Реферат: Использование современной компьютерной техники и программного обеспечения при исследовании химик

При исследовании некоторого технологического процесса часто возникает задача оценки одновременного изменения содержания двух химических элементов или соединений, характеризующих этот процесс. В результате исследований получают ряд наблюдений, каждое из которых содержит значение двух изучаемых величин, обычно обозначаемых и , и называемых измеримыми признаками.

При этом может иметь место один из трёх случаев:

1) С увеличением содержания одного химического элемента (соединения) содержание другого химического элемента (соединения) также возрастает;

2) С увеличением содержания одного химического элемента (соединения) содержание другого уменьшается;

3) С увеличением содержания одного химического элемента (соединения) содержание другого не изменяется.

Для наглядного представления полученных экспериментальных данных строят точечную диаграмму, где положение каждой точки определяется двумя координатами – соответствующими значениями и .

Часто взаимное изменение значений и может быть описано линейной функцией. Нахождение уравнения прямой линии, называемой линией регрессии, относительно которой располагаются значения и , является целью исследования.

Для нахождения уравнения линии регрессии при достаточно большом числе наблюдений строят вспомогательную (корреляционную) таблицу и находят ряд математических характеристик признаков и .

1.2 Исходные данные (таблица 1)

При определении оптимальных условий технологического процесса получения волокна из пропилена изучалось влияние температуры расплава на прочность волокна .

Результаты испытаний представлены в таблице 1

Таблица 1

Температура расплава и прочность волокна

145	146	146	153	149	150	151	147	154	150
52,2	52,3	56,4	62,1	59,1	58,5	61,1	52,3	64,1	57,9
151	148	148	147	150	148	154	155	153	151
59,1	59,4	53,8	54,1	55,5	56,8	63,1	64,3	65,3	59,3
148	149	148	150	150	151	153	152	154	152
56,2	55,2	54,7	58,5	58,1	61,8	60,9	60,3	63,1	62,0

Найти корреляционную зависимость прочности волокна от температуры расплава.

1.3 Расчетные формулы

1) Построение корреляционной таблицы.

Для построения корреляционной таблицы результаты наблюдений по каждому признаку и разбивают на интервалы, число которых можно определить по формуле

, (1.3.1)

где - число интервалов, - число наблюдений соответствующего признака. Далее находят длины интервалов и :

, ;

Число интервалов по признакам и может быть одинаково.

Общий вид корреляционной таблицы представлен в таблице 2.а). В этой таблице указывают длины отдельных интервалов по признакам и , середины интервалов, в клетках таблицы помещают число наблюдений, попавших в определённые интервалы сразу по двум признакам и , далее находят число наблюдений, попавших в определённый интервал по признаку и соответственно, а также условные средние значения.

В таблице 2.а) введены следующие обозначения:

- середины интервалов по признакам и соответственно, где - число классов);

- число наблюдений, попавших в интервал по признаку и в интервал по признаку ;

- число наблюдений, попавших в интервал по признаку ;

Таблица 2.а)

Корреляционная таблица


		…		…
				…		…
				…		…
…..	…..	…..	…	…..	…	…..	…	…..
				…		…
…..	…	…..	…..	…	…..	…	…..	…	…..
				…		…
			…		…
			…		…

- число наблюдений, попавших в интервал по признаку ;

- условные средние значения признака для наблюдений, попавших в интервал по признаку ;

- число наблюдений.

Отметим, что при вычислениях условных средних значений, а также других математических характеристик признаков и , всем наблюдениям, попавшим в некоторый интервал, придаётся значение середины этого интервала.

Значения находят, суммируя число наблюдений, попавших в соответствующие интервалы по признаку соответственно. Вычисления производят по формулам:

где -число интервалов.

В нижней строке и в последнем столбце таблицы представлены условные средние значения, вычисленные по формулам:

Рассмотрим линейную связь и .

2) Вычисление коэффициента корреляции, нахождение уравнения регрессии.

Коэффициент корреляции является мерой линейной связи между зависимыми случайными величинами: он показывает, насколько хорошо, в среднем, может быть представлена одна из величин в виде линейной функции от другой.

