Скачать .docx |
Реферат: Анализ сигналов и их прохождения через электрические цепи
Министерство образования РФ
Государственное образовательное учреждение
«Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого»
Кафедра «Радиофизика и электроника»
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ И ПРОХОЖДЕНИЕ ИХ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ
Курсовая работа по дисциплине «Радиотехнические цепи и сигналы»
Н. контроль Руководитель
___________В. А. Дубровская д.т.н., профессор
«___»___________2001г. _____А. Т. Трофимов
«___»__________2001г.
Студент группы 9341
________К.В. Прокопьева
«___»__________2001г.
Великий Новгород
2001
СОДЕРЖАНИЕ
1 Задание на курсовую работу 3
1.1 Цель работы 3
1.2 Заданные параметры 3
2 Анализ формы сигнала 4
2.1 Математическая модель видеосигнала и его спектр 4
2.2 Математические модели сигналов, соответствующих заданному видео сигналу, и их спектры 6
2.1.1 Периодическая последовательность видеосигналов 6
2.2.2 Радиосигнал с огибающей в форме видеосигнала 8
2.2.3 Аналитический сигнал, соответствующий радиосигналу 9
2.2.4 Дискретный сигнал 10
2.3. Вывод 12
3 Анализ электрических цепей 13
3.1 Апериодическое звено 14
3.2 Колебательное звено 16
4 Анализ прохождения сигналов через цепи 19
4.1 Прохождение видеосигнала через апериодическое
и колебательное звено 19
4.2 Прохождение радиосигнала через апериодическое
и колебательное звено 20
5 Анализ прохождения случайного сигнала через линейные цепи 21
5.1 Анализ прохождения случайного сигнала через
апериодическое звено 21
5.2 Анализ прохождения случайного сигнала через
колебательное звено 22
6 Заключение 24
7 Список литературы 25
1 ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ
R - сопротивление
C - ёмкость
L - индуктивность
А - амплитуда сигнала
Q - добротность колебательного контура
s(t) - функция Хевисайда, которая определяется как:
(1.1)
t - время
w - круговая частота
АЧХ - амплитудно-частотная характеристика
ФЧХ - фазо-частотная характеристика
g(t) - переходная характеристика цепи
h(t) - импульсная характеристика цепи
K(jw) - комплексный частотный коэффициент передачи цепи
K(p) - операторный коэффициент передачи цепи
2 ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ
Студенту группы 9341 Прокопьева К.В.
Учебная дисциплина “Радиотехнические цепи и сигналы”
2.1 Тема работы
Анализ радиотехнических сигналов и их прохождение через линейные цепи.
2.2 Цель работы
Анализ радиотехнических сигналов и линейных цепей методами математического моделирования .
2.3 Исходные данные
2.3.1 Видеосигнал – полином Чебышева третьей степени, определенный на интервале времени (-T,T), где T=35 мкс.
2.3.2 Схема апериодического звена:
Г-образный четырехполюсник, где
Z1 - C параллельно R1 ,
Z2 - R.
RC=T, С=0.5 мкФ, R1 =103 R.
2.3.2 Схема колебательного звена:
Г-образный четырехполюсник, где
Z1 - L последовательно C параллельно R1 ,
Z2 - R.
С=20000 пФ, L=1.5 мкГн, R1 =104 R.
Добротность колебательной системы равна 50, резонансная частота контура совпадает с частотой радиоимпульса.
2.4 Условия
Дополнительные условия отсутствуют.
2.5 Срок выдачи задания курсовую работу
_______________________________________________
2.6 Срок выполнения курсовой работы
_______________________________________________
Задание выдал Задание получил
______________________ ________________________
______________________ ________________________
______________________ ________________________
2 АНАЛИЗ ФОРМЫ СИГНАЛА
2.1 Математическая модель видеосигнала и его спектр
Выражение для определения полиномов Чебышева (третьего рода) и полином Чебышева третьего порядка представлены формулами (2.1.1) и (2.1.2) соответственно.
|
|
T3 (x) = (4*x3 -3*x)
Математическая модель видеосигнала представляет собой промасштабированный полином Чебышева третьего порядка. Масштабирование осуществляется путем замены переменной x на новую переменную kt. Коэффициент k выбирается так, чтобы выполнялось условие kt=1 при t=T и kt=-1 при t=-T (так как функция Чебышева ортогональна при -1<x<1). Параметр Т задан и , значит k=1/T.
