Реферат: Доказательство Великой теоремы Ферма с помощью метода бесконечных (неопределенных) спусков

Доказательство Великой теоремы Ферма

с помощью метода бесконечных (неопределенных) спусков

§1.

Решение задач в науке определяется верифицированным методом доказательства. Как мы видим из разнообразной литературы по проблеме решения Великой теоремы Ферма неразличение исторических счастливых случайных, и оттого многообразных, находок и логических т.е. теоретических нормальных закономерных изобретений сделало из числового уравнения задачу «икс» для многих поколений математиков.

Анализ монографий и учебников по самым различным наукам и, в том числе, т.н. математическим показывает, что представление наук «об их предмете» является самым слабым звеном. Затем идет «представление о методе», о «научном законе» и «языке науки».

Как соотносится решение конкретной задачи с представлением наук о предмете, методе, научном законе и языке конкретной науки? Обычно этим вопросом никто и не задается. Но первое же действие по решению задачи привело автора к необходимости определиться, узнать, с помощью какой науки или совокупности наук надо подойти к решению задачи, какой инструмент необходим? При нынешнем плюрализме в науках уже одно это занятие ставит исследователя в неловкое положение. Что говорить, если даже из предмета т.н. точных, математических наук явно не увидеть явно то, чем занимается наука (предмет науки).

Условия задачи указывают на необходимость привлечения к исследованию науки о числах и науки о действиях с числами (и в общем виде с величинами). С наукой о числах больших проблем не возникло, это область теории чисел, но вот то, что действие с числами это предмет алгебры – может догадаться только очень искушенный в т.н. математических трудах исследователь. И то неявно. Недоумение вызвал и тот факт, что понятие границ величины автор так и не нашел. Т.е. как математики отличают величину от не-величны в явном виде автор так и не смог определить (для себя принял условие, что границы величины должны быть несоизмеримы с величиной и выражаются нулевым числом т.е. они могут соизмеряться с величиной, но должны быть меньше самой малой дискретной меры величины).

Сама математика при изучении ее фактического материала представляется автору, скорее, в виде научной дисциплины по созданию моделей с определенными (описанными) величинами, которая использует закономерности всего круга т.н. математических наук.

Вместе с тем, гипотеза Ферма, доказать которую мы беремся в данной работе, сформулирована таким образом, что указывает нам на необходимость привлечения еще и науки о геометрических формах и представлениях числа.

В настоящей статье предлагается использовать теоретико-числовой и алгебраический метод доказательства, с наглядной геометрической верификацией, который был изобретен П.Ферма, автором Великой гипотезы (и как мы увидим далее - теоремы), названной в его честь. Изобретенный им метод доказывания, называемый методом бесконечных (неопределенных) спусковоснован на интеллектуальной возможности производить определенные (имеющие свойства) действия с существующими числами и действительными числовыми выражениями.

Этот математический метод П. Ферма описывал в своем письме к Каркави (август 1659 года) следующим образом:

«Если бы существовал некоторый прямоугольный треугольник в целых числах, который имел бы площадь, равную квадрату, то существовал бы другой треугольник, меньший этого, который обладал бы тем же свойством. Если бы существовал второй, меньший первого, который имел бы то же свойство, то существовал бы, в силу подобного рассуждения, третий, меньший второго, который имел бы то же свойство, и, наконец, четвертый, пятый, спускаясь до бесконечности. Но если задано число, то не существует бесконечности по спуску меньших его (я все время подразумеваю целые числа). Откуда заключают, что не существует никакого прямоугольного треугольника с квадратной площадью».

Дано утверждение (в лексике П.Ферма[1] ):

«Нельзя разложить куб на два куба, ни квадрато-квадрат (т. е. четвертую степень числа) на два квадрато-квадрата, ни вообще никакую степень выше квадрата и до бесконечности нельзя разложить на две степени с тем же показателем». Далее автор утверждения – П.Ферма делает заметку: «Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля (имеется ввиду книги которую он читал книги – авт.) для него слишком узки».

«Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата и вообще ни в какую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем».

На современном математическом языке.

Дано: уравнение a ⁿ + b ⁿ = c ⁿ при натуральномn ⊂ N , n > 2 ,не имеет решения в ненулевых целых числах а’ , b ’, c ’ , { a ’, b ’, c ’} ⊂ Z .

Доказательство:

Рассмотрим метод бесконечных (неопределенных) спусков, который мы собираемся применить для доказательства.

Дано уравнение:a ² + b ² = c ² ;

Решения данного уравнения выражаются в следующей геометрической форме:прямоугольный треугольник с катетами a , b и гипотенузойc .

