Скачать .docx | Скачать .pdf |
Реферат: Шпаргалка: Шпаргалка по Геометрии
1. Векторы. Действия над векторами.
Вектором наз. упорядоченная совокупность чисел Х ={X1 ,X2 ,...Xn } вектор дан в n-мерном пространстве. Т(X1 ,X2 ,X3 ). n=1,2,3. Геометрический вектор - направленный отрезок. |AB |=|a | - длинна. 2 вектора наз. коллинеарными, если они лежат на 1 прямой или ||-ных прямых. Векторы наз. компланарными, если они лежат в 1-ой плоскости или в ||-ных плоскостях. 2 вектора равны, когда они коллинеарны, сонаправленны, и имеют одинак-ую длинну.
1.умножение на число: произведение вектора А на число l наз. такой вектор В, который обладает след. св-ми: а) А ||В. б) l>0, то А В, l<0, то А ¯В . в)l>1, то А <В , )l<1, то А >В . 2. Разделить вектор на число n значит умножить его на число, обратное n: а /n=a *(1/n).
3.Суммой неск-их векторов а и в наз. соединяющий начало 1-го и конец последнего вектора. 4. Разностью векторов а и в наз-ся вектор c , который, будучи сложенным с вектором в даст вектор а .
2.3. Декартова прямоугольная система координат. Базис.
Базисом на плоскости называется совокупность фиксированной точки и 2х неколлинеарных векторов, проведенных к ней.
Базисом в пространстве наз. совокупность фиксированной точки в пространстве и 3х некомпланарных векторов.
Любой вектор на плоскости может быть разложен по векторам базиса на плоскости. Любой вектор в пространстве может быть разложен по векторам базиса в пространстве.
ОС =OA +OB, OA =x*i , OB =j*y, OC =xi +yj . Числа х,у наз-ся координатами вектора ОС в данном базисе
4. Действия над векторами.
а =х1 i +y1 j +z1 k ; b =х2 i +y2 j +z2 k
l*a =l(х1 i +y1 j +z1 k )= l(х1 )i +l (y1 )j +l(z1)k
a ±b =(x1 ±x2 )i +(y1 ±y2 )j +(z1 ±z2 )k
ab =x1 x2 ii +y1 x2 ij +x2 z1 ki +x1 y2 ij +y1 y2 jj + z1 y2 kj +x1 z1 ik +y1 z2 jk +z1 z2 kk =x1 x2 +y1 y2 +z1 z2
ii =1; ij =0; и т.д.
скалярное произведение 2х векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.
аа =x2 +y2 +z2 =|a |2 a {x,y,z}, aa =|a |*|a |, то a 2 =|a | 2
ab =|a|*|b|*cosj
а)ав =0,<=>а ^в , x1 x2 +y1 y2 +z1 z2 =0
б)а ||в - коллинеарны, если , x1 /x2 =y1 /y2 =z1 /z2
5. Скалярное произведение векторов и его свойства.
-(“skala”-шкала) 2х векторов а и в наз. число, равное произведению длин этих векторов на cos угла между ними. (а ,в )- скалярное произведение. а *в =|а |*|в |*cosj, j=p/2, cosp/2=0, a^b=>ab =0. Равенство “0” скаляргного произведения необходимое и достаточное условие их перпендикулярности (ортогональности).
6. Векторное произведение 2х векторов.
левая ----- правая
Тройка векторов а ,в ,с наз. правоориентированной (правой), если с конца 3го вектора с кратчайший поворот от 1го ко 2му вектору мы будем видеть против час. стрелки. Если кратчайший поворот от 1го ко 2му по час. стрелки - левая. Векторным произведением 2х векторов а и в наз. такой вектор с , который удовлетворяет условиям: 1. |c |=|a |*|b |*sinj. 2. c ^a и c ^b . 3. тройка а ,в ,с -правая.
7. Смешанное произведение векторов и его свойства.
