Реферат: Математика и проблема адекватного описания реальности

В. Я. Фридман

Над всем нашим теоретическим мышлением господствует с абсолютной силой тот факт, что наше субъективное мышление и объективный мир подчинены одним и тем же законам и что поэтому и они не могут противоречить друг другу в своих результатах, а должны согласоваться между собой. [1]

Ф. Энгельс

Должны ли мысли о вещах быть столь непохожими на то, что происходит с вещами, должны ли они сами по себе идти другим путем, совершенно в стороне от действительности? [2]

Д. Гильберт

Размышления над проблемами, нарастающими трудностями и все более усложняющимся языком современной теоретической физики неминуемо приводят к подозрению, что не все благополучно в самом фундаменте современного "точного" естествознания. А таким фундаментом, безусловно, является сложившийся веками математический формализм, служащий для описания реальности. Для теоретической физики он является той аксиоматической базой, с которой должны сообразовываться все ее построения, но которая сама, как супруга Цезаря, "выше подозрений".

На фоне грандиозных успехов, достигнутых за последние полтора столетия "точным" естествознанием на основе сложившегося до него и надстраивавшегося параллельно с ним математического аппарата, из рассмотрения совершенно выпал вопрос о том, насколько язык традиционной математики на самом деле, в своих принципиальных основах, адекватен структуре мира, которую он призван и берется описывать.

Но, прежде всего, правомерна ли сама постановка вопроса? Не развивается ли математика по своим собственным, автономным, имманентным законам?

Если математика является "чистым порождением ума" (своеобразной "игрой в бисер"), то непонятно, почему мир обязан с ней сообразовываться. Если же она является формой абстрагирования в "аминокислотном" человеческом сознании присущих миру (или возможных в нем при отсутствии запрещающих ограничений) структур и отношений, то возникает вопрос об "адекватности", "изоморфности" математических структур структурам реальности.

"Основная проблема состоит во взаимоотношении мира экспериментального и мира математического" - справедливо замечает Н. Бурбаки [3]. Любопытно сопоставить две крайние точки зрения по этому вопросу:

Ш. Эрмит: "Я верю, что числа и функции анализа не являются произвольными созданиями нашего разума: я думаю, что они существуют вне нас в силу той же необходимости, как и объекты реального мира, и мы их встречаем или их открываем и изучаем точно так, как это делают физики, химики и зоологи" [4].

Г. Кантор: "Математика совершенно независима в своем развитии и ее понятия связаны только требованиями быть непротиворечивыми и соответствовать понятиям, введенным ранее посредством точных определений" [5].

Н. Бурбаки стремится сохранить нейтралитет в этом споре, оставляя вопрос открытым: "То, что между экспериментальными явлениями и математическими структурами существует тесная связь, - это, как кажется, было совершенно неожиданным образом подтверждено недавними открытиями современной физики, но нам совершенно неизвестны глубокие причины этого..." ([3], с. 258). И далее: "В своей аксиоматической форме математика представляется скоплением абстрактных форм - математических структур, и... оказывается (хотя и неизвестно почему), что некоторые аспекты экспериментальной действительности как будто в результате предопределения укладываются в некоторые из этих форм" ([3], с. 258 - 259). Это перекликается со взглядами Е. Вигнера, согласно которым "непостижимая эффективность математики в естественных науках" есть "нечто загадочное, не поддающееся рациональному объяснению" ([6], с. 183; другой перевод см. [7]).

Между тем, при более пристальном рассмотрении неадекватность на первый взгляд столь совершенного математического языка, при всей его "непостижимой эффективности", выступает достаточно отчетливо. Поэтому, прежде чем пытаться строить "новую физику", о чем уже почти четверть века идут непрекращающиеся разговоры (и споры), возможно, надо навести порядок в ее математическом фундаменте, а далее "дело пойдет само собой" (а споры также "сами собой" утихнут).

Но речь идет не только о физике, "старой" или "новой". Речь идет об устранении некоторых "неадекватностей" в самой математике, которая, как ни кощунственно звучит такое заявление, несмотря на свою "невероятную эффективность" оказывается построенной на некоторых ложных предпосылках. Как показано в настоящей работе, переформулирование некоторых ее фундаментальных исходных положений "с лицом, обращенным к реальности", приводит к логически безупречной схеме, сразу ставящей "все на свои места", объясняющей многие загадки (в том числе и упомянутую выше) и открывающей новые перспективы развития не только перед теоретической физикой, но и перед "чистой" математикой.

Здесь нельзя не отметить, что по различным поводам неоднократно высказывались сомнения в том, насколько традиционная математика, несмотря на всю свою "непостижимую эффективность", адекватно описывает реальность. "Неясно, в какой мере объект исследования в математике адекватно соответствует реальности" - прямо, без обиняков, заявляют А. Колмогоров и А. Драгалин ([8], с. 114). А, касаясь некоторых трудностей теоретико-множественного формализма, они высказываются еще более определенно: "...Такого рода следствия вызывают подозрение, что ряд фактов, полученных в рамках определенной математической теории, даже непротиворечивой, просто не имеет никакого отношения к физической реальности и является результатом слишком далеко зашедшей экстраполяции!" ([8], с. 112).

Так возникает кажущаяся поначалу безнадежной задача "адекватизации" математики, решению которой и посвящен наш труд (см. сноску на с. 61); естественно, что для этого потребовалось, отрешившись от устоявшихся догм, взглянуть на давно известные вещи свежим и непредубежденным взглядом.