Коэффициент корреляции по абсолютной величине не превосходит 1. Чем ближе к единице, тем линейная связь между величинами и считается более тесной. Отметим, что вычисления по формулам (2) и (3) производятся по данным, не объединённым в группы. Если число наблюдений велико, коэффициент корреляции и другие математические характеристики системы величин находят по группированным данным.

Так, расчёт коэффициента корреляции по группированным данным, выполняется по формуле

, (1.3.2)

где (1.3.3)

Все величины в этих формулах должны быть взяты из корреляционной таблицы.

Уравнение прямой линии, относительно которой наилучшим образом расположены условные средние значения , а также отдельные точки с координатами , может быть найдено по формуле

(1.3.4)

Величины, входящие в уравнение (4), могут быть найдены по данным, объединённым в группы.

При вычислениях по группированным данным величины и вычисляются по таким формулам:

(1.3.5)

Уравнение линейной регрессии может быть найдено методом наименьших квадратов. В случае двух переменных уравнение линейной регрессии представлено многочленом первой степени.

Неизвестные параметры определяются методом наименьших квадратов, исходя из требования

Найдя частные производные данного выражения по , и приравняв их к нулю, получим систему нормальных уравнений для определения неизвестных параметров и .

(1.3.6)

Данная система линейных алгебраических уравнений может быть решена матричным методом или методом Крамера.

3) Вычисление коэффициента детерминированности

Для количественной оценки соответствия теоретической линии регрессии эмпирическим данным используется коэффициент детерминированности , вычисляемый по формуле

где и - суммы квадратов, вычисляемые соответственно по формулам:

(1.3.7)

где - данные эмпирические значения признака ,

- среднее арифметическое значение ,

- теоретическое значение признака , вычисленное при подстановке соответствующего значения в найденное уравнение регрессии.

Обычно коэффициент детерминированности лежит между 0 и 1. Чем ближе этот коэффициент к 1, тем лучше найденная линия регрессии представляет экспериментальные данные, положенные в основу расчётов.

1.4 Разработка алгоритма решения задачи

Чтобы решить поставленную задачу, необходимо воспользоваться следующим алгоритмом:

1) По результатам наблюдений двух измеримых признаков (X,Y) построить вспомогательную ( корреляционную ) таблицу, распределив значения X,Y на 5-6 интервалов. Найти условные средние значения ,. Корреляционную таблицу можно построить вручную.

2) Вычислить значение коэффициента корреляции по группированным данным, используя формулы.

3) Найти уравнение регрессии, используя формулы.

4) Найти уравнение регрессии методом наименьших квадратов.

5) По данным значениям переменных построить точечную диаграмму, указать на ней линию тренда. При построении линии тренда с помощью вкладки «Параметры» показать на диаграмме уравнение линии тренда и величину R² .

6) Найти теоретические значения Y, подставив данные значения x_i в уравнение регрессии, найденное в пункте 3.

7) Построить графики условных средних значений () , а также график теоретических значений Y на одной диаграмме.

8) Найти коэффициент детерминированности для уравнения регрессии, найденного в пункте 3.

9) Найти коэффициент детерминированности для уравнения регрессии, найденного в пункте 3.

2. Контрольный вариант

Для того чтобы найти уравнение регрессии средствами MS Excel создадим сначала необходимые таблицы. В первую очередь необходимо рассчитать необходимые параметры для составления корреляционной таблицы.

Рис.1 Фрагмент окна Excel c табличными данными х и у.

Рис.2 Фрагмент окна Excel, отображающий максимальное и минимальное значения х и у.

Пояснения:

1) В ячейки A22:A51 в ячейки B22:B51 вводим значения X и Y.

2) Для расчёта средних значений первоначальных данных X и Y в ячейку A52 вводим формулу =СУММ(A22:A51)/30, а в ячейку B52 вводим формулу =СУММ(B22:B51)/30.

3) Чтобы рассчитать максимальное и минимальное значение X, в ячейки B54 и B55 вводим формулы =МАКС(A22:A51) и =МИН(A22:A51) соответственно.

4) Аналогично, чтобы рассчитать максимальное и минимальное значение Y, в ячейки B57 и B58 вводим формулы =МАКС(B22:B51) и =МИН(B22:B51) соответственно.

Рис.3 Фрагмент окна Excel, отображающий исходные данные и корреляционную таблицу.