После масштабирования полином Чебышева примет вид, представленный в формуле (2.1.3).
|
T3 (x) = 4*(t/T)3 -3*(t/T)
Математическая модель видеосигнала будет описываться функцией, представленной в формуле (2.1.4) на промежутке tÎ[-T, T]. Окончательная модель видеосигнала имеет вид:
|
Так как большинство расчётов будет производиться преимущественно численными методами с помощью специализированного программного обеспечения, то математическую модель видеосигнала можно записать с помощью единичной функции. Это приведено в формуле (2.1.5).
|
Графическое изображение модели видеосигнала приведено в приложении А на рисунке А.1
Спектральную плотность видеосигнала находится с помощью прямого преобразования Фурье математической модели видеосигнала:
|
где - оператор Фурье;
- спектральная плотность видеосигнала, ;
- частота, .
Спектральная плотность видеосигнала находится по формуле (2.1.7).
|
Графики спектральной плотности для заданного видеосигнала изображён в приложении А на рисунке А.2
2.2 Математические модели сигналов, соответствующих заданному видео сигналу, и их спектры
2.2.1 Периодическая последовательность видеосигналов
Математическая модель периодической последовательности видеосигналов, изображенная в приложении А на рисунке А.3, вычисляется по формуле (2.2.1.1)
|
где Sp (t) - математическая модель периодической последовательности видеосигналов;
s(t) – математическая модель видеосигнала;
- период повторения видеосигналов.
График периодической последовательности видеосигналов изображён в приложении А на рисунке А.3
Спектр периодической последовательности видеосигналов вычисляется по формуле (2.2.1.2)
|
|
где ;
.
График спектральной плотности периодической последовательности видеосигналов изображён в приложении А на рисунке А.4
2.2.2. Радиосигнал с огибающей в форме видеосигнала.
Выражение для радиосигнала с огибающей в форме видеосигнала представлено в формуле (2.2.2.1).
|
- начальная фаза колебания;
- частота колебания.
Частота радиосигнала совпадает с резонансной частотой колебательного звена, которая определяется по формуле (2.2.2.2).
|
Значения L и С в формуле (2.2.2.2) берутся из задания на курсовую работу. В итоге имеем рад*МГц.
Графическое изображение радиосигнала приведено в приложении А на рисунке А.5
Спектральная плотность радиосигнала определяется по формуле (2.2.2.3)
|
График модуля спектральной плотности радиосигнала приведён в приложении А на рисунке А.6
2.2.3. Аналитический сигнал, соответствующий радиосигналу.
Аналитический сигнал Z(t), соответствующий реальному физическому сигналу s(t), определяется по формуле (2.2.3.1).
|
|
где - функция, сопряжённая по Гильберту исходному сигналу s(t).
Если исходный сигнал записан в форме
|
то сопряженная функция будет такой:
Аргумент синуса определяется по формуле (2.2.3.4).
|
где - частота несущего высокочастотного колебания;
- изменяющаяся во времени фаза;
- постоянная во времени начальная фаза.
Примем =0 и =0, поэтому .
Исходя из всего вышесказанного, аналитический сигнал можно записать в виде, представленном формулой (2.2.3.5).
|
|
Следовательно, спектр аналитического сигнала определяется по формуле (2.2.3.7).
|
2.2.4 Дискретный сигнал
Для представления видеосигнала в дискретном виде по теореме Котельникова необходимо найти значение верхней частоты сигнала. Это можно сделать через его энергию.
Полную энергию видеосигнала можно найти двумя способами: используя его математическую модель или через энергетический спектр.
Найти полную энергию видеосигнала с помощью математической модели видеосигнала можно по формуле (2.2.4.1).
|
|
|
Энергетический спектр сигнала определяется по формуле (2.2.4.2).
Полная энергия сигнала с использованием его энергетического спектра представлена в формуле (2.2.4.3).
Надо найти такое значение , при котором 90 процентов энергии видеосигнала сосредоточено в полосе частот , другими словами, выполняется равенство:
|
Наиболее простым методом решения этого уравнения является графический, результаты которого приведены в приложении А на рисунке А.8
В итоге, верхняя частота сигнала равна рад*Гц.
