Реферат: Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство

Задание 1

Приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года).

Требуется:

1) Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания a ₁ =0,3; a ₂ =0,6; a ₃ =0,3.

2) Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.

3) Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

- случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

- независимости уровней ряда остатков по d -критерию (критические значения d ₁ = 1,10 и d ₂ = 1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r ₁ = 0,32;

- нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4) Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

5) Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

Таблица 1

Поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года

Решение

Будем считать, что зависимость между компонентами тренд-сезонный временный ряд мультипликативная. Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса с линейным ростом имеет следующий вид:

, (1)

где k – период упреждения;

Y _р ( t ) — расчетное значение экономического показателя для t -гo периода;

a ( t ) , b ( t ) и F ( t ) - коэффициенты модели; они адаптируются, уточняются по мере перехода от членов ряда с номером t -1 к t ;

F ( t + k - L ) - значение коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель;

L - период сезонности (для квартальных данных L =4 , для месячных – L =12).

Таким образом, если по формуле 1 рассчитывается значение экономического показателя, например за второй квартал, то F ( t + k - L ) как раз будет коэффициентом сезонности второго квартала предыдущего года.

Уточнение (адаптация к новому значению параметра времени t ) коэффициентов модели производится с помощью формул:

; (2)

; (3)

. (4)

Параметры сглаживания a ₁ , a ₂ и a ₃ подбирают путем перебора с таким расчетом, чтобы расчетные данные наилучшим образом соответствовали фактическим (т.е. чтобы обеспечить удовлетворительную адекватность и точность модели).

Из формул 1 - 4 видно, что для расчета а (1) и b (1) необходимо оценить значения этих коэффициентов для предыдущего период времени (т.е. для t =1-1=0). Значения а (0) и b (0) имеют смысл этих же коэффициентов для четвертого квартала года, предшествующего первому году, для которого имеются данные в табл. 1.

Для оценки начальных значений а (0) и b (0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y ( t ) из табл. 1. Линейная модель имеет вид:

. (5)

Метод наименьших квадратов дает возможность определить коэффициенты линейного уравнения а (0) и b (0) по формулам 6 - 9:

; (6)

; (7)

; (8)

. (9)

Применяя линейную модель к первым 8 значениям ряда из таблицы 1 (т.е. к данным за первые 2 года), находим значения а (0) и b (0). Составим вспомогательную таблицу для определения параметров линейной модели:

Таблица 2

Уравнение (5) с учетом полученных коэффициентов имеет вид: Y_p ( t ) =31,714+0,869·t . Из этого уравнения находим расчетные значения Y _р ( t ) и сопоставляем их с фактическими значениями (табл. 3). Такое сопоставление позволяет оценить приближенные значения коэффициентов сезонности I-IV кварталов F (-3) , F (-2) , F (-1) и F (0) для года, предшествующего первому году, по которому имеются данные в табл. 1. Эти значения необходимы для расчета коэффициентов сезонности первого года F (1), F (2), F (3), F (4) и других параметров модели Хольта-Уинтерса по формулам 1 - 4.

Таблица 3

Сопоставление фактических данных Y ( t ) и рассчитанных по линейной модели значений Y_p ( t )

Коэффициент сезонности есть отношение фактического значения экономического показателя к значению, рассчитанному по линейной модели. Поэтому в качестве оценки коэффициента сезонности I квартала F (-3) может служить отношение фактических и расчетных значений Y ( t ) I квартала первого года, равное Y (1) /Y _р (1) , и такое же отношение для I квартала второго года (т.е. за V квартал t =5) Y (5)/ Y р(5) . Для окончательной, более точной, оценки этого коэффициента сезонности можно использовать среднее арифметическое значение этих двух величин.

F (-3) = [ Y (1) / Y_p (1) + Y (5) / Y_p (5) ] / 2=[ 28 / 32,583 + 31 / 36,060 ] / 2 = 0,8595.

