Скачать .docx | Скачать .pdf |
Реферат: Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя
Задача №1
Зависимости координат от времени при движении материальной точки в плоскости и имеют вид:
Определить модуль скорость () и ускорение () этой точки в момент времени .
Решение
А. Модуль скорости материальной точки от времени выражается по формуле:
Следовательно,
Б. . Модуль ускорения материальной точки от времени выражается по формуле:
Данные уравнения описывают движение материальной точки с постоянным ускорением .
Задача №2
Спутник вращается вокруг земли по круговой орбите на высоте . Определите линейную и угловую скорости спутника. Ускорение свободного падения у поверхности Земли . Радиус Земли
Решение
На спутник, движущийся по круговой орбите, действует сила тяжести , которая во много раз превосходит силы тяготения, действующие на него со стороны других небесных тел, поэтому по второму закону Ньютона . Здесь — масса спутника, его центростремительное ускорение. По закону всемирного тяготения . Здесь — гравитационная постоянная, — расстояние от спутника до центра Земли, т.е. радиус круговой орбиты спутника (), — масса Земли. Центростремительное ускорение спутника связано с линейной скоростью спутника соотношением или . Следовательно, получаем уравнение движения спутника на высоте : или
Эту формулу можно упростить следующим образом. На тело массой , находящееся на Земле, действует сила тяжести , равная по закону всемирного тяготения силе тяготения этого тела к Земле, поэтому или , откуда .
Таким образом, линейная скорость спутника равна ,
а угловая скорость
Задача №3
Шар массой движется со скоростью и сталкивается с покоящимся шаром массой и скоростью . Определить скорости шаров и после удара, если он абсолютно упругий, прямой, центральный.
Решение
Рассматриваемые в задаче оба шара образуют замкнутую систему и в случае упругого удара и импульс системы, и механическая (кинетическая) энергия сохраняется. Запишем оба закона сохранения (с учётом неподвижности второго шара до удара):
Таким образом, налетающий (первый) шар в результате удара уменьшил свою скорость с 1,05 м/с до 0,45 м/с, хотя и продолжил движение в прежнем направлении, а ранее неподвижный (второй) шар приобрёл скорость, равную 1,5 м/с и теперь оба шара движутся по одной прямой, и в одном направлении.
Задача №4
Баллон вместимостью наполнен азотом при температуре . Когда часть газа израсходовалась давление понизилось на . Определить массу израсходованного газа. Процесс считать изотермическим (при постоянной температуре).
Решение
Пусть — молярная масса азота;
— начальная и конечная масса газа; — расход газа.
— начальное и конечное давление газа в баллоне; — снижение давления газа;
— универсальная газовая постоянная.
Так как масса газа в баллоне меняется, то начальное и конечное состояния газа в баллоне нельзя связывать ни законом Бойля-Мариотта, ни законом Шарля.равнением газа в баллоне меняется, то начальное и конечное состояния газа в баллоне нельзя связывать законом Бойля-Мариотт Нужно для каждого состояния записать уравнение Менделеева-Клапейрона
, тогда
Задача №5
Вычислить плотность азота , находящегося в баллоне под давлением и имеющего температуру .
Решение
Пусть — молярная масса азота;
— универсальная газовая постоянная;
— давление газа в баллоне;
— температура газа в баллоне.
Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для текущего состояния газа (с учётом, что ):
.