Реферат: Компьютерные вирусы и методы борьбы с ними

Содержание.

Содержание……………………………………………………..2

Введение………………………………………………………...3

Компьютерные вирусы: их свойства и классификация……...4

Пути проникновения вирусов в компьютер………………….8

Признаки появления вирусов………………………………….9

Методы защиты от компьютерных вирусов………………….10

Антивирусные программы…………………………………….14

Заключение……………………………………………………..19

Список литературы…………………………………………….20

Приложение……………………………………………………..21

Введение

Вирус- едва ли не главный враг компьютера. Как и обычные вирусы, вирусы компьютерные- паразиты, для размножения им нужен «носитель»- хозяин, здоровая программа или документ, в тело которой они прячут участки своего программного кода. Вирусы, получившие широкое распространение в компьютерной технике, взбудоражили весь мир. Многие пользователи компьютеров обеспокоены слухами о том, что с помощью компьютерных вирусов злоумышленники взламывают сети, грабят банки, крадут интеллектуальную собственность...

Сегодня массовое применение персональных компьютеров, к сожалению, оказалось связанным с появлением самовоспроизводящихся программ-вирусов, препятствующих нормальной работе компьютера, разрушающих файловую структуру дисков и наносящих ущерб хранимой в компьютере информации.

Все чаще в средствах массовой информации появляются сообщения о различного рода пиратских проделках компьютерных хулиганов, о появлении все более совершенных саморазмножающихся программ. Сам вирус невелик- его размер редко измеряется килобайтами, однако натворить эта кроха может немало. Современные вирусы исхитряются портить не только программы, но и «железо». Например, вчистую уничтожают содержимое BIOS материнской платы или калечат жесткий диск.

Компьютерные вирусы, их свойства и классификация

Свойства компьютерных вирусов

Сейчас применяются персональные компьютеры, в которых пользователь имеет свободный доступ ко всем ресурсам машины. Именно это открыло возможность для опасности, которая получила название компьютерного вируса.

Что такое компьютерный вирус? Прежде всего, вирус - это программа. В тот момент, когда мы ничего не подозревая, запускаем на своем компьютере зараженную программу или открываем документ, вирус активизируется и заставляет следовать не нашим, а его , вируса инструкциям. Сегодня науке известно около семидесяти тысяч компьютерных вирусов.

Вирус - программа, обладающая способностью к самовоспроизведению. Такая способность является единственным средством, присущим всем типам вирусов. Но не только вирусы способны к самовоспроизведению. Любая операционная система и еще множество программ способны создавать собственные копии. Вирус не может существовать в «полной изоляции»: сегодня нельзя представить себе вирус, который не использует код других программ, информацию о файловой структуре или даже просто имена других программ. Причина понятна: вирус должен каким-нибудь способом обеспечить передачу себе управлени

Классификация вирусов

В настоящее время известно более 70000 компьютерных вирусов, их можно классифицировать по следующим признакам:

В зависимости от среды обитания вирусы можно разделить на сетевые, файловые, загрузочные и файлово -загрузочные . Сетевые вирусы распространяются по различным компьютерным сетям. Файловые вирусы внедряются главным образом в исполняемые модули, т. е. в файлы, имеющие расширения COM и EXE. Файловые вирусы могут внедряться и в другие типы файлов, но, как правило, записанные в таких файлах, они никогда не получают управление и, следовательно, теряют способность к размножению. Загрузочные вирусы внедряются в загрузочный сектор диска (Boot-сектор) или в сектор, содержащий программу загрузки системного диска (Master Boot Re-cord). Файлово-загрузочные вирусы заражают как файлы, так и загрузочные сектора дисков.

По способу заражения вирусы делятся на резидентные и нерезидентные . Резидентный вирус при заражении (инфицировании) компьютера оставляет в оперативной памяти свою резидентную часть, которая потом перехватывает обращение операционной системы к объектам заражения (файлам, загрузочным секторам дисков и т. п.) и внедряется в них. Резидентные вирусы находятся в памяти и являются активными вплоть до выключения или перезагрузки компьютера. Нерезидентные вирусы не заражают память компьютера и являются активными ограниченное время.

