Реферат: Методы сглаживания и выравнивания динамических рядов 2

I . ВВЕДЕНИЕ

Работа экономиста любой специальности неизбежно связана со сбором, разработкой и анализом статистических материалов. Нередко экономисту самому приходится проводить статистические разработки. Поэтому изучение науки статистики при подготовке специалистов имеет большое значение в системе высшего экономического образования.

Статистика – это сложная и многогранная наука. С точки зрения преподавания ее в высшей школе она включает в себя целый ряд учебных дисциплин. Это – общая теория статистики, экономическая статистика и целая серия отраслевых статистик: промышленная, сельскохозяйственная, торговая, транспортная и т.д. Каждый экономист должен уметь читать статистические цифры и пользоваться ими в своей работе, обосновывать цифрами свои предложения, уметь статистические цифры анализировать. Экономист-аналитик должен в совершенстве владеть методами экономико-математического анализа.

Итак, статистика – это цифры живые, красноречивые. Однако это определение исходит из итогов статистической работы, результатом которой являются статистические цифры.

Статистикой часто называют сам процесс статистической работы – сбор массовых первичных данных, их обработку и анализ, а людей, которые этим занимаются, называют статистиками. В настоящее время статистика является важной отраслью практической деятельности, в которой участвуют много специалистов. Чтобы охарактеризовать, например, как растет продукция промышленности, необходимо каждой фабрике повседневно учитывать произведенные изделия. Данные учета нужно сводить в итоги по группам предприятий, отраслям производства, всей промышленности в целом. Эта работа проводится систематически, с подведением месячных, квартальных, годовых итогов.

В данной курсовой работе мной рассматриваются основные методы сглаживания и выравнивания динамических рядов.

На развитие явления во времени оказывают влияние факторы, различные по характеру и силе воздействия. Одни из них оказывают практически постоянное воздействие и формируют в рядах динамики определенную тенденцию развития. Воздействие же других факторов может быть кратковременным или носить случайный характер.

Поэтому при анализе динамики речь идет не просто о тенденции развития, а об основной тенденции, достаточно стабильной (устойчивой) на протяжении изученного этапа развития.

Задача состоит в том, чтобы выявить общую тенденцию в изменении уровней ряда, освобожденную от действия различных случайных факторов. С этой целью ряды динамики подвергаются обработке методами укрупнения интервалов, скользящей средней и аналитического выравнивания.

В процессе выполнения практической и аналитической частей курсовой работы я использовала для удобства, быстроты и проверки ручных вычислений табличный редакторе Excel.

Microsoft Excel является прикладной программой, предназначенной для работы с таблицами данных, преимущественно числовых.

Табличный процессор позволяет обрабатывать входящие в таблицы данные, а не только представлять их в электронной форме. Вычисления в таблицах Excel осуществляются при помощи формул. Формула может содержать числовые константы, ссылки на ячейки и функции Excel, соединённые знаками математических операций. Формулы применяются для описания связи между значениями, хранящимися в различных ячейках. Расчет по заданным формулам выполняется автоматически. Изменение содержимого какой – либо одной ячейки приводит к пересчету значений всех ячеек, которые с ней связаны формульными отношениями, а при обновлении каких-либо частных данных обновление всей таблицы происходит автоматически. Формула гарантирует, что при последующем редактировании таблицы не нарушит её целостность и правильность производимых в ней вычислений.

II . ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Одной из важнейших задач статистики является изучение изменений анализируемых показателей во времени, т.е. их динамика . Эта задача решается при помощи анализа рядов динамики (или временных рядов).

Ряд динамики (или динамический ряд) представляет собой ряд расположенных в хронологической последовательности числовых значений статистического показателя, характеризующих изменение общественных явлений во времени.

В каждом ряду динамики имеются два основных элемента: время t и конкретное значение показателя (уровень ряда) y .

Уровни ряда – это показатели, числовые значения которых составляют динамический ряд. Время – это моменты или периоды, к которым относятся уровни.

Построение и анализ рядов динамики позволяют выявить и измерить закономерности развития общественных явлений во времени. Эти закономерности не проявляются четко на каждом конкретном уровне, а лишь в тенденции, в достаточно длительной динамике. На основную закономерность динамики накладываются другие, прежде всего случайные, иногда сезонные влияния. Выявление основной тенденции в изменении уровней, именуемой трендом, является одной из главных задач анализа рядов динамики.

По времени, отраженному в динамических рядах, они разделяются на моментные и интервальные.

Моментным называется ряд динамики, уровни которого характеризуют состояние явления на определенные даты (моменты времени).

Примером моментного ряда могут служить следующие данные о численности населения.

Численность постоянного населения (на конец года), млн.чел.