Пояснения:

Используя начальные данные можно составить корреляционную таблицу.

1) В ячейки C1:G1 и в ячейки A3:A7 вводим интервалы изменения исходных значений X и Y.

2) В ячейки C2:G2 вводим середины интервалов по признаку X

3 В ячейки B3:B7 вводим середины интервалов по признаку Y.

4) В ячейку H3 вводим формулу =СУММ(C3:G3) и копируем её в ячейки H4:H7.

5) В ячейку C8 вводим формулу =СУММ(C3:C7) и копируем её в ячейки D8:H8.

6) В ячейку C9 вводим формулу =(B3*C3+B4*C4+B5*C5+B6*C6+B7*C7)/C8.

7) В ячейку D9 вводим формулу =(B3*D3+B4*D4+B5*D5+B6*D6+B7*D7)/D8.

8) В ячейку E9 вводим формулу =(B3*E3+B4*E4+B5*E5+B6*E6+B7*E7)/E8.

9) В ячейку F9 вводим формулу =(B3*F3+B4*F4+B5*F5+B6*F6+B7*F7)/F8.

10) В ячейку I3 вводим формулу =(C2*C3+D2*D3+E2*E3+F2*F3+G2*G3)/H3.

11) В ячейку I4 вводим формулу =(C2*C4+D2*D4+E2*E4+F2*F4+G2*G4)/H4.

12) В ячейку I5 вводим формулу =(C2*C5+D2*D5+E2*E5+F2*F5+G2*G5)/H5.

13) В ячейку I6 вводим формулу =(C2*C6+D2*D6+E2*E6+F2*F6+G2*G6)/H6.

14) В ячейку I7 вводим формулу =(C2*C7+D2*D7+E2*E7+F2*F7+G2*G7)/H7.

Рис.4 Фрагмент окна Excel, отображающий вычисление среднего значения х и у и коэффициента групповой корреляции.

Рис.5 Фрагмент окна Excel, отображающий вспомогательную таблицу для вычисления коэффициента корреляции.

Пояснения:

1) В ячейку L2 вводим формулу

=(C2*C8+D2*D8+E2*E8+F2*F8+G2*G8+H2*H8)/30.

2) В ячейку M2 вводим формулу

=(B3*H3+B4*H4+B5*H5+B6*H6+B7*H7+B8*H8)/30.

3) В ячейки N2:N6 и в ячейки O2:O6 вводим соответствующие средние интервальные значения X и Y.

4) В ячейку P2 вводим формулу =N2-$L$2 и копируем её в ячейки P3:P6.

5) В ячейку Q2 вводим формулу =O2-$M$2 и копируем её в ячейки Q3:Q6.

6) В ячейку R2 вводим формулу =P2*Q2, затем в ячейку R3 вводим формулу =P3*Q3 и т.д. до ячейки R6.

7) В ячейку R8 вводим формулу =СУММ(R2:R6).

8) В ячейку S2 вводим формулу =P2^2 и копируем её в ячейки S3:S6.

9) В ячейку T2 вводим формулу =Q2^2 и копируем её в ячейки T3:T6.

10) В ячейку W3 вводим формулу =(W2-$L$2)*($V$3-$M$2)*C3 и копируем её до ячейки АА3.

11) В ячейку W4 вводим формулу =(W2-$L$2)*($V$4-$M$2)*C4 и копируем её до ячейки АА4.

12) В ячейку W5 вводим формулу =(W2-$L$2)*($V$5-$M$2)*C5 и копируем её до ячейки АА5.

13) В ячейку W6 вводим формулу = (W2-$L$2)*($V$6-$M$2)*C6 и копируем её до ячейки АА6.

14) В ячейку W7 вводим формулу = (W2-$L$3)*($V$7-$M$2)*C7 и копируем её до ячейки АА7.

15) В ячейку X11 вводим формулу = S2*$W$8, копируем её до ячейки X15.

16) В ячейку Z11 вводим формулу = T2*$AB$3, копируем её до ячейки Z15

17) В ячейку V16 вводим формулу = СУММ(V11:V15).

18) В ячейку X16 вводим формулу =СУММ(X11:X15).

19) В ячейку Z16 вводим формулу = СУММ(Z11:Z15).

20) В ячейку X17 вводим формулу =X16/30.