Предположим, что уравнение a ² + b ² = c ² имеет решение в целых числах a ', b ’, c ’

Метод бесконечного (неопределенного) утверждает, что если существует прямоугольный треугольник со сторонами a ', b ’, c ’ выраженным в натуральных числахто, будет существовать бесконечное число прямоугольных треугольников имеющих стороны:

a пропорционально a ’ ,

b пропорционально b ’ ,

c пропорционально c ’ ,

Т.е. если есть решение уравнения (существует треугольник a ', b ’, c ’ ) то мы можем найти бесконечное пропорциональное количество решений уравнения

a ² + b ² = c ²

где

a_i = k_i · а’ ;

b_i = k_i ·b’;

c_i = k_i ·c’;

где к – любое действительное число, аi - произвольный нумератор решений множества решений

I состоящее из решений совокупности связанных решений ( a_{i ,} b_{i ,} c_i ) определяемых через любое существующее решение ( a ’, b ’, c ’) .

Таким образом, i -тое решение уравнения a ² + b ² = c ² позволяет нам найти определить I -тое коммутативное множество решений уравнения.

Принципиальная невозможность решения уравнения a ² + b ² = c ² позволяет нам утверждать невозможности получения всего множества решений уравнения.

Верификация метода бесконечных (неопределенных) спусков:

Стороны уравнения a ² + b ² = c ² в силу закона ассоциативности могут быть умножены на любое рациональное число К выраженное через действительное число к в виде К = к ² : мы можем сделать преобразование и в целых числах a ', b ’, c ’ представить уравнение a ² + b ² = c ² выражением в виде:

К · ( a ’ ² + b ’ ² ) = К · c ’ ²

в силу закона дистрибутивности (или распределительности) можно сделать следующее преобразование и получить выражение в виде:

K · a ’² + K · b ’² = K · c ’²

где К – любое рациональное число и К = к ² где к – любое действительное числоследующее преобразование приводит уравнение

aⁿ + bⁿ = cⁿ к виду:

k² a² + k² b² = k² c²

(ka)² + (kb)² = (kc)²

где К – любое рациональное число K ∈ { Q } ,где Q – поле рациональных чисел, образованное из действительного числа k по формуле К = k ^{2 ,} где число k ∈ { R } ,где R – поле действительных чисел

Действительное число к множества действительных чисел – позволяет работать во всем действительном числовом поле решений, представленных в виде ( k_i a ’, k_i b ’, k_i c ’) даже при единственном возможном решении гдеa ', b ’, c ’ – целые числа

Множество всех действительных чисел составляют натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R , J ⊂ R решения { k_i a ’, k_i b ’, k_i c ’ } ⊂ R .

Это значит, что если не существует решения a ² + b ² = c ² ( a ', b ’, c ’) не существует и ни одного решения ( k_i a ’, k_i b ’, k_i c ’) во всем множестве целых чисел

(a , b , c ) ⊂ Z

Верификация метода бесконечных (неопределенных) спусков в геометрическом виде представлена[2] на рис. 1 :

рис. 1

Возможность получения бесконечного множества I пропорциональных решений при известном i -том решении прямоугольного треугольника и поможет нам в разрешении поставленной задачи.

Теперь, собственно, перейдем к доказательству Великой теоремы (утверждения) Ферма:

уравнение a ⁿ + b ⁿ = c ⁿ при натуральномn ⊂ N , n > 2 ,не имеет решения в ненулевых целых числах а’ , b ’, c ’ , { a ’, b ’, c ’} ⊂ Z ,

Рассмотрим уравнение:

a ⁿ + b ⁿ = c ⁿ

Уравнение aⁿ + bⁿ = cⁿ можно представить в виде

( a^{n -2} ) · a ² +( b^{n -2} ) · b ² = ( c^{n -2} ) · c ²

Предположим , что уравнение aⁿ + bⁿ = cⁿ имеет решение в целых числах а’ , b ’, c ’

тогда уравнение aⁿ + bⁿ = cⁿ можно представить выражением в виде:

( a ’ ^{n -2} ) · a ’² +( b ’ ^{n -2} ) · b ’² = ( c ’ ^{n -2} ) · c ’²

А, затем, в виде:

K_a · a ’² + K_b · b ’² = K_c · c ’²

Где

K_a = ( a ’ ^{n -2} ), K_b = ( b ’ ^{n -2} ), K_c = ( c ’ ^{n -2} ) , где n > 2 , n ⊂ N , { a ’, b ’, c ’} ⊂ Z .

