Реферат: Алгебраические кривые и диофантовы уравнения

Ханспетер Крафт

Те, кому посчастливилось ходить на уроки математики ещё до введения теории множеств в школьную программу, несомненно, помнят теорему Пифагора, :

В прямоугольном треугольнике сумма площадей квадратов, построенных на катетах, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе (рис.1).

Эта теорема была известна в Вавилонии уже во времена Хаммурапи, а возможно, её знали и в древнем Египте, однако впервые она была доказана, по-видимому, в пифагорейской школе. Так называлась группа интересующихся математикой философов по имени основателя школы Пифагора (ок. 580–500 г. до н. э.) – личности довольно мифической. Это был мистик, учёный и политик аристократического толка. Он, должно быть, путешествовал по Вавилонии и Египту, а позднее на юге Италии, в Кротоне, собрал вокруг себя кружок увлечённых юношей, из которого и возникла пифагорейская школа. В настоящее время уже невозможно установить, какие достижения пифагорейцев принадлежат самому учителю, а какие следует приписать его ученикам.

Пусть длины сторон прямоугольного треугольника ABC (рис.2) обозначены через a, b, c, причём сторона длины c находится напротив прямого угла. Теорема Пифагора утверждает справедливость равенства

Оно выполняется, например, если вместо a, b, c подставить числа 3, 4, 5, или 5, 12, 13, или 41, 140, 149. Такие решения уравнения (1) в целых положительных числах нашли уже пифагорейцы, и потому такие решения называют пифагоровыми тройками. Вполне возможно, что поиски этих троек и привели к теореме Пифагора. Впрочем, тройка (3, 4, 5) была известна значительно раньше, о чём свидетельствует, скажем, дошедший до нас диалог императора Чжоу-гуна (ок. 1100 г. до н. э.) и учёного Шан Гао ([2 ], стр. 54–65); более подробно о тройке (3, 4, 5) рассказывается в предыдущей лекции Ю. Рольфса.

Зададимся вопросом, сколько существует пифагоровых троек. Очевидно, умножая все три числа на любое целое n, можно из тройки (a, b, c) получить бесконечно много новых троек; из тройки (3, 4, 5) возникает таким образом последовательность троек (3, 4, 5) (6, 8, 10), (9, 12, 15), (12, 16, 20), ... . Поэтому уточним поставленный вопрос и будем искать простейшие пифагоровы тройки (a, b, c), т.е. те, у которых наибольший общий делитель чисел a, b и c равен 1. Решение этой задачи указал ещё Диофант из Александрии (ок. 250 г. н. э.):

Первая часть утверждения легко проверяется непосредственной подстановкой; частные случаи этого «правила построения» пифагоровых троек были известны и раньше. Более сложно доказать, что таким образом получаются все простейшие тройки. Сейчас мы установим это с помощью геометрических соображений. Разделив равенство (1) на c², получим

Поэтому каждая пифагорова тройка (a, b, c) дает решение уравнения

Рис.3

в рациональных числах (дробях), а именно x = a/c, y = b/c; назовём такую пару рациональным решением уравнения (2). Наоборот, из всякого такого решения, если привести дроби x и y к общему знаменателю: x = a/c, y = b/c, где a, b, c – целые, тотчас возникает пифагорова тройка. Следовательно, наша задача сведена к определению рациональных решений уравнения (2). Это уравнение также хорошо известно из школы – оно задаёт на евклидовой плоскости окружность с центром в начале координат и радиусом 1 (рис.3). Если рассмотреть прямую g с угловым коэффициентом l, проходящую через точку (0, –1):

то координаты обеих точек пересечения S = (0, –1) и P_l = (x_l , y_l ) прямой g с окружностью удовлетворяют уравнениям (2) и (3). Подставляя (3) в (2), получаем

откуда можно найти координаты (x_l , y_l ) точки P_l :

(Легко убедиться подстановкой, что они являются решением уравнения (2).) При рациональных l эти решения, очевидно, будут рациональными. Обратно, если (x₀ , y₀ ) – рациональное решение уравнения (2) и P₀ – соответствующая ему точка на окружности, то угловой коэффициент прямой, проходящей через точки (0, –1) и P₀ , рационален: l = (y₀ + 1)/x₀ . Следовательно, (x₀ , y₀ ) есть решение вида (5). Таким образом, доказано, что все рациональные решения уравнения (2) находятся по формулам (5) с рациональным l. Если записать l в виде дроби: l = n/m, то формулы (5) перепишутся так:

Итак, любая пифагорова тройка представима в виде (2nm, n² – m² , n² + m² ), что и требовалось доказать.