21) В ячейку Z17 вводим формулу =Z16/30.

22) В ячейку X18 вводим формулу =КОРЕНЬ(X17).

23) В ячейку Z18 вводим формулу =КОРЕНЬ(Z17)

24) В ячейку L9 введём формулу =AB8/(X18*Z18). В этой ячейке будет находиться значение коэффициента корреляции для группированных данных.

2. 1 Нахождение уравнений регрессии.

1) Найдём уравнение регрессии по группированным данным.

Для того чтобы вычислить коэффициенты уравнения регрессии по группированным данным необходимо вычислить значение параметров по формулам, приведенным в теории.

Рис.6 Фрагмент окна Excel, отображающий полученное уравнение групповой регрессии.

Пояснения:

1) В ячейку L32 вводим формулу =Х18.

2) В ячейку L33 вводим формулу =Z18.

3) В ячейку L34 вводим формулу =L33/L32.

В итоге получили уравнение регрессии по групповым данным:

У=1,2777Х-132,250

2.2 Нахождение уравнения регрессии с помощью метода наименьших квадратов.

Аппроксимируем функцию линейной функцией . Найдем коэффициенты a₁ и a₂ .

1) В ячейку P24 вводим формулу =A22^2 и копируем её в ячейки P25:P53.

2) В ячейку Q24 вводим формулу =A22*B22 и копируем её в ячейки Q25:Q53.

3) В ячейку R24 вводим формулу =A22 и копируем её в ячейки R25:R53

В ячейку T24 вводим формулу =$L$9*$L$34*(R24-$L$2)+$M$2 и копируем её в ячейки T25:T53.

В ячейку W24 вводим формулу =(B22-V24)^2 и копируем её в ячейки W25:W53.

В ячейку Z24 вводим формулу =(B22-T24)^2 и копируем её в ячейки Z25:Z53.

4) В ячейку P54 вводим формулу =СУММ(P24:P53)

5) В ячейку Q54 вводим формулу =СУММ(Q24:Q53).

Рис.7 Фрагмент окна Excel, отображающий полученное уравнение линейной регрессии.

В итоге получили уравнение регрессии по групповым данным: y=1,2777X-133,195.

2.3 Нахождение коэффициентов детерминированности.

Рис.8 Фрагмент окна Excel, отображающий вычисление коэффициента детерминированности для линейного и группового уравнений.

Пояснения:

Для линейного уравнения

1) В ячейку W24 вводим формулу =(B22-V24)^2 и копируем её в ячейки W25:W53.

Для группового уравнения

2) В ячейку Z24вводим формулу =(B22-T24)^2 и копируем её в ячейки Z25:Z53.

3) В ячейку Х24 вводим формулу =(B22-$B$52)^2 и копируем её в ячейки Х25:Х53.

4) В ячейку АА24 вводим формулу =(B22-$M$2)^2 и копируем её в ячейки АА25:АА53.

5) В ячейку W54 вводим формулу =СУММ(W24:W53).

6) В ячейку X54 вводим формулу =СУММ(X24:X53).

7) В ячейку Z54 вводим формулу =СУММ(Z24:Z53).

8) В ячейку AA54 вводим формулу =СУММ(AA24:AA53).

9) В ячейку W56 вводим формулу =1-W54/X54 .

10) В ячейку Z56 вводим формулу =1-Z54/AA54.

2.4 Построение графиков зависимостей и линии тренда

Рис.9: Построение линии тренда

Рис.10: График зависимостей

3. Вычисление с помощью среды Turbo Pascal

В данной задаче требуется с помощью подпрограммы вычислить Sx, Sy по данным, объединенным в группы, по формулам: . Составим подпрограмму процедуру величины.

3.1. Анализ задачи

Пусть n – количество измеренных параметров,

i = 1, 2, …, n, где i – текущий индекс,

p = (p_1, p_{2, …,} p_n ) – массив чисел,

zср – средние значения элементов массива p;

Обозначим: ,

;

Результат: , где - выходной параметр.

Описание формальных параметров и переменных для подпрограммы представлены в таблице 3.2.