Предлагаемая теория, ведущая к пересмотру некоторых устоявшихся и казавшихся доселе незыблемыми представлений в математике и теоретической физике, естественно, не может не опираться на некоторые общеметодологические, философские соображения, тем более, что, как правильно заметил В. Вернадский, "граница между философией и наукой - по объектам их исследования - исчезает, когда дело идет об общих вопросах естествознания" [9]. Постараемся сформулировать их в - насколько это в человеческих силах - краткой, но вместе с тем достаточно отчетливой форме, не ставя себе при этом, впрочем, задачу строгого определения используемых понятий, а полагаясь на подразумеваемую общность основных интуитивных представлений у всех, размышляющих об "устройстве" мира и способах его описания. Итак, "о гипотезах, лежащих в основании...".

1. Онтологический аспект

"Мир" - на чрезвычайно высоком уровне абстракции - мыслится как некая система, существующая, вообще говоря, вне и независимо от отражающего ее "сознания", которое само образует лишь одну из подсистем Мира (специфическую аминокислотную подсистему, способную как часть отражать целое). При этом система "Мир" предполагается наделенной некой структурой, обладающей следующими фундаментальными свойствами.

а) Имеет смысл говорить о состояниях системы как о различных возможных реализациях ее структуры. По отношению к "интенсивным" структурным характеристикам системы ее "состояния" выступают в некотором смысле как "экстенсивные", или "фазовые", характеристики системы и ее элементов.

б) При всех возможных состояниях системы и переходах между ними сохраняется свойство консервативности Мира в смысле сохранения основных структурообразующих отношений, обеспечивающих, что Мир остается Миром, а не превращается в нечто другое, принципиально по-иному организованное (концепция "Невзрывающегося мира") [10].

в) Это предполагает наличие определенных ограничений, наложенных самой структурой Мира на его возможные состояния. (Можно предположить, что эти ограничения должны иметь весьма общий, скорее всего, теоретико-групповой характер и быть связаны с абстрактными условиями симметрии и т.п.) В Мире не все возможно, а существуют правила "внутреннего распорядка", которые и принято называть Законами Природы. С другой стороны, это приводит к существованию в Мире (и его подсистемах) неких инвариантов, которые и гарантируют сохранение Мира как Мира при всех его возможных внутрисистемных преобразованиях ("автоморфизмах" Мира).

г) Консервативность Мира означает консервативность его структуры, а не состояний. В пределах упомянутых ограничений "элементы Мира" (что бы под этим ни подразумевалось!), а, стало быть, и различные его подсистемы и Мир в целом, способны принимать чрезвычайно богатый спектр различных состояний.

Иначе говоря, в Мире что-то может происходить и происходит (Мир как "нежесткая", динамическая система со "степенями свободы", "Незамороженный мир"), в нем возможны и осуществляются различные преобразования, сохраняющие, однако, нерушимым Мир как целое. Все эти преобразования сводятся к изменению состояний его элементов (под воздействием других элементов системы или "спонтанных", природа которых в значительной степени неясна), и этим исчерпывается спектр существующих в системе возможностей. При этом, по-видимому, действует принцип: "Все, что возможно (т.е. совместимо с наложенными ограничениями), где-нибудь и когда-нибудь происходит" [11 - 13].

д) Законы природы, обусловленные структурными ограничениями системы, носят, таким образом, по существу, не предписывающий, а, скорее, лишь запрещающий характер, чем и объясняется наблюдаемое в различных подсистемах Мира многообразие форм.

"Субатомный зоопарк" [14] насчитывает к настоящему времени (включая "резонансы") свыше 200 "элементарных" (в кавычках, разумеется) частиц [14, 15], а таблица Менделеева - 105 "элементов" (при бесчисленном количестве изотопов). Число биологических видов на нашей планете, по оценкам [16], превышает 2 o 106 (не считая бесчисленных подвидов) и даже число "естественных" языков в пределах вида Homo Sapiens превышает 2000 [ 17], а по некоторым данным достигает 5000 [18] (не считая бесчисленных диалектов). Все это, видимо, различные реализации возможных состояний, совместимые с наложенными ограничениями.

е) Миру как системе присущи свойства замкнутости и полноты: все возможные и реализуемые в нем состояния и преобразования подчиняются структурным ограничениям системы и не выводят элементы Мира за ее пределы; иначе говоря, в "естественном" мире нет места для "сверхъестественных" явлений.

2. Эпистемологический аспект

Поскольку в Мире как системе, вообще говоря, "все связано со всем", всякая задача описания состояний Мира и их преобразований, т.е. перехода его элементов из одних допустимых состояний в другие по существу и принципиально является задачей многих (в принципе, бесконечно большого числа) "тел" - задачей всеобщего взаимодействия. Однако при мысленном вычленении (и "фиксировании" в сознании) какого-то "элемента" (или подсистемы) Мира и сосредоточении на нем "внимания", т.е. при "рассмотрении" какого-то "элемента", мы можем свести задачу к "проблеме двух тел", производя дихотомию Мира на "рассматриваемый элемент" (вычлененный фрагмент Мира) и "весь остальной мир". Тогда любое "преобразование" рассматриваемого элемента (т.е. изменение его состояния) может быть описано уже не как следствие всеобщего взаимодействия, а как результат воздействия остального мира на данный элемент. (Что при этом происходит с "остальным миром" - нас в рамках такого рассмотрения не интересует!) По условиям задачи рассмотрения (и с учетом "порядков малости" входящих в рассмотрение величин) часто можно пренебречь воздействием всех элементов, кроме одного, и тогда "остальной мир" (в рамках данного "рассмотрения"!) редуцируется до одного элемента и мы говорим о воздействии одного элемента на другой.

