Реферат: Аналитическая геометрия

ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ.

Пусть задана система векторов а₁ , а₂ , а₃ ,…,а_л (1) одной размерности.

Определение: система векторов (1) называется линейно-независимой, если равенство a₁ а₁ +a₂ а₂ +…+a_л а_л =0 (2) выполняется лишь в том случае, когда все числа a₁ , a₂ ,…, a_л =0 и ÎR

Определение: система векторов (1) называется линейно-зависимой, если равенство (2) выполнимо хотя бы при одном a_i ¹0 (i=1,…,k)

Свойства

1. Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима

2. Если система векторов содержит линейно-зависимую подсистему векторов, то она будет линейно-зависимой.

3. Если система векторов линейно-независима, то и любая ее подсистема будет линейно независимой.

4. Если система векторов содержит хотя бы один вектор, являющийся линейной комбинацией других векторов, то эта система векторов будет линейно зависимой.

Определение: два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых.

Определение: три вектора называются компланарными, если они лежат в параллельных плоскостях.

Теорема: Если заданы два вектора a и b, причем а¹0 и эти векторы коллинеарны, то найдется такое действительное число g, что b=ga.

Теорема: Для того что бы два вектора были линейно-зависимы необходимо и достаточно, что бы они были коллениарны.

Доказательство: достаточность. Т.к. векторы коллинеарны, то b=ga. Будем считать, что а,b¹0 (если нет, то система линейно-зависима по 1 свойству). 1b-ga=0. Т.к. коэфф. При b¹0, то система линейно зависима по определению. Необходимость. Пусть а и b линейно-зависимы. aа+bb=0, a¹0. а= -b/a*b. а и b коллинеарны по определению умножения вектора на число.

Теорема: для того, чтобы три вектора были линекно-зависимы необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны. Необходимость.

Дано: a, b, c – линейно-зависимы. Доказать: a, b, c – компланарны. Доказательство: т.к. векторы линейно-зависимы, то aа+bb+gc=0, g¹0. с= - a/g*а - b/g*b. с-диагональ параллелограмма, поэтому a, b, c лежат в одной плоскости.

БАЗИС СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ. РАЗЛИЧНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ.

1. Определение: пусть задана некоторая система векторов. Базисом этой системы называется мах. совокупность линейно-независимых векторов системы.

В множестве векторов на прямой базис состоит из одного ненулевого вектора.

В качестве базиса множества векторов на плоскости можно взять произвольную пару.

В множестве векторов в трехмерном пространстве базис состоит из трех некомпланарных векторов.

2. Прямоугольная (декартова) система координат на плоскости определяется заданием двух взаимно перпендикулярных прямых с общим началом и одинаковой масштабной ед. на осях.

Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве определяется заданием трех взаимно перпендикулярных прямых с общей точкойпересечения и одинаковой масштабной ед. на осях.

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

Определение: скалярным произведением двух векторов называется произведение длин двух векторов на косинус угла между ними.

(а,b)=|a| |b| cos u, u<90, пр-е полож.; u=90, пр-е =0; u>90, пр-е отриц.

Свойства:

1. (а,b)= (b,а)

2. (aа,b)= a (а,b)

3. (а+b,с)= (а,с)+ (b,с)

4. (а,а)=|a|² – скал.квадрат.

Определение: два вектора называются ортоганальными, когда скалярное пр-е равно 0.

Определение: вектор называется нормированным, если его скал.кв.равен 1.

Определение: базис множества векторов называется ортонормированным, если все векторы базиса взаимно-ортагональны и каждый вектор нормирован.

Теорема: Если векторы а и b заданы координатами в ортонормированном базисе, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат.

Найдем формулу угла между векторами по определению скалярного произведения. cos u=a,b/|a||b|=x₁ x₂ +y₁ y₂ +z₁ z₂ /sqrt(x₁ ² +y₁ ² +z₁ ² )*sqrt(x₂ ² +y₂ ² +z₂ ² )

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

Определение: векторным произведением двух векторов a и b обозначаемым [a,b] называется вектор с удовлетворяющий след. требованиям: 1. |c|=|a||b|sin u. 2. (с,а)=0 и (с,b)=0. 3. а, b, с образуют правую тройку.

Свойства:

1. [a,b]= - [b,a]

2. [aа,b]= a[а,b]

3. [a+b,c]=[a,c]+[b,c]

4. [a,a]=0

Теорема: Длина векторного произведения векторов равна площади параллелограмма построенного на этих векторах.

Доказательство: справедливость теоремы вытекает из первого требования определения векторного произведения.

