Реферат: Расчёт статически определимых и неопределимых систем матричным способом в среде MATLAB

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

«Институт Транспорта»

Кафедра «Теоретическая и прикладная механика»

КУРСОВАЯ РАБОТА

«Расчёт статически определимых и неопределимых систем матричным способом

в среде MATLAB »

вариант №1

Выполнил: студент группы ДПМ-05 Жиряков Н.С.

Проверил: Пономарёва Т.М.

ТЮМЕНЬ 2008

Оглавление:

1. Введение

1.1 Краткие сведения из теории матриц

1.2 Матричная форма определения перемещения по правилу Верещгина

1.3 Матричная форма расчета статически неопределимых рам методом сил

2. Расчет статически определимой рамы

2.1. Аналитическое решение

2.2. Матричный способ расчета

2.3. Программа в среде Matlab 6.5

2.4. Результаты выполнения программы

3.Расчет статически неопределимой рамы

3.1. Аналитическое решение

3.2. Матричный способ расчета

3.3. Программа в среде Matlab 6.5

3.4. Результаты выполнения программы

4. Литература

1. Введение

1.1. Краткие сведения из теории матриц.

В связи с широким применением для расчета конструкций современных вычислительных средств стало возможным использование таких расчетных схем сооружений, которые более точно отражают действительную работу сооружений, более полно учитывают те или иные особенности реальной конструкции.

При использовании ЭВМ для расчета сооружений применяется матричная форма записи всех исходных данных для выбранной расчетной схемы. Расчет сооружения сводится к выполнению ряда операций матричной алгебры. Рассмотрим основные понятия о матрицах, применяемых при решении задач в строительной механике.

Матрицей А порядка m*n называется прямоугольная таблица элементов, состоящая из m строк и n столбцов:

или .

Сокращенную запись этой матрицы можно привести в виде

А=|| a_ij || или A=(a_ij ), 1≤i≤m, 1≤j≤n.

Матрицу, состоящую из одной строки (m=1), называют матрицей – строкой и записывают кратко:[A]=[a₁ a₂ ...a_n ]=[a_i ].

Ряд матриц имеет специальные названия и обозначения. Если m=n, то матрица называется квадратной, а число n (или m) – ее порядком. Матрица, у которой все элементы равны нулю, называется нулевой. Квадратная матрица, у которой отличны от нуля лишь диагональные элементы (а_ij =0 при i≠j), называется диагональной. Она имеет вид

.

Диагональная матрица, ненулевые элементы которой а_ij =1, называется единичной и обозначается буквой Е.

.

Матрица, у которой строки являются столбцами заданной матрицы, называется транспонированной по отношению к заданной и обозначается А^Т . Так по отношению к заданной матрице А=|| a_ij ||, если поменять в ней местами строки и столбцы, транспонированной будет матрица А^Т =|| a_ij || называется неособенной или невырожденной, если ее определитель DetA не равен нулю. При DetA=0 матрица называется особенной (вырожденной).

Обратной матрицей А^-1 по отношению к данной квадратной матрице А называется матрица, удовлетворяющая соотношению

АА^-1 =Е.

Сложение или вычитание возможно только для прямоугольных матриц одного порядка, при этом сумма матриц порядка m*n дает матрицу того же порядка. Элементы суммарной матрицы равны сумме соответствующих элементов складывающих матриц, т.е.

.

Произведением прямоугольной матрицы А на постоянное число λ называется матрица, все элементы которой получены из элементов а_ij умножаем на число λ:

.

Две матрицы могут быть перемножаем лишь тогда, когда число столбцов матрицы А(m*р) равно числу строк матрицы В(р*n). При перемножении получают матрицу С(m*n). Каждый элемент матрицы произведения равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В, т . е. имеем матрицу С с элементами

с_ij =a_{i 1} b_{1 j} +a_{i 2} b_{2 j} +...a_ip b_pj ;

i=1,...,m; j=1,...,n.

Произведение матриц в отличие от алгебраических операций не подчиняется переместительному закону, т. е. АВ≠ВА.

Из общего правила умножения следует: умножение матрицы на матрицу – столбец дает матрицу – столбец; умножение матрицы – строки на матрицу дает матрицу – строку; произведение матрицы – строки на матрицу – столбец дает число.

1.2. Матричная форма определения перемещений по правилу Верещагина.

