Скачать .docx |
Реферат: Системы счисления и представления типов данных
Системы счисления и представления типов данных
Содержание
1.Позиционные системы счисления. 3
2.Переходы между основными системами счисления. 5
3.Основные 16‑ичные константы.. 5
4.Реализация целочисленных операций. 7
5.Представление отрицательных чисел. 8
6.Целочисленные типы данных в языке Си. 9
7.Вещественные типы данных в языке Си. 10
1. Позиционные системы счисления
Позиционные системы счисления (СС) – это системы счисления, в которых количественный эквивалент каждой цифры зависит от ее положения (позиции) в записи числа. Например:
1) шестидесятиричная (Древний Вавилон) – первая позиционная система счисления. До сих пор при измерении времени используется основание равное 60 (1 мин = 60 с, 1 ч = 60 мин);
2) двенадцатеричная система счисления (широкое распространение получила в XIX в. Число12 – «дюжина»: в сутках две дюжины часов. Счет не по пальцам. а по суставам пальцев. На каждом пальце руки, кроме большого, по 3 сустава – всего 12;
3) в настоящее время наиболее распространенными позиционными системами счисления являются десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная.
Система счисления – способ записи (изображения) чисел. Символы, при помощи которых записывается число, называются цифрами. Алфавитом системы счисления называется совокупность различных цифр, используемых в позиционной системе счисления для записи чисел. Например: Алфавиты некоторых позиционных систем счисления. Десятичная система: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Двоичная система: {0, 1}
Восьмеричная система: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Шестнадцатеричная система: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}
Количество цифр в алфавите равно основанию системы счисления. Основанием позиционной системы счисления называется количество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе счисления.
Базисом позиционной системы счисления называется последовательность чисел, каждое из которых задает количественное значение или «вес» каждого разряда. Например: Базисы некоторых позиционных систем счисления.
Десятичная система: 100 , 101 , 102 , 103 , 104 ,…, 10n ,…
Двоичная система: 20 , 21 , 22 , 23 , 24 ,…, 2n ,…
Восьмеричная система: 80 , 81 , 82 , 83 , 84 ,…, 8n ,…
Свернутой формой записи числа называется запись в виде
A=an -1 an -2 …a1 a0 .a-1 …a- m
Именно такой формой записи чисел мы и пользуемся в повседневной жизни. Иначе свернутую форму записи называют естественной или цифровой.
Пример . Десятичное число 4718,63, двоичное число 1001,1, восьмеричное число 7764,1, шестнадцатеричное число 3АF16
Позиция цифры в числе называется разрядом: разряд возрастает справа налево, от младших к старшим, начиная с нуля. В позиционной системе счисления любое вещественное число в развернутой форме может быть представлено в следующем десятичном виде:
А= ± (an-1 qn-1 +an-2 qn-2 + … +a0 q0 +a-1 q-1 +a-2 q-2 + … +a- m q- m )
Здесь А – само число, q – основание системы счисления, ai – цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления, n – число целых разрядов числа, m – число дробных разрядов числа. Развернутая форма записи числа – сумма произведений коэффициентов на степени основания системы счисления.
Пример . Десятичное число А10 = 4718,63 в развернутой форме запишется так:
А10 = 4·103 + 7·102 + 1·101 + 8·100 + 6·10-1 + 3·10-2
Двоичное число А2 = 1001,1 = 1·23 + 0·22 + 0·21 + 1·20 + 1·2-1
Восьмеричное число А8 = 7764,1 = 7·83 + 7·82 + 6·81 + 4·80 + 1·8-1
Шестнадцатеричное число А16 = 3АF16 = 3·162 + 10·161 + 15·160
2. Переходы между основными системами счисления
Основные СС имеют основания 2, 8,10, 16. Системы с основаниями 2, 8 и 16 являются родственными, так как их основания являются степенями двойки. Переходы между ними реализуются легко.
2 ® 8. Двоичное число разбивается справа налево на триады (тройки цифр) и каждая триада заменяется на 8‑ичную цифру.
2 ® 16. Двоичное число разбивается справа налево на тетрады (четверки цифр) и каждая тетрада заменяется на 16‑ичную цифру.
8 ® 16 и 16 ® 8. Преобразование идет через двоичную СС.
Любое основание ® 10. Осуществляется по определению позиционной системы счисления.
10 ® 16. Имеется два способа преобразования.
1. Метод деления «уголком» строит результирующее 16‑ичное число от младших цифр к старшим. Для этого запоминаются целые остатки от деления исходного числа на 16, пока частное не станет равным 0. Записывая эти остатки в обратном порядке, получим ответ.
2. Метод «вычерпывания» состоит из нескольких итераций. На каждой итерации исходное число х оценивается снизу максимальной степенью m нового основания p= 16: х ≥ 16m . Затем определяем число r вхождений степени 16m в число х. Наконец, 16‑ичную цифру r записываем в результирующее число в разряд с номером m. Число x заменяем на меньшее число х – r · 16m . Если новое число х = 0, то алгоритм заканчивается, и остальные разряды результата заполняем нулями. В противном случае, переходим к следующей итерации.
3. Основные 16‑ичные константы
Большинство числовых констант, которые встречаются в компьютерной технике, являются круглыми шестнадцатеричными числами. Эти числа обычно записывают в десятично-буквенном виде, имеющем формат ab, где а – десятичное число, b – буква.
Таблица 1.Шестнадцатеричные константы
16‑ичная константа | Десятично-буквенное значение | Примечания |
0х10 | 24 = 16 | Размер параграфа |
0х100 | 28 = 256 | Размер физического сектора |
0х200 | 512 | Размер кластера на дискете |
0х400 | 210 = 1024 = К | Килобайт |
0х1000 | 4 К | |
0х10000 | 64 К | Размер сегмента |
0хА0000 | 640 К | Верхняя граница ОЗУ для размещения исполняемого кода в DOS |
0х100000 | 220 = М | Мегабайт |
Следующая таблица содержит популярные степени числа 2, а также их русские и английские названия.
Таблица 2. Степени числа 2
Показатель степени | Степень | Примечания |
0 | 1 | |
1 | 2 | |
2 | 4 | |
3 | 8 | |
4 | 16 | |
5 | 32 | |
6 | 64 | |
7 | 128 | |
8 | 256 | |
9 | 512 | |
10 | К = 1024 » 103 , К | Килобайт, Kilobyte |
20 | М = К·К = К2 » 106 , М | Мегабайт, Megabyte |
30 | Г = К3 » 109 , G | Гигабайт, Gigabyte |
40 | Т = К4 = М2 » 1012 , T | Терабайт, Terabyte |
50 | П » 1015 , P | Петабайт, Petabyte |
60 | Э » 1018 , E | Экзабайт, Exabyte |
70 | З » 1021 , Z | Зетабайт, Zettabyte |
80 | Й » 1024 , Y | Йотабайт, Yottabyte |
Последние строки кратных единиц были дополнены ГОСТом в 1991. Вычисления с числами, представленными в десятично-буквенном виде, можно осуществлять без перехода в десятичную СС. Например, 32 Т / 256 К = 245 / 218 = 227 = 128 М.
Таблицы 1 и 2 позволяют переводить 16‑ичные числа в десятично-буквенную запись без применения вычислительных средств. Например,
0х7D8A30 = 7·0x100000 + 13·0x10000 + 8·0x1000 + 10·0x100 + 3·16 = 7 M + 13·64 K + 8·4 K + 10·(K/4) + 48 = 7 M + 866,5 K + 48.
Отметим, что для десятично-буквенных чисел не выполняется дистрибутивный закон, то есть 1 М + 100 К не равен 1,1 М.
4. Реализация целочисленных операций
Представление чисел в компьютере осуществляется в двоичной СС. Однако для краткости записи чисел используют родственную 16‑ичную СС.
Определение 1 . Логическим адресом ячейки памяти в ОЗУ с 20‑битной адресной шиной называется запись xxxx:yyyy, где хххх – шестнадцатеричный сегментный адрес, yyyy – шестнадцатеричное смещение. Физическим адресом этой ячейки называется число xxxx0 + yyyy.
Пример . Область кода программы расположена с ячейки 55А3:3000 по ячейку 9EEF:A0FF. Оценить размер области в килобайтах.
Решение . Физический адрес начала области 0х55А30 + 0х3000 = 0х58A30, конца области 0х9EEF0 + 0хA0FF = 0хA8FEF. Размер этой области равен 0хA8FEF– 0х58A30 + 1 = 0x505C0 = 5·64 К + 0·4 К + 10· (К/4) + 12·16= (320 + 2,5) К + 192 = 322,5 К + 192.
Определение 2 . Нормализованным адресом ячейки памяти ОЗУ с 20‑битной адресной шиной называется запись xxxx:yyyy, где хххх – шестнадцатеричное число, yyyy – шестнадцатеричное смещение, не превосходящее размера параграфа, то есть из диапазона от 0 до 15.
Арифметические операции сложения, вычитания, умножения и деления с 16‑ичными числами осуществляются аналогично 10‑ичным числам, то есть «столбиком». Однако, имеются некоторые отличия.
Пример . Критерии деления 16‑ичного целого числа на 3 и на 5 выглядят одинаково: сумма цифр должна делится, соответственно, на 3 и на 5.
Пример . Оказывается в 16‑ичной СС 0x112 = 0x121, 0x122 = 0x144, 0x132 = 0x169.
Пример
. Десятичное число 0,1 нельзя представить в виде конечной 2‑ичной дроби A= 0, a-1
…a-
m
= a-1
2-1
+ a-2
2-2
+… + a-
m
2-
m
. В противном случае, умножая равенство 0,1 = А на 10·2m
, получим 2m
= 10·(a-1
2m
-1
+
a-2
2m
-2
+… + a-
m
20
). Последнее равенство невозможно, так как правая часть делится на 5, а левая – нет.
5. Представление отрицательных чисел
Целые отрицательные числа хранятся в компьютере в двоичном «дополнительном» коде: положительное двоичное число необходимо побитово инвертировать и прибавить единицу.
Этот код основан на простом соображении, что x+ (-x) = 0 при сложении двоичных чисел столбиком. При этом единица, которая переходит из старшего 7‑го бита в несуществующий 8‑ой бит, пропадает. Например, для однобайтного числа x = 5 имеем
x = 5 = 0000 0101
+
– x = -5 = **** ****
____________________
0 = 0 = 0000 0000
Теперь конструируем число -5 = 1111 1011.
6. Целочисленные типы данных в языке Си
Таблица 3. Целочисленные типы данных
Название типа | Размер в байтах | Диапазон |
unsigned char | 1 | 0 … 255, 0. 28 -1 |
char, signed char | 1 | -128 … 127, -27 … 27 -1 |
unsigned int | 2 | 0. 65535, 0. 216 -1, 0…64K–1 |
int, signed int | 2 | -32758 … 32757, -215 … 215 - 1, -32 K… 32 K– 1 |
unsignedlong | 4 | 0… 232
- 1, 0… 4 M– 1 |
long | 4 | -231…
231
- 1, 0… 4 M– 1 |
По умолчанию целые десятичные константы имеют тип int. Поэтому все целые числа должны содержаться в диапазоне -32758… 32757. Например, запись x = 100000 будет ошибочна независимо от типа переменной x. Для обозначения целой константы типа long используется суффикс l. Тогда инициализация longx = 100000l будет корректна.
Компилятор не проверяет выход результата целочисленного выражения за диапазон типа. Запись longx = 20000 + 20000 будет ошибочна, так как 40000 не содержится в диапазоне типа int. Это будет «хорошо скрытая» ошибка. Реально x будет содержать значение
40000 – 64 К. Запись longx = 20000l + 20000 будет уже корректна, так как результат будет иметь уже тип long.
Построим область корректного сложения для типа char.
char x, y, z;
x = y = 100;
z = x + y;
Нарисуем в системе координат (x, y) множество, для которого z будет содержать корректный ответ. Имеем систему
решением которой является шестиугольник.
Рис. 1. Диапазон корректного сложения
7. Вещественные типы данных в языке Си
Вещественные типы всегда имеют знак.
Определение 3 . Нормализованной формой ненулевого числа x называется запись x = M×10p , где M– мантисса, 0,1 £½M½ < 1, p – порядок числа х.
Нормализованная форма числа единственна.
Таблица 4. Вещественные типы данных
Название типа | Размер в байтах | Размер мантиссы в десятичных знаках | Размер порядка в битах | Диапазон |
float | 4 | 7–8 | 8 | 3,4×10-38 … 3,4×1038 |
double | 8 | 15–16 | 11 | 1,7×10-3 0 8 … 1,7×103 0 8 |
longdouble | 10 | 19–20 | 15 | 3,4×10-4932 … 1,1×104932 |
Определение 4 . Машинным нулем для данного вещественного типа называется минимальное положительное число того же типа
m0 = min {x: x > 0}.
Определение 5 . Машинным эпсилон для данного вещественного типа называется минимальное число того же типа, для которого 1 + x > 1
me = min {x: 1 + x > 1}.
Определение 6 . Машинной бесконечностью для данного вещественного типа называется максимальное число того же типа
m¥ = max{x}.
По диапазону типа можно определить m0 , m¥ . Машинный эпсилон определяется размером мантиссы. Так, например, для типа float имеем
m0 = 3,4×10-38 , m¥ = 3,4×1038 , me » 10-8 .
Определение 7 . «Правым соседом» числа x данного вещественного типа назовем минимальное число y того же типа, для которого x < y
«Правый сосед» х = min {y: x < y}.
«Правый сосед» числа х больше самого х на величину равную
me × 10порядок числа х .
Приближенно можно считать, что «правый сосед» числа х » х + me ×x.
Например, для типа float «правый сосед» числа 1010 » 1010 + 10-8 × 1010 = 1010 + 100.
Таким образом, вещественные числа данного типа расположены на числовой прямой неравномерно, чем больше числа, тем больше расстояние между соседними числами. Этот факт следует учитывать при организации циклов: шаг цикла должен быть больше, чем расстояние между соседними числами.
Параметры типа в таблице 4 связаны между собой.
Задача . Вещественный тип doom занимает 15 байт, под порядок отведено 30 бит. Определить остальные параметры этого типа.
Решение . Порядок занимает 30 бит, поэтому минимальное двоичное значение порядка равно -229 . Для перевода этого числа к десятичному основанию решим показательное уравнение -229 = -10х . Логарифмируя по основанию 10, получаем х = 29 ×lg2 » 29 × 0,3010 = 8,729. Таким образом, m0 равен » 0,5 × 10- 161290865,49 » 1,54 × 10- 161290865 .
Мантисса в двоичной системе счисления занимает 90 бит, из которых один бит определяет знак мантиссы. Так как первые знаки двоичной мантиссы равны 0,1 и всегда одинаковы, то под них память не отводится. Поэтому остальные 89 бит мантиссы занимают разряды с номерами от -2 до -90. «Правый сосед» единицы равен 0,100…0012 × 21 , где последняя единица стоит в -90‑ом разряде. Тогда
me = 2-89 = 10-89 × lg (2) = 10-26 , 7 9 = 6,17 ×10-26
8. Кодирование символов
Для кодирования символов с помощью одного байта используется ASCII‑таблица (AmericanStandardCodeforInformationInterchage)
В ASCII‑таблице содержатся различные символы и соответствующие им коды. Например, символу ‘0’ соответствует код 0x30 = 48. Символы и строки хранятся в памяти в виде соответствующих кодов из ASCII‑таблицы. Например, строка «123» в памяти будет храниться в виде последовательности байт 0х31 0х32 0х33 0х00. Иногда строки, у которых 0 является признаком конца, называют asciiz‑строками.
Таблица 5. ASCII – таблица символов
Основная таблица ASCII | Расширенная таблица ASCII |
Символу ‘b’ соответствует «ASCII‑код» 0x62. В десятичной системе это будет 98, а в двоичной – 01100010. Код символа ‘b’ вы можете посмотреть из ASCII‑таблицы. Таблицы символов для разных шрифтов можно найти с помощью программы Таблица Символов: Пуск – Стандартные – Системные утилиты – Таблица Символов).
В русской кодировочной странице 866 буква Ё имеет код 0xF0, а буква ё – код 0хF1.
В языке Си символьные константы обозначаются ‘\xxx’, где ххх – код этого символа, записанный в восьмеричной СС. Иначе говоря,
‘\xxx’ – это код символа, у которого код равен ххх.
Примеры
. 1. Количество букв в английском алфавите равно
‘Z’ – ‘A’ + 1.
2. Количество букв в русском алфавите равно ‘Я’ – ‘А’ + 2.
9. Схемы алгоритмов
Для облегчения вычерчивания и нахождения на схеме символов рекомендуется поле листа разбивать на зоны. Размеры зон устанавливают с учетом минимальных размеров символов, изображенных на данном листе. Допускается один символ размещать в двух и более зонах, если размер символа превышает размер зоны. Координаты зоны проставляют: по горизонтали – арабскими цифрами слева направо в верхней части листа; по вертикали – прописными буквами латинского алфавита сверху вниз в левой части листа. Координаты зон в виде сочетания букв и цифр присваивают символам, вписанным в поля этих зон, например: A1, A2, A3, B1, B2, B3 и т.д. Если поле листа не разбито на зоны, символам присваивают порядковые номера.
Линии потока должны быть параллельны линиям внешней рамки схемы. Направления линий потока сверху вниз и слева направо принимают за основные и, если линии потока не имеют изломов, стрелками можно не обозначать. В остальных случаях направление линии потока обозначать стрелкой обязательно.
Сокращения слов и аббревиатуры, кроме стандартных и общепринятых, должны быть расшифрованы в нижней части поля схемы или в документе, к которому эта схема относится. Записи внутри символа должны быть представлены так, чтобы их можно было читать слева направо и сверху вниз, независимо от направления потока. (вид а должен быть прочитан как вид б ).