Смешанным произведением векторов наз. векторно-скалярное произведение, являющееся числом: a *b *c =[a *b ]*c =a *[b *c ], где
a ={ax ,ay ,az }
b ={bx ,by ,bz }
c ={cx ,cy ,cz }
Св-ва:
1. При перестановке 2х сомножителей:
a *b *c =-b *c *a
2. не меняется при перестановке циклических сомножителей:
a *b *c =c *a *b =b *c *a
3.а)(Геометрич. смысл) необходимым и достаточным условием компланарности 3х векторов явл. равенство a *b *c =0
б)если некомпланарные вектора a ,b ,c привести к 1 началу, то |a *b *c |=Vпараллепипеда, построенного на этих векторах
если a *b *c >0, то тройка a ,b ,c - правая
если a *b *c <0, то тройка a ,b ,c - левая
8. Уравнение линии и поверхности.
1. Уравнение сферы. Сфера- геометрическое место точек, равноудаленных от 1ой точки, называемой центром.
O(a,b,c)
|OM |=r, OM ={x-a,y-b,z-c}
r2 =(x-a)2 +(y-b)2 +(z-c)2 - уравнение сферы. x2 +y2 +z2 =r2 - ур-е сферы с центром точке(0,0).
F(x,y,z)=0- ур-е поверхности - ур-ю, удовлетворяющему координатам x,y,z любой точки, лежащей на поверхности.
2. Уравнение окружности
|OM |=r, OM ={x-a,y-b)
r2 =(x-a)2 +(y-b)2 +(z-c)2 - ур-е окружности
а=b=0, то x2 +y2 =r2
F(x,y)=0- ур-е линии на плоскости.
9. Плоскость в пространстве.
Ур-е в плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярно заданному вектору.
N -вектор нормали
M 0 M {x-x0 ,y-y0 ,z-z0 }
Для того, чтобы точка MÎP, необходимо и достаточно чтобы вектора N ^M 0 M (т.е. N *M 0 M =0)
A(x-x0 )+B(y-y0 )+С(z-z0 )=0 - ур-е плоскости, проходящей через данную точку ^вектору.
10. Общее уравнение плоскости.
Ax+By+Сz-Ax0 -By0 -Сz0 =0
-Ax0 -By0 -Сz0 =D, где D=Ax+By+Сz
Ax+By+Сz+D=0
Частный случай:
Если D=0, то Ax+By+Сz=0(проходит ч/з 0;0)
Если A=0, то By+Сz+D=0
Если B=0, то Ax +Сz+D=0
Если C=0, то Ax+By+D=0
Если A=B=0, то Сz+D=0
Если A=C=0, то By+D=0
Если A=D=0, то By+Сz=0
Если B=D=0, то Ay+Сz=0
11. Взаимное расположение плоскостей.
N 1 ,N 2 -нормальные векторы плоскости.
P:A1 x+B1 y+C1 z+D1 =0
Q:A2 x+B2 y+C2 z+D2 =0
P^Q{A1 ,B1 ,C1 }
Q^N 2 {A2 ,B2 ,C2 }
1)Пусть P^Q<=>N1 ^N 2
A1 A2 +B1 B2 +C1 C2 =0 условие перпендикулярности P^Q.
2) Пусть P^Q<=> N 1 ^N 2
A1 /A2 =B1 /B2 =C1 /C2 - Условие параллельности 2х плоскостей.
A1 /A2 =B1 /B2 =C1 /C2 =D1 /D2 - Условие совпадения 2х плоскостей.
12. Каноническое уравнение прямой в пространстве.
M0 M {x-x0 ,y-y0 ,z-z0 }
Чтобы точка МÎпрямой(или лежала на ней) необх. и достаточно, чтобы M 0 M ||S
13. Уравнение прямой в пространстве, проходящей ч/з 2 заданные точки.
lmn
S {x2 -x1 ,y2 -y1 ,z2 -z1 }
14. прямая, как пересечение плоскостей. Нахождение начальной точки и направляющего вектора прямой.
P:A1 x+B1 y+C1 z+D1 =0
Q:A2 x+B2 y+C2 z+D2 =0
Общее ур-е прямой в пространстве.
Для того, чтобы перейти от общего к каноническому ур-ю прямой, надо задать начальную точку и направляющий вектор:
1. Найдем начальную точку:
Z=0
M0 (x0 ,y0 ,0), т.к. Z=0
2. Найдем направляющий вектор S -?