Таблица 3.2

Таблица формальных параметров и переменных подпрограммы

Имя переменной	Тип переменной	Примечание
p	Mas	массив чисел
zср	Real	средние значения элементов массива p
s	Real
scp	Real
sq	Real	выходные данные
i	Integer	текущий индекс

Описание переменных программы представлены в таблице 3.3.

Таблица 3.3

Таблица переменных программы

Имя переменной	Тип переменной	Примечание
f	Text	файловые переменные
x	Mas	массив чисел X_i
y	Mas	массив чисел Y_i
i	Integer	текущий индекс
S1	Real	результат вычисления
S2	Real	результат вычисления

3.2. Контрольный вариант

Контрольный вариант представлен в табличном процессоре Excel, в разделе 2.

3.3. Схема алгоритма

Схема алгоритма программы представлена на рисунке 11.

Рис.11. Схема алгоритма программы

Схема алгоритма подпрограммы представлена на рисунке 12:

вход

s=0.0

scp=s

выход

Рис.12. Схема алгоритма подпрограммы

3.4. Программа

Program Nikita; {программа расчета Sx, Sy}

uses crt; {очистка экрана}

type {раздел описания переменных}

mas=array[1..30] of real;

var

i,n:integer;

x,y:mas;

s1,s2:real;

f:text;

{тело процедуры}

Procedure ssxy(n:integer;p:mas;zcp:real; var sq:real); {выходные параметры}

var {раздел описания переменных процедуры}

s,scp:real;

i:integer;

Begin

s:=0.0; {задание начального значения s}

for i:=1 to 30 do {накопление суммы}

s:=sqr(p[i]-zcp)+s;

scp:=s; {вычисление по формуле }

sq:=sqrt(scp); { вычисление по формуле }

end;

begin {тело программы}

clrscr; {очистка экрана}

assign(f,'1.txt'); {соединение с файлом}

reset(f); {открытие файла для чтения}

for i:=1 to 30 do read(f,x[i]); {чтение массива Х из файла}

for i:=1 to 30 do read(f,y[i]); {чтение массива Y из файла}

close(f); {закрытие файла}

writeln('mas X'); {вывод массива Х}

writeln('---------------------------------');

for i:=1 to 30 do write(' ',x[i]:6:2);

writeln;

writeln('mas Y'); {вывод массива Y}

writeln('---------------------------------');

for i:=1 to 30 do write(' ',y[i]:6:2);

writeln;

ssxy(30,x,150.1,s1); {использование процедуры для расчета S1}

ssxy(30,y,58.6,s2); {использование процедуры для расчета S1}

writeln('S1= ',s1:6:2); {вывод S1}

writeln('S2= ',s2:6:2); {вывод S2}

readln;

end.

3.5. Исходные данные

Для отладки программы воспользуемся исходными значениями, находящимися во входном файле 1.txt.

Рис.13. Фрагмент входного файла

3.6. Результаты выполнения программы и их анализ

Рис. 14 Фрагмент окна результатов

Сравнительный анализ результатов, полученных в Excel, с результатами, полученных при выполнении программы

Сделаем выводы по результатам полученных данных.

1. Анализ результатов расчетов показывает, что наилучшее уравнение регрессии получается при нахождении коэффициентов по методу наименьших квадратов. Но при очень большом количестве измерений гораздо легче составить корреляционную таблицу и вести расчёты по группированным данным, чем составлять большие циклы нахождения наименьшей суммы квадратов.

2. Сравнивая результаты, полученные при помощи MS Excel и Turbo Pascal, видим, что они совпадают. Это указывает на то, что вычисления верны и отсутствуют какие-либо ошибки.

Библиографический список

1)Алексеев В.Е . Вычислительная техника и программирование. Практикум по программированию: Практ. пособие / В.Е. Алексеев, А.С. Ваулин, Г.Б. Петрова: Под. ред. А.В. Петрова. – М.: Высшая школа, 1991.

2)Протосеня А.Г. Малые ЭВМ в горно-экономических задачах: Практ. пособие / А.Г. Протосеня, Б.З. Безмозгин, Г.А. Прудинский. – Л.: Ленинградский горный институт, 1987.

3)Онушкина И.О. Правила оформления курсовых и квалификационных работ: Метод. пособие / И.О. Онушкина, П.Г. Талалай. – СПб: Санкт-Петербургский государственный институт (технический университет), 2005.