По значению верхней частоты определяем интервал между двумя отсчетными точками на оси времени.
|
По этому интервалу определяем число отсчётных точек.
|
По формулам (2.2.4.5) и (2.2.4.6) получили значения секунд и . По этим значениям определяем видеосигнал в дискретном виде по формуле (2.2.4.7).
|
Графическое изображение дискретного видеосигнала приведено в приложении А на рисунке А.7
2.3. Вывод
На основании проделанного анализа можно сделать следующие выводы:
· Для теоретического исследования сигналов необходимо построить их математические модели;
· спектральное представление импульсных сигналов осуществляется путём разложения их в интеграл Фурье;
· при переходе от видеоимпульса к радиоимпульсу при спектральном подходе означает перенос спектра видеоимпульса в область высоких частот – вместо единственного максимума спектральной плотности при w=0 наблюдается два максимума при w=±w; абсолютные значения максимумов сокращаются вдвое;
· чем меньше длительность импульса, тем шире его спектр. Под шириной спектра понимают частотный интервал, в пределах которого модуль спектральной плотности не меньше некоторого наперёд заданного уровня, например уровня от |S|max до 0.1|S|max .
3 АНАЛИЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
3.1 Вид сигнала
Вид сигнала – полином Чебышева третьей степени, определённый на интервале времени (-Т, Т), где Т=35 мкс.
3.2 Схема цепи
Схема цепи изображена на рисунке 3.2.1
Рисунок 3.2.1 – Схема цепи
3.3 Апериодическое звено
|
Рисунок 3.3.1 - Схема апериодического звена
Параметры цепи
С=0.5мкФ, RC=T, R1 =103 R, T=3.5×10-5 сек.
Найдём R и R1 :
( 3.3.1)
. (3.3.2)
Комплексный частотный коэффициент передачи цепи определяется по формуле (3.3.3), как отношение выходного комплексного сопротивления к входному
. (3.3.3)
Комплексный частотный коэффициент передачи апериодического звена
Найдем комплексный частотный коэффициент передачи апериодического звена:
(3.3.4)
Из формулы (3.3.4) найдём АЧХ:
(3.3.5)
Из формулы (3.3.5) найдём ФЧХ:
. (3.3.6)
Амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики апериодического звена показаны в приложении Б на рисунках Б.1 и Б.2 соответственно.
Операторный коэффициент передачи получаем из комплексного частотного коэффициента путём замены jw на р.
(3.3.7)
Импульсная характеристика h(t) это реакция цепи на дельта-импульс d(t). Удобнее всего искать ее в операторной форме.
Изображение d(t) в операторной форме имеет вид, приведённый в формуле (3.3.8).
|
Импульсную характеристику цепи найдём через обратное преобразование Лапласа, результат которого приведён в формуле (3.3.9).
(3.3.9)
Графическое изображение импульсной характеристики апериодического звена приведено в приложении Б на рисунке Б.3
Переходная характеристика g(t) представляет собой реакцию цепи на единичную ступеньку s(t). Изображение s(t) в операторной форме имеет вид:
|
Сигнал на выходе в операторной форме, когда на входе единичная ступенька s(t) имеет вид:
|
В итоге, переходная характеристика приведена в формуле (3.3.12).
|
Графическое изображение переходной характеристики апериодического звена приведено в приложении Б на рисунке Б.4
3.4 Колебательное звено.
Схема колебательного звена приведена на рисунке 3.4.1
Рисунок 3.4.1 – Схема электрическая принципиальная колебательного контура
Параметры цепи
L=1.5мкГн=1.5×10-6 Гн, C=20000пФ=2×10-8 Ф,
Q=50, R1 =103 R, fр =f0
Найдём R и R1 . Для этого преобразуем параллельное соединение C и R1 в последовательное соединение Сэкв и Rэкв .
Допустим R1 >>Rc , где R1 – сопротивление резистора R1, Rc – реактивное сопротивление конденсатора, тогда Сэкв »С.
Эквивалентная схема приведена на рисунке 3.4.2
Рисунок 3.4.2 – Эквивалентная схема колебательного звена
Резонансная частота последовательного колебательного контура определяется формулой:
. (3.4.1)
. (3.4.2)
Характеристическое сопротивление контура – сопротивление каждого из реактивных элементов при резонансе:
. (3.4.3)
. (3.4.4)
Переходя к эквивалентной схеме определяют Rэкв по формуле:
. (3.4.5)
Rпос =R+Rэк . (3.4.6)
Подставив все значения в формулу (3.4.4):
Ом. (3.4.7)
Подставляем (3.4.5) в (3.4.4) и учитывая, что R1 =103 ×R, получаем:
, (3.4.8)
. (3.4.9)
R=0.087Ом. Следовательно, R1 =870 Ом.
870 Ом >> 8.66 Ом (3.4.10)
Комплексный частотный коэффициент передачи цепи определяется по аналогии с апериодическим звеном по формуле (3.3.3).
(3.4.11)
коэффициент передачи колебательного звена.
(5.8)
Для АЧХ имеем:
. (5.9)
Для ФЧХ имеем:
. (5.10)
Амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики колебательного звена показаны на рисунках в приложении В на рисунках В.1 и В.2
Операторный коэффициент передачи получаем путём замены iw на р по аналогии с апериодическим звеном.
Передаточная функция колебательного звена имеет вид:
, (5.18)
где
, (5.19)
. (5.20)
Импульсная характеристика колебательного звена определяется преобразованием Лапласа от операторной передаточной функции.
(5.21)
Графические изображения импульсной и переходной характеристик колебательного звена приведены в приложении В на рисунках В.3 и В.4
4 АНАЛИЗ ПРОХОЖДЕНИЯ СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЦЕПИ
Анализ прохождения сигнала через апериодическое и колебательное звено будет производиться при помощи спектрального метода. Суть этого метода заключается в том, что если известен спектр сигнала на входе цепи и известен комплексный коэффициент передачи, то можно легко определить спектр сигнала на выходе цепи по формуле (4.1).
|
|
После того как получен спектр сигнала на выходе, надо выполнить обратное преобразование Фурье (формула (4.2)) и в результате получится сигнал на выходе.
4.4 Прохождение видеосигнала через апериодическое и колебательное звено
Графические изображения сигналов на выходе апериодического и колебательного звена при действии на вход видеосигнала приведены в приложении Г на рисунках Г.1 и Г.3
4.5 Прохождение радиосигнала через апериодическое и колебательное звено
Графические изображения сигналов на выходе апериодического и колебательного звена при действии на вход радиосигнала приведены в приложении Г на рисунках Г.2 и Г.4
5 АНАЛИЗ ПРОХОЖДЕНИЯ СЛУЧАЙНОГО СИГНАЛА ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ
|
где - энергетический спектр белого шума на входе;
|
|
|
где - энергетический спектр белого шума на выходе.
Автокорреляция сигнала определяется по формуле (5.3).
|
Интеграл 5.3 не берётся в элементарных функциях, поэтому будем его считать в дискретном виде через обратное дискретное преобразование Фурье.
5.1 Анализ прохождения случайного сигнала через апериодическое звено
Энергетический спектр сигнала на выходе апериодического звена определяется по формуле (5.1.1).
, где K(w)- комплексный коэффициент передачи апериодического звена.
В итоге, график корреляционной функции апериодического звена изображён в приложении Д на рисунке Д.1
5.2 Анализ прохождения случайного сигнала через колебательное звено
Энергетический спектр сигнала на выходе колебательного звена приведён формуле (5.2.1).
, где K(w)- комплексный коэффициент передачи колебательного звена.
В итоге, график корреляционной функции колебательного звена изображён в приложении Д на рисунке Д.2
Энергетический спектр белого шума на входе цепи постоянен, и определяется формулой (5.1), а спектр белого шума на выходе – формулой (5.2).
где - энергетический спектр белого шума на входе;
- частота.
|
|
|
где - энергетический спектр белого шума на выходе.
|
Интеграл 5.3 не берётся в элементарных функциях, поэтому будем его считать в дискретном виде через обратное дискретное преобразование Фурье.
|
В данной работе проводился анализ сигналов, спектров, характеристик электрических цепей. Оказалось, что, чем меньше длительность сигнала и чем больше его математическая модель имеет резких перепадов, тем шире получается его спектральная плотность. Дискретизация сигнала позволяет ограничить ширину спектра, но вносит искажения в форму сигнала при его восстановлении. При вычислении спектров сигналов и расчете прохождения сигналов через цепи, оказалось, достаточно удобно вычислять прямое и обратное преобразование Фурье при помощи численных методов, так как аналитическое выражение получается только для относительно простых сигналов и цепей.
7 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
7.1 Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. – М.: Высшая школа, 1988 - стр.
7.2 Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. Руководство к решению задач. – М.: Высшая школа, 1987 - стр.
7.3 Радиотехнические цепи и сигналы. Примеры и задачи. Под. Ред. Гоноровского И.С. – М.: Радио и связь, 1989 - стр.
7.4 Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. – М.: Советское радио, 1977 – 672 стр.
7.5 Трофимов А.Т. Радиотехнические цепи и сигналы. – Новгород, 1982
- 103 стр.