Приведённый результат – лишь один из многих, содержащихся в «Арифметике» Диофанта. До нашего времени сохранились 6 книг этого сочинения; об их общем числе можно только строить догадки. Неизвестно также, кем был Диофант. Во всяком случае, его труд – одно из самых великолепных сочинений античной эпохи, в котором собраны весьма разнообразные задачи и часто с чрезвычайно остроумными решениями. (Более подробные сведения интересующийся читатель может найти в удачной книжечке Башмаковой [1 ].)

Именно сочинение Диофанта – изданное в 1621 г. в переводе Клода Гаспара де Баше де Мезирьяка (1581–1630) – дало повод Пьеру Ферма записать на полях перевода одно из самых достопримечательных и далеко поведших замечаний в истории математики:

Таким образом, большая теорема Ферма утверждает, что уравнение

ни при каком натуральном n, большем 2, неразрешимо в целых положительных числах.

Общее доказательство сформулированного утверждения не удалось найти до сих пор, несмотря на то что этим занимались поколения математиков. [Напомню, что лекции эти были читаны в 70-е годы, а Эндрю Уайлз и Ричард Тейлор опубликовали доказательство теоремы Ферма в 1995 г. Любой поисковик (search engine) выдаст кучу ссылок в Интернете на эту тему, я же приведу только одну публикацию – D.Goldfeld. "Beyond the Last Theorem", опубликованную в журнале "The Sciences". – E.G.A.] Вероятнее всего, Ферма ошибался, предполагая, что располагает решением. В 1908 г. Пауль Вольфскель завещал премию в сто тысяч марок тому, кто первым представит доказательство. В результате инфляции после первой мировой войны величина премии в настоящее время составляет едва десятую часть первоначальной суммы (см. [15 ], лекция 1, пункт 7). К тому же, как указывает Г. Эдвардс в своей книге [5 ] о теореме Ферма, премия назначена лишь за доказательство предположения – контрпример не принесёт ни пфеннига!

Справедливость большой теоремы Ферма для некоторых частных случаев была установлена уже довольно давно: сам Ферма доказал неразрешимость уравнения (6) при n = 4, Л. Эйлер – при n = 3 (1770 г.), А. Лежандр – при n = 5 (1825 г.) и Г. Ламе – при n = 7 (1839 г.). Самые замечательные результаты здесь принадлежат, однако, Э. Куммеру (1810–1893), который своими исследованиями по проблеме Ферма оказал решающее влияние на развитие алгебраической теории чисел. В нашем столетии его методы были усовершенствованы и дополнены (1929 г. и позже) прежде всего благодаря усилиям У. Вандивера, Д. Лемера и Э. Лемера, так что к настоящему времени неразрешимость уравнения (6) доказана (с использованием ЭВМ) для всех n £ 125000 (З. Вагштафф, 1976 г.; см. также [15 ], лекция 2, «Последние результаты»). Если принять во внимание, что число 2¹²⁵⁰⁰⁰ записывается посредством 37628 цифр, то поиски контрпримера к большой теореме Ферма представляются совершенно безнадёжным занятием!

Рис.4

Рассуждения, аналогичные проведённым при нахождении пифагоровых троек, показывают, что проблема Ферма сводится к определению рациональных решений уравнения

Рассмотрев на евклидовой плоскости кривую F_n , заданную этим уравнением, получим две качественно различные возможности в зависимости от чётности или нечётности n (см. рис.4). Кривая F_n называется кривой Ферма порядка n. Поэтому гипотеза Ферма означает, что на кривой F_n порядка выше 2 единственными рациональными точками (т.е. точками с рациональными координатами) являются точки пересечения с осями координат.

Сам собой напрашивается следующий общий вопрос:

Порядок кривой C, т.е. максимальная из степеней i + j одночленов xⁱ y^j , входящих в уравнение (8), служит грубой мерой сложности кривой. Очевидно, что чем выше порядок, тем труднее найти рациональные решения уравнения (8). Это обстоятельство находит более точное выражение в гипотезе Морделла:

Здесь следует сделать оговорку, что рассматриваются кривые «общего вида» ¹ , а вырожденные случаи во внимание не принимаются.

