referatmix.ru
  Скачать .docx  

Реферат: Действия над числами в различных системах счисления

В заданиях 3-5 проверять правильность вычисления переводом исходных данных и результатов в двоичную систему счисления. В задании 1д получить пять знаков после запятой в двоичном представлении.

Таблица 1. Наиболее важные системы счисления.

Двоичная (Основание 2) Восьмеричная (Основание 8) Десятичная (Основание 10) Шестнадцатиричная (Основание 16)
триады тетрады
0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 000 001 010 011 100 101 110 111 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

Перевод целых десятичных чисел в недесятичную систему счисления осуществляется последовательным делением десятичного числа на основание той системы, в которую оно переводится, до тех пор, пока не получится частное меньшее этого основания. Число в новой системе записывается в виде остатков деления, начиная с последнего.


Пример.

а) Перевести 18110 "8" с.с.

Результат: 18110 = 2658

б) Перевести 62210 "16" с.с.


Результат: 62210 = 26E16

Для преобразования в десятичную используют следующую таблицу степеней основания

Преобразование дробных десятичных чисел:

· Вначале переводится целая часть десятичной дроби;

· Затем дробная часть десятичной дроби умножается на основание системы счисления;

· В полученном произведении выделяется целая часть, которая принимается в качестве значения первого после запятой разряда числа в системе счисления;

· Алгоритм завершается, если дробная часть полученного произведения равна нулю или если достигнута требуемая точность вычислений. В противном случае вычисления продолжаются с предыдущего шага.

Правила выполнения арифметических действий над двоичными числами задаются таблицами двоичных сложения, вычитания и умножения.

Таблица двоичного сложения Таблица двоичного вычитания Таблица двоичного умножения
0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10 0-0=0 1-0=1 1-1=0 10-1=1 00=0 01=0 10=0 11=1

Сложение в восьмеричной системе

Сложение в шестнадцатиричной системе

Умножение в восьмеричной системе

Умножение в шестнадцатеричной системе


1. Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления

а)945(10) = 1110110001(2) =1661(8) =3B1(16)

945 2
944 472 2
1 472 236 2
0 236 118 2
0 118 59 2
0 58 29 2

1 28 14 2
1 14 7 2
0 6 3 2
1 2 1 2
1 0 0
1 0
512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 1 1 0 1 1 0 0 0 1
512 256 128 32 16 1 945
945,000 8,000
944,000 118,000 8,000
1,000 112,000 14,000 8,000
6,000 8,000 1,000
6,000 1,000
4096 512 64 8 1
1,000 6,000 6,000 1,000
945 512 384 48 1

945,000 16,000
944,000 59,000 16,000
1,000 48,000 3,000
11,000
B
3,000 11,000 1,000
4096 256 16 1
3 11 1
945 768 176 1

б)85 (10) = 1010101(2) =125(8 )= 55(16)

85 2
84 42 2
1 42 21 2
0 20 10 2
1 10 5 2
0 4 2 2
1 2 1 2
0 0 0
1 0
512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 0 1 0 1 0 1
64 16 4 1 85
85,000 8,000
80,000 10,000 8,000
5,000 8,000 1,000
2,000
4096 512 64 8 1
1,000 2,000 5,000
85 0 64 16 5

85,000 16,000
80,000 5,000
5,000
4096 256 16 1
5 5
85 0 80 5

в)444,125 (10) = 110111100,001(2) =674.1(8) =1BC.2(16)

444 2
444 222 2
0 222 111 2
0 110 55 2
1 54 27 2
1 26 13 2
1 12 6 2
1 6 3 2
0 2 1 2
1 0 0
1 0
512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 1 0 1 1 1 1 0 0
256 128 32 16 8 4 444
0,125 * 2 = 0,250 0
0,250 * 2 = 0,500 0
0,500 * 2 = 1,000 1

444,000 8,000
440,000 55,000 8,000
4,000 48,000 6,000
7,000
4096 512 64 8 1 , 0,125 0,01563 0,00195
6,000 7,000 4,000 1
444 0 384 56 4 0,125 0,125
444,000 16,000
432,000 27,000 16,000
12,000 16,000 1,000
11,000
0,125 * 16 = 2,000
4096 256 16 1 , 0,0625
1 11 12 2
444 256 176 12 0,125

г)989,375 (10) = 111 10111 01 ,011(2) =1735.3(8) =3DD.6(16)