По степени воздействия вирусы можно разделить на следующие виды:

· неопасные, не мешающие работе компьютера, но уменьшающие объем свободной оперативной памяти и памяти на дисках, действия таких вирусов проявляются в каких-либо графических или звуковых эффектах

· опасные вирусы, которые могут привести к различным нарушениям в работе компьютера

· очень опасные, воздействие которых может привести к потере программ, уничтожению данных, стиранию информации в системных областях диска.

По особенностям алгоритма вирусы трудно классифицировать из-за большого разнообразия. Простейшие вирусы - паразитические, они изменяют содержимое файлов и секторов диска и могут быть достаточно легко обнаружены и уничтожены. Можно отметить вирусы-репликаторы, называемые червями, которые распространяются по компьютерным сетям, вычисляют адреса сетевых компьютеров и записывают по этим адресам свои копии, распространяются по глобальным сетям, поражая целые системы, а не отдельные программы. Это самый опасный вид вирусов, так как объектами нападения в этом случае становятся информационные системы государственного масштаба. С появлением глобальной сети Internet этот вид нарушения безопасности представляет наибольшую угрозу, т. к. ему в любой момент может подвергнуться любой из 40 миллионов компьютеров, подключенных к этой сети.

Известны вирусы-невидимки, называемые стелс-вирусами, которые очень трудно обнаружить и обезвредить, так как они перехватывают обращения операционной системы к пораженным файлам и секторам дисков и подставляют вместо своего тела незараженные участки диска. Стелс-вирусы обманывают антивирусные программы и в результате остаются незамеченными. Тем не менее, существует простой способ отключить механизм маскировки стелс-вирусов. Достаточно загрузить компьютер с не зараженной системной дискеты и сразу, не запуская других программ с диска компьютера (которые также могут оказаться зараженными), проверить компьютер антивирусной программой.

При загрузке с системной дискеты вирус не может получить управление и установить в оперативной памяти резидентный модуль, реализующий стелс-механизм. Антивирусная программа сможет прочитать информацию, действительно записанную на диске, и легко обнаружит вирус.

Наиболее трудно обнаружить вирусы-мутанты, содержащие алгоритмы шифровки-расшифровки, благодаря которым копии одного и того же вируса не имеют ни одной повторяющейся цепочки байтов. Имеются и так называемые квазивирусные или «троянские» программы, которые хотя и не способны к самораспространению, но очень опасны, так как, маскируясь под полезную программу, разрушают загрузочный сектор и файловую систему дисков.

Троянский конь – это программа, содержащая в себе некоторую разрушающую функцию, которая активизируется при наступлении некоторого условия срабатывания. Обычно такие программы маскируются под какие-нибудь полезные утилиты. Вирусы могут нести в себе троянских коней или "троянизировать" другие программы – вносить в них разрушающие функции.

«Троянские кони» представляют собой программы, реализующие помимо функций, описанных в документации, и некоторые другие функции, связанные с нарушением безопасности и деструктивными действиями. Отмечены случаи создания таких программ с целью облегчения распространения вирусов. Списки таких программ широко публикуются в зарубежной печати. Обычно они маскируются под игровые или развлекательные программы и наносят вред под красивые картинки или музыку.

Программные закладки также содержат некоторую функцию, наносящую ущерб, но эта функция, наоборот, старается быть как можно незаметнее, т.к. чем дольше программа не будет вызывать подозрений, тем дольше закладка сможет работать.

Если вирусы и «троянские кони» наносят ущерб посредством лавинообразного саморазмножения или явного разрушения, то основная функция вирусов типа «червь», действующих в компьютерных сетях, – взлом атакуемой системы, т.е. преодоление защиты с целью нарушения безопасности и целостности.

В более 80% компьютерных преступлений, расследуемых ФБР, "взломщики" проникают в атакуемую систему через глобальную сеть Интернет. Когда такая попытка удается, будущее компании, на создание которой ушли годы, может быть поставлено под угрозу за какие-то секунды.

Полностью «отсечь» вредоносный софт вряд ли удастся, разве что удалить из системы дисковод, перестать работать в Интернете и пользоваться только легальным программным обеспечением. В наших условиях все эти советы выглядят издевательством.