Рис. 2. Эквивалентные фрагменты схемы алгоритма
Таблица 6. Соединитель
Обозначение | Комментарии | Использование |
E5
, B1
, A
, 5
– идентификаторы соединителей в виде: буквы и цифры (координаты зоны листа) |
При большой насыщенности схемы символами отдельные линии потока между удаленными друг от друга символами допускается обрывать. При этом в конце (начале) обрыва должен быть помещен символ «Соединитель» | |
буквы | ||
цифры |
Таблица 7. Межстраничный соединитель
Обозначение | Комментарии | Использование |
Первая строка внутри межстраничного соединителя определяет номер листа схемы, вторая – координату символа | а) связываемые линией потока символы находятся на разных листах | |
A3 – определяет зону на данном листе, где расположен символ «Комментарий» 010E3 – определяет номер листа и зону расположения, связываемую с символом E3 | б) в случае связи некоторого символа со многими другими символами, расположенными на разных листах, на входе этого символа помещают один символ «Межстраничный соединитель», внутри которого на первой строке помещают знак #, а на второй строке – координаты символа «Комментарий». Внутри символа «Комментарий» указывают номера страниц и координаты символов, связанных с поясняемым символом |
Таблица 8. Линии потока
Обозначение | Комментарии | Использование |
Применяют для указания направления линии потока: можно без стрелки, если линия направлена слева направо и сверху вниз; со стрелкой – в остальных случаях | ||
Излом линии потока под углом 90о | Обозначает изменение направлений линии потока | |
Пересечение линий потока | Применяется в случае пересечения двух несвязанных линий потока | |
Слияние линий потока. Место слияний линий потока обозначено точкой | Применяется в случае слияния линий потока, каждая из которых направлена к одному и тому же символу на схеме. Место слияния линий потока допускается обозначать точкой или цифрой 0. | |
Место слияний линий потока обозначено цифрой 0 |
Таблица 9. Возможные варианты отображения решения
Обозначение | Комментарии | Использование |
A = B , P ≥ 0 – условия решений; A , B , P – параметры |
При числе исходов не более трех признак условия решения (Да, Нет, =, >, <) проставляют над каждой линией потока или справа от линии потока | |
yi – условие i ‑го исхода, 011T1 , 016A3 , 005B5 , 015T4 – адреса исходов. Структура адреса имеет вид: |
При числе исходов более трех условие исхода проставляется в разрыве линии потока. Адрес исхода проставляется в продолжении условия исхода и отделяется от него пробелом | |
B5 – знак, указывающий, что условия решения даются в виде таблицы или символа «Комментарий», расположенных на данном листе в зоне B5 | в символе «Соединитель» указывают координату зоны, куда должна помещаться таблица или символ «Комментарий» |
Таблица 10
Символы в схемах алгоритмов
Название символа | Обозначение | Использование |
1. Процесс | Выполнение операции или группы операций, в результате которых изменяется значение, форма представления или расположение данных | |
2. Решение | Выбор направления выполнения алгоритма или программы в зависимости от некоторых переменных условий | |
3. Модификация | Выполнение операций, меняющих команды, или группы команд, изменяющих программу | |
4. Предопреде ленный процесс |
Использование ранее созданных и отдельно описанных алгоритмов или программ | |
5. Ручной ввод | Ввод данных вручную при помощи неавтономных устройства с клавиатурой, переключателей, кнопок | |
6. Ввод-вывод | Преобразование данных в форму, пригодную для обработки (ввод) или отображения результатов обработки (вывод) | |
7. Документ | Ввод-вывод данных, носителем которых служит бумага | |
8. Файл | Представление организованных на основе общих признаков данных, характеризующих в совокупности некоторый объект обработки данных. Символ используется в сочетании с символами конкретных носителей данных, выполняющих функции ввода-вывода. | |
9. Линия потока | Указание последовательности связей между символами | |
10. Соединитель | Указание связи между прерванными линиями потока, соединяющими символы | |
11. Пуск-останов | Начало, конец, прерывание процесса обработки данных или выполнения программы | |
12. Комментарий | Связь между элементом схемы и пояснением | |
13. Межстраничный соединитель | Указание связи между разъединенными частями схем алгоритмов и программ, расположенных на разных листах |
Размер a должен выбираться из ряда 10, 15, 20 мм. Допускается увеличивать размер a на число, кратное 5. Размер b равен 1,5 × a. При ручном выполнении схем алгоритмов и программ допускается устанавливать b равным 2 × a.