989 2
988 494 2
1 494 247 2
0 246 123 2
1 122 61 2
1 60 30 2

1 30 15 2
0 14 7 2
1 6 3 2
1 2 1 2
1 0 0
1

512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 1 1 1 0 1 1 1 0 1
512 256 128 64 16 8 4 1 989
0,375 * 2
=
0,750
0,750 * 2 = 1,500
0,500 * 2 = 1,000
989,000 8,000
984,000 123,000 8,000
5,000 120,000 15,000 8,000
3,000 8,000 1,000
7,000 1,000
4096 512 64 8 1 , 0,125 0,01563 0,00195
1,000 7,000 3,000 5,000 3
989 512 448 24 5 0,375 0,375
989,3750
989,000 16,000
976,000 61,000 16,000
13,000 48,000 3,000
13,000
3 D D
0,375 * 16 = 6,000 6,000
4096 256 16 1 , 0,0625 0,0039063 0,0002441
3 13 13 6
989 768 208 13 0,375 0 0,375
989,375

д)237,73 (10) = 11101101 ,10111(2) =355.5656(8) =ED.BAE(16)

237,0 2,0
236,0 118,0 2,0
1,0 118,0 59,0 2,0
0,0 58,0 29,0 2,0
1,0 28,0 14,0 2,0
1,0 14,0 7,0 2,0

0,0 6,0 3,0 2,0
1,0 2,0 1,0 2,0
1,0 0,0 0,0
1,0
512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 1 1 0 1 1 0 1
128 64 32 8 4 1 237
0,730 * 2
=
1,460
0,460 * 2 = 0,920
0,920 * 2 = 1,840
0,840 * 2 = 1,680
0,680 * 2 = 1,360
237,000 8,000
232,000 29,000 8,000
5,000 24,000 3,000
5,000 3,000
4096 512 64 8 1 , 0,125 0,01563 0,00195 0,00024 3,1E-05
3,000 5,000 5,000 5 6 5 6
237 0 192 40 5 0,625 0,09375 0,00977 0,00146 0,72998
237,7300

237,000 16,000
224,000 14,000
13,000
4096 256 16 1 , 0,0625 0,0039063 0,0002441
14 13 11 10 14
237 0 224 13 0,6875 0,0390625 0,7265625
237,727
0,730 * 16 = 11,680 B
0,680 * 16 = 10,880 A
0,880 * 16 = 14,080 E

2. Перевести данное число в десятичную систему счисления

а)110001111(2) =399 (10)

512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 1 0 0 0 1 1 1 1
256 128 8 4 2 1 399

б)111010001(2) =465 (10)

512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 1 1 0 1 0 0 0 1
256 128 64 16 1 465

в)100110101,1001(2) =309,5625 (10)

512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 0 0 1 1 0 1 0 1
256 32 16 4 1 309
1 0 0 1
0,5 0,25 0,125 0,063 0,031 0,02 0,01 0,0039 0,002 0,001
0,5625 0,5 0 0 0,063

г)1000010,01011(2) =66,34375 (10)

512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 0 0 0 0 1 0
64 2 66
0 1 0 1 1
0,5 0,25 0,125 0,063 0,031 0,02 0,01 0,0039 0,002 0,001
0,34375 0 0,25 0 0,063 0,031

д)176,5(8) = 126.625(10)

4096 512 64 8 1 , 0,125 0,01563 0,00195 0,00024 3,1E-05
1,000 7,000 6,000 5
126 0 64 56 6 0,625 0 0 0 0,625
126,6250

е)3 D2 ,04(16) = 978.016(10)

4096 256 16 1 , 0,0625 0,0039063 0,0002441
3 13 2 0 4
978 768 208 2 0 0,015625 0,015625
978,016
978,000 16,000
976,000 61,000 16,000
2,000 48,000 3,000
13,000
0,016 * 16 = 0,256 0,000
0,256 * 16 = 4,096 4

3. Сложить все числа

а)1000011101(2) +101000010(2) =541(10) +322(10) = 1101011111 (2) =863(10)

512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 0 0 0 0 1 1 1 0 1
512 0 0 0 0 16 8 4 0 1 541
512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 0 1 0 0 0 0 1 0
0 256 0 64 0 0 0 0 2 0 322
863
+ 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1
1 0 1 0 0 0 0 1 0
1 1 0 1 0 1 1 1 1 1
512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 1 0 1 0 1 1 1 1 1
512 256 0 64 0 16 8 4 2 1 863

б)100000001(2) +1000101001(2) =257(10) +553(10) = 1100101010 (2) =810(10)

512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 0 0 0 0 0 0 0 1
0 256 0 0 0 0 0 0 0 1 257
512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 0 0 0 1 0 1 0 0 1
512 0 0 0 32 0 8 0 0 1 553
810
+ 1 0 0 0 0 0 0 0 1
1 0 0 0 1 0 1 0 0 1
1 1 0 0 1 0 1 0 1 0
512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 1 0 0 1 0 1 0 1 0
512 256 0 0 32 0 8 0 2 0 810

в)101111011,01(2) +1000100,101(2) =379,25(10) +68,625(10) = (2) =447,875(10)