Особую проблему составляет вопрос о возможности и причинах спонтанных, т.е. не обусловленных воздействием "остального мира", изменений элементов Мира. По сути дела, это "вечная" проблема "детерминизм - индетерминизм". Здесь укажем лишь, что на современном уровне знаний мы в состоянии формально описывать такие изменения при помощи вероятностных операторов, опираясь, по существу, на "Принцип Мэрфи" и на лейбницевский "Закон достаточного основания". Симметричность возможностей по отношению к некоторой данной ситуации должна, по-видимому, приводить к "равновероятности" их осуществления, а численное значение "вероятности" неравновероятных событий должно быть как-то связано с мерой асимметрии возможностей. Первичным, видимо, является не понятие "вероятности", а понятие "равновероятности", как некой симметрии, мерой отклонения от которой и служит "вероятность."

Другим камнем преткновения является вопрос о происхождении необратимостей. Здесь укажем лишь на правдоподобность гипотезы, что необратимости являются существенно "макро"-феноменом. На каком-то элементарном (фундаментальном) "микро"-уровне все преобразования, по-видимому, должны быть обратимы, и таковы должны быть и описывающие их элементарные операции. Необратимость же, по-видимому, является характеристикой коллективных процессов, которые вместе с тем в каком-то смысле локальны. На самом высоком "мега"-уровне, по-видимому, снова царствует обратимость, обеспечивающая неизменность ("консервативность") не подверженных преобразованиям (и "эволюции") самых общих "Законов природы".

Впрочем, вся эта проблематика в значительной степени неясна и, вероятно, превышает возможности сколько-нибудь четкого осмысления на современном уровне знаний.

Однако, если верна общая высказанная выше концепция, она сразу приводит к ряду фундаментальных следствий:

а) Само выделение "элементов'" в системе - а, стало быть, и структурирование Мира в нашем сознании - является функцией рассмотрения, т.е. зависит не только от свойств рассматриваемого фрагмента Мира, но и от свойств рассматривающей его "аминокислотной подсистемы", именуемой "человеческим сознанием".

В самом деле. Тот же фрагмент Мира, который для нас при "обычных" условиях представляется состоянием, скажем, из совокупности нескольких "тел", для существ иных размеров и конструкции, да и для нас при рассмотрении с иных расстояний и т.п. может оказаться "одним телом" или даже "невообразимым множеством тел". А между тем, фрагмент - один и тот же (если принять за аксиому, что Мир существует вне нас и независимо от нашего - или чьего-то еще - сознания)! Там, где мы видим (и "ощущаем") дискретную границу тела, другое существо (да и мы при помощи приборов, изменяющих пороги чувствительности наших органов восприятия), возможно, увидело бы (и "ощутило") непрерывный переход от "тела" к "не-телу". То, что для нас является "непроницаемым", для существ (и объектов) иных размеров и конструкции может оказаться "проницаемым", и наоборот. Зрительно мы воспринимаем мир только в узком интервале "видимого" диапазона электромагнитных волн. Другие существа с другими характеристиками (и органами) "зрения" видели бы (и "видят"! - хотя бы пчелы, змеи, дельфины, летучие мыши и т.д.) совсем другой мир, состоящий из совершенно иных "объектов" или "элементов" (т.е. иначе "структурированный") и так далее.

Не только выделение "элементов", но и сами понятия "дискретности" и "непрерывности" имеют, по-видимому, лишь условный, относительный смысл, зависящий не только (а, может быть, и не столько) от свойств Мира, но и от свойств "рассматривающего" Мир "субъекта", а также от условий и задач такого "рассмотрения". Это категории, присущие не Миру, а его описанию.

К такому выводу прямо подводят и проблемы квантовомеханического описания Мира, философский аспект которых интенсивно обсуждается в связи с возобновившейся дискуссией по поводу парадокса Эйнштейна - Подольского - Розена [19-22]. Автор последней из упомянутых работ говорит о необходимости "осознания относительности представления о мире как о множестве каких-то "тел" (или других "элементов" в любых пространствах реального физического опыта)" ([22], с. 50) и приходит к выводу, что "природа в конечном счете неразложима на множества каких-либо элементов и существует как нечто единое целое" (там же).

б) Уже на "эмпирическом" (или "прагматическом") уровне мы сталкиваемся с наличием непосредственно не наблюдаемых, чувственно не воспринимаемых объектов (хотя бы "инфра"- и "ультра"-излучения, радиоактивность, магнитное поле и т.д.) Для нашей аминокислотной системы не все наблюдаемо!

Можно возразить, что то, что ненаблюдаемо для человека, наблюдаемо для приборов (т.е. опять-таки для нас через посредство тех или иных перекодирующих устройств). Но и приборы, как ни грустно, являются лишь частными и ограниченными подсистемами Мира. Какими приборами можно зарегистрировать квантово-механическую функцию состояния *Р? Или релятивистский "интервал"? Если они не являются произвольными конструкциями ума, а обладают каким-то статусом реальности, то следует признать, что эти "реалии" в нашей аминокислотной системе восприятия, равно как и в системе восприятия наших приборов, принципиально ненаблюдаемы.