Пути проникновения вирусов в компьютер

Основными путями проникновения вирусов в компьютер являются съемные диски (гибкие и лазерные), а также компьютерные сети. Заражение жесткого диска вирусами может произойти при загрузке программы с дискеты, содержащей вирус. Такое заражение может быть и случайным, например, если дискету не вынули из дисковода А и перезагрузили компьютер, при этом дискета может быть и не системной. Заразить дискету гораздо проще. На нее вирус может попасть, даже если дискету просто вставили в дисковод зараженного компьютера и, например, прочитали ее оглавление.

Вирус, как правило, внедряется в рабочую программу таким образом, чтобы при ее запуске управление сначала передалось ему и только после выполнения всех его команд снова вернулось к рабочей программе. Получив доступ к управлению, вирус, прежде всего, переписывает сам себя в другую рабочую программу и заражает ее. После запуска программы, содержащей вирус, становится возможным заражение других файлов.

Наиболее часто вирусом заражаются загрузочный сектор диска и исполняемые файлы, имеющие расширения EXE, COM, SYS, BAT. Крайне редко заражаются текстовые файлы.

После заражения программы вирус может выполнить какую-нибудь диверсию, не слишком серьезную, чтобы не привлечь внимания. И, наконец, не забывает возвратить управление той программе, из которой был запущен. Каждое выполнение зараженной программы переносит вирус в следующую. Таким образом, заразится все программное обеспечение.

Признаки появления вирусов

При заражении компьютера вирусом важно его обнаружить. Для этого следует знать об основных признаках проявления вирусов. К ним можно отнести следующие :

· прекращение работы или неправильная работа ранее успешно функционировавших программ

· медленная работа компьютера

· невозможность загрузки операционной системы

· исчезновение файлов и каталогов или искажение их содержимого

· изменение даты и времени модификации файлов

· изменение размеров файлов

· неожиданное значительное увеличение количества файлов на диске

· существенное уменьшение размера свободной оперативной памяти

· вывод на экран непредусмотренных сообщений или изображений

· подача непредусмотренных звуковых сигналов

· частые зависания и сбои в работе компьютера

Следует отметить, что вышеперечисленные явления необязательно вызываются присутствием вируса, а могут быть следствием других причин. Поэтому всегда затруднена правильная диагностика состояния компьютера.

Методы защиты от компьютерных вирусов

Каким бы не был вирус, пользователю необходимо знать основные методы защиты от компьютерных вирусов.

Для защиты от вирусов можно использовать:

· общие средства защиты информации, которые полезны также и как страховка от физической порчи дисков, неправильно работающих программ или ошибочных действий пользователя;

· профилактические меры, позволяющие уменьшить вероятность заражения вирусом;

· специализированные программы для защиты от вирусов.

Общие средства защиты информации полезны не только для защиты от вирусов. Имеются две основные разновидности этих средств:

· копирование информации - создание копий файлов и системных областей дисков;

· разграничение доступа предотвращает несанкционированное использование информации, в частности, защиту от изменений программ и данных вирусами, неправильно работающими программами и ошибочными действиями пользователей.

Несмотря на то, что общие средства защиты информации очень важны для защиты от вирусов, все же их недостаточно. Необходимо и применение специализированных программ для защиты от вирусов. Эти программы можно разделить на несколько видов: детекторы, доктора (фаги), ревизоры, доктора-ревизоры, фильтры и вакцины.

ПРОГРАММЫ-ДЕТЕКТОРЫ позволяют обнаруживать файлы, зараженные одним из нескольких известных вирусов. Эти программы проверяют, имеется ли в файлах на указанном пользователем диске специфическая для данного вируса комбинация байтов. При ее обнаружении в каком-либо файле на экран выводится соответствующее сообщение. Многие детекторы имеют режимы лечения или уничтожения зараженных файлов. Следует подчеркнуть, что программы-детекторы могут обнаруживать только те вирусы, которые ей "известны". Некоторые программы-детекторы могут настраивать на новые типы вирусов, им необходимо лишь указать комбинации байтов, присущие этим вирусам. Тем не мение невозможно разработать такую программу, которая могла бы обнаруживать любой заранее неизвестный вирус.

Таким образом, из того, что программа не опознается детекторами как зараженная, не следует, что она здорова - в ней могут сидеть какой-нибудь новый вирус или слегка модифицированная версия старого вируса, неизвестные программам-детекторам.