0 1
0,5 0,25 0,125 0,063 0,031 0,02 0,01 0,0039 0,002 0,001
0,25 0 0,25
512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 0 1 1 1 1 0 1 1
0 256 0 64 32 16 8 0 2 1 379
379,25
1 0 1
0,5 0,25 0,125 0,063 0,031 0,02 0,01 0,0039 0,002 0,001
0,625 0,5 0 0,125
512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 0 0 0 1 0 0
0 0 0 64 0 0 0 4 0 0 68
68,625
447,875
+ 1 0 1 1 1 1 0 1 1 , 0 1
1 0 0 0 1 0 0 , 1 0 1
1 1 0 1 1 1 1 1 1 , 1 1 1
512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 1 0 1 1 1 1 1 1
0 256 128 0 32 16 8 4 2 1 447
1 1 1
0,5 0,25 0,125 0,063 0,031 0,02 0,01 0,0039 0,002 0,001
0,875 0,5 0,25 0,125

г)1532,14(8) +730,16(8) = 858.1875(10) +472.2188(10) =1330.41 (10) =2462.32172(8)

32768 4096 512 64 8 1 , 0,125 0,01563 0,00195
1,000 5,000 3,000 2,000 1 4
858 0 512 320 24 2 0,125 0,0625 0 0,1875
858,1875
32768 4096 512 64 8 1 , 0,125 0,01563 0,00195
7,000 3,000 0,000 1 6
472 0 0 448 24 0 0,125 0,09375 0 0,21875
472,2188
+ 1 5 3 2 , 1 4
7 3 0 , 1 6
2 4 6 2 , 3 2

4+6=12

5+7=14
32768 4096 512 64 8 1 , 0,125 0,01563 0,00195 0,00024 3,1E-05
2,000 4,000 6,000 2,000 3 2 1 7 2
1330 0 1024 256 48 2 0,375 0,03125 0,00195 0,00171 6,1E-05
1330,4100

д) BB,4 (16) +2F0,6 (16) = 187,25 (1 0 ) +752.375 (1 0) =939.625(10) =

4096 256 16 1 , 0,0625 0,0039063 0,0002441
11 11 4
187 0 176 11 0,25 0 0,25
187,250
4096 256 16 1 , 0,0625 0,0039063 0,0002441
2 15 0 6
752 512 240 0 0,375 0 0,375
752,375
+ 2 F 0 , 6
B B , 4
3 A B , A
10 11 10

F+B=1A

4096 256 16 1 , 0,0625 0,0039063 0,0002441
3 10 11 10
939 768 160 11 0,625 0 0,625
939,625

4. Выполнить вычитание

а)1000101110(2) -1111111(2) =558 (10) -127 (10) = 110101111 (2) = 431 (10)

512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 0 0 0 1 0 1 1 1 0
512 0 0 0 32 0 8 4 2 0 558

512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 64 32 16 8 4 2 1 127
- 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0
1 1 1 1 1 1 1
1 1 0 1 0 1 1 1 1
512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 1 0 1 0 1 1 1 1
0 256 128 0 32 0 8 4 2 1 431

б)1011101000(2) -1001000000(2) =744 (10) -576 (10) = 10101000 (2) = 168 (10)

512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 0 1 1 1 0 1 0 0 0
512 0 128 64 32 0 8 0 0 0 744
512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 0 0 1 0 0 0 0 0 0
512 0 0 64 0 0 0 0 0 0 576
- 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0
1 0 0 1 0 0 0 0 0 0
1 0 1 0 1 0 0 0
512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 0 1 0 1 0 0 0
128 0 32 0 8 0 0 0 168

в)1000101001,1 (2) -1111101,1 (2) =553.5 (10) -125.5 (10) = 110101100,0 (2) = 428.0 (10)


1
0,5 0,25 0,125 0,063 0,031 0,02 0,01 0,0039 0,002 0,001
0,5 0,5
512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 0 0 0 1 0 1 0 0 1
512 0 0 0 32 0 8 0 0 1 553
553,50
1
0,5 0,25 0,125 0,063 0,031 0,02 0,01 0,0039 0,002 0,001
0,5 0,5
512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 1 1 1 1 0 1
0 0 0 64 32 16 8 4 0 1 125
125,500
428,000
- 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 , 1
1 1 1 1 1 0 1 , 1
1 1 0 1 0 1 1 0 0 , 0
512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 1 0 1 0 1 1 0 0
256 128 0 32 0 8 4 0 0 428

г)1265,2 (8) -610,2 (8) =693.25(10) -392.25(10) =301.00(10) =455.0(8)

