₁₃ M_t + b₁₅ G_t + b₁₆ G_t + u₁

Y_t = a₂ + b₂₁ R_t + b₂₃ I_t + b₂₅ G_t + b₂₆ G_t + u ₂

I_t = a₃ + b₃₁ R_t + b₃₃ I_t + b₃₅ G_t + b₃₆ G_t + u ₃

С_t = a₄ + b₄₁ R_t + b₄₃ I_t + b₄₅ G_t + b₄₆ G_t + u ₄

Задача 26

Имеются данные об урожайности культур в хозяйствах области:

Задание:

1. Обоснуйте выбор типа уравнения тренда.

2. Рассчитайте параметры уравнения тренда.

3.Дайте прогноз урожайности культур на следующий год.

Решение:

1. Обоснуйте выбор типа уравнения тренда.

Построение аналитической функции для моделирования тенденции (тренда) временного ряда называют аналитическим выравнивание временного ряда . Для этого применяют следующие функции:

- линейная

- гипербола

- экспонента

- степенная функция

- парабола второго и более высоких порядков

Параметры трендов определяются обычными МНК, в качестве независимой переменной выступает время t=1,2,…,n, а в качестве зависимой переменной – фактические уровни временного ряда y_t . Критерием отбора наилучшей формы тренда является наибольшее значение скорректированного коэффициента детерминации .

Сравним значения R ² по разным уровням трендов:

Полиномиальный 6-й степени - R ² = 0,994

Экспоненциальный - R ² = 0,975

Линейный - R ² = 0,970

Степенной - R ² = 0,864

Логарифмический - R ² = 0,829

Исходный данные лучше всего описывает полином 6-й степени. Следовательно, для расчета прогнозных значений следует использовать полиномиальное уравнение.

2. Рассчитайте параметры уравнения тренда.

y = - 0,012*531441 + 0,292*59049 – 2,573*6561 +10,34*729 – 17,17*81 + 9,936*9 + 62,25 =

= - 6377,292 + 17242,308 – 16881,453 + 7537,86 - 1390,77 + 89,424 + 62,25 = 282,327

3.Дайте прогноз урожайности культур на следующий год.

Урожайность картофеля, ц/га в 9-ом году приблизительно будет 282 ц/га.