Таблица 1

Этот ряд характеризует динамику численности населения России в 1970-1995 гг.

Поскольку в каждом последующем уровне содержится полностью или частично значение предыдущего уровня, суммировать уровни моментного ряда не следует, так как это приводит к повторному счету.

Интервальным (периодическим) рядом динамики называется такой ряд, уровни которого характеризуют размер явления за конкретный период времени (год, квартал, месяц). Примером такого ряда могут служить данные о динамике добычи нефти в РФ.

Добыча нефти в Российской Федерации, млн.т.

Таблица 2

Этот ряд характеризует снижение уровня добычи нефти в России.

Значения уровня интервального ряда в отличие от уровней моментного ряда не содержатся в предыдущих или последующих показателях, их можно просуммировать, что позволяет получить ряды динамики более укрупненных периодов. Например, суммирование уровней добычи нефти за каждый год по данным, приведенным выше, позволяет определить ее добычу за все шесть лет в целом и в среднем за год.

Интервальный ряд, где последовательные уровни могут суммироваться, можно представить как ряд с нарастающими итогами. При построении таких рядов производится последовательное суммирование смежных уровней. Этим достигается суммарное обобщение результата развития изучаемого периода (месяца, квартала, года).

Одной из важнейших задач статистики является определение в рядах динамики общей тенденции развития явления.

В некоторых случаях закономерность изменения явления, общая тенденция его развития явно и отчетливо отражается уровнями динамического ряда (уровни на изучаемом периоде непрерывно растут или непрерывно снижаются).

К основным правилам формирования динамических (в том числе и временных) рядов относятся:

· периодизация динамики – это процесс выделения однородных этапов развития

· однокачественность отдельных уровней ряда

· сравнимость уровней ряда (должны быть одинаковые единицы измерения, единая методика расчета, одинаковый круг объектов и др.)

· последовательность и непрерывность во времени уровней ряда.

Временные ряды могут быть представлены в виде трех основных способов:

1. Табличный способ представления

Таблица 3

где t_i – моменты t

y_i – уровень ряда, характеризует значение изученного показателя на момент времени t_i .

2. Графический способ , когда с помощью прямоугольной системы координат откладываются точки (ti ; yi ).

Рис. 1 Фактический уровень урожайности 1986-1995 гг.

Геометрический способ представления имеет преимущество перед табличным своей наглядностью и с помощью эмпирической ломаной мы можем увидеть тенденцию развития изучаемого признака, а также визуально установить (хоть и приблизительно) ту линию, которая максимально приближена к опытным данным, т.е. сглаживает опытные точки или иначе может установить закономерность развития изучаемого признака, устранив субъективные ошибки, зависящие от производителя (аналитика) и составить аналитическую модель.

3. Аналитический способ, т.е. в виде зависимости, которая характеризует зависимость между изучаемым признаком и временным параметром y = f ( t ).

Для анализа данного временного ряда используется совокупность методов в зависимости от цели анализа.

1 направление : поверхностное изучение закономерностей развития того или другого показателя. Используются различные числовые характеристики: абсолютный прирост, темп роста, темпы прироста, абсолютный размер 1% прироста и др. Используются средине величины: среднегодовой уровень, среднегодовой темп роста, среднегодовой темп прироста, коэффициент сезонности, сезонные колебания, сезонная волна.

2 направление : более глубокое изучение закономерностей развития показателя. Используется компонентный анализ, который представляет из себя разложение данного временного ряда на конечное число соответствующих. Любой экономический процесс может быть представлен хотя бы одним из нижеуказанных компонент.

Наиболее часто встречающимися, на которые можно разложить временной ряд, являются следующие:

U ( t ) – характеризует устойчивые систематические изменения уровней ряда, т.е. тренд

K ( t ) – нестрого периодические циклические колебания

V ( t ) – строго периодические колебания (сезонные).

E ( t ) – случайная компонента (несистематические колебания, которые возникают от случая.

Однако часто приходится встречаться с такими рядами динамики, в которых уровни ряда претерпевают самые различные изменения (то возрастают, то убывают) и общая тенденция развития неясна.

На развитие явления во времени оказывают влияние факторы, различные по характеру и силе воздействия. Одни из них оказывают практически постоянное воздействие и формируют в рядах динамики определенную тенденцию развития. Воздействие же других факторов может быть кратковременным или носить случайный характер.

Поэтому при анализе динамики речь идет не просто о тенденции развития, а об основной тенденции, достаточно стабильной (устойчивой) на протяжении изученного этапа развития.

Основной тенденцией развития (трендом) называется плавное и устойчивое изменения уровня явления во времени, свободное от случайных колебаний.

Задача состоит в том, чтобы выявить общую тенденцию в изменении уровней ряда, освобожденную от действия различных случайных факторов. С этой целью ряды динамики подвергаются обработке методами укрупнения интервалов, скользящей средней и аналитического выравнивания.

Одним из наиболее простых методов изучения основной тенденции в рядах динамики является укрупнение интервалов. Он основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда динамики (одновременно уменьшается количество интервалов). Например, ряд ежесуточного выпуска продукции заменяется рядом месячного выпуска продукции и т. д. Средняя, исчисленная по укрупненным интервалам, позволяет выявлять направление и характер (ускорение или замедление роста) основной тенденции развития.

Рассмотрим применение метода укрупнения интервалов на ежемесячных данных о выпуске продукции на предприятии в 1996 г. (табл. 4).

Объем производства продукции предприятия (по месяцам) в сопоставимых целях, млрд.руб.

Таблица 4

Различные направления изменений уровней ряда по отдельным месяцам затрудняют выводы об основной тенденции производства. Если соответствующие месячные уровни объединить в квартальные и вычислить среднемесячный выпуск продукции по кварталам (табл. 5) , т. е. укрупнить интервалы, то решение задачи упрощается.

Объем производства продукции предприятия (по кварталам) в сопоставимых ценах, млрд.руб.

Таблица 5

После укрупнения интервалов основная тенденция роста производства стала очевидной:

5,23< 5,57< 5,87< 6,03 млрд руб.

Выявление основной тенденции может осуществляться также методом скользящей (подвижной) средней. Сущность его заключается в том, что исчисляется средний уровень из определенного числа, обычно нечетного (3,5,7 и т. д. ), первых по счету уровней ряда, затем – из такого же числа уровней, но начиная со второго по счету, далее – начиная с третьего и т. д. Таким образом, средняя как бы «скользит» по ряду динамики, передвигаясь на один срок.

Расчет скользящей средней по данным об урожайности зерновых культур приведен в табл.6

Исходные данные и результаты расчета скользящей средней, ц/га

Таблица 6

Сглаженный ряд урожайности по трехлетиям короче фактического на один член ряда в начале и в конце, по пятилетиям – на два члена в начале и конце ряда. Он меньше, чем фактический подвержен колебаниям из–за случайных причин и четче, в виде некоторой плавной линии на графике (рис. 2), выражает основную тенденцию роста урожайности за изучаемый период, связанную с действием долговременно существующих причин и условий развития.

Рис. 2 Динамика уровня урожайности

Недостатком сглаживания ряда является укорачивание сглаженного ряда по сравнению с фактическим, а следовательно, потеря информации.

Рассмотренные приемы сглаживания динамических рядов (укрупнение интервалов и метод скользящей средней) дают возможность определить лишь общую тенденцию развития явления, более или менее освобожденную от случайных и волнообразных колебаний. Однако получить обобщенную статистическую модель тренда посредством этих методов нельзя.

Для того, чтобы дать количественную модель, выражающую основную тенденцию изменения уровней динамического ряда во времени, используется аналитическое выравнивание ряда динамики .

Основным содержанием метода аналитического выравнивания в рядах динамики является то, что общая тенденция развития рассчитывается как функция времени:

y_t = f ( t ),

где y_t – уровни динамического ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени t .

Определение теоретических (расчетных) уровней y_t производится на основе так называемой адекватной математической модели, которая наилучшим образом отображает (аппромиксирует) основную тенденцию ряда динамики.

Выбор типа модели зависит от цели исследования и должен быть основан на теоретическом анализе, выявляющем характер развития явления, а также на графическом изображении ряда динамики (линейной диаграмме).

Например, простейшими моделями (формулами), выражающими тенденцию развития, являются:

линейная функция – прямая y_t = а₀ + а₁ t ,

где а_0, а_{1 –} параметры уравнения;

t – время;

показательная функция y_t = а₀ а ₁ ^t ,;

степенная функция – кривая второго порядка (парабола)

y_t = а₀ + а₁ t + а₂ t ² .

В тех случаях, когда требуется особо точное изучение тенденции развития (например, модели тренда для прогнозирования), при выборе вида адекватной функции можно использовать специальные критерии математической статистики.

Расчет параметров функции обычно производится методом наименьших квадратов , в котором в качестве решения принимается точка минимума суммы квадратов отклонений между теоретическими и эмпирическими уровнями:

∑ ( y_t – y_i )² → min

где y_t – выравненные (расчетные) уровни;

y_i – фактические уровни.

Параметры уравнения а _i , удовлетворяющие этому условию, могут быть найдены решением системы нормальных уравнений. На основе найденного уравнения тренда вычисляются выравненные уровни. Таким образом, выравнивание ряда динамики заключается в замене фактических уровней y_i плавно изменяющимися уровнями y_t , наилучшим образом аппроксимирующими статистические данные.

Выравнивание по прямой используется, как правило, в тех случаях, когда абсолютные приросты практически постоянны, т.е. когда уровни изменяются в арифметической прогрессии (или близко к ней).

Выравнивание по показательной функции используется в тех случаях, когда ряд отражает развитие в геометрической прогрессии, т.е. когда цепные коэффициенты роста практически постоянны.

Рассмотрим «технику» выравнивания ряда динамики по прямой: y_t = а₀ + а₁ t. Параметры а_{0 ,} а₁ согласно методу наименьших квадратов, находятся решением следующей системы нормальных уравнений, полученной путем алгебраического преобразования условия (1.1):

а₀ n + а₁ ∑ t = ∑ y ; (1.1)

а₀ ∑ t + а₁ ∑ t ² = ∑ yt ,

где y – фактические (эмпирические) уровни ряда;

t – время (порядковый номер периода или момента времени).

Расчет параметров значительно упрощается, если за начало отсчета времени (t =0 ) принять центральный интервал (момент).

При нечетном числе уровней (например, 6) значения t – условного обозначения времени будет таким (это равнозначно измерению времени не в годах, а в полугодиях):

1990 г. 1991 г. 1992 г. 1993 г. 1994 г. 1995 г.

-5 -3 -1 +1 +3 +5

При нечетном числе уровней (например,7) значения устанавливаются по-другому:

1989 г. 1990 г. 1991 г. 1992 г. 1993 г. 1994 г. 1995 г.

-3 -2 -1 0 +1 +2 +3

В обоих случаях ∑ t = 0, так что система нормальных уравнений (1.1) принимает вид:

∑ y = а₀ n (1.2)

∑ yt = а₁ ∑ t ²

Из первого уравнения а₀ = ∑ y / n (1.3)

Из второго уравнения а₁ = ∑ yt / ∑ t ² (1.4)

Проиллюстрируем на примере урожайности зерновых культур (см. табл.6, расчетные значения – табл.7) выравнивание ряда динамики по прямой.

Для выравнивания данного ряда используем линейную трендовую модель – уравнение прямой: y_t = а₀ + а₁ t . В нашем примере n = 10 – четное число.

Параметры а₀ и а₁ искомого уравнения прямой исчислим по формулам (1.3) и (1.4).

Таблица 7

Выравнивание по прямой ряда динамики урожайности зерновых культур

Из табл.7 находим

∑ y_t = 153,4 ∑ y * t = 6,8 ∑ t ² = 330,

откуда а₀ = 153.4 / 10 = 15.34; а₁ = 6,8 / 330 = 0,021.

Уравнение прямой, представляющее собой трендовую модель искомой функции, будет иметь вид: y_t = 15,34 + 0,021 t .

Подставляя в данное уравнение последовательно значения t , равные -9, -7, -5, -3, -1, +1, +3, +5, +7, +9, находим выравненные уровни y_t .

Если расчеты выполнены правильно, то ∑ y = ∑ y_t . В нашем примере ∑ y = ∑ y_t = 153,4. Следовательно, значения уровней ряда найдены верно.

Полученное уравнение показывает, что несмотря на значительные колебания в отдельные годы, наблюдается тенденция увеличения урожайности: с 1986 по 1995 гг. урожайность зерновых культур в среднем возросла на а₁ = 0,021 ц/га в год.

Фактические и расчетные значения урожайности зерновых культур представим в виде графика (рис.3)

Рис.3. Уровни урожайности зерновых культур (сглаженные)

Соединив точки, построенные по фактическим данным, получим ломаную линию, на основании которой затруднительно вынести суждение о характере общей тенденции в изменении урожайности.

Тенденция роста урожайности зерновых культур в изучаемом периоде отчетливо проявляется в результате построения выравненной прямой y_t = 15,34 + 0,021 t .

III . ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Задание 1

Динамика отпуска электроэнергии за пределы РФ за 1990-2000 гг. характеризуется следующими данными:

Таблица 8

Выявить основную тенденцию отпуска электроэнергии за пределы РФ за 1990-2000 гг.:

1) методом трехлетней скользящей средней;

2) методом аналитического выравнивания;

3) изобразить графически фактические и выравненные значения.

Алгоритм решения задачи:

1) Метод трехлетней скользящей средней

Исчисляем средний уровень из 11 первых по счету уровней ряда. Для этого используем формулу средней арифметической:

Y _ср = y₁ + y₂ +… + y_n / n

где y₁ ;y₂ ; y_n – индивидуальные значения варьирующего признака;

n – число единиц совокупности.

В нашем примере трехлетняя скользящая средняя, поэтому n = 3.

Y_{2 ср} = y₁ + y₂ + y₃ / 3 = 43,4 + 47,2 + 44,0 / 3 = 44,87

Y_{3 ср} = y₂ + y₃ + y₄ / 3 = 47,2 +44,0 + 43,4 / 3 = 44,87

Y_{4 ср} = y₃ + y₄ + y₅ / 3 = 44,0 + 43,4 + 41,7 / 3 = 43,03

Y_{5 ср} = y₄ + y₅ + y₆ / 3 =43,4 + 41,7 + 38,0 / 3 = 41,03

Y_{6 ср} = y₅ + y₆ + y₇ / 3 = 41,7 + 38,0 + 31,8 / 3 = 37,17

Y_{7 ср} = y₆ + y₇ + y₈ / 3 = 38,0 + 31,8 + 26,8 / 3 = 32,2

Y_{8 ср} = y₇ + y₈ + y₉ / 3 = 31,8 + 26,8 + 26,4 / 3 = 28,33

Y_{9 ср} = y₈ + y₉ + y₁₀ / 3 = 26,8 + 26,4 + 22,5 / 3 = 25,23

Y_{10 ср} = y₉ + y₁₀ + y₁₁ / 3 = 26,4 + 22,5 + 22,9 / 3 = 23,93

В результате обработки ряда мы видим, что появилась тенденция к существенному уменьшению потребления электроэнергии (в 1990 году расход составил 43,4 млрд.квт.час, в 2000 году – 22,9). Графически эта тенденция выглядит так:

Рис. 4. Сглаженные уровни по трехлетенй скользящей средней

2) Метод аналитического выравнивания

Выравнивание по прямой используется, как правило, в тех случаях, когда уровни изменяются в арифметической прогрессии (или близко к ней).

Рассмотрим «технику» выравнивания ряда динамики по прямой:

y_t = а₀ + а₁ t. Параметры а_{0 ,} а₁ согласно методу наименьших квадратов, находятся решением следующей системы нормальных уравнений, полученной путем алгебраического преобразования

а₀ n + а₁ ∑ t = ∑ y ;

а₀ ∑ t + а₁ ∑ t ² = ∑ yt ,

где y – фактические (эмпирические) уровни ряда;

t – время (порядковый номер периода или момента времени).

Расчет параметров значительно упрощается, если за начало отсчета времени (t =0 ) принять центральный интервал (момент).

При нечетном числе уровней (в нашем примере = 11) значения устанавливаются так:

Таблица 9

∑ t = 0, так что система нормальных уравнений принимает вид:

∑ y = а₀ n

∑ yt = а₁ ∑ t ²

В результате расчетов в табличном редакторе Excel получили следующие данные:

Таблица 10

Из первого уравнения а₀ = ∑ y / n

а₀ = 388,1 / 11 = 35,28

Из второго уравнения а₁ = ∑ yt / ∑ t ²

а₁ = -297,2 / 110 = -2,7

Уравнение прямой, представляющее собой трендовую модель искомой функции, имеет вид: : y_t ^{^} = 35,28 – 2,7 t .

Подставляя в данное уравнение последовательно значения t , равные -9, -7, -5, -3, -1, +1, +3, +5, +7, +9, находим выравненные уровни y_t .

Y₁ ^{^} = 35,28 – 2,7 * (-5) = 48,78

Y₂ ^{^} = 35,28 – 2,7 * (-4) = 46,08

Y₃ ^{^} = 35,28 – 2,7 * (-3) = 43,38

Y₄ ^{^} = 35,28 – 2,7 * (-2) = 40,68

Y₅ ^{^} = 35,28 – 2,7 * (-1) = 37,98

Y₆ ^{^} = 35,28 – 2,7 * 0 = 35,28

Y₇ ^{^} = 35,28 – 2,7 * 1 =32,58

Y₈ ^{^} = 35,28 – 2,7 * 2 = 29,88

Y₉ ^{^} = 35,28 – 2,7 * 3 = 27,18

Y₁₀ ^{^} = 35,28 – 2,7 * 4 = 24,48

Y ₁₁ ^{^} = 35,28 – 2,7 * 5 = 21,78

Если расчеты выполнены правильно, то ∑ y = ∑ y_t ^{^} . В нашем примере ∑ y = ∑ y_t ^ = 388,1. Следовательно, значения уровней ряда найдены верно.

Полученное уравнение показывает, что несмотря на значительные колебания в отдельные годы, наблюдается тенденция снижения потребления электроэнергии: с 1990 года по 2000 год отпуск энергии в среднем снижался на а₁ = -2,7 млрд.квт.час в год.

3) Фактические и расчетные значения отпущенной электроэнергии представим на одном графике:

Рис.5. Фактические и сглаженные уровни расхода электроэнергии

Задание 2

Кредиты банков предприятиям региона в 1 квартале года характеризуется следующими данными:

Таблица 11

Определите среднемесячные уровни кредита по каждому виду и двум видам вместе за 1 квартал.

Алгоритм решения задачи

Средний уровень моментного ряда динамики с равностоящими уровнями определяется по формуле средней хронологической моментного ряда:

Y _ср = Y₁ / 2 + Y₂ +…+ Y_n- 1 + Y_n / 2

n-1

где Y _1…. Y_n – уровни 1 квартал;

n - число уровней;

n -1 – длительность периода времени.

Так как t₁ = t₂ = t₃ =t ₄ для расчета применим вышеуказанную формулу

а) среднемесячный уровень по краткосрочным кредитам составил

24/2 + 26 + 27 + 32 / 2 ₌ 81 ₌ 27 млн.руб.

4-1 3

б) среднемесячный уровень по долгосрочным кредитам составил

0,8 /2 + 0,7 + 0,8 + 1,0 / 2 ₌ 2,4 ₌ 0,8 млн.руб.

4-1 3

в) среднемесячный уровень по обоим видам кредитам за 1 квартал составил

24,8/2 + 26,7 + 27,8 + 33 / 2 ₌ 83,4 ₌ 27,8 млн.руб.

4-1 3

IV . АНАЛИТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

В данной части курсовой работы я анализировала итоги деятельности МУП «Земкадастр», в основе которой лежат проведение топографо-геодезических работ, межевание земель, ведение единого государственного земельного учета, оформление документов физическим и юридическим лицам на право пользования земельными участками.

Для анализа я взяла такой показатель как объем выполненных работ предприятием за каждый месяц 2002 года.

Таблица 12

Рассчитаем следующие показатели, характеризующие деятельность предприятия за год:

1) Среднегодовой объем выполненных работ, тыс.руб.

Y = åy / n = (100+110+90+75+95+110+100+120+140+130+120+110) / 12 = 1300/12 = 108.333 тыс.руб.

2) Абсолютные приросты, тыс.руб.

Цепные

Δy_ц = y_i –y_{i -1}

Δy₂ = 110 – 100 = 10

Δy₃ = 90 – 110 = -20

Δy₄ = 75 – 90 = -15

Δy₅ = 95 – 75 = 20

Δy₆ = 110 – 95 = 15

Δy₇ = 100 – 110 = -10

Δy₈ = 120 – 100 = 20

Δy₉ = 140 – 120 = 20

Δy₁₀ = 130 – 140 = -10

Δy₁₁ = 120 – 130 = -10

Δy₁₂ = 110 – 120 = -10

Базисные

Δy_б = y_i –y₀

Δy₂ = 110-100 = 10

Δy₃ =90-100 = -10

Δy₄ =75-100 = -25

Δy₅ =95-100 = -5

Δy₆ =110-100 = 10

Δy₇ =100-100 = 0

Δy₈ =120-100 = 20

Δy₉ =140-100 = 40

Δy₁₀ =130-100 = 30

Δy₁₁ =120-100 = 20

Δy₁₂ =110-100 = 10

Сумма последовательных цепных абсолютных приростов = базисному, т.е. общему приросту за весь промежуток времени:

å Δy_ц = Δy_б = 10

Из расчетов видно, что происходят перепады в объемах работы в зависимости от времени года, от доходов населения, желающих оформить свои земельные участки. Наиболее больший объем работ выполнен в сентябре, октябре (140 и 130 тыс.руб. соответственно).

3) Темпы роста и прироста:

а) коэффициенты роста (снижения):