Аналогично находим оценки коэффициента сезонности для II, III и IV кварталов:

F (-2) = [Y (2) / Y_p (2) + Y (6) / Y_p (6) ] / 2 = 1,0797;

F (-1) = [Y (3) / Y_p (3) + Y (7) / Y_p (7) ] / 2 = 1,2746;

F (0) = [Y (4) / Y_p (4) + Y (8) / Y_p (8) ] / 2 = 0,7858.

Оценив значения а (0), b (0), а также F (-3), F (-2), F (-1) и F (0), можно перейти к построению адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса с помощью формул 1 - 4.

Из условия задачи имеем параметры сглаживания a ₁ =0,3; a ₂ =0,6; a ₃ =0,3. Рассчитаем значения Y_p (t ), a (t ), b (t ) и F (t ) для t =l.

Из уравнения 1, полагая что t =0, k =1, находим Y _р (1) :

Из уравнений 2 - 4, полагая что t =1, находим:

;

;

.

Аналогично рассчитаем значения Y_p ( t ), a ( t ), b ( t ) и F ( t ) для t =2:

;

;

;

для t =3:

;

;

;

для t =4:

;

;

;

для t =5:

Обратим внимание на то, что здесь и в дальнейшем используются коэффициенты сезонности F ( t - L ) , уточненные в предыдущем году (L =4):

;

;

;

Продолжая аналогично для, t = 6,7,8,…,16 строят модель Хольта-Уинтерса (табл. 4). Максимальное значение t , для которого можно находить коэффициенты модели, равно количеству имеющихся данных по экономическому показателю Y ( t ) . В нашем примере данные приведены за 4 года, то есть за 16 кваралов. Максимальное значение t равно 16.

Таблица 4

Модель Хольта-Уинтерса

Проверка качества модели

Для того чтобы модель была качественной уровни, остаточного ряда E(t) (разности Y(t)-Yp(t) между фактическими и расчетными значениями экономического показателя) должны удовлетворять определенным условиям (точности и адекватности). Для проверки выполнения этих условий составим таблицу 5.

Проверка точности модели

Будем считать, что условие точности выполнено, если относительная погрешность (абсолютное значение отклонения abs {E ( t ) }, поделенное на фактическое значение Y ( t ) и выраженное в процентах 100%·abs {E ( t ) }/Y ( t ) ) в среднем не превышает 5%. Суммарное значение относительных погрешностей (см. гр. 8 табл. 4) составляет 21,25, что дает среднюю величину 21,25/16 = 1,33%.

Следовательно, условие точности выполнено.

Таблица 5

Промежуточные расчеты для оценки адекватности модели

Проверка условия адекватности

Для того чтобы модель была адекватна исследуемому процессу, ряд остатков E ( t ) должен обладать свойствами случайности, независимости последовательных уровней, нормальности распределения.

Проверка случайности уровней . Проверку случайности уровней остаточной компоненты (гр. 2 табл. 5) проводим на основе критерия поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда E ( t ) сравниваем с двумя соседними. Если он больше (либо меньше) обоих соседних уровней, то точка считается поворотной и в гр. 3 табл. 5 для этой строки ставится 1, в противном случае в гр. 3 ставится 0. В первой и последней строке гр. 3 табл. 5 ставится прочерк или иной знак, так как у этого уровня нет двух соседних уровней.

Общее число поворотных точек в нашем примере равно р = 10.

Рассчитаем значение q :

.

Функция int означает, что от полученного значения берется только целая часть. При N = 16

.

Если количество поворотных точек р больше q , то условие случайности уровней выполнено. В нашем случае р = 10, q = 6, значит условие случайности уровней ряда остатков выполнено.

Проверка независимости уровней ряда остатков (отсутствия автокорреляции) . Проверку проводим двумя методами:

1) по d -критерию Дарбина-Уотсона;

2) по первому коэффициенту автокорреляции r (1).

1) .

Примечание . В случае если полученное значение больше 2, значит, имеет место отрицательная автокорреляция. В таком случае величину d уточняют, вычитая полученное значение из 4. Находим уточненное значение d `= 4-2,47=1,53

Полученное (или уточненное) значение d сравнивают с табличными значениями d ₁ и d ₂ . Для нашего случая d ₁ =1,08, а d ₂ =1,36.