32768 4096 512 64 8 1 , 0,125 0,01563 0,00195 0,00024
1,000 2,000 6,000 5,000 2
693 0 512 128 48 5 0,25 0 0 0,25
693,2500
32768 4096 512 64 8 1 , 0,125 0,01563 0,00195 0,00024
6,000 1,000 0,000 2
392 0 0 384 8 0 0,25 0 0 0,25
392,2500
- 1 2 6 5 , 2
6 1 0 , 2
4 5 5 , 0
8+2-6=4
32768 4096 512 64 8 1 , 0,125 0,01563 0,00195 0,00024
4,000 5,000 5,000 2
301 0 0 256 40 5 0,25 0 0 0,25
301,2500

д) 409, D(16) -270,4(16) =1033.813(10) -624.25(10) = 409.563(10) =199.9(16)

4096 256 16 1 , 0,0625 0,0039063 0,0002441
4 0 9 13
1033 1024 0 9 0,8125 0 0,8125
1033,813
4096 256 16 1 , 0,0625 0,003906 0,000244 1,53E-05
2 7 0 4
0 512 112 0 0,25 0 0 0
624 624,2500 0,25
- 4 0 9 , D
2 7 0 , 4
1 9 9 , 9

13-4=9

7+9=10→10-7=9

3-2=1
4096 256 16 1 , 0,0625 0,0039063 0,0002441
1 9 9 9
409 256 144 9 0,5625 0 0,5625
409,563

5. Выполнить умножение

а)111010(2) = *1100000(2) =58 (10) *96 (10) = 1010111000000(2) = 5568 (10)

512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 1 1 0 1 0
32 16 8 0 2 0 58
512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 1 0 0 0 0 0
64 32 0 0 0 0 0 96
* 1 1 0 0 0 0 0
1 1 1 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 0
1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0
4096 2048 1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0
4096 0 1024 0 256 128 64 0 0 0 0 0 0 5568

б)1005.5(8) *63.3(8) = 517,6250 (10) * 51,3750 (10) =26592.98(10) = 63740.7656(8)

32768 4096 512 64 8 1 , 0,125 0,01563 0,00195 0,00024
1,000 0,000 0,000 5,000 5
517 0 512 0 0 5 0,625 0 0 0,625
517,6250

32768 4096 512 64 8 1 , 0,125 0,01563 0,00195 0,00024
6,000 3,000 3
51 0 0 0 48 3 0,375 0 0 0,375
51,3750
32768 4096 512 64 8 1 , 0,125 0,015625 0,0019531 0,0002441
6,000 3,000 7,000 4,000 0,000 7 6 5 6
26592 24576 1536 448 32 0 0,875 0,09375 0,0097656 0,9785156
26592,9785
* 1 0 0, 5 5
6, 3 3
3 0 2 0 7
3 0 2 0 7
6 0 4 2 6
6 3 7 4 0, 7 7

3*5=17

3*5+1=17+1=18→(2)0

3*0+2=2

3*0=0

3*1=3

2+6=0

6*5=36

6*5+6=(4)2

6*0+4=4

6*0=0

6*1=6

в)4 A ,3(16) * F ,6(16) = 74.188 (1 0 ) * 15.375 (1 0 ) = 1140.64(10) =474.A2(16)

4096 256 16 1 , 0,0625 0,0039063 0,0002441
4 10 3
74 0 64 10 0,1875 0 0,1875
74,188
4096 256 16 1 , 0,0625 0,0039063 0,0002441
15 6
15 0 0 15 0,375 0 0,375
15,375
* 4 A, 3
F, 6
1 B D 2
4 5 8 D
4 7 4, A 2

6*3=18=1*16+2

6*A=60+1=61=3*16+13→D

6*4=24+3=27=1 *16+11→B

F*3=15*3=45=2*16+13→D

F*A=15*10=150+2=9*16+8

F*4=15*4=60+9=69=4 *16+5

2+0=2

13+13=26=1*16+10→A

11+8=19+1=20=1*16+4

1+5+1=7

4

4096 256 16 1 , 0,0625 0,0039063 0,0002441
4 7 4 10 2
1140 1024 112 4 0,625 0,0078125 0,6328125
1140,633

Список литературы

1) Пономарёв В.С., Красников В.В. Методические указания по теме: "Арифметические основы ЭВМ":http://static.dstu.edu.ru/informatics/mtdss/part1.html

2) Википедия: http://ru.wikipedia.org/wiki/Двоичная_система_счисления

3) Шауцукова Л.З. Информатика 10 - 11. — М.: Просвещение, 2000 г.: http://www.rus-edu.bg/edu/online/inf/bookinf/theory/chapter4/1_4_10.html

4) Системы счисления Анжелиной Латышевой : http://logika.weebly.com/10571083108610781077108510801077-1074-107410861089110010841077108810801095108510861081-1089108010891090107710841077.html