цепные

К_р ^ц = y_i / y_i-1

К_р ² = 110 / 100 = 1,1

К_р ³ = 90 / 110 = 0,8182

К_р ⁴ = 75 / 90 = 0,8333

К_р ⁵ = 95 / 75 = 1,2667

К_р ⁶ = 110 / 95 = 1,1579

К_р ⁷ = 100 / 110 = 0,9091

К_р ⁸ = 120 / 100 = 1,2

К_р ⁹ = 140 / 120 = 1,1667

К_р ¹⁰ = 130 / 140 = 0,9286

К_р ¹¹ = 120 / 130 = 0,9231

К_р ¹² = 110 / 120 = 0,9167

базисные

К_р ^б = y_i / y₀

К_р ² = 110 / 100 = 1,1

К_р ³ = 90 / 100 = 0,9

К_р ⁴ = 75 / 100 = 0,75

К_р ⁵ = 95 / 100 = 0,95

К_р ⁶ = 110 / 100 = 1,1

К_р ⁷ = 100 / 100 = 1

К_р ⁸ = 120 / 100 = 1,2

К_р ⁹ = 140 / 100 = 1,4

К_р ¹⁰ = 130 / 100 = 1,3

К_р ¹¹ = 120 / 100 = 1,2

К_р ¹² = 110 / 100 = 1,1

P К_р ^ц = К_р ^б = 1,1

Из расчетов можно сделать вывод, что по сравнению с январем в течении года в целом происходило увеличение объема выполненных работ (об этом свидетельствуют коэффициенты роста, которые должны быть больше 1).

б) темпы прироста, %:

цепные

Т_пр = Т_р – 100

Т_пр ² = 110 – 100 = 10

Т_пр ³ = 81,82 – 100 = -18,18

Т_пр ⁴ = 83,33 – 100 = -16,67

Т_пр ⁵ = 126,67 – 100 = 26,67

Т_пр ⁶ = 115,79 – 100 = 15,79

Т_пр ⁷ = 90,91 – 100 = -9,09

Т_пр ⁸ = 120 – 100 = 20

Т_пр ⁹ = 116,67 – 100 = 16,67

Т_пр ¹⁰ = 92,86 – 100 = -7,14

Т_пр ¹¹ = 92,31 – 100 = -7,69

Т_пр ¹² = 91,67 – 100 = -8,33

базисные

Т_пр = Т_р – 100

Т_пр ² = 110 – 100 = 10

Т_пр ³ = 90 – 100 = -10

Т_пр ⁴ = 75 – 100 = -25

Т_пр ⁵ = 95– 100 = -5

Т_пр ⁶ = 110 – 100 = 10

Т_пр ⁷ = 100 – 100 = 0

Т_пр ⁸ = 120 – 100 = 20

Т_пр ⁹ = 140 – 100 = 40

Т_пр ¹⁰ = 130 – 100 = 30

Т_пр ¹¹ = 120 – 100 = 20

Т_пр ¹² = 110 – 100 = 10

4. Среднегодовые темпы роста и прироста, %:

Т_р = √ 1,1*0,8182*0,8333*1,2667*1,1579*0,9091*1,2*1,1667*0,9286*

0,9231*0,9167 = √1,1 = 1,0241 = 102,4%

Т_пр = Т_р – 100 = 102,4 – 100 = 2,4 %.

Среднегодовой темп роста составил 102,4%, темп прироста соответственно 2,4%. Однако следует и дальше наращивать объемы работ, повышая производительность труда, внедряя новые технологии, привлекать клиентуру более выгодными условиями, предоставлением скидок.

Проверку правильности вычислений я проводила в табличном редакторе EXCEL. Итоги расчетов видны в таблице 13.

Таблица 13

Выявим основную тенденцию методом трехмесячной скользящей средней ( m =3):

Y_{2 ср} = y₁ + y₂ + y₃ / 3 = 100 + 110 + 90 / 3 = 100

Y_{3 ср} = y₂ + y₃ + y₄ / 3 = 110 +90 + 75 / 3 = 91,667

Y_{4 ср} = y₃ + y₄ + y₅ / 3 = 90 + 75 + 95 / 3 = 86,667

Y_{5 ср} = y₄ + y₅ + y₆ / 3 = 75 + 95 + 110 / 3 = 93,333

Y_{6 ср} = y₅ + y₆ + y₇ / 3 = 95 + 110 + 100 / 3 = 101,667

Y_{7 ср} = y₆ + y₇ + y₈ / 3 = 110 + 100 + 120 / 3 = 110

Y_{8 ср} = y₇ + y₈ + y₉ / 3 = 100 + 120 + 140 / 3 = 120

Y_{9 ср} = y₈ + y₉ + y₁₀ / 3 = 120 + 140 + 130 / 3 = 130

Y_{10 ср} = y₉ + y₁₀ + y₁₁ / 3 = 140 + 130 + 120 / 3 = 130

Y_{11 ср} = y₉ + y₁₀ + y₁₁ / 3 = 130 + 120 + 110 / 3 = 120

В результате обработки ряда мы видим, что появилась тенденция к увеличению объема выполненных работ. Однако, недостатком сглаживания является «укорачивание» сглаженного ряда по сравнению с фактическим, а следовательно, потеря информации.

Произведем сглаживание методом пятимесячной скользящей средней (m=5). Ряд более укорачивается, что делает его недостоверным.

Y_{3 ср} = y₁ + y₂ + y₃ + y₄ + y₅ / 5 = 100+110+90+75+95 = 67,143

Y_{4 ср} = y₂ + y₃ + y₄ + y₅ + y₆ / 5 = 110+90+75+95+110 = 68,571

Y_{5 ср} = y₃ + y₄ + y₅ + y₆ + y₇ / 5 = 90+75+95+110+100 = 67,143

Y_{6 ср} = y₄ + y₅ + y₆ + y₇ + y₈ / 5 = 75+95+110+100+120 = 71,429

Y_{7 ср} = y₅ + y₆ + y₇ + y₈ + y₉ / 5 = 95+110+100+120+140 = 80,714

Y_{8 ср} = y₆ + y₇ + y₈ + y₉ + y₁₀ / 5 = 110+100+120+140+130 = 85,714

Y_{9 ср} = y₇ + y₈ + y₉ + y₁₀ + y₁₁ / 5 = 100+120+140+130+120 = 87,143

Y_{10 ср} = y₈ + y₉ + y₁₀ + y₁₁ + y₁₂ / 5 = 120+140+130+120+110 = 88,571

Выявим основную тенденцию также методом аналитического выравнивания . В теоретической части мы вывели следующую систему нормальных уравнений:

∑ y = а₀ n

∑ yt = а₁ ∑ t ²

Из первого уравнения а₀ = ∑ y / n

а₀ = 1300 / 12 = 108,333

Из второго уравнения а₁ = ∑ yt / ∑ t ²

а₁ = 870 / 572 = 1,521

Подставляя полученные коэффициенты в уравнение прямой, получили трендовую модель искомой функции, которая имеет вид:

y_t ^{^} = 108,333 + 1,521 t .

Подставляя в данное уравнение последовательно значения t , равные –11, -9, -7, -5, -3, -1, +1, +3, +5, +7, +9, +11, находим выравненные уровни y_t .

Y₁ ^{^} = 108,333 + 1,521 * (-11) = 91,602

Y₂ ^{^} = 108,333 + 1,521 * (-9) = 94,644

Y₃ ^{^} = 108,333 + 1,521 * (-7) = 97,686

Y₄ ^{^} = 108,333 + 1,521 * (-5) = 100,728

Y₅ ^{^} = 108,333 + 1,521 * (-3) = 103,77

Y₆ ^{^} = 108,333 + 1,521 * (-1) = 106,812

Y₇ ^{^} = 108,333 + 1,521 * 1 =109,854

Y₈ ^{^} = 108,333 + 1,521 * 3 = 112,896

Y₉ ^{^} = 108,333 + 1,521 * 5 = 115,938

Y₁₀ ^{^} = 108,333 + 1,521 * 7 = 118,98

Y ₁₁ ^{^} = 108,333 + 1,521 * 9 = 122,022

Y ₁₂ ^{^} = 108,333 + 1,521 * 11 = 125,064

Если расчеты выполнены правильно, то ∑ y = ∑ y_t ^{^} . В нашем примере ∑ y = ∑ y_t ^ = 1300. Следовательно, значения уровней ряда найдены верно.

Проверку правильности вычислений я проводила в табличном редакторе EXCEL. Итоги расчетов видны в таблице 14.

Таблица 14

Динамика объемов выполненных работ характеризуется следующими данными:

Таблица 15

Определим по данным следующие показатели:

а) среднемесячный уровень по топографо-геодезическим работам составил

170/2 + 120 + 210 + 200 / 2 ₌ 515 ₌ 171,666 тыс.руб.

4-2 3

б) среднемесячный уровень оформительским работам составил

130 /2 + 160 + 150 + 160 / 2 ₌ 455 ₌ 151,666 тыс.руб.

4-2 3

в) среднемесячный уровень по обоим видам работ за 1 квартал составил

300/2 + 280 + 360 + 360 / 2 ₌ 970 ₌ 323,333 тыс.руб.

4-1 3

Рис.6. Фактические и выравненные уровни объема выполненных работ

Список использованной литературы:

1. Гусаров В.М. Теория статистики: Учеб. – М.: «Аудит» Издат.объединение «ЮНИТИ», 1998

2. Гусаров В.М. Статистические методы моделирования связи: Учеб. – М.: Изд-во ВЗФЭИ, 1991

3. Общая теория статистики : Статистическая методология в коммерческой деятельности: Учеб. для вузов / Под ред. А.С.Спирина и О.Е.Башиной – М.: Финансы и статистика, 1994

4. Теория статистики : Учеб. для вузов / Под ред. Р.А.Шмойловой. – М.: Финансы и статистика, 1996

5. Елисеева И .И., Юзбашев М.М . Общая теория статистики: Учеб. для вузов. - М.: Финансы и статистика, 1995