Относительно справедливости гипотезы Морделла известно очень мало; единственным общим результатом здесь является теорема Зигеля ([16 ], 1929 г.):

Для кривых малого порядка d картина следующая: при d = 1 имеем прямую и на ней бесконечно много рациональных (и даже целых) точек; при d = 2 получается квадрика (эллипс, парабола, гипербола); на квадрике либо совсем нет, либо бесконечно много рациональных точек ² . Это доказывается тем же геометрическим методом, который выше был применён для нахождения рациональных точек на единичной окружности и который, согласно данным Башмаковой, также восходит к Диофанту ([1 ], § 5). И именно, прямая с рациональным угловым коэффициентом, проходящая через рациональную точку P квадрики, пересекает её в рациональных точках. Поворачивая прямую вокруг точки P, получаем бесконечно много рациональных точек (рис.5).

Случай d = 3 является в известном смысле промежуточным между рассмотренными. Как мы видели, на кривой Ферма F₃ (рис.4) лежат лишь две рациональные точки, а сейчас мы приведём пример кривой третьего порядка, на которой бесконечное число рациональных точек. Для этого воспользуемся следующим методом секущих, представляющим собой обобщение указанного ранее способа для квадрик (и этот метод тоже встречается у Диофанта; см. [1 ], § 6):

Это утверждение доказывается очень просто. Если

– уравнение прямой, проходящей через точки P и Q, то r и s – рациональные числа, ибо их можно выразить через координаты (x_P , y_P ) и (x_Q , y_Q ) точек P и Q по формулам

Подставив (9) в уравнение кривой C, получим для x уравнение третьей степени

с рациональными коэффициентами a, b, c. По условию корнями его являются абсциссы точек пересечения P, Q и R прямой g с кривой C, т.е. x_P , x_Q , x_R . Однако, зная корни уравнения, можно найти его коэффициенты совершенно так же, как это делается в школе для квадратного уравнения. Например, сумма корней, взятая с противоположным знаком, равна коэффициенту при x² :

По предположению x_P и x_Q рациональны, поэтому рациональным будет и x_R , а значит, и y_R = r x_R + s, т.е. R – рациональная точка, что и требовалось доказать.

Опробуем этот способ на кривой E, заданной уравнением

Рис. 7.

отправляясь от точек P = (–5, 0), Q = (0, 0), R = (5, 0) и S = (–4, 6) (рис.7). Сначала, используя прямую SQ получим точку S₁ с координатами (6¹ /4, –9³ /8), затем получим точку S₂ = (⁵ /9, –3¹⁹ /27), далее точку S₃ = (12⁴⁷³ /961, –40¹³⁷⁹⁰ /29791) и т.д. Из уравнения (11) видно также, что кривая E симметрична относительно оси х: вместе с каждой точкой T(x_T , y_T ) на кривой лежит и симметричная ей относительно оси x точка T'(x_T , –y_T ), и если точка T рациональна, то и T' будет рациональной. Это можно подогнать под описанный выше метод секущих следующим образом: дополним кривую E «несобственной точкой» O в направлении оси y. Прямые, проходящие через O, – это прямые, параллельные оси y, и мы можем получить точку T' как «третью точку пересечения» прямой, проходящей через O и T, с кривой E. Далее, можно использовать предельный случай метода секущих – метод касательных: вместо прямой, проходящей через рациональные точки P и Q, брать касательную t к кривой в рациональной точке P (считая точки P и Q совпавшими). Рассуждениями, аналогичными проведённым ранее, можно показать, что точка пересечения прямой t с кривой E тоже будет рациональной (и опять это было известно уже Диофанту; см. [1 ], § 6).

В разобранном выше примере создается – и совершенно справедливо – впечатление, что проводимые построения никогда не заканчиваются и позволяют найти бесконечно много рациональных точек на кривой E. Затруднения могли бы возникнуть, лишь если бы мы после конечного числа шагов вернулись к одной из ранее полученных точек, но это представляется весьма маловероятным ввиду всё усложняющихся знаменателей.

Следующее утверждение было высказано в 1901 г. А. Пуанкаре (1854–1912) [14 ], а доказано только спустя 20 лет (в 1922 г.) Л. Морделлом [9 ]:

Как и в теореме Зигеля, кривая считается «пополненной» своими несобственными точками, и кроме того, предполагается, что она является кривой общего вида (т.е. не имеет особенностей). Такие кривые называются эллиптическими ³ .

Сформулированная выше теорема Морделла была обобщена в двух различных направлениях: вместо рациональных точек стали рассматривать точки с координатами из заданного числового поля, а вместо эллиптических кривых – поверхности произвольной размерности (так называемые абелевы многообразия). Начало этим обобщениям было положено А. Вейлем, и окончательный результат называют сейчас теоремой Морделла–Вейля.

В связи с этими вопросами о рациональных точках за последние 15 лет появился ряд отчасти фантастических гипотез (Б. Бёрч, X. П. Суиннертон-Дайер, Дж. Тэйт, Э. Огг; см. обзорную статью [17 ]). Справедливость некоторых из них недавно была подтверждена в проложившей новые пути работе Б. Мазура ([8 ], 1976 г.). Речь идёт о вопросах, связанных с так называемой «тонкой структурой» рациональных точек на эллиптической кривой, и об этом мне хотелось бы немного рассказать в заключение.

Рассмотрим эллиптическую кривую E, заданную в канонической форме Вейерштрасса, т.е. уравнением вида

Рис.8

с целочисленными коэффициентами a, b и c. Качественно возможны два показанных на рис.8 случая, в соответствии с тем, один или три вещественных корня имеет многочлен в правой части (12) (эти корни соответствуют точкам пересечения E с осью x). Будем опять считать кривую E пополненной несобственной точкой O в направлении оси y. Следуя А. Пуанкаре [14 ], определим на кривой E операцию P*Q: для любых точек P и Q точка P*Q – это третья точка пересечения прямой PQ с кривой E, симметрично отражённая относительно оси х (рис.9).

Рис. 9.

Легко видеть, что введённая операция коммутативна (т.е. P*Q = Q*P), что точка O является для неё нейтральным элементом (т.е. O*P = P*O) и что для каждой точки P существует обратный элемент – симметричная ей относительно оси x точка P' (т.е. P*P' = O = P'*P). Несколько сложнее доказать, что эта операция ассоциативна (т.е. (P*Q)*R = P*(Q*R) для любых точек P, Q, R). На языке современной математики это означает, что точки кривой E образуют коммутативную группу относительно операции *.

Из предыдущих рассуждений следует, что для любых двух рациональных точек P, Q точка P*Q также рациональна, – собственно, это и послужило исходным пунктом нашего метода секущих для построения рациональных точек. Итак, рациональные точки E_rat кривой E образуют подгруппу группы E. (Несобственная точка O считается рациональной.)

Искушённый читатель легко заметит, что теорему Морделла можно теперь сформулировать так:

Эта формулировка имеет определённые преимущества, так как для таких групп известны структурные теоремы. Например, группу E_rat можно представить в виде произведения некоторой конечной группы T_E и конечного числа бесконечных циклических групп. Количество бесконечных циклических сомножителей называется рангом эллиптической кривой E, а конечная группа T_E – её группой кручения. О ранге известны до сих пор только отдельные факты. Так, А. Нерон ([11 ], 1953 г.) доказал, что существует кривая, ранг которой не меньше 10, не приведя, правда, явного примера. А. Виман ([20 ], 1948 г.) построил пример кривой ранга ³4, Д. Пенни и К. Померанс ([13 ], 1975 г.) дали пример кривой ранга ³7, а Ф. Грюневальд и Р. Циммерт ([6 ], 1977 г.) – кривой ранга ³8 ⁴ ; к числу кривых ранга ³8 относится, например, кривая, задаваемая уравнением (12) с коэффициентами a = –3² ×1487×1873, b = 2⁵ ×3² ×5×151×14551×33353, c = 2⁸ ×3⁴ ×5² ×7×151² ×193×277×156307. Рассмотренная ранее кривая (11) (рис.7) имеет ранг 1, соответствующая бесконечная циклическая подгруппа порождается точкой S = (–4, 6). Это следует из результатов Р. Вахендорфа ([19 ], 1974 г.), который исследовал кривые, задаваемые уравнениями вида y² = x³ – p² x, где p – простое.

Пока неясно, существуют ли эллиптические кривые сколь угодно большого ранга (что считается весьма вероятным). Известно, однако, что ранг оценивается через коэффициенты уравнения (12) (точнее, через число различных простых сомножителей отдельных коэффициентов [18 ]). Поэтому неудивительно, что в построенных примерах кривых высокого ранга уравнения имеют большие коэффициенты. Согласно одной из упомянутых выше гипотез, ранг эллиптической кривой E равен кратности нуля так называемого L-ряда L_E (z) кривой E в точке z = 1 (Бёрч и Суиннертон-Дайер [3 ]).

Рассмотрим, наконец, группу кручения T_E . Она состоит из рациональных точек P конечного порядка (т.е. из тех, для которых n-кратная композиция P*P*...*P равна O при некотором n), называемых (рациональными) точками кручения. Прежде всего на основании самого вида кривой можно заключить, что справедлива следующая общая структурная теорема: группа T_E либо сама циклична, либо есть произведение группы Z₂ порядка 2 на циклическую группу. Это можно обосновать следующим образом. Кривая E (пополненная) состоит из одной или двух замкнутых линий (см. рис.8), а потому топологически выглядит как одна или две окружности. При этом часть E⁰ , содержащая (несобственную) точку O, образует подгруппу. Можно доказать, что любая конечная подгруппа в E⁰ циклическая (это делается точно так же, как для группы вращений окружности). Следовательно, если группа кручения T_E целиком лежит в E⁰ , то T_E – циклическая группа. В противном случае T_E есть произведение Z₂ на группу T⁰ _E точек кручения из E⁰ .

О группе кручения кое-что было известно уже довольно давно. Так, Т. Нагелль ([10 ], 1935 г.) и, позднее, Л. Лутц ([7 ], 1937 г.) получили следующий интересный результат, дающий одновременно метод для явного определения точек кручения конкретных кривых:

(Дискриминантом кривой называется определённый многочлен от коэффициентов уравнения; в данном случае дискриминант равен

D = 4a³ c – a² b² – 18abc + 4b³ + 27c² ;

условие D ¹ 0 является необходимым и достаточным условием регулярности кривой E.) Например, для кривой

E: y² = x³ – 14x² + 87x

группа кручения T_E есть циклическая группа порядка 8, порождённая точкой P = (3,12). Другим примером служит кривая

E: y² = x³ – 43x² + 166

с циклической группой кручения порядка 7, порождённой точкой P = (3,8). Весьма занимательно и совсем несложно самостоятельно придумать и исследовать другие примеры.

Уже давно существовало предположение, подтверждавшееся всё новыми численными примерами, что порядок группы кручения ограничен. К 1960 г. было известно, что он не может принимать некоторых значений, например кратных 11, 14, 15, ... (см. [4 ]).

В 1976 г. Б. Мазур существенно продвинулся вперёд, доказав, что порядок всякой рациональной точки кручения равен 12 или не превосходит 10 (это уже в 1974 г. предполагал Э. Огг [12 ]). Тем самым была полностью выяснена структура группы T_E .

Выдающимся результатом Б. Мазура была завершена одна из глав теории эллиптических кривых, причём весьма неожиданно даже для некоторых специалистов, считавших, что над этой проблемой придётся работать ещё долгое время. Можно смело утверждать, что этот результат принадлежит к числу интереснейших математических результатов последних лет. Разумеется, в рамках настоящей лекции невозможно указать даже хотя бы идею метода доказательства Мазура. Да это и не входит в мою задачу.

Я хотел только попытаться пройти вместе с вами небольшую часть пути развития одной математической проблемы – от Пифагора через Диофанта и гипотезу Ферма к рациональным точкам эллиптических кривых – и показать, как в ходе исследования проблему видоизменяли, обобщали и снова конкретизировали, частично решали и возводили на её основе новые теории. Пусть нематематики простят мне, что время от времени я вынужден был обращаться к математическим понятиям и формулам.

Примечания

1.

Формально-математически это означает отсутствие особенностей у соответствующей комплексной проективной кривой, представляющей собой тем самым поверхность Римана рода g > 1. назад к тексту

2.

Случаи, когда квадрика вырождается в точку (как это будет, например, для кривой, задаваемой уравнением x² + y² = 0), не принимаются во внимание. назад к тексту

3.

Происхождение этого названия имеет долгую историю. Уже в XVII в. при вычислении длин дуг эллипсов и других кривых математики столкнулись с интегралами вида

где f (x) – многочлен степени не выше 4. Исследование этих эллиптических интегралов начал Эйлер. Абель и независимо от него Якоби рассмотрели обратные функции для этих интегралов. Следуя Якоби, их стали называть эллиптическими функциями. Выяснилось, что это двоякопериодические мероморфные функции, удовлетворяющие дифференциальному уравнению вида

X ´ ² – f (X) = 0.