Многие программы-детекторы не умеют обнаруживать заражение "невидимыми" вирусами, если такой вирус активен в памяти компьютера. Дело в том, что для чтения диска они используют функции DOS, а они перехватываются вирусом, который говорит, что все хорошо. Правда детекторы пытаются выявить вирус путем просмотра оперативной памяти, но против некоторых "хитрых" вирусов это не помогает. Так что надежный диагноз программы-детекторы дают только при загрузке DOS с "чистой", защищенной от записи дискеты, при этом копия программы-детектора также должна быть запущена с этой дискеты.

Некоторые детекторы умеют ловить "невидимые" вирусы, даже когда они активны. Для этого они читают диск, не используя вызовы DOS. Правда, этот метод работает не на всех дисководах.

Большинство программ-детекторов имеют функцию "доктора" , т.е. они пытаются вернуть зараженные файлы или области диска в их исходное состояние. Те файлы, которые не удалось восстановить, как правило, делаются неработоспособными или удаляются.

Большинство программ-докторов умеют "лечить" только от некоторого фиксированного набора вирусов, поэтому они быстро устаревают. Но некоторые программы могут обучаться не только способам обнаружения, но и способам лечения новых вирусов.

ПРОГРАММЫ-РЕВИЗОРЫ имеют две стадии работы. Сначала они запоминают сведения о состоянии программ и системных областей дисков (загрузочного сектора и сектора с таблицей разбиения жесткого диска). Предполагается, что в этот момент программы и системные области дисков не заражены. После этого с помощью программы-ревизора можно в любой момент сравнить состояние программ и системных областей дисков с исходным. О выявленных несоответствиях сообщается пользователю.

Чтобы проверка состояния программ и дисков проходила при каждой загрузке операционной системы, необходимо включить команду запуска программы-ревизора в командный файл AUTOEXEC.BAT. Это позволяет обнаружить заражение компьютерным вирусом, когда он еще не успел нанести большого вреда. Более того, та же программа-ревизор сможет найти поврежденные вирусом файлы.

Многие программы-ревизоры являются довольно "интеллектуальными" - они могут отличать изменения в файлах, вызванные, например, переходом к новой версии программы, от изменений, вносимых вирусом, и не поднимают ложной тревоги. Дело в том, что вирусы обычно изменяют файлы весьма специфическим образом и производят одинаковые изменения в разных программных файлах. Понятно, что в нормальной ситуации такие изменения практически никогда не встречаются, поэтому программа-ревизор, зафиксировав факт таких изменений, может с уверенностью сообщить, что они вызваны именно вирусом.

Другие программы часто используют различные полумеры – пытаются обнаружить вирус в оперативной памяти, требуют вызовы из первой строки файла AUTOEXEC.BAT, надеясь работать на "чистом" компьютере, и т.д. Увы, против некоторых "хитрых" вирусов все это бесполезно.

Для проверки того, не изменился ли файл, некоторые программы-ревизоры проверяют длину файла. Но эта проверка недостаточна - некоторые вирусы не изменяют длину зараженных файлов. Более надежная проверка - прочесть весь файл и вычислить его контрольную сумму. Изменить файл так, чтобы его контрольная сумма осталась прежней, практически невозможно.

В последнее время появились очень полезные гибриды ревизоров и докторов, т.е. ДОКТОРА-РЕВИЗОРЫ,- программы, которые не только обнаруживают изменения в файлах и системных областях дисков, но и могут в случае изменений автоматически вернуть их в исходное состояние. Такие программы могут быть гораздо более универсальными, чем программы-доктора, поскольку при лечении они используют заранее сохраненную информацию о состоянии файлов и областей дисков. Это позволяет им вылечивать файлы даже от тех вирусов, которые не были созданы на момент написания программы.

Но они могут лечить не от всех вирусов, а только от тех, которые используют "стандартные", известные на момент написания программы, механизмы заражения файлов.

Существуют также ПРОГРАММЫ-ФИЛЬТРЫ, которые располагаются резидентно в оперативной памяти компьютера и перехватывают те обращения к операционной системе, которые используются вирусами для размножения и нанесения вреда, и сообщают о них пользователя. Пользователь может разрешить или запретить выполнение соответствующей операции.

Некоторые программы-фильтры не "ловят" подозрительные действия, а проверяют вызываемые на выполнение программы, на наличие вирусов. Это вызывает замедление работы компьютера.