Итак, в Мире не все наблюдаемо, и удивительным (даже в какой-то степени загадочным) свойством "сознания" является его способность экстраполировать за пределы "наблюдаемого", способность вычленять "ненаблюдаемые" элементы Мира, разумно (непротиворечиво и с предсказательной силой!) оперировать ими и заключать от ненаблюдаемого к наблюдаемому и наоборот, связывая все в единую картину мира.

Так естественным образом возникает уже давно независимо вскрытая квантовой механикой (и математикой - мнимые числа!) проблема существования и описания "ненаблюдаемых".

в) Но, более того. Раз всякое описание состояний и преобразований тех или иных элементов и подсистем зависит не только от того, что описывается, но и от того, кто, когда, где,

из какой точки, под каким углом зрения (физическим и ментальным), в каких условиях и т.д. их описывает, естественным образом возникает общеметодологическая проблема "наблюдателя", "систем отсчета", "относительности". Великая эйнштейновская концепция релятивизма, ведущая через эпистемологически Относительное к онтологически Абсолютному, имеет, насколько можно судить, не только физическое, но именно общеметодологическое, гносеологическое значение.

г) Со всем этим тесно связана проблема языка описания. Мы, подобно вычислительной машине, по существу способны непосредственно воспринимать и описывать Мир лишь на языке нашего "аминокислотного" кода, т.е. на языке подмножеств множества возможных состояний нашей нервной системы. Другим языком мы "не владеем". Конечно, можно пользоваться и промежуточными "языками-ретрансляторами", но в конечном счете все они перекодируются в наш, единственно понятный нам, "аминокислотный язык". Мы как бы накладываем на Мир наш "априорный аминокислотный растр" и сквозь него наблюдаем и описываем Мир. Так приобретает рациональный смысл гениальная догадка Канта об "априорных формах созерцания".

д) Но если все многообразие Мира в целом непосредственно не дано нам в восприятии, а мы "видим" лишь то, что появляется на нашем "перцептивном экране" (стена пещеры у Платона или, в более близких нам образах, что-то вроде экрана радиолокатора), т.е. воспринимаем лишь какую-то проекцию Мира на нашу аминокислотную перцептивную систему, то нетрудно впасть в "птолемеев грех", оперируя вместо планетных орбит с "эпициклами" и "дифферентами" и сообразно с этим "структурируя" Мир. Ведь эпициклы Птолемея тоже были языком описания и по-своему неплохо служили делу познания мира, что долгое время создавало иллюзию их адекватности. Однако их слабая степень изоморфности онтологии Мира обнаруживалась, в частности, в том, что системе Птолемея недоставало общности (единства), простоты и ... красоты.

е) Эвристическая ценность принципов "единства", "симметрии", "простоты" и "красоты" при описании Природы становится все более очевидной. "Чем проще наша картина внешнего мира и чем больше фактов она охватывает, тем сильнее отражает она в наших умах гармонию Вселенной", - полагал А. Эйнштейн ([23], т. 4, с. 493).

О различных аспектах эвристических принципов "простоты" и "красоты" существует уже обширная литература ([24 - 28] и обзор литературы в работе [29]). Не последнюю роль оба эти принципа сыграли, между прочим, при установлении структуры молекулы "наследственного вещества" - ДНК, как о том свидетельствует один из авторов этого выдающегося открытия [30]. Единство, симметрия, простота, красота, как проявления гармонии природы, - на этом сходятся и "физики", и "лирики".

"В одном мгновенье видеть вечность: огромный мир - в зерне песка, в единой горсти - бесконечность и небо - в чашечке цветка" [31]. "Есть тонкие, властительные связи меж контуром и запахом цветка" [32]. "В родстве со всем, что есть, уверясь и знаясь с будущим в быту, нельзя не впасть к концу, как в ересь, в неслыханную простоту" [33]. "Красота есть первый пробный камень для математической идеи; в мире нет места уродливой математике''' [34]. Ощущение внутренней гармонии Природы, проявляющейся в "простоте" и "красоте" описывающих ее "уравнений", даже побудило П. Дирака отважиться на такое парадоксальное утверждение: "Красота уравнений важнее их согласия с экспериментом" (!) ([35], с. 129). "По-видимому, - поясняет он свою мысль, - если глубоко проникнуть в сущность проблемы и работать, руководствуясь критерием красоты уравнений, тогда можно быть уверенным, что находишься на верном пути. Если же нет полного согласия между результатами теории и экспериментом, то не стоит слишком разочаровываться, ибо это расхождение может быть вызвано второстепенными факторами, правильный учет которых будет ясен лишь при дальнейшем развитии теории. Именно так была открыта квантовая механика... " (там же). "Вся простота открытия Шредингера обусловлена именно поисками уравнения, обладающего математической красотой" (там же, с. 139).

Природа в своих фундаментальных основах, по-видимому, не может не быть "простой" и "логичной", "гармоничной" и "симметричной"! Но все это - если описывать ее на языке, изоморфном конструкции Мира! Даже если при этом придется выйти за пределы "непосредственно воспринимаемого" и поступиться кое-какими привычными понятиями и представлениями.

ж) В связи со сказанным возникает сильное подозрение, что многие присутствующие в нашей традиционной математике громоздкие, кособокие, негармоничные, равно как и, наоборот, сильно "вырожденные" или сугубо "компонентизованные" конструкции тоже являются лишь "проекциями", лишь "косноязычными" образованиями, не отражающими полнокровной и в то же время логически и эстетически экономной реальности. Едва ли "Природа" способна, например, иметь дело с такими "структурами", как всякие полиномы Лежандра, Эрмита и Лагерра, как разнообразные "бета"-, "эта"-, "тета"- и "дзета"-функции, как (хотя и обладающие своеобразной симметрией и "красотой") тензоры и спиноры и т.д. Громоздкость и вычурность или, наоборот, патологическую "вырожденность" и принципиальную "компонентизованность" таких структур, видимо, следует отнести на счет несовершенства, неадекватности, некомпактности языка.

Но следы этой неадекватности легко обнаружить и на гораздо более элементарном (а потому и гораздо более фундаментальном) уровне.

3. Язык математики как "аминокислотный код"

Из сказанного выше напрашивается вывод, что более или менее адекватное описание совершающихся в Мире (и возможных в нем) преобразований, означающих изменение состояний выделенных для рассмотрения "элементов", предполагает введение каких-то "структур" (в смысле Бурбаки), описывающих воздействие остального мира на рассматриваемый элемент. На нашем символическом "аминокислотном" языке такие структуры выступают в роли операторов, воздействие которых и заставляет элемент изменить свое состояние. А все, что происходит в Мире, остающемся в каком-то смысле равным самому себе, и сводится, по-видимому, к изменению состояний его элементов!

Следовательно, чтобы эпистемология была изоморфна онтологии в арсенале математики, в ее концептуальном базисе, в числе ее первичных объектов, или "структур", должны присутствовать "состояния" и "преобразования"; первые на символическом математическом языке выступают в качестве операндов, вторые - в качестве "операторов", воздействие которых на операнды превращает их в другие операнды той же природы, но находящиеся в иной "фазе", отражая изменение "состояния" выделенного элемента системы.

Язык математики, а, стало быть, и теоретической физики, должен быть, таким образом (от этого не уйти!), языком операторов.

Между тем, хотя уже в первой трети нашего века физика в лице квантовой механики пробилась к уяснению этой истины, традиционному аппарату нашей математики в его принципиальных основах (не в надстройках!), как ни странно, чуждо понятие оператора!

Укажем здесь, хотя бы только на то, что в аппарате нашей традиционной математики отсутствуют естественные операторы для описания даже таких элементарных преобразований, как поворот вектора в трехмерном пространстве вокруг перпендикулярной к нему оси! Это элементарное преобразование, ибо все, что может происходить с вектором, сводится к его растяжению (сжатию) и повороту - ни изгибаться, ни "закручиваться", ни завязываться узлом вектор "не умеет"! Между тем для описания такого элементарного акта традиционная математика пользуется громоздкими искусственными конструкциями, содержащими (нелинейные и неаддитивные!) тригонометрические функции (с которыми "Природа" едва ли может иметь дело!).

Зато, вместо естественного понятия оператора, в первичном арсенале математических средств присутствует нелепое (как будет показано ниже) понятие "умножения" (в том числе два разных умножения для векторов), обладающее в общем случае скверным, неприятным (а, попросту говоря, противоестественным!) свойством неассоциативности.

Между тем, преобразования и их естественные математические ("аминокислотные") представители - операторы - по самой своей природе, разумеется, должны быть ассоциативны - применение двух последовательных преобразований равнозначно применению преобразованного преобразования или преобразования к уже преобразованному объекту!

Неассоциативность "скалярного" и "векторного" умножений векторов приводит к неисчислимым бедствиям для всей математики (и физики): тут и незамкнутость векторной "алгебры", и катастрофическая вырожденность пестрящих "нулями" таблиц умножения для векторов, и странная аннигиляция векторов при умножении, и запрещение деления на векторы, приводящее к чудовищной необратимости элементарных операций над векторами, и многое другое.

Но главное, пожалуй, в том, что понятия "умножения" и "произведения" сущностей вообще никоим образом не адекватны и не изоморфны структуре Мира! По существу, понятию "произведения" в Мире ничего не соответствует. Это чисто "птолемеевская" конструкция, некая искаженная, извращенная тень тех процессов взаимодействия, которые оно призвано отражать и описывать.

Операция "умножения" имеет какой-то (условный!) смысл по отношению к операторам, где она означает просто последовательное их применение. Но что может, например, означать "яблоко, умноженное на яблоко"? Можно возразить, что яблоко не является "математическим объектом". Хорошо. Тогда, что такое шар, умноженный на шар ("произведение двух шаров"), или круг на круг, или треугольник на треугольник, или кривая на кривую, или угол на угол и т.д. Можно снова возразить, что это, мол, чисто геометрические объекты, а для них понятие умножения не имеет смысла. Но тогда должно быть бессмысленным и умножение "направленного отрезка" на "направленный отрезок" (а их целых два, что уже само по себе подозрительно)!

На подобные недоуменные вопросы математики "классической" школы обычно отвечают, что понятие "произведения" математических объектов является свободной конструкцией ума и в значительной (если не в полной) мере зависит от нашего произвола. Мы вольны определить (дефинировать) "произведение" как то-то и то-то, и выбор наш диктуется лишь тем, насколько получаемые "структуры" будут непротиворечивы, удобны для нас, полезны, осмысленны, продуктивны и т.д. Вообще же говоря, такой выбор произволен.

Этим на первый взгляд снимается возникшее затруднение. Однако взамен возникает гораздо более серьезная трудность: почему же такие "свободные порождения ума" оказываются вообще применимыми к внешнему миру, к "физической реальности", которая ведь вовсе не обязана сообразовываться с нашими умственными изобретениями?

Этот вопрос чрезвычайно волновал, среди прочих, и Эйнштейна. Еще в 1920 г. он писал: "В связи с этим возникает вопрос, который волновал исследователей всех времен. Почему возможно такое превосходное соответствие математики с реальными предметами, если сама она является произведением только человеческой мысли, не связанной ни с каким опытом? Может ли человеческий разум без всякого опыта, путем только одного размышления понять свойства реальных, вещей?" ([23], т. 2, с. 83).

И действительно, на деле обнаруживается, что якобы "свободный" выбор наш существенно ограничен: в одних случаях понятие "произведения" загадочным образом оказывается плодотворным и осмысленным, а в других - совершенно бесплодным и лишенным смысла.

Почему же в одних случаях "умножение" имеет смысл, а в других, даже ценой больших усилий, ему такого смысла придать не удается? Чем различаются между собой эти "случаи"?

Проанализировав этот вопрос применительно к другим объектам, помимо векторов, мы неизбежно придем к выводу, что операция "умножения" и понятие "произведения" имеют смысл лишь по отношению к таким объектам ("структурам"), которые могут быть интерпретированы как операторы.

Очевидными примерами являются действительные и комплексные числа, матрицы, тензоры (при правильной записи) и т.п. структуры. Что же касается векторов в их традиционном представлении, то они этому условию не удовлетворяют. И действительно, оба придуманные для них "умножения" оказываются совершенно бессмысленными при сопоставлении с "реальностью". В самом деле, если математическому "вектору" в "физическом" мире соответствует, скажем, некая сила (мы со школьных лет знаем, что "сила есть вектор"), то какие процессы в мире соответствуют "скалярному" умножению двух одинаково направленных сил, при котором обе они "растворяются", превращаясь в "число"? И какие процессы соответствуют умножению двух взаимно перпендикулярных сил, при котором они вообще "аннигилируют"? А какие процессы в мире заставляют испариться две коллинеарные силы в соответствии с их векторным "умножением"?

Таким образом, оказывается, что, хотя математические векторы имеют "референтов" в физическом мире, математические операции их "умножения", конструкты скалярного и векторного "произведений", не имеют "референтов" в мире.

Конечно, можно возразить, что само понятие "вектора" определяется совокупностью его свойств, включая упомянутые "произведения". Но тогда получается, что сам "вектор" не имеет "референта" в Мире, и обнаруживается полный разрыв между математикой и физикой!

Таким образом, понятие "умножения" приобретает смысл лишь тогда, когда мы имеем дело с операциями, которые могут быть истолкованы как воздействие неких операторов. А такие операции должны во что бы то ни стало быть ассоциативными!

В нашем "Мире" за все приходится платить! За сохранение ассоциативности нам придется уплатить появлением - в ограниченной области - делителей нуля, - недостаток, которого, вообще говоря, алгебраисты стараются всеми силами избежать (любимые их детища - "алгебры без делителей нуля", пусть и не ассоциативные!).

Однако именно этот "недостаток" на деле оборачивается величайшим преимуществом, давая ключ к раскрытию наиболее захватывающих тайн теории относительности и квантовой механики (а, надо полагать, и квантовой теории поля)!

Сформулируем еще раз вкратце основные наши "опорные гипотезы":

1. Мир мыслится как некая система, наделенная структурой и, стало быть, подчиняющаяся налагаемым этой структурой ограничениям. В Мире не все возможно, но все, что возможно, где-нибудь и когда-нибудь происходит.

2. Все, что происходит (и может происходить!) в Мире сводится к изменениям состояния его выделенных для рассмотрения элементов, фрагментов или подсистем - к преобразованиям, совместимым с наложенными ограничениями.

3. По отношению к возможным и реализуемым преобразованиям Мир обладает свойством замкнутости и полноты: в "естественном" мире нет места для "сверхъестественных" явлений.

4. В соответствии со сказанным, адекватное описание Мира предполагает введение "структур", отражающих состояния и их преобразования, что на символическом математическом языке выражается как воздействие операторов на операнды. По отношению к таким операциям Мир должен быть алгебраически замкнутым.

5. В силу естественной ассоциативности преобразований, тем же свойством ассоциативности безусловно должны обладать и используемые в математике "истинные" операторы. Лишь при этом условии "структура описания" оказывается изоморфной "структуре Мира".

6. Операция "умножения" и понятие "произведения", строго говоря, не имеют смысла, так как им в Мире ничего не соответствует. Но формально ими можно пользоваться, если они могут быть интерпретированы как воздействие операторов, а для этого они неизбежно должны обладать свойством ассоциативности.

7. Таким образом, для построения системы "истинной" математики открываются в принципе два равноправных пути: выявление элементарных операторов и требование ассоциативности всех используемых операций "умножения" (оба пути приводят к одним и тем же результатам).

8. От структур, получающихся при адекватном описании реальности, можно ожидать высокой степени простоты и симметрии, удовлетворяющих нашему эстетическому чувству, что дает мощный эвристический критерий для суждения об их истинности.

В XX веке в математике воцарилось почти безраздельное господство мощного и плодотворного аксиоматического метода, в немалой степени обязанного своей победой подкупающему стилю мышления и блестящим результатам Давида Гильберта. Успехи аксиоматического метода в упорядочении математического знания и обеспечении логической неуязвимости результатов несомненны. Однако благодаря этому мы часто подпадаем под власть завораживающей магии "положительного знания" и, пораженные своеобразной "куриной слепотой", перестаем видеть очевидные противоречия и несуразности, присущие (при всей ее внутренней непротиворечивости!) самой системе аксиом при ее сопоставлении с реальностью. Это, конечно, тесным образом связано с принципиальным убеждением о независимости математики от реального мира в духе цитированного выше утверждения Георга Кантора.

Автору претит такой волюнтаристский подход. В отличие от широко распространенного мнения, что можно "постулировать что угодно", лишь бы система введенных аксиом была непротиворечивой, а вытекающие из нее (автоматически непротиворечивые) следствия были осмысленны и продуктивны, автор полагает, что для самих вводимых аксиом должны существовать достаточные основания. Если уж поклоняться каким-то богам, то, пожалуй, такого поклонения достоин именно великий лейбницевский ПРИНЦИП ДОСТАТОЧНОГО ОСНОВАНИЯ. А "достаточные основания" мы, по-видимому, можем черпать только из реальности (из чего еще? Что выше математики?).

В связи с этим еще раз коснемся тонкого вопроса о гносеологической природе фундаментальных конструктов "суммы" и "произведения" математических объектов. Приходится лишь удивляться, что от внимания исследователей совершенно ускользнуло принципиальное различие этих понятий.

Концепция "суммы" опирается на возможность сосуществования дискретных объектов в нашей концептуальной картине мира. Если в нашем концептуальном поле "высвечивается" некий объект а (что инициируется характерным заклинанием математика: "Пусть имеется!") и одновременно (или вслед затем) "высвечивается" объект b, то с этого момента в нашем актуальном сознании имеются одновременно объекты а и b. Их одновременное, или совместное, присутствие в нем и охватывается понятием суммы: если имеется а и имеется b, то имеется их одновременное присутствие а + b. При этом, ввиду симметричности отношения одновременного присутствия, сумма, разумеется, всегда коммутативна: одновременное присутствие а и b есть то же, что одновременное присутствие b и а, т.е. а + b = b + а, "от перестановки слагаемых сумма не меняется". Другой характерной особенностью суммы является то, что в ней сохраняется присутствие каждого из объектов: они не исчезают, а продолжают "иметься" и в "сумме", которая как раз и означает их одновременное присутствие. Наконец, характерной особенностью суммы является и то, что сумма есть единственное возможное сочетание имеющихся (и продолжающих иметься) объектов: в смысле дихотомии "имеется" - "не имеется" ничего более (и ничего менее) совместного присутствия присутствующих объектов быть не может!

Совершенно иначе обстоит дело при образовании мифического "произведения" двух объектов, скажем, тех же, а и b, которые вроде бы имеются, но в то же время как бы растворяются и исчезают, перестают иметься, уступая место чему-то третьему (условно называемому их "произведением"). Но из имеющихся объектов ничего кроме их суммы образоваться не может! При образовании "произведения" ситуация на самом деле такова, что имелось нечто (скажем, а), а затем стало иметься нечто другое (скажем, с), что означает преобразование а в с под воздействием некого связанного с b оператора b: bа = с. Таким образом, концепция "произведения" на самом деле опирается на возможность преобразований, т.е. изменений состояния, объектов в мире и его концептуальном отражении. Аналогично, если имелось b, которое подверглось преобразованию с помощью связанного с а оператора a', возникает a'b = с'. Но ниоткуда не следует, что обязательно должно быть с' = с. Напротив, в общем случае как раз a'b<>bа: здесь разные операторы применяются к разным операндам, и именно поэтому операция "умножения", в отличие от операции "сложения", в общем случае некоммутативна. Именно и только по этой причине!

Итак, коренное различие двух классических "бинарных операций" - сложения и умножения - и соответствующих им понятий "суммы" и "произведения" сводится к следующему:

а) "Сумма" означает одновременное присутствие объектов в концептуальном поле и поэтому, будучи симметричной относительно слагаемых", всегда коммутативна, тогда как "произведение" может быть понято лишь как результат преобразования одного объекта под воздействием другого и поэтому, будучи несимметричным относительно "сомножителей", в общем случае некоммутативно.

б) "Сумма" является единственным образованием, соответствующим одновременному присутствию имеющихся (и продолжающих иметься) объектов; любое сочетание имеющихся объектов, отличное от их суммы нонсенс (разве, что они верхом друг на дружке сидят. Но и тогда в смысле присутствия ничего, кроме суммы не получается!). Именно поэтому "произведение" приобретает смысл лишь как результат преобразования, при котором первоначально имевшийся объект перестает "иметься" и начинает "иметься" другой объект.

в) В соответствии с этим, в "сумме" слагаемые не исчезают, а продолжают присутствовать, в то время как в произведении в общем случае не остается никаких следов первоначальных "сомножителей" - их уже нет (ср. "произведения" векторов или матриц).

г) Ввиду предыдущего, операция "сложения" всегда обратима, в то время как операция "умножения" в общем случае необратима: в традиционных формализмах операция "деления" часто оказывается существенно неоднозначной и поэтому запрещенной (ср. отсутствие обратных операций для скалярного и векторного "умножений" векторов).

д) Будучи отношением одновременного присутствия, "сумма", разумеется, всегда ассоциативна. "Произведения" же в традиционных системах аксиом зачастую странным образом оказываются неассоциативными (оба "произведения" векторов!), хотя лежащие в их основе преобразования по самой своей природе ассоциативны (и, в принципе, обратимы), что вскрывает принципиальную неадекватность классической концепции "произведения" и соответствующей аксиоматики.

Список литературы

1. К. Маркс, Ф. Энгельс, Сочинения, т. 20, с. 581.

2. Д. Гильберт, Основания геометрии, Добавление VIII: "О бесконечности", Гостехиздат, Москва - Ленинград (1948).

3. Н. Бурбаки, Очерки по истории математики, ИЛ, Москва (1963).

4. С. Hermite, T. Stieltjes, Correspondance, Vol. 2, Paris (1905), p. 398; цит. по [5], с. 29.

5. G. Cantor, Gesammelte Abhandlungen, Berlin (1932), p. 182;цит. по [5], c. 32.

6. E. Вигнер, Этюды о симметрии, Мир, Москва (1971).

7. Проблемы современной математики, сер. Математика, кибернетика, № 10, Знание, Москва (1971).

8. А. Н. Колмогоров, А. Г. Драгалин, Математическая логика. Дополнительные главы, Изд. МГУ, Москва (1984).

9. В. И. Вернадский, Размышления натуралиста. Научная мысль как планетное явление, Наука, Москва (1977), с. 76.

10. М. Рис, Р. Руффини, Дж. Уиллер, Черные дыры, гравитационные волны и космология, Мир, Москва (1977).

11. Т. Гоббс, Избранные сочинения, Москва-Ленинград (1926), с. 91.

12. G. M. Weinberg, Introduction to General Systems Thinking, Wiley-Intersci. Publ., New York - London - Toronto - Sydney (1975).

13. К. Р. Форд, "Магнитные монополи", Над чем думают физики, вып. 9, Элементарные частицы, Наука, Москва (1973).

14. Г. Фрауэнфельдер, Э. Хенли, Субатомная физика, Мир, Москва (1979).

15. Н. Ф. Нелипа, Физика элементарных частиц, Высшая школа, Москва (1977).

16. В. Холличер, Природа в научной картине мира, Иностранная литература, Москва (1960), с. 311.

17. Народонаселение стран мира, Справочник, Статистика, Москва (1978), с. 366.

18. С. И. Брук, Население мира, Этнодемографиче-ский справочник, Наука, Москва (1981), с. 89.

19. М. В. Кузьмин, "Парадокс Эйнштейна - Подольского - Розена и проблема полноты квантовой механики", Философ, науки, № 4, 66 (1980).

20. В. А. Баженов, "ЭПР-парадокс и основания квантовой физики", Философия и основания естественных наук, Москва (1981), с. 45.

21. Ю. Б. Молчанов, "Парадокс Эйнштейна - Подольского - Розена и принцип причинности", Вопр. философ., № 3, 30 (1983).

22. И. 3. Цехмистро, "О парадоксе Эйнштейна - Подольского - Розена", Философ, науки, № 1, 46 (1984).

23. А. Эйнштейн, Собр. научн. тр. в 4-х томах, Наука, Москва (1965 - 1967).

24. Е. А. Мамчур, Проблема выбора теории, Наука, Москва (1975).

25. Е. А. Мамчур, С. В. Илларионов, "Регулятивные принципы построения теории", Синтез современного научного знания, Наука, Москва (1973), с. 355.

26. Б. Г. Кузнецов, "Об эстетических критериях в современном физическом мышлении", Художественное и научное творчество, Ленинград (1972), с. 84.

27. Г. И. Панкевич, "К вопросу о взаимном проникновении естественных и эстетических принципов в современном познании", Философские проблемы естествознания, Наука, Москва (1971), с. 147.

28. А. И. Сухотин, "Соотношение критериев простоты и истинности знания", Актуальные проблемы диалектической логики, Наука, Алма-Ата (1971), с. 263.

29. Г. Кайберг, Вероятность и индуктивная логика, Прогресс, Москва (1978), с. 229 - 246.

30. Дж. Д. Уотсон, Двойная спираль, Мир, Москва (1969).

31. В. Блейк, Избранное в переводах С. Маршака, Художественная литература, Москва (1965), с. 167.

32. В. Брюсов, "Сонет к форме", Избранные стихи, Academia, Москва (1933), с. 155.

33. Б. Пастернак, "Волны", Стихотворения и поэмы, Советский писатель, Москва - Ленинград (1965), с. 351.

34. Г. Г. Уарди, "Исповедь математика", Математики о математике, сер. Математика, кибернетика, № 8, Знание, Москва (1967), с. 4.

35. П. А. М. Дирак, "Эволюция физической картины мира", Над чем думают физики, вып. 3, Элементарные частицы, Наука, Москва (1965).