Если 0<d <d ₁ , то уровни автокоррелированы, то есть, зависимы, модель неадекватна.

Если d ₁ <d <d ₂ , то критерий Дарбина-Уотсона не дает ответа на вопрос о независимости уровней ряда остатков. В таком случае необходимо воспользоваться другими критериями (например, проверить независимость уровней по первому коэффициенту автокорреляции).

Если d ₂ <d <2 , то уровни ряда остатков являются независимыми.

В нашем случае d ₂ <d ` <2 , следовательно уровни ряда остатков являются независимыми.

2)

Если модуль рассчитанного значения первого коэффициента автокорреляции меньше критического значения | r (1) | < r _та6 , то уровни ряда остатков независимы. Для нашей задачи критический уровень r _та6 = 0,32. Имеем: | r (1) | = 0,26 < r _таб = 0,32 - значит уровни независимы.

Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению определяем по RS -критерию . Рассчитаем значение RS :

,

где Е _max - максимальное значение уровней ряда остатков E ( t ) ;

E_min - минимальное значение уровней ряда остатков E ( t ) (гр. 2 табл. 5):

S - среднее квадратическое отклонение.

Е _max =2,12, E_min =-0,97, Е _max -E_min = 2,12 - (-0,97) = 3,09;

Полученное значение RS сравнивают с табличными значениями, которые зависят от количества точек N и уровня значимости. Для N =16 и 5%-го уровня значимости значение RS для нормального распределения должно находиться в интервале от 3,00 до 4,21.

Так как 3,00 < 4,02 < 4,21, полученное значение RS попало в заданный интервал. Значит, уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.

Расчет прогнозных значений экономического показателя

Составим прогноз на четыре квартала вперед (т.е. на 1 год, с t =17 по t =20). Максимальное значение t , для которого могут быть рассчитаны коэффициенты a ( t ) , b ( t ) определяется количеством исходных данных и равно 16. Рассчитав значения а (16) и b (16) (см. табл. 4), по формуле 1 можно определить прогнозные значения экономического показателя Y_p ( t ) . Для t =17 имеем:

Аналогично находим Y_p (18), Y_p (19), Y_p (20):

Ha нижеприведенном рисунке проводится сопоставление фактических и расчетных данных. Здесь же показаны прогнозные значения цены акции на 1 год вперед. Из рисунка видно, что расчетные данные хорошо согласуются с фактическими, что говорит об удовлетворительном качестве прогноза.

Рис. Сопоставление расчетных и фактических данных

Задание 2

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:

- экспоненциальную скользящую среднюю;

- момент;

- скорость изменения цен;

- индекс относительной силы;

- %R , %К и %D .

Расчеты проводить для дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.

Таблица 6

Решение.

Экспоненциальная скользящая средняя (ЕМА). При расчете ЕМА учитываются все цены предшествующего периода, а не только того отрезка, который соответствует интервалу сглаживания. Однако последним значениям цены придается большее значение, чем предшествующим. Расчеты проводятся по формуле:

,

где k =2/(n +1), n – интервал сглаживания;

C_t – цена закрытия t -го дня;

ЕМА _t – значения ЕМА текущего дня t .

Составим таблицу рассчитанных значений ЕМА :

Таблица 7

Приведем алгоритм расчета.

1. Выбрать интервал сглаживания n (в нашем случае n = 5).

2. Вычислить коэффициент k (k = 2/(n + 1) = 2/(5 + 1) = 1/3).

3. Вычислить МА для первых 5 дней. Для этого сложим цены закрытия за первые 5 дней. Сумму разделим на 5 и запишем в графу ЕМА_t за 5-ый день.

4. Перейти на одну строку вниз по графе ЕМА_t . Умножить на k данные по конечной цене текущей строки.

5. Данные по ЕМА_t за предыдущий день взять из предыдущей строки и умножить на (1- k ).

6. Сложить результаты, полученные на предыдущих двух шагах. Полученное значение ЕМА_t записать в графу текущей строки.

7. Повторить шаги 4, 5 и 6 до конца таблицы.