Перемножение эпюр по правилу Верещагина может быть выполнено в матричной форме. Пусть, например, необходимо произвести на участке n перемножение грузовой эпюры М_к на эпюру от единичной силы, приложенной в направлении искомого перемещения М_i (рис.1,а). По формуле

,

где ω_M , ω_N, ω_Q – площади эпюр усилий M, N, Q от заданной нагрузки (грузовые эпюры);

, , - значения ординат на эпюрах от единичных сил под центром тяжести площади грузовой эпюры.

получим

где ω_Мк - площадь эпюры М_к , которую разбиваем на три простейшие фигуры; у_{М i} – значение момента на эпюре М_i под центром тяжести эпюры М_к ; I_n – момент инерции поперечного сечения на данном участке.

Полученное выражение можно представить в виде произведения матрицы-строки на матрицу-столбец следующим образом:

В свою очередь матрицу-строку последнего равенства можно записать в виде произведения матрицы-строки

на матрицу коэффициентов

Таким образом, перемножение эпюр на участке n в матричной форме можно записать следующим образом:

где - транспонированная матрица-столбец моментов по концам участка l_n эпюры М_i ; D_n - матрица коэффициентов, которая носит название матрицы податливости для данного участка; - матрица-столбец моментов по концам участка l_n эпюры М_к .

Матрица-столбец составлена из моментов, действующих по концам данного участка, и стрелы подъема f параболического сегмента. Если на каком-либо участке отсутствует распределенная нагрузка, то f=0. Например, для участка n+1 (рис.1,б) имеем

;

.

При суммировании результатов перемножения эпюр на отдельных участках в матричной форме получим

.

В большинстве случаев при составлении матриц {M_i } и {M_k } равные моменты на стыках сопряженных участков можно записать один раз, но при этом матрицу податливости нужно как бы сжать на один столбец и одну строку, сложив положившиеся элементы матрицы. Например, при суммировании результатов перемножения на участках n и n+1(рис.1, а, б) можно вместо матрицы податливости вида

записать матрицу

.

Таким образом, для определения перемещения в данном направлении используется следующее матричное равенство:

,

где {M₁ }^T – транспонированная матрица-столбец моментов эпюры от единичной силы, приложенной в направлении искомого перемещения; D-матрица податливости системы; {M_p } - матрица-столбец моментов эпюры от заданной нагрузки.

При определении перемещений в нескольких направлениях перемножают одну и ту же грузовую эпюру на эпюру от единичных сил, приложенных в направлении искомых перемещений. Это можно записать одним матричным равенством:

{Δ}={M_i }^T D{M_p },

где {Δ} - вектор искомых перемещений;{M_i }^T – транспонированная матрица моментов от единичных сил, приложенных по направлению искомых перемещений.

1.3. Матричная форма расчета статически неопределимых рам методом сил.

Рассмотрим основные приемы матричной формы расчета статически неопределимых рам методом сил на примере простой рамы (рис.2).

Для определения коэффициентов и свободных членов канонических уравнений запишем правило Верещагина в матричной форме:

;

;

.

Определение коэффициентов δ₁₁ , δ₁₂ , δ₂₂ можно записать одной матричной записью

.

В сокращенной форме эта запись имеет вид

δ_ik =М_ik ^Т DM_ik ,

где δ_ik -матрица коэффициентов канонических уравнений; М_ik ^Т - транспонированная матрица моментов от единичных сил.

Для определения вектора грузовых перемещений воспользуемся формулой (2). Имеем

.

Систему канонических уравнений также можно записать в матричной форме

,

где {X_i } - вектор искомых усилий.

Это уравнение в матричной форме решается путем обращения матрицы δ_ik , т. е.

,

где δ_ik ^-1 – обратная матрица по отношению к матрице δ_ik .

В нашем случае

,

а обратная матрица имеет вид

.

Решение системы канонических уравнений дает

.

Окончательные значения внутренних силовых факторов определяются по формулам

где - соответственно значения изгибающих моментов, поперечных и продольных сил в основной системе от заданной нагрузки; - соответственно значения изгибающих моментов, поперечных и продольных сил от единичных нагрузок, приложенных в направлениях действия лишних неизвестных.

В матричной форме их можно записать так:

где - векторы внутренних сил в основной системе от заданных нагрузок; - матрицы усилий от единичных нагрузок, приложенных в направлении действия лишних неизвестных; {X_i } – вектор искомых усилий.