Исходя из этого уравнения, можно показать, что эллиптические функции – это в точности функции, мероморфные на эллиптических кривых (понимаемых как компактные римановы поверхности). назад к тексту

4.

Видоизменив метод Грюнвальда и Циммерта, К.Наката нашёл недавно пример кривой ранга ³9 (К.Nakata, Manuscripta Math. 29 (1979)). назад к тексту

Литература

(Превосходные библиографии имеются в [4] и [17]. По проблеме Ферма полезно сравнить [5] и [15].)

Список литературы

И.Г.Башмакова, Диофант и диофантовы уравнения. – М: Наука, 1972. назад к тексту

K.L.Biernatzki, Die Arithmetik der Chinesen, J. reine angew. Math. 52 (1856). назад к тексту

В.J.Birch, H.P.F.Swinnerton-Dyer, Notes on elliрtic curves. II, J. reine angew. Math. 218 (1965). назад к тексту

W.S.Cassels, Diophantine equations with special reference to elliptic, J. London Math. Soc. 41 (1966). назад к тексту

H.M.Edwards, Fermat's Last Theorem, Springer Graduate Texts in Mathematics, vol.50, Springer-Verlag, New York – Heidelberg – Berlin, 1977. [Имеется перевод: Г.Эдвардс. Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. – М.: Мир, 1980.] назад к тексту

F.J.Grunewald, R.Zimmert, Über einige rationale elliptische Kurven mit freiem Rang ³8, J. reine angew. Math. 296 (1977). назад к тексту

E.Lutz, Sur l'equation y² = x³ – Ax – B dans les corps p-adiques, J. Math. 177 (1937). назад к тексту

B.Mazur, Modular curves and the Eisenstein ideal, Publ. Math. IHES 47 (1977). назад к тексту

L.I.Mordell, On the rational solutions of the indeterminant equations of the third and fourth degrees, Proc. Cambridge Phil Soc. 21 (1922). назад к тексту

T.Nagell, Solution de quelques problèmes dans la théorie arithmétique des cubiques planes du premier genre, Vid. Akad. Skrifter Oslo 1 (1935), No. 1. назад к тексту

A.Neron, Problèmes arithmétiques et géométriques rattachés à la notion de rang d'une courbe algébriques dans un corps, Bull. Soc. Math. France 80 (1952). назад к тексту

A.P.Ogg, Diophantine equations and modular forms, Bull. Amer. Math. Soc. 81 (1975). назад к тексту

D.E.Penney, C.Pomerance, Three elliptic curves with rank at least seven, Math. Comp. 29 (1975). назад к тексту

H.Poincaré, Sur les propriétés arithmétiques des courbes algébriques, J. de Math. Pures et Appl., ser. 5, 7 (1901). назад к тексту

P.Ribenboim, 13 Lectures on Fermat's Last Theorem, Springer-Verlag, New York – Heidelberg – Berlin, 1979. назад к тексту

C.L.Siegel, Über einige Anwendungen Diophantischer Approximationen, Abh. Preuss. Akad. Wiss. Phys.-Math. Kl. 1 (1929). назад к тексту

J.T.Tate, The arithmetic of elliptic curves, Invent. Math. 23 (1974). назад к тексту

J.T.Tate, Rational Points on Elliptic Curves, Philips Lectures, Haverford College, 1961. назад к тексту

R.Wachendorf, Über den Rang der elliptischen Kurve y² = x³ – p²x, Diplomarbeit, Bonn, 1974. назад к тексту

A.Wiman, Über rationale Punkte auf Kurven dritter Ordnung vom Geschlecht Eins, Acta Math. 80 (1948). назад к тексту

Сведения по истории математики наряду с [1], [4], [5], [15], [17] можно найти в работах:

M.Cantor, Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, 4 Bände, Leipzig, 1900–1908.

L.E.Dickson, History of the theory of numbers, Carnegie Institution, Washington, 1919, 1920, 1923.

D.I.Struik, Abriss der Geschichte der Mathematik, Vieweg, Braunschweig, 1976. [Имеется перевод: Д.Я.Стройк. Краткий очерк истории математики. – М., Наука, 1978.]

B.L.van der Waerden, Die Pythagoreer, Artemis Verlag, 1979. [См. также: Б.Л.ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. – М.: Физматгиз, 1959. – Перев.]

Encyclopedic Dictionary of Mathematics, ed. by Math. Soc. Japan, MIT Press, Cambridge Mass. and London.