Построим график ЕМА_t .

Момент (МОМ). Момент рассчитывается как разница конечной цены текущего дня C_t и цены n дней тому назад C_{t - n} .

,

где C_t – цена закрытия t -го дня;

МОМ _t – значения МОМ текущего дня t .

Составим таблицу рассчитанных значений МОМ :

Таблица 8

Построим график МОМ _t .

Положительные значения МОМ свидетельствуют об относительном росте цен, отрицательные – о снижении. Движение графика момента вверх из зоны отрицательных значений является слабым сигналом покупки до пересечения с нулевой линией. График момента пересекает нулевую линию в районе 7-8-го дня, а затем снова снижатся.

Скорость изменения цен . Похожий индикатор, показывающий скорость изменения цен (ROC ), рассчитывается как отношение конечной цены текущего дня к цене n дней тому назад, выраженное в процентах.

,

где C_t – цена закрытия t -го дня;

R О C_t – значения R О C текущего дня t .

Составим таблицу рассчитанных значений R О C :

Таблица 9

Построим график R О C_t .

ROC является отражением скорости изменения цены, а также указывает направление этого изменения. Графическое отображение и правила работы ничем не отличаются от момента. В качестве нулевой линии используется уровень 100%. Этот индикатор также показал сигнал к покупке в районе 7-8-го дня.

Индекс относительной силы ( RSI ). Наиболее значимым осциллятором, расчет которого предусмотрен во всех компьютерных программах технического анализа, является индекс относительной силы.

Для расчета применяют формулу:

,

где AU – сумма приростов конечных цен за n последних дней;

AD – сумма убыли конечных цен за n последних дней.

Рассчитывается RSI следующим образом (таблица 10).

1. Выбираем интервал n (в нашем случае n =5).

2. Начиная со 2-го дня до конца таблицы, выполняем следующую процедуру. Вычитаем из конечной цены текущего дня конечную цену предыдущего дня. Если разность больше нуля, то ее записываем в графу «Повышение цены». Иначе абсолютное значение разности записываем в графу «Понижение цены».

3. С 6-го дня и до конца таблицы заполняем графы «Суммы повышений» и «Суммы понижений». Для этого складывают значения из графы «Повышение цены» за последние 5 дней (включая текущий) и полученную сумму записываем в графу «Суммы повышений» (величина AU в формуле). Аналогично находят сумму убыли конечных цен по данным графы «Понижение цены» и записываем в графу «Суммы понижений» (величина AD в формуле).

4. Зная AU и AD, по формуле рассчитываем значение RSI и записываем в графу RSI.

Таблица 10

Построим график RSI .

Зоны перепроданности располагаются обычно ниже 25-20, а перекупленности – выше 75-80%. Как видно из рисунка, индекс относительной силы вышел из зоны, ограниченной линией 25%, на 7-8 день (сигнал к покупке).

Стохастические линии. Если МОМ, ROC и RSI используют только цены закрытия, то стохастические линии строятся с использованием более полной информации. При их расчете используются также максимальные и минимальные цены. Как правило, применяются следующие стохастические линии: % R , %К и % D .

,

где %К _t – значение индекса текущего дня t ;

C_t – цена закрытия t -го дня;

L ₅ и H ₅ – минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней, включая текущий (в качестве интервала может быть выбрано и другое число дней).

Похожая формула используется для расчета % R :

,

где % R_t – значение индекса текущего дня t ;

C_t – цена закрытия t -го дня;

L ₅ и H ₅ – минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней, включая текущий.

Индекс % D рассчитывается аналогично индексу %К , с той лишь разницей, что при его построении величины (C_t - L ₅ ) и (H ₅ - L ₅ ) сглаживают, беря их трехдневную сумму.

Ввиду того что %D имеет большой статистический разброс, строят еще ее трехдневную скользящую среднюю – медленное %D.

Составим таблицу 11 для нахождения всех стохастических линий.

1. В графах 1-4 приведены дни по порядку и соответствующие им цены (максимальная, минимальная и конечная).