Значит, { K_{a ,} K_{b ,} K_c } ⊂ Z принадлежит множеству натуральных чисел

Данное выражение K_a · a ’² + K_b · b ’² = K_c · c ’² , имеющее решение в целых числах геометрически является также прямоугольным треугольником со сторонами:

a1 = k_a ·a’ и K_a = k_a ²

b1 = k_b · b’ и K_a = k_b ²

c1 = k_c · c’ и K_a = k_c ²

где{k_a , k_b , k_c } ⊂ R

но { K_{a ,} K_{b ,} K_c } ⊂ Z т.к. образуются из произведений целых чисел K_a = ( a ’ ^{n -2} ), K_b = ( b ’ ^{n -2} ), K_c = ( c ’ ^{n -2} ) при натуральном n > 2

Уравнение aⁿ + bⁿ = cⁿ целых числах а’ , b ’, c ’ можно представить в действительных числах:

a1² + b1² = c1² где{a1, b1, c1} ⊂ R

Применяем метод бесконечных (неопределенных) спусков

Если существует решение уравнения aⁿ + bⁿ = cⁿ в целых числах { a ’, b ’, c ’} ⊂ Z (а, значит и решение ( a^{n -2} ) · a ² +( b^{n -2} ) · b ² = ( c^{n -2} ) · c ² в целых числах { a ’, b ’, c ’} ⊂ Z )и если существует решение уравнения a ² + b ² = c ² в целых числах подмножества действительных чисел { a 1, b 1, c 1} ⊂ Z ⊂ R

То это решения этих уравнений пропорциональны:

K · a ’² = а1²

К· b ’² = b 1²

К· c ’² = c 1²

{ K } ⊂ R принадлежит множеству действительных целых чисел.

Вместе с тем, решение уравнения aⁿ + bⁿ = cⁿ в целых числах { a ’, b ’, c ’} ⊂ Z имеет вид

a1 = K_a ·a’

b1 = K_b · b’

c 1 = K_c · c ’

отсюда следует, что

K_a = K_b = K_c = K где { K_{a ,} K_{b ,} K_c } ⊂ Z

и

К = a^{n -2} = b^{n -2} = c^{n -2} гдетакже { K } ⊂ Z принадлежит множеству целых чисел

Получаем систему взаимно увязанных решений:

a ’ ⁿ + b ’ ⁿ = c ’ ⁿ

К · a ’² + К · b ’² = К · c ’²

К = a^{n -2} = b^{n -2} = c^{n -2} где{ a ’, b ’, c ’} ⊂ Z и { K } ⊂ Z

Невозможность получения решения системы уравнений (1):

aⁿ + bⁿ = cⁿ

К · a ² + К · b ² = К · c ² (1)

К = a^{n -2} = b^{n -2} = c^{n -2} где{ a ’, b ’, c ’} ⊂ Z и { K } ⊂ Z

является доказательством невозможности получения решения уравнения aⁿ + bⁿ = cⁿ в целых числах{ a ’, b ’, c ’} ⊂ Z ,

если существует хотя бы одно решение a ² + b ² = c ² в целых числах{ p , q , r } ⊂ Z .

И, наоборот, решение системы уравнений (1) при существующем хотя бы одном решении a ² + b ² = c ² в целых числах{ p , q , r } ⊂ Z даст возможность найти решение уравнения aⁿ + bⁿ = cⁿ в целых числах{ a ’, b ’, c ’} ⊂ Z .

Система уравнений (1) может быть преобразована в сумму систем уравнений (2) и (3)

при n ≠ 2 и К ≠ 0 где { a ’, b ’, c ’} ⊂ Z и { K } ⊂ Z

aⁿ + bⁿ = cⁿ где

a² + b² = c²

K= a = b = c (2)

при n = 2 и К ≠ 0 где{ a ’, b ’, c ’} ⊂ Z и { K } ⊂ Z

aⁿ + bⁿ = cⁿ

a² + b² = c²

K =a⁰ = b⁰ = c⁰ (3)

Рассмотрим систему уравнений (2) получаем:

2 c ² = c ² ,

2 b ² = b ² ,

2 a ² = a ² ,

Отсюда следуют выводы:

1) Система уравнений (2) не имеет решение в целых числах { a ’, b ’, c ’} ⊂ Z, значит система уравнений (2) неразрешима в целых числах { a ’, b ’, c ’} ⊂ Z .

2) Система уравнений (2) имеет решение только в при а = 0, в = 0, с = 0 т.е. { a , b , c } ⊂ N , это решение что не входит в условие рассмотрение задачи.

Других решений система уравнений (2) не имеет (геометрически – треугольник не может быть одновременно равносторонним и прямоугольным).

Рассмотрим систему уравнений (3)

При n = 2 равенствозначений a ⁰ = b ⁰ = c ⁰ сохраняется при любых соотношениях a , b , c . Поиск хотя бы одного решения уравнения a ² + b ² = c ² входит в условие доказательства теоремы Ферма.

Известно, что все решения в целых числах уравнения a² + b² = c² найдены и имеют следующий вид:

a = p² – q²

b = 2pq

c = p² + q²

где p и q – целые числа.

Для нашего доказательства достаточно одного решения. Например - (3,4,5).

Отсюда делаем вывод, если существует решение уравнения a ² + b ² = c ² где { a ’, b ’, c ’} ⊂ Z то уравнениеaⁿ + bⁿ = cⁿ при n ≠ 2 (где n – любое натуральное число) не будет иметь решение при любых { a , b , c } ⊂ Z в силу неразрешимости системы уравнений (2).

Так как уравнениеaⁿ + bⁿ = cⁿ не имеет решений в ненулевых целых числах а’ , b ’, c ’ ({ a ’, b ’, c ’} ⊂ Z ) при n ≠ 2 ,где n – любое натуральное число (n ⊂ N ) , значит, оно не имеет решения и в случае, когда n >2 .

Доказательство Великой теоремы Ферма логически построено на доказательстве отсутствия необходимого условия решения в целых ненулевых числах уравнения a ⁿ + b ⁿ = c ⁿ при натуральном n > 2 и геометрически может быть сформулировано таким образом: невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата и вообще ни в какую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем в силу того, что необходимым условием такого разложения является возможность прямоугольного треугольника быть равносторонним (в равностороннем треугольнике все углы равны 60°).

Вышеуказанные рассуждения просты, наглядны, они не основаны на поиске конкретных решений уравнения aⁿ + bⁿ = cⁿ , а основаны на поиске доказательства, исключающего решение уравненияaⁿ + bⁿ = cⁿ в целых числах.

Метод бесконечных (неопределенных) спусков был изобретен самим П.Ферма и, очевидно, что он им пользовался для умозаключения о невозможности разложения куба на два куба, биквадрата на два биквадрата Становится совершенно очевидным факт того, что сам П. Ферма имел «чудесное» доказательство своего великого открытия.

§2. Небольшое пояснение ко второй сноске (стр. 3).

В силу закона дистрибутивности уравнение a ² + b ² = c ² можно преобразовать к виду к виду:

К · a ² + К · b ² = К · c ²

где К – любое рациональное число

Возьмем уравнение

1² + 1² = c ²

преобразуем его в вид

К1² + К1² = К c ²

2 · К = К · c ² или К · 2 = К · c ²

Мы получили частное решение уравнения

если К = 2 тоc ² = К ,

Уравнение c ² = К имеет решение тогда, когда есть такое рациональное число к которое образует число К по формуле:

к² = К

отсюда следует, что если есть такое рациональное число,которое может быть образовано от числа к с помощью умножение на само себя и будет равно двум

(К = 2 ),то будет и решение уравнения равное этому числу (c = k ) в рациональных числах.

Мы получили частное решение уравнения 1² + 1² = k ² которое, благодаря методу бесконечных (неопределенных) спусков будет источником для образования бесконечного количества решений уравнения:

1² + 1² = c ²

И наоборот, уравнение 1² + 1² = c ² не будет иметь решения в рациональных числах, если отсутствует такое рациональное число, которое может быть образовано от рационального числа к с помощью умножения на само себя и будет равно двум (К = 2 )

К = к ² , а не наоборот, когда к = √ К

Если число к не определено на числовой прямой рациональных чисел, то его умножение в рациональном выражении возможно только с определенными условностями (например – округлением).

Это рассуждение, основанное на методе П.Ферма - бесконечных (неопределенных) спусков является источником объяснения того, что

1² + 1² = c ²

не будет иметь решений в рациональных числах, если нет такого рационального числа, которое умноженное на само себя будет равно двум.

И будет иметь решение в действительных числах, т.к. величинак которое образует число к ² = 2 имеет существующую зависимость от существующей величины, а значит существует.

Величина 1² + 1² - существует, существует действие умножения 1 · 1 ^, значит существует и величина k · k .

Т.е. про число к , которое образует число к ² = 2 мы можем говорить лишь о том, что эта величина к существует, это действительное число, но мы да данном этапе не имеем особой меры гипотенуз (числовой оси гипотенуз), и поэтому не можем представить ее в поле мерных величин - особых рациональных числахмерного числового пространства.

____________________________

© А.В. Тарасов

07. 01. 2008 г.

[1] Из разных источников

[2] Возможно, эта формула может служить источником объяснения иррациональности корня из 2, то есть невозможности решений уравнений для к = с в рациональных числах.