referatmix.ru
  Скачать .docx  

Реферат: Эконометрика

ЗАДАНИЕ

Задача 1. Используя метод парного корреляционно-регрессионного анализа выявить зависимость между объемом продаж (Y) и расходами на рекламу (X). Постройте поле корреляции. Для аппроксимации используйте как минимум 3 вида зависимостей (прямолинейную, параболическую и логарифмическую). Оценить тесноту связи и точность аппроксимации, сделайте выводы о возможности использования модели для прогнозирования.

Расходы на рекламу X Объем продаж Y
1 9 80
2 12 130
3 12 100
4 12 150
5 12 150
6 13 270
7 14 170
8 11 130
9 9 90
10 10 120
11 11 100
12 12 120
13 15 220
14 12 130
15 11 130
16 14 130
17 12 120
18 15 220
19 16 170

Задача 2 Определить зависимость между фактором и результатирующим признаком по данным, приведенным в таблице. Рассчитать коэффициент корреляции, определить вид зависимости, параметры линии регрессии, корреляционное отношение и оценить точность аппроксимации.

N Основная заработная плата (тыс. ден. ед) Расходы по эксплуатации машин и механизмов (тыс. ден. ед)
1 6.3 3.2
2 1.1 0.5
3 2.9 1.2
4 2.5 1.0
5 2.3 0.5
6 4.7 1.6
7 2.5 0.8
8 3.6 1.3
9 5.0 2.1
10 0.7 0.3
11 7.0 3.2
12 1.0 0.5
13 3.1 1.4
14 2.8 1.8
15 1.4 0.3
16 1.0 0.4
17 5.1 2.3
18 2.6 1.0
18 3.8 1.3
20 2.5 1.3

РЕШЕНИЕ

Задача 1

Поле корреляции:

1. Прямолинейная зависимость

Уравнение прямой y = a+ bx , таким образом, используя метод наименьших квадратов, минимизируем функцию . Для нахождения коэффициентов a и b, продифференцируем по каждому параметру a и b приравняем, 0 и получим систему уравнений.


Для вычисления параметров a и b прямой заполняем расчетную таблицу:

X Y XY X^2 Y^2
1 9 80 720 81 6400
2 12 130 1560 144 16900
3 12 100 1200 144 10000
4 12 150 1800 144 22500
5 12 150 1800 144 22500
6 13 270 3510 169 72900
7 14 170 2380 196 28900
8 11 130 1430 121 16900
9 9 90 810 81 8100
10 10 120 1200 100 14400
11 11 100 1100 121 10000
12 12 120 1440 144 14400
13 15 220 3300 225 48400
14 12 130 1560 144 16900
15 11 130 1430 121 16900
16 14 130 1820 196 16900
17 12 120 1440 144 14400
18 15 220 3300 225 48400
19 16 170 2720 256 28900
232 2730 34520 2900 434700
X Y
1 X Y 87.02 0.09 49.31 4055.68
2 9 80 139.97 0.08 99.37 187.26
3 12 130 139.97 0.40 1597.49 1908.31
4 12 100 139.97 0.07 100.63 39.89
5 12 150 139.97 0.07 100.63 39.89
6 12 150 157.62 0.42 12629.81 15955.68
7 13 270 175.27 0.03 27.74 692.52
8 14 170 122.32 0.06 58.99 187.26
9 11 130 87.02 0.03 8.87 2881.99
10 9 90 104.67 0.13 234.98 560.94
11 10 120 122.32 0.22 498.17 1908.31
12 11 100 139.97 0.17 398.75 560.94
13 12 120 192.92 0.12 733.58 5824.10
14 15 220 139.97 0.08 99.37 187.26
15 12 130 122.32 0.06 58.99 187.26
16 11 130 175.27 0.35 2049.05 187.26
17 14 130 139.97 0.17 398.75 560.94
18 12 120 192.92 0.12 733.58 5824.10
19 15 220 210.56 0.24 1645.46 692.52
16 170 2.89 21523.51 42442.11

r = 0.88

r > 0, следовательно, связь прямая.

|r|>0.65 – связь тесная

= 14.17 %

Уравнение аппроксимирующей прямой

=0.88

2. Параболическая зависимость

Уравнение параболы y = a + bx + cx2 . Сделаем замену x=x1 , x2 =x2 , перейдем к уравнению: y = a + bx1 + cx2. Продифференцируем по каждому параметру a, b и с, приравняем к 0, получим систему уравнений:


Для вычисления параметров a, b и с заполняем расчетную таблицу:

X Y XY X^2 Y^2 X^3 X^4 X^2 * Y
1 12 130 1560 144 16900 1728 20736 18720
2 13 170 2210 169 28900 2197 28561 28730
3 12 110 1320 144 12100 1728 20736 15840
4 11 121 1331 121 14641 1331 14641 14641
5 15 130 1950 225 16900 3375 50625 29250
6 12 120 1440 144 14400 1728 20736 17280
7 11 110 1210 121 12100 1331 14641 13310
8 8 70 560 64 4900 512 4096 4480
9 12 140 1680 144 19600 1728 20736 20160
10 12 120 1440 144 14400 1728 20736 17280
11 13 150 1950 169 22500 2197 28561 25350
12 12 120 1440 144 14400 1728 20736 17280
13 14 200 2800 196 40000 2744 38416 39200
14 13 130 1690 169 16900 2197 28561 21970
15 15 240 3600 225 57600 3375 50625 54000
16 16 200 3200 256 40000 4096 65536 51200
17 17 290 4930 289 84100 4913 83521 83810
18 18 290 5220 324 84100 5832 104976 93960
19 17 200 3400 289 40000 4913 83521 57800
253 3041 42931 3481 554441 49381 720697 624261

Получим систему уравнений:

19a+253b+3481c=3041

253a+3481b+49381c=42931

3481a+49381b+720697c=624261

Решим данную систему средствами Matlab:

>> a=[19 253 3481;253 3481 49381;3481 49381 720697]

a =

19 253 3481

253 3481 49381

3481 49381 720697

>> b=[3041;42931;624261]

b =

3041

42931

624261

>> format long

>> a\b

ans =

70.030968707669246

-8.789656532559803

1.130190950098223

Таким образом, a=70.030968707669246

b= -8.789656532559803

c=1.130190950098223

Уравнение аппроксимирующей параболы


X Y
1 12 130 127.30 0.02 7.28 903.16
2 13 170 146.77 0.14 539.74 98.95
3 12 110 127.30 0.16 299.38 2505.27
4 11 121 110.10 0.09 118.86 1525.11
5 15 130 192.48 0.48 3903.64 903.16
6 12 120 127.30 0.06 53.33 1604.21
7 11 110 110.10 0.00 0.01 2505.27
8 8 70 72.05 0.03 4.19 8109.48
9 12 140 127.30 0.09 161.22 402.11
10 12 120 127.30 0.06 53.33 1604.21
11 13 150 146.77 0.02 10.45 101.06
12 12 120 127.30 0.06 53.33 1604.21
13 14 200 168.49 0.16 992.68 1595.79
14 13 130 146.77 0.13 281.16 903.16
15 15 240 192.48 0.20 2258.24 6391.58
16 16 200 218.73 0.09 350.64 1595.79
17 17 290 247.23 0.15 1829.10 16886.32
18 18 290 278.00 0.04 144.02 16886.32
19 17 200 247.23 0.24 2230.86 1595.79
253 3041 2.21 13291.44 67720.95

r = 0.88

r > 0, следовательно, связь прямая.

|r|>0.65 – связь тесная

= 11.65%

= 0.90

Поскольку >r, то кривая лучше аппроксимирует зависимость


3. Логарифмическая зависимость

y = a + b lnx

После замены lnx=z получим линейную зависимость, формулы для вычисления коэффициентов которой известны. После обратной замены получим:

lnX Y lnXY (lnX)^2 Y^2
1 12 2.48 130 323.04 6.17 16900
2 13 2.56 170 436.04 6.58 28900
3 12 2.48 110 273.34 6.17 12100
4 11 2.40 121 290.15 5.75 14641
5 15 2.71 130 352.05 7.33 16900
6 12 2.48 120 298.19 6.17 14400
7 11 2.40 110 263.77 5.75 12100
8 8 2.08 70 145.56 4.32 4900
9 12 2.48 140 347.89 6.17 19600
10 12 2.48 120 298.19 6.17 14400
11 13 2.56 150 384.74 6.58 22500
12 12 2.48 120 298.19 6.17 14400
13 14 2.64 200 527.81 6.96 40000
14 13 2.56 130 333.44 6.58 16900
15 15 2.71 240 649.93 7.33 57600
16 16 2.77 200 554.52 7.69 40000
17 17 2.83 290 821.63 8.03 84100
18 18 2.89 290 838.21 8.35 84100
19 17 2.83 200 566.64 8.03 40000
å 48.86 3041 8003.32 126.34 554441