2. Начиная с 5-го дня в графах 5 и 6 записываем максимальную и минимальную цены за предшествующие 5 дней, включая текущий.

3. В графе 7 записываем (C_t - L ₅ ) – разность между данными графы 4 и графы 6.

4. Графу 8 составляют значения разности между данными графы 5 и графы 4, т.е. результат разности (H ₅ - C_t ).

5. Размах цен за 5 дней (H ₅ - L ₅ ) – разность между данными графы 5 и графы 6 записываем в графу 9.

6. Рассчитанные по формуле значения %K заносим в графу 10.

7. В графу 11 заносим значения %R, рассчитанные по формуле.

8. Шаги 2-7 повторяем для 6-й, 7-й строки и т.д. до конца таблицы.

9. Для расчета %D, начиная с 7-й строки, складываем значения C_t - L ₅ из графы 7 за 3 предыдущих дня, включая текущий (t=5, 6 и 7), и записываем в графе 12. Аналогично значения размаха (H ₅ - L ₅ ) из графы 9 складываем за 3 предшествующих дня и заносим в графу 13.

10. По формуле, используя данные граф 12 и 13, рассчитываем %D и записываем в графу 14.

11. Шаги 9 и 10 повторяем для 8-й, 9-й и 10-й строк.

12. Медленное %D находим как скользящую среднюю от %D (данные берем из графы 14) с интервалом сглаживания, равным трем. Результат записываем в графу 15.

Таблица 11

Построим стохастические линии:

Смысл индексов %К и %R состоит в том, что при росте цен цена закрытия бывает ближе к максимальной, а при падении цен наоборот – ближе к минимальной. Индексы %R и %К проверяют, куда больше тяготеет цена закрытия.

Задание 3

3.1. Банк выдал ссуду, размером 500 000 руб. Дата выдачи ссуды – 21.01.02, возврата – 11.03.02. Дата выдачи и день возврата считать за один день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке 10% годовых. Найти:

3.1.1) точные проценты с точным числом дней ссуды;

3.1.2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;

3.1.3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

Решение

Используем формулы ; :

3.1.1) , , руб.

3.1.2) , , руб.

3.1.3) , , руб.

3.2. Через 180 дней после подписания договора должник уплатит 500 000 руб. Кредит выдан под 10% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?

Решение

Используем формулу:

руб.

Дробь в правой части равенства при величине S называется дисконтным множителем . Этот множитель показывает, какую долю составляет первоначальная сумма ссуды в окончательной величине долга. Дисконт суммы S равен руб.

3.3. Через 180 дней предприятие должно получить по векселю 500 000 руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке 10% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.

Решение

Используем формулы , .

руб.

руб.

3.4. В кредитном договоре на сумму 500 000 руб. и сроком на 4 года зафиксирована ставка сложных процентов, равная 10% годовых. Определите наращенную сумму.

Решение

Воспользуемся формулой наращения для сложных процентов:

руб.

3.5. Ссуда, размером 500 000 руб. предоставлена на 4 года. Проценты сложные, ставка – 10% годовых. Проценты начисляются 2 раза в год. Вычислить наращенную сумму.

Решение

Начисление процентов два раза в год, т.е. m=2. Всего имеется N = 4·2 =8 периодов начислений. По формуле начислений процентов по номинальной ставке: находим:

руб.

3.6. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты 2 раза в год, исходя из номинальной ставки 10% годовых.

Решение

По формуле находим:

, т.е. 10,25%.

3.7. Определить какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов 2 раза в год, чтобы обеспечить эффективную ставку 10% годовых.

Решение

По формуле находим:

, т.е. 9,76%

3.8. Через 4 года предприятию будет выплачена сумма 500 000 руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка 10% годовых.

Решение

По формуле находим:

руб.

3.9. Через 4 года по векселю должна быть выплачена сумма 500 000 руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке 10% годовых. Определить дисконт.

Решение

Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле:

руб.

Дисконт суммы S равен:

руб.

3.10. В течение 4 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 500 000 руб., на которые 2 раза в год начисляются проценты по сложной годовой ставке 10%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Решение

По формуле находим:

руб.