Теорема: Пусть векторы а и b заданы координатами в ортонормированном базисе, тогда векторное произведение равно определителю третьего порядка в первой строке которого наход-ся базисны векторы, во второй – координаты первого вектора, в третьей – координаты второго.

Определение: ортой вектора а называется вектор ед. длины имеющий одинаковое направление с вектором а. e_a =a/|a|

РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ.

1.Общее ур-е пр. 2. Ур-е пр. в отрезках. 3. Каноническое ур-е пр. 4. Ур-е пр. ч/з две точки. 5. Ур-е пр. с углов. коэфф. 6. Нормальное ур-е прямой. Расст. от точки до прямой. 7. Параметрическое ур-е пр. 8. Пучок пр. 9.Угол между пр.

1. Ах+By+C=0 (1), где A, B одновр.не равны нулю.

Теорема: n(A,B) ортоганален прямой заданной ур-ем (1).

Доказательство: подставим коорд. т.М₀ в ур-е (1) и получим Ах₀ +By₀ +C=0 (1’). Вычтем (1)-(1’) получим А(х-х₀ )+B(y-y₀ )=0, n(A,B), М₀ М(х-х₀ , y-y₀ ). Слева в полученном равенстве записано скалярное произведение векторов, оно равно 0, значит n и M₀ M ортоганальны. Т.о. n ортоганлен прямой. Вектор n(A,B) называется нормальным вектором прямой.

Замечание: пусть ур-я А₁ х+B₁ y+C₁ =0 и А₂ х+B₂ y+C₂ =0 определяют одну и ту же прямую, тогда найдется такое действительное число t, что А₁ =t*А₂ и т.д.

Определение: если хотя бы один из коэффициентов в ур-ии (1) =0, то ур-е называется неполным.

1. С=0, Ах+By=0 – проходит ч/з (0,0)

2. С=0, А=0, By=0, значит у=0

3. С=0, B=0, Ах=0, значит х=0

4. А=0, By+C=0, паралл. ОХ

5. B=0, Ах+C=0, паралл. OY

2. x/a+y/b=1.

Геом.смысл: прямая отсекает на осях координат отрезки а и b

3. x-x₁ /e=y-y₁ /m

Пусть на прямой задана точка и напр. вектор прямой (паралл.пр.). Возьмем на прямой произв. точки. q и M₁ М(х-х₁ ; y-y₁ )

4. x-x₁ /x₂ -x₁ =y-y₁ /y₂ -y₁

Пусть на прямой даны две точки М₁ (x₁ ;y₁ ) и М₂ (x₂ ;y₂ ). Т.к. на прямой заданы две точки, то задан направляющий вектор q(x₂ -x₁ ; y₂ -y₁ )

5. y=kb+b.

u – угол наклона прямой. Tg угла наклона называется угловым коэффициентом прямой k=tg u

Пусть прямая задана в каноническом виде. Найдем угловой коэффициент прямой tg u = m/e. Тогда видим x-x₁ /e/e=y-y₁ /m/e. y-y₁ =k(x-x₁ ) при y₁ -kx₁ =b, y=kx+b

6. xcosq+ysinq-P=0

q - угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ.

Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и q

Решение: Выделим на прямой ОР вектор ед. длины n. |n|=1, n(cosq, sinq). Пусть М(x,y) – произв.точка прямой. Рассмотрим два вектора n и ОМ. Найдем двумя способвами их скал.произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р. 2. ОМ*n=cosqx+sinqy. Приравняем правые части.

Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду.

Ах+By+C=0

xcosq+ysinq-P=0

т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности.

Cos² q=(A*t)²

Sin² q=(B*t)²

-p=C*t

cos² q+sin² q=t² (A² +B² ), t² =1/A² +B² , t=±sqrt(1/ A² +B² ). Sign t= - sign C

Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее ур-е умножить на t.

Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель.

7. Система: x=et+x₁ и y=mt+y₁

НОРМАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ. Расстояние от точки до прямой.

1. xcosq+ysinq-P=0

q - угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ.

Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и q

Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду.

Ах+By+C=0

xcosq+ysinq-P=0

т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности.

Cos² q=(A*t)²

Sin² q=(B*t)²

-p=C*t

cos² q+sin² q=t² (A² +B² ), t² =1/A² +B² , t=±sqrt(1/ A² +B² ). Sign t= - sign C

Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее ур-е умножить на t.

Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель.

2. Обозначим d – расстояние от точки до прямой, а ч/з б – отклонение точки от прямой. б=d, если нач.коорд. и точка по разные стороны; = - d, если нач.коорд. и точка по одну сторону.