Матричная формула полного решения задачи методом сил имеет следующий вид:

.

2.1.

Дано: P=14 кН q=6 кН/м Найти: Перемещение точки Е

Решение:

Данная система статически определима, так как число неизвестных реакций равно числу уравнений статики.

1. Строим грузовую эпюру .

Находим изгибающие моменты участков рамы.

2. Приложим в точке Е вертикальную нагрузку .

Строим единичную эпюру .

3. Приложим в точке Е горизонтальную нагрузку .

Строим единичную эпюру .

4. Строим эпюру .

5. Вычисляем единичные коэффициенты системы канонических уравнений по формуле Мора:

6. Находим свободные члены системы по формуле Мора для прямолинейных участков, а для участков с распределенной нагрузкой по формуле Симпсона:

7. Проверка.

По формуле проверяем правильность найденных единичных коэффициентов:

Проверка выполняется, т.е. единичные коэффициенты найдены верно.

Аналогично, для проверки правильности найденных свободных членов, используя выражение получаем:

Очевидно, что , следовательно, свободные члены найдены верно. Значит эпюры построены правильно.

2.2. Матричный способ расчёта

Для определения вертикального перемещения перемножим эпюры и отдельно на горизонтальном и вертикальном участках и просуммируем результаты. На первом участке имеем вертикальное перемещение

где – транспонированная матрица-столбец моментов эпюры от единичной силы на первом участке;

– матрица податливости первого участка грузовой эпюры , в том случае, когда на участке присутствует распределённая нагрузка; - длина первого участка;

– матрица-столбец моментов эпюры от заданной нагрузки на первом участке.

На втором участке имеем вертикальное перемещение

где – транспонированная матрица-столбец моментов эпюры от единичной силы на втором участке;

– матрица податливости второго участка грузовой эпюры , в том случае, когда на участке отсутствует распределённая нагрузка; - длина второго участка;

– матрица-столбец моментов эпюры от заданной нагрузки на втором участке.

На третьем участке имеем вертикальное перемещение

где – транспонированная матрица-столбец моментов эпюры от единичной силы на третьем участке;

– матрица податливости третьего участка грузовой эпюры , в том случае, когда на участке отсутствует распределённая нагрузка; - длина третьего участка;

– матрица-столбец моментов эпюры от заданной нагрузки на третьем участке.

На четвёртом участке имеем вертикальное перемещение

где – транспонированная матрица-столбец моментов эпюры от единичной силы на четвёртом участке;

– матрица податливости третьего участка грузовой эпюры , в том случае, когда на участке отсутствует распределённая нагрузка; - длина четвёртого участка;

– матрица-столбец моментов эпюры от заданной нагрузки на четвёртом участке.

Находим суммарное вертикальное перемещение

Для определения горизонтального перемещения перемножим эпюры и отдельно на горизонтальном и вертикальном участках и просуммируем результаты. На первом участке имеем вертикальное перемещение

где – транспонированная матрица-столбец моментов эпюры от единичной силы на первом участке;

На втором участке имеем вертикальное перемещение

где – транспонированная матрица-столбец моментов эпюры от единичной силы на втором участке;

На третьем участке имеем вертикальное перемещение

где – транспонированная матрица-столбец моментов эпюры от единичной силы на третьем участке;

На четвёртом участке имеем вертикальное перемещение

где – транспонированная матрица-столбец моментов эпюры от единичной силы на четвёртом участке;

Находим суммарное вертикальное перемещение

Полное перемещение находим по формуле

2.3.Программа в среде Matlab 6.5

L1=5; L2=10; L3=5; L4=5;

M11=[0,0];

D1=L1/6*[2,2,1;1,2,2]

Mp1=[0;18.5;30];

%Вертикальное перемещение точки Е рамы на первом участке:

delta11p=M11*D1*Mp1

M21=[0,-10];

D2=L2/6*[2,1;1,2]

Mp2=[75;75];

%Вертикальное перемещение точки Е рамы на втором участке:

delta21p=M21*D2*Mp2

M31=[0,0];

D3=L3/6*[2,1;1,2]

Mp3=[0;70];

%Вертикальное перемещение точки Е рамы на третьем участке:

delta31p=M31*D3*Mp3

M41=[-10,-10];

D4=L4/6*[2,1;1,2]

Mp4=[145;65];

%Вертикальное перемещение точки Е рамы на четвёртом участке:

delta41p=M41*D4*Mp4

%Суммарное вертикальное перемещение:

d1=delta11p+delta21p+delta31p+delta41p

M12=[0,5];

%Горизонтальное перемещение точки Е рамы на первом участке:

delta12p=M12*D1*Mp1

M22=[5,5];

%Горизонтальное перемещение точки Е рамы на втором участке:

delta22p=M22*D2*Mp2

M32=[0,0];

%Горизонтальное перемещение точки Е рамы на третьем участке:

delta32p=M32*D3*Mp3

M42=[5,5];

%Горизонтальное перемещение точки Е рамы на четвёртом участке:

delta42p=M42*D4*Mp4

%Суммарное горизонтальное перемещение:

d2=delta12p+delta22p+delta32p+delta42p

%Полное перемещение точки Е:

d=sqrt(d1.^2+d2.^2)

2.4.Результаты выполнения программы

D1 =

1.6667 1.6667 0.8333

0.8333 1.6667 1.6667

delta11p =

0

D2 =

3.3333 1.6667

1.6667 3.3333

delta21p =

-3750

D3 =

1.6667 0.8333

0.8333 1.6667

delta31p =

0

D4 =

1.6667 0.8333

0.8333 1.6667

delta41p =

-5250

d1 =

-9000

delta12p =

404.1667

delta22p =

3750

delta32p =

0

delta42p =

2625

d2 =

6.7792e+003

d =

1.1268e+004

3.1.

Решение:

1. Степень статической неопределимости:

2. Система канонических уравнений метода сил:

3. Составляем основную систему метода сил.

4. Строим эпюры , , , по характерным точкам на растянутых волокнах.

:

Определяем реакции:

Выполняем проверку правильности найденных реакций:

Следовательно реакции найдены верно.

Cтроим эпюру:

:

Находим опорные реакции:

Проверка:

Следовательно реакции найдены верно. Строим эпюру.

:

Находим опорные реакции:

Cтроим эпюру.

Cтроим эпюру путём сложения и .

5. Находим и .

Проверка:

Проверка выполняется.

Проверка:

6. Находим ,

7. Эпюра

кН∙м

кН∙м

кН∙м

кН∙м

кН∙м

кН∙м

кН∙м

кН∙м

8.

кН

кН

кН

кН

9.

кН

кН

10. Статическая проверка

Статическая проверка выполняется.

Реакции и найдены следующим образом:

Определяем реакции:

Выполняем проверку правильности найденных реакций:

Следовательно реакции найдены верно.

3.2. Матричный способ расчёта.

1. Составим матрицы единичных, грузовой и суммарно-единичных эпюр:

2. Запишем матрицы податливости участков нагружения:

3. Матрица податливости необъединённых участков нагружения:

4. Находим матрицу податливости рамы:

5. Находим матрицу-столбец грузовых членов канонических уравнений метода сил:

Примем , что – сумма грузовых членов и – сумма единичных коэффициентов канонических уравнений метода сил.

Что подтверждает правильность найденных коэффициентов.

6. Находим основные неизвестные канонических уравнений по формуле:

Для этого производим обращение матрицы:

и определяем Х₁ и Х₂ :

.

7. Окончательную эпюру изгибающих моментов строим по суммарной формуле :

.

Кинематическая проверка

8. Составим матрицы перерезывающих сил от грузовой и единичных эпюр и найдём окончательную эпюру по формуле :

9. Найдём окончательную эпюру продольных сил по формуле :

3.3. Программа в среде MATLAB 6.5

%Матрица моментов единичных эпюр

M=[0 0;-0.5 -2;-1 -4;-1 4;-0.5 2;-0.5 2;0 0;0 -8;0 0]

%Матрица моментов грузовой эпюры

Mp0=[0;0;0;0;3;-3;0;0;0]

%Матрица податливости необъединённых участков нагружения

D0=[0.0555 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0.2222 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0.0555 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0.0555 0.0278 0 0 0 0;0 0 0 0.0278 0.0555 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0.0555 0.0278 0 0;0 0 0 0 0 0.0278 0.0555 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0.8889 0.4444;0 0 0 0 0 0 0 0.4444 0.8889]

%Матрица податливости рамы

D=M'*D0*M

%Матрица-столбец грузовых членов канонических уравнений метода сил

Dp=M'*D0*Mp0

%Матрица моментов суммарной эпюры

Ms=[0;-2.5;-5;3;1.5;1.5;0;-8;0]

%Сумма грузовых членов

summadeltaip=Mp0'*D0*Ms

%Сумма единичных коэффициентов канонических уравнений метода сил

summabik=Ms'*D0*Ms

%Обращение матрицы D

Dminus1=(1/(0.2223*60.4432-0*0))*[60.4432 0.0000;0.0000 0.2223]

%Основные неизвестные Х

X=-Dminus1*Dp

%Матрица окончательной эпюры изгибающих моментов

Mp=M*X+Mp0

%Матрица единичной эпюры М1

M1=[0;-0.5;-1;-1;-0.5;-0.5;0;0;0]

%Кинематическая проверка

Delta1p=M1'*D0*Mp

%Матрица эпюры перерезывающих сил от грузовой эпюры

Qp0=[0;0;0;-3;-3;-3;-3;0;0]

%Матрица эпюр перерезывающих сил от единичных эпюр

Q=[0.5 2;0.5 2;0.5 2;-0.5 2;-0.5 2;-0.5 2;-0.5 2;0 1;0 1]

%Матрица эпюры перерезывающих сил от окончательной эпюры

Qp=Q*X+Qp0

%Эпюра продольных сил от эпюры Np0

Np0=[0;0;0;0;0;0;0;3;3]

%Эпюра продольных сил от эпюры N1 и N2

N=[0 -1;0 -1;0 -1;0 0;0 0;0 0;0 0;1 0;1 0]

%Эпюра продольных сил от эпюры Np

Np=N*X+Np0

%Статическая проверка

summaFx=-0.055+0.055

summaFy=3.1765+3.1985-0.375-6

summaMa=-6.397+6.397

3.4. Результаты выполнения программы

M =

0 0

-0.5000 -2.0000

-1.0000 -4.0000

-1.0000 4.0000

-0.5000 2.0000

-0.5000 2.0000

0 0

0 -8.0000

0 0

Mp0 =

0

0

0

0

3

-3

0

0

0

D0 =

Columns 1 through 8

0.0555 0 0 0 0 0 0 0

0 0.2222 0 0 0 0 0 0

0 0 0.0555 0 0 0 0 0

0 0 0 0.0555 0.0278 0 0 0

0 0 0 0.0278 0.0555 0 0 0

0 0 0 0 0 0.0555 0.0278 0

0 0 0 0 0 0.0278 0.0555 0

0 0 0 0 0 0 0 0.8889

0 0 0 0 0 0 0 0.4444

Column 9

0

0

0

0

0

0

0

0.4444

0.8889

D =

0.2221 0.0000

0.0000 60.4432

Dp =

-0.0834

0.3336

Ms =

0

-2.5000

-5.0000

3.0000

1.5000

1.5000

0

-8.0000

0

summadeltaip =

0.2502

summabik =

60.6653

Dminus1 =

4.4984 0

0 0.0165

X =

0.3752

-0.0055

Mp =

0

-0.1765

-0.3531

-0.3972

2.8014

-3.1986

0

0.0442

0

M1 =

0

-0.5000

-1.0000

-1.0000

-0.5000

-0.5000

0

0

0

Delta1p =

-7.5034e-005

Qp0 =

0

0

0

-3

-3

-3

-3

0

0

Q =

0.5000 2.0000

0.5000 2.0000

0.5000 2.0000

-0.5000 2.0000

-0.5000 2.0000

-0.5000 2.0000

-0.5000 2.0000

0 1.0000

0 1.0000

Qp =

0.1765

0.1765

0.1765

-3.1986

-3.1986

-3.1986

-3.1986

-0.0055

-0.0055

Np0 =

0

0

0

0

0

0

0

3

3

N =

0 -1

0 -1

0 -1

0 0

0 0

0 0

0 0

1 0

1 0

Np =

0.0055

0.0055

0.0055

0

0

0

0

3.3752

3.3752

summaFx =

0

summaFy =

0

summaMa =

0

4. Литература

1. Бурчаков Ю.И.; Гнедин В.Е.; Денисов В.М. Строительная механика. М.: Высшая школа. 1983. 255 с.

2. Живейнов Н.Н.; Карасев Г.Н.; Цвей И.Ю. Строительная механика и металлоконструкции строительных и дорожных машин. М.: Машиностроение. 1988. 280 с.

3. Киселев В.А. Строительная механика. М.: Стройиздат. 1986. 520 с.