a= -542.07

b=273.01

Уравнение аппроксимирующей логарифмической зависимости

X lnX Y
1 12 2.48 130 136.33 0.05 40.09 903.16
2 13 2.56 170 158.18 0.07 139.61 98.95
3 12 2.48 110 136.33 0.24 693.36 2505.27
4 11 2.40 121 112.58 0.07 70.95 1525.11
5 15 2.71 130 197.25 0.52 4522.87 903.16
6 12 2.48 120 136.33 0.14 266.73 1604.21
7 11 2.40 110 112.58 0.02 6.64 2505.27
8 8 2.08 70 25.64 0.63 1968.20 8109.48
9 12 2.48 140 136.33 0.03 13.46 402.11
10 12 2.48 120 136.33 0.14 266.73 1604.21
11 13 2.56 150 158.18 0.05 66.98 101.06
12 12 2.48 120 136.33 0.14 266.73 1604.21
13 14 2.64 200 178.42 0.11 465.85 1595.79
14 13 2.56 130 158.18 0.22 794.35 903.16
15 15 2.71 240 197.25 0.18 1827.37 6391.58
16 16 2.77 200 214.87 0.07 221.18 1595.79
17 17 2.83 290 231.42 0.20 3431.25 16886.32
18 18 2.89 290 247.03 0.15 1846.60 16886.32
19 17 2.83 200 231.42 0.16 987.41 1595.79
å 48.86 3041 3.18 17896.35 67720.95

r=0.86

r > 0, следовательно, связь прямая.

|r|>0.65 – связь тесная

=16.71%

=0.86

4. Вывод о возможности использования модели для прогнозирования

Для аппроксимации было использовано 3 вида зависимостей: прямолинейная, параболическая, логарифмическая.

прямолинейная параболическая логарифмическая
Уравнение
r 0.88 0.88 0.86
0.88 0.90 0.86
14.17 % 11.65% 16.71%

Во всех случаях связь прямая и тесная. Точнее всего аппроксимирует парабола, поскольку >r, минимальна и равна 11.65%.

Прямая аппроксимирует зависимость менее точно, т.к. больше - 14.17 %.

Наименее точно аппроксимирует логарифмическая зависимость, т.к. максимальна и равна 16.71%.

Вывод: наилучшая модель для прогнозирования – параболическая, наихудшая – логарифмическая. Это объясняется тем, что выпуклость данных кривых различна.

Задача 2

Используем линейную зависимость. Коэффициенты прямой находятся по формулам

X Y XY X^2 Y^2
1 6.3 3.2 20.16 39.69 10.24
2 1.1 0.5 0.55 1.21 0.25
3 2.9 1.2 3.48 8.41 1.44
4 2.5 1 2.5 6.25 1
5 2.3 0.5 1.15 5.29 0.25
6 4.7 1.6 7.52 22.09 2.56
7 2.5 0.8 2 6.25 0.64
8 3.6 1.3 4.68 12.96 1.69
9 5 2.1 10.5 25 4.41
10 0.7 0.3 0.21 0.49 0.09
11 7 3.2 22.4 49 10.24
12 1 0.5 0.5 1 0.25
13 3.1 1.4 4.34 9.61 1.96
14 2.8 1.8 5.04 7.84 3.24
15 1.4 0.3 0.42 1.96 0.09
16 1 0.4 0.4 1 0.16
17 5.1 2.3 11.73 26.01 5.29
18 2.6 1 2.6 6.76 1
19 3.8 1.3 4.94 14.44 1.69
20 2.5 1.3 3.25 6.25 1.69
61.9 26 108.37 251.51 48.18

Поле корреляции:

N=20

a = -0.14

b= 0.47 => y = -0.14 + 0.47 x

X Y
1 6.3 3.2 2.79 0.13 0.17 3.61
2 1.1 0.5 0.37 0.26 0.02 0.64
3 2.9 1.2 1.21 0.01 0.00 0.01
4 2.5 1 1.02 0.02 0.00 0.09
5 2.3 0.5 0.93 0.86 0.18 0.64
6 4.7 1.6 2.05 0.28 0.20 0.09
7 2.5 0.8 1.02 0.28 0.05 0.25
8 3.6 1.3 1.54 0.18 0.06 4.93038E-32
9 5 2.1 2.19 0.04 0.01 0.64
10 0.7 0.3 0.19 0.38 0.01 1
11 7 3.2 3.12 0.03 0.01 3.61
12 1 0.5 0.32 0.35 0.03 0.64
13 3.1 1.4 1.30 0.07 0.01 0.01
14 2.8 1.8 1.16 0.35 0.41 0.25
15 1.4 0.3 0.51 0.70 0.04 1
16 1 0.4 0.32 0.19 0.01 0.81
17 5.1 2.3 2.23 0.03 0.00 1
18 2.6 1 1.07 0.07 0.00 0.09
19 3.8 1.3 1.63 0.25 0.11 4.93038E-32
20 2.5 1.3 1.02 0.21 0.08 4.93038E-32
61.9 26 4.69 1.39 14.38

Коэффициент корреляции r находится по формуле:

r = 0.95

r > 0, следовательно, связь прямая.

|r|>0.65 – связь тесная

Корреляционное отношение = 0.95

Точность аппроксимации= 23.47%