Теорема: Пусть задано нормальное уравнение прямой xcosq+ysinq-P=0 и М₁ (x₁ ;y₁ ), тогда отклонение точки М₁ = x₁ cosq+y₁ sinq-P=0

ГИПЕРБОЛА.

Определение: ГМТ на плоскости модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная

Каноническое уравнение:

Будем считать, что фокусы гиперболы находятся на ОХ на одинаковом расстоянии от начала координат. |F₁ F₂ |=2c, М – произвольная точка гиперболы. r₁ , r2 – расстояния от М до фокусов;
|r₂ -r₁ |=2a; a<c;

x² c² -2a² xc+a² =a² (x² -2xc+c² +y² )

x² (c² -a² )-a² y² =a² (c² -a² )

c² -a² =b²

x² b² -a² y² =a² b²

- каноническое ур-е гиперболы

ПАРАБОЛА.

Определение: ГМТ на плоскости расстояние от которых до фиксированной точки на плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой этой плоскости называемой директрисой.

Каноническое уравнение:

Пусть фокус параболы находится на оси ОХ, а директриса расположение перпендикулярно оси ОХ, причем они находятся на одинаковом расстоянии от начала координат.

|DF|=p, М – произвольная точка параболы; К – точка на директрисе; МF=r; MK=d;

r=sqrt((x-p/2)² +y² ); d=p/2+x

Приравниваем и получаем:

y² =2px - каноническое уравнение параболы

ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ И ДИРЕКТРИСА ЭЛЛИПСА И ГИПЕРБОЛЫ.

1. Определение: эксцентриситет – величина равная отношению с к а.

е=с/а

е эллипсв <1 (т.к. а>c)

е гиперболы >1 (т.к. с>a)

Определение: окружность – эллипс у которого а=b, с=0, е=0.

Выразим эксцентриситеты через а и b:

е эллипса является мерой его “вытянутости”

е гиперболы характеризует угол раствора между асимптотами

2. Директрисой D эллипса (гиперболы), соответствующей фокусу F, называется прямая расположенная в полуплоскости a перпендикулярно большой оси эллипса и отстоящий от его центра на расстоянии а/е>a (а/е<a)

D₁ : x= - a/e

D₂ : x= a/e

р=а(1-е² )/е – для эллипса

р=а(е² -1)/е – для гиперболы

ТЕОРЕМА ОБ ОТНОШЕНИИ РАССТОЯНИЙ. 2-ОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.

Теорема: Отношение расстояния любой точки эллипса (гиперболы) до фокуса к расстоянию от нее до соответствующей директрисы есть величина постоянная равная е эллипса (гиперболы).

Доказательство: для эллипса.

r₁ /d₁ =e

x£|a|, xe+a>0

r₁ =xe+a

d₁ – расстояние от М(x,y) до прямой D₁

xcos180+ysin180-p=0

x=-p

x=-a/e

б_м =-x-a/e

d₁ =-б_м (минус, т.к. прямая и точка по одну стороно о начала коорд.)

Определение: ГМТ на плоскости, отношение расстояния от которых до фокуса, к расстоянию до соответствующей директрисы есть величина постоянная и представляет собой эллипс, если <1, гиперболу, если >1, параболу, если =1.

ПОЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.

Пусть задан эллипс, парабола или правая ветвь гиперболы.

Пусть задан фокус этих кривых. Поместим полюс полярной системы в фокус кривой, а полярную ось совместим с осью симметрии, на которой находится фокус.

r= r

d=p+rcosj

e=r/p+rcosj

- полярное уравнение эллипса, параболы и правой ветви гиперболы.

КАСАТЕЛЬНАЯ К КРИВОЙ 2-ГО ПОРЯДКА.

Пусть задан эллипс в каноническом виде. Найдем уравнение касательной к нему, проходящей через М₀ (x₀ ;y₀ ) – точка касания, она принадлежит эллипсу значит справедливо:

у-у₀ =y’(x₀ )(x-x₀ )

Рассмотрим касательную к кривой следовательно

ya² y₀ -a² y₀ ² +b² x₀ x-b² x₀ ² =0

- уравнение касательной к эллипсу.

- уравнение касательной к гиперболе.

- уравнение касательной к параболе.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ.

Преобразование на плоскости есть применение преобразований параллельного переноса и поворота.

Пусть две прямоугольные системы координат имеют общее начало. Рассмотрим все возможные скалярные произведения базисных векторов двумя способами:

(е₁ ;е₁ ’)=cos u

(е₁ ;е₂ ’)=cos (90+u)= -sin u

(е₂ ;е₁ ’)=cos (90-u)=sin u

(е₂ ;е₂ ’)=cos u

Базис рассматривается ортонормированный:

(е₁ ;е₁ ’)=(е₁ , a₁₁ е₁ +a₁₂ е₂ )= a₁₁

(е₁ ;е₂ ’)= (е₁ , a₂₁ е₁ +a₂₂ е₂ )= a₂₁

(е₂ ;е₁ ’)= a₁₂

(е₂ ;е₂ ’)= a₂₂

Приравниваем:

a₁₁ =cos u

a₂₁ = - sin u

a₁₂ =sin u

a₂₂ =cos u

Получаем:

x=a+x’cos u – y’sin u

y=b+x’sin u – y’cos u - формулы поворота системы координат на угол u.

------------

x=a+x’

y=b+y’ - формулы параллельного переноса

ИНВАРИАНТЫ УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА.

Определение: Инвариантой ур-я (1) линии второго порядка относительно преобразования системы координат, называется функция зависящая от коэффициентов ур-я (1) и не меняющая своего значения при преобразовании системы координат.

Теорема: инвариантами уравнения (1) линии второго порядка относительно преобразования системы координат являются следующие величины: I₁ ; I₂ ; I₃

Вывод: при преобразовании системы координат 3 величины остаются неизменными, поэтому они характеризуют линию.

Определение:

I₂ >0 – элиптический тип

I₂ <0 – гиперболический тип

I₂ =0 – параболический тип

ЦЕНТР ЛИНИИ 2-ГО ПОРЯДКА.

Пусть задана на плоскости линия уравнением (1).

Параллельный перенос:

Параллельно перенесем систему XOY на вектор OO’ т.о. что бы в системе X’O’Y’ коэфф. при x’ и y’ преобразованного уравнения кривой оказались равными нулю. После этого:

a₁₁ x’² +2a₁₂ x’y’+a₂₂ y’² +a’₃₃ =0 (2)

точка О’ находится из условия: a₁₃ ’=0 и a₂₃ ’=0.

Получается система a₁₁ x₀ +a₁₂ y₀ +a₁₃ =0 и a₁₂ x₀ +a₂₂ y₀ +a₂₃ =0

Покажем, что новое начало координат (если система разрешима) является центром симметрии кривой: f(x’;y’)=0, f(-x’;-y’)= f(x’;y’)

Но точка О’ существует если знаменатели у x₀ и y₀ отличны от нуля.

Точка O’ – единственная точка.

Центр симметрии кривой существует если I₂ ¹0 т.е. центр симметрии имеют линии элиптического и гиперболического типа

Поворот:

Пусть система XOY повернута на угол u. В новой системе координат уравнение не содержит члена с x’y’ т.е. мы делаем коэфф. а₁₂ =0. a₁₂ ’= -0,5(a₁₁ -a₂₂ )sin2u+a₁₂ cos2u=0 (разделим на sin2u), получим:

, после такого преобразования уравнение принимает вид

a₁₁ ’x’² +a₂₂ ’y’² +2a₁₃ ’x’+2a₂₃ ’y’+a₃₃ ’=0 (3)

ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ЭЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА.

Теорема: Пусть задана линия элиптического типа т.е. I₂ >0 и пусть I₁ >0следовательно уравнение (1) определяет: 1. I₃ <0 – эллипс; 2. I₃ =0 – точка; 3. I₃ >0 – ур-е (1) не определяет. Если I₃ =0 говорят, что эллипс вырождается в точку. Если I₃ >0 говорят, что задается мнимый эллипс. Пусть после ПП и поворота ур-е (1) принимает вид (*).

Доказательство:

1. пусть I₂ >0, I₁ >0, I₃ <0, тогда

а₁₁ ’’x’’² +a₂₂ ’’ y’’² = -I₃ /I₂

I₂ =a₁₁ ’’a₂₂ ’’ > 0

I₁ = a₁₁ ’’+a₂₂ ’’ > 0

a₁₁ ’’ > 0; a₂₂ ’’ > 0

Итак, под корнями стоят положительные числа, следовательно, уравнение эллипса.

2. I₃ >0 в данном случае под корнем стоят отрицательные числа, следовательно уравнение не определяет действительного геометрического образа.

3. I₃ =0 в данном случае т(0,0) – случай вырождения эллипса.

ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА.

Теорема: Пусть уравнение (1) определяет линию гиперболического типа. Т.е. I₂ <0, I₃ ¹0 - ур-е (1) определяет гиперболу; I₃ =0 – пару пересекающихся прямых.

Доказательство: I₂ <0; I₂ = a₁₁ ’’a₂₂ ’’ < 0. Пусть a₁₁ ’’>0; a₂₂ ’’<0

Пусть I₃ >0

В данном случае мы имеем гиперболу с действительной осью ОХ.

Пусть I₃ <0

-(-а₁₁ ’’)x’’² +a₂₂ ’’ y’’² = -I₃ /I₂

В этом случае мы имеем гиперболу с действительной осью ОY

Пусть I₃ =0

а₁₁ ’’x’’² -(-a₂₂ ’’)y’’² =0

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ КРИВЫХ 2-ГО ПОРЯДКА.

Пусть крива второго порядка задана уравнением (1). Рассмотрим квадратную часть этого уравнения: u(x,y)= a₁₁ x² +2a₁₂ xy+a₂₂ y²

Определение: ненулевой вектор (a, b) координаты которого обращают в ноль квадратичную часть называется вектором асимптотического направления заданной кривой.

(a, b) – вектор асимптотического направления.

a₁₁ a² +2a₁₂ ab+a₂₂ b² =0 (*)

Рассмотрим (a’, b’) параллельный (a, b): следовательно . Дробь a/b характеризует вектор асимптотического направления.

Задача: выяснить какие асимптотические направления имеют кривые 2-го порядка.

Решение: положим, что b¹0 и поделим на b² , получим: a₁₁ (a/b)² +2a₁₂ a/b+a₂₂ =0 из этого квадратного уравнения найдем a/b.

т.к. у линий гиперболического и параболического типов I₂ £0, то они имеют асимптотические направления. Т.к. у эллипса I₂ >0 следовательно таких у него нет (говорят он имеет мнимые асимптотические направления).

Найдем асимптотические направления у гиперболы:

(a, b)₁ =(a,b)

(a, b)₂ =(-a,b)

Векторы асимптотического направления являются направляющими векторами для асимптот.

Итак: гипербола имеет два асимптотических направления, которые определяются асимптотами гиперболы.

Найдем асимптотические направления у параболы:

y² =2px

y² -2px=0

u(x,y)= y² +0, y=0

(a, b)=(0,0)

Итак: вектор асимптотического направления параболы лежит на оси симметрии параболы, т.е. прямая асимптотического направления пересекает параболу в одной точке, след. асимптотой не является. Парабола имеет одно асимптотическое направление, но асимптот не имеет.

РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ.

Пусть задано трехмерное пространство.

Теорема: Плоскость в афинной системе координат задается уравнением первой степени от трех переменных: Ax+By+Cz+D=0, где A,B,C¹0 одновреенно. Справедлива и обратная теорема.

Теорема: Вектор n(A, B, C) ортоганален плоскости, задаваемой общим уравнением.

Вектор n – нормальный вектор плоскости.

2. Уравнение плоскости в отрезках:

3. Уравнение плоскости, определенной нормальным вектором и точкой.

Пусть n(A,B,C) и М(x₀ ;y₀ ;z₀ ). Запишем ур-е пл-ти:

Ax+By+Cz+D=0

Ax₀ +By₀ +Cz₀ =-D

A(x-x₀ )+B(y-y₀ )+C(z-z₀ )=0

5. Уравнение плоскости ч/з 3 точки.

Пусть известны три точки не принадл. одной прямой.

М₁ (x₁ ;y₁ ;z₁ ); М₂ (x₂ ;y₂ ;z₂ ); М₃ (x₃ ;y₃ ;z₃ )

Пусть М(x;y;z) – произвольная точка плоскости. Т.к. точки принадл. одной плоскости то векторы компланарны.

М₁ Мx-x₁ y-y₁ z-z₁

М₁ М₂ x₂ -x₁ y₂ -y₁ z₂ -z₁ =0

М₁ М₃ x₃ -x₁ y₃ -y₁ z₃ -z₁

6. Параметрическое ур-е плоскости.

Пусть плоскость определена точкой и парой некомпланарных векторов. V(V₁ ;V₂ ;V₃ ); U(U₁ ;U₂ ;U₃ ); M₀ (x₀ ;y₀ ;z₀ ), тогда плостость имеет вид: система: x=x₀ +V₁ t+U₁ s и y=y₀ +V₂ t+U₂ s и z=z₀ +V₃ t+U₃ s

РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ.

Ax+By+Cz+D=0; M₀ (x₀ ;y₀ ;z₀ )

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ.

Угол между плоскостями: пусть заданы две плоскости: A₁ x+B₁ y+C₁ z+D₁ =0; A₂ x+B₂ y+C₂ z+D₂ =0, поэтому n₁ (A₁ ;B₁ ;C₁ ); n₂ (A₂ ;B₂ ;C₂ ). Отыскание угла между плоскостями сводится к отысканию его между нормальными векторами.