Однако преимущества использования программ-фильтров весьма значительны – они позволяют обнаружить многие вирусы на самой ранней стадии, когда вирус еще не успел размножиться и что-либо испортить. Тем самым можно свести убытки от вируса к минимуму.

ПРОГРАММЫ-ВАКЦИНЫ, или ИММУНИЗАТОРЫ, модифицируют программы и диски таким образом, что это не отражается на работе программ, но тот вирус, от которого производится вакцинация, считает эти программы или диски уже зараженными. Эти программы крайне неэффективны.

Антивирусные программы

Антивирус - едва ли не первая программа, которую следует установить на компьютер сразу после покупки. И уж во всяком случае, даже не пытаться выходить без него в интернет. Итак, что же такое антивирус? Почему-то многие считают, что антивирус может обнаружить любой вирус, то есть, запустив антивирусную программу или монитор, можно быть абсолютно уверенным в их надежности. Такая точка зрения не совсем верна. Дело в том, что антивирус - это тоже программа, конечно, написанная профессионалом. Но эти программы способны распознавать и уничтожать только известные вирусы. То есть антивирус против конкретного вируса может быть написан только в том случае, когда у программиста есть в наличии хотя бы один экземпляр этого вируса. Но и у создателей антивирусов есть преимущество! Дело в том, что существует большое количество вирусов, алгоритм которых практически скопирован с алгоритма других вирусов. Как правило, такие вариации создают непрофессиональные программисты, которые по каким-то причинам решили написать вирус. Для борьбы с такими "копиями" придумано новое оружие - эвристические анализаторы. С их помощью антивирус способен находить подобные аналоги известных вирусов, сообщая пользователю, что у него, похоже, завелся вирус. Естественно, надежность эвристического анализатора не 100%, но все, же его коэффициент полезного действия больше 0,5. Таким образом, в этой информационной войне, как, впрочем, и в любой другой, остаются сильнейшие. Вирусы, которые не распознаются антивирусными детекторами, способны написать только наиболее опытные и квалифицированные программисты.

Таким образом, на 100% защититься от вирусов практически невозможно (подразумевается, что пользователь меняется дискетами с друзьями и играет в игры, а также получает информацию из других источников, например из сетей). Если же не вносить информацию в компьютер извне, заразиться вирусом невозможно - сам он не родится. Практически все существующие антивирусные программы просты и удобны в пользовании, способны отлавливать почти все существующие сегодня группы вирусов. Большинство антивирусов способны не просто проверять по запросу пользователя диск на наличие вирусов, но и вести незаметную проверку всех запускаемых на компьютере файлов. Наконец, все современные антивирусы снабжены механизмом автоматического обновления антивирусных баз данных через интернет. Но как выбрать? Существует несколько основных точек зрения на эту проблему. Ряд пользователей считает, что нет ничего лучше отечественных продуктов, наиболее приспособленных к нашей вирусной «атмосфере». Другие ориентируются на результаты тестов авторитетных западных изданий - и в первую очередь, на хит-парад VirusBulletin 100% Awards. Кстати оба отечественных антивируса неизменно присутствуют в Top10 самых надежных антивирусных программ этого рейтинга.

Вот, например, как выглядел рейтинг антивирусов от VirusBulletin летом 2006г.:

1. Eset ( NOD32)

2. Kasperski Antivirus

3. Dr. Web

4. Norman

5. McAfee Inc

6. VirusBuster

7. Sophos

8. Frisk (F- Prot)

9. Symantec ( Norton)

А вот сравнительное тестирование, проведенное в начале 2007г. Российским сайтом Anti_Mailware.Ru:

1. Kasperski 2006 6. Eset ( NOD32)

2. F- Secure AntiVirus 7. H+BEDV AntiVir Personal

3. CyberScrub AntiVirus 8. Symantec ( Norton)

4. eScan Virus Control 9. FRISK F- Prot AntiVirus

5. BitDefender AntiVirus 10. Dr.Webversion

Радует, что оба российских антивируса – Антивирус Касперского и Dr.Web уверенно проходят все без исключения тесты и, стало быть, обеспечивают надлежащий уровень защиты. «Касперский»- рекордсмен по числу отлавливаемых вирусов, к тому же эта программа способна обезвреживать не только классические вирусы, но и «трояны», рекламные и шпионские модули. Из западных разработок рекомендуется обратить внимание на антивирус NOD32. Этот французский антивирус предпочитают за высокую скорость работы, малый размер и стабильность, к тому же он отлично распознает неизвестные вирусы еще до появления их описания в базе данных.

Антивирус Касперского.

Безусловно, самый популярный и мощный из отечественных антивирусов, да и на мировой сцене он котируется весьма высоко. Программа «подстроена» под российскую «вирусную атмосферу» и способна дать отпор вирусам отечественно производства. Версия KAVPersonalPro состоит из нескольких модулей.

Scanner , проверяющий жесткие диски на предмет зараженности вирусами. Можно задать полный поиск, правда, такая процедура занимает чересчур много времени. Гораздо лучше выбрать более щадящий режим - Программы по формату , при котором KAV будет проверять не только программы, но и документы, созданные в формате MicrosoftOffice. После обнаружения вирусов программа предлагает вам на выбор несколько вариантов: вычистить «заразу» из файлов, удалить сами зараженные файлы или переместить их в специальную папку. Можно также вообще отключить режим лечения – тогда ваш антивирус будет только сигнализировать вам об обнаруженных вирусах.

Monitor – эта программа автоматически загружается при запуске Windows. Монитор автоматически проверяет все запускаемые на компьютере файлы и открываемые документы и в случае вирусной атаки подает сигнал тревоги. Более того, монитор просто не дает зараженному файлу загрузиться.

Инспектор- модуль, позволяющий отлавливать неизвестные вирусы. Инспектор использует в своей работе метод контроля изменения размеров файлов. Внедряясь в файл, вирус неизбежно увеличивает его «объем» и вызывает изменение его размера - и тем самым выдает себя с головой.

Mail Checker –модуль, отвечающий за проверку «на лету» сообщений электронной почты.

Script Checker - охотник за вирусными и троянскими скриптами.

Office Guard - аналогичный модуль для проверки каждого загружаемого документа MicrosoftOffice.

Центр управления – «пульт управления» всеми программами комплекса «Антивирус Касперского». Самая важная функция этой программы – встроенный Планировщик задач, позволяющий осуществлять оперативную проверку в автоматическим режиме, без участия пользователя, но в заданное время.

У Антивируса Касперского масса достоинств – удобство управления, регулярность и частота выпуска обновлений. А также большое количество версий для различных операционных систем. Возможно, именно поэтому Антивирус Касперского лидирует на корпоративном рынке – большинство фирм использует для защиты своих локальных сетей именно этот продукт. Однако назвать Касперского идеальным антивирусом для дома мешает его громоздкость и медлительность – KAV очень требователен к аппаратным ресурсам. И все же…

Заключение

Компьютерные вирусы следуют в своей жизни трем заповедям- Плодиться, Прятаться и Портить. Практически все существующие антивирусные программы просты и удобны в пользовании, способны отлавливать почти все существующие сегодня группы вирусов. Большинство антивирусов способны не просто проверять по запросу пользователя диск на наличие вирусов, но и вести незаметную проверку всех запускаемых на компьютере файлов. Наконец, все современные антивирусы снабжены механизмом автоматического обновления антивирусных баз данных через Интернет.

Не исключено, что появятся и другие проблемы, которые принесут немало неприятностей пользователям и достаточное количество неурочной работы разработчикам антивирусных программ. Но все проблемы, когда-либо встававшие в истории развития вирусов, были довольно успешно решены. Скорее всего так же успешно будут решаться и будущие проблемы, пока еще только витающие идеями в воспаленном разуме вирусописателей. Вирусы успешно внедрились в повседневную компьютерную жизнь и покидать ее в обозримом будущем не собираются. Несмотря на принятые во многих странах законы о борьбе с компьютерными преступлениями и разработку специальных программных средств защиты от вирусов, количество новых программных вирусов постоянно растет. Это требует от пользователя персонального компьютера знаний о природе вирусов, способах заражения вирусами и защиты от них.

Список литературы.

1. Акулов О.А., Медведев Н.В. Информатика. Базовый курс: Учебник. – М.: Омега – Л, 2004.

2. Каймин В.А. Информатика: Учебник. – М.: ИНФРА-М, 2000.

3. Леонтьев В.П. Персональный компьютер.- М.: ОЛМА Медиа Групп, 2008.

Приложение.

Формула.

F₁ = ³ √x + A + cos (6 x −ß).