P^N1 {A1 ,B1 ,C1 }
Q^N1 {A2 ,B2 ,C2 }
S =N1 *N2
16. Взаимное расположение прямой на плоскости.
P:A1 x+B1 y+C1 z+D1 =0^N1 {A1 ,B1 }
Q:A2 x+B2 y+C2 z+D2 =0^N2 {A2 ,B2 }
а)
то
б)
pq<=> N1 ||N2 , то A1 /A2 =B1 /B2
в)
p||q<=> N1 ^N2 , то A1 A2 +B1 B2 =0
17. Общее ур-е прямой линии на плоскости. Его частные случаи.
Сначала запишем ур-е прямой, проходящей через заданную точку ^ заданному вектору.
M0 (x0 ,y0 )
M0 M {x-x0 ,y-y0 }
n*M0 M =0
A(x-x0 )+B(y-y0 )=0
Ax+By-Ax0 -By0 =0
-Ax0 -By0 =C
Ax+By+C=0-общее уравнение прямой на плоскости.
18.19. Каноническое ур-е прямой линии на плоскости. Ур-е прямой, проходящей ч/з 2 точки. Ур-е с угловым коэффициентом.
y-y1 =k1 (x-x1 )
y=k1 x-k1 x1 +y1
y1 -k1 x1 =b
y=k1 x+b
ур-е прямой с угловым коэффициентом k.
Пусть даны 2 точки M1 (x1 ,y1 ), M2 (x2 ,y2 ) и x1 ¹x2 , y1 ¹y2 . Для составления уравнения прямой М1 М2 запишем уравнения пучка прямых, проходящих через точку М1 : y-y1 =k(x-x1 ). Т.к. М2 лежит на данной прямой, то чтобы выделить ее из пучка, подставим координаты точки М2 в уравнение пучка М1 : y-y1 =k(x-x1 ) и найдем k:
Теперь вид искомой прямой имеет вид:
или:
- Ур-е прямой, проходящей ч/з 2
20,21. Угол м/ду прямыми на плоскости. Условия || и ^ .
а)
S1 {l1 ,m1 } S2 {l2 ,m2 },
или
p:y=k1 x+b1 , k1 =tgj1
q:y=k2 x+b2 , k2 =tgj2 =>tgj=tg(j2 -j1 )=
=(tgj2 -tgj1 )/(1+ tgj1 tgj2 )=
=(k2 -k1 )/(1+k1 k2 ).
б) p||q, tgj=0, k1 =k2
в)p^q,то
22. Расстояние от точки до прямой на плоскости и до плоскости в пространстве.
1. Ax+By+C=0, M0 (x0 ,y0 )
2. Пусть плоскость задана ур-ем Ax+By+Cz+D=0
23. Кривые линии 2-го порядка.
Кривые 2го порядка описываются с помощью общего ур-я:
Ax2 +2Bxy+Cy2 +2Dx+2Ey+F=0, где
а) Каноническое ур-е эллипса
- Каноническое ур-е эллипса
Если a=b, то x2 +b2 =a2 - ур-е окружности.
б) Ур-е гиперболы: x2 /a2 -y2 /b2 =1
в) ур-е параболы: y2 =2px или y=ax2
г) ур-е сферы: x2 +y2 +z2 =а2 (r2 =(x-a)2 +(y-b)2 +(z-c)2 )
д) ур-е эллипса: x2 /a2 -y2 /b2 +z2 /c2 =1
24. Парабола и ее свойства.
Множество точек плоскости, координаты которых по отношению к системе декартовых координат удовлетворяет уравнению y=ax2 , где х и у - текущие координаты, а- нек. число, наз. параболой.
Если вершина нах. в О(0,0), то ур-е примет вид
y2 =2px-симметрично отн. оси ОХ
х2 =2pу-симметрично отн. оси ОУ
Точка F(p/2,0) наз. фокусом параболы, а прямая x=-p/2 - ее директриса.
Любой точке М(х,у), принадлежащей параболе, расстояние до фокуса = r=p/2
Св-ва:
1. парабола предст. собой ¥ точек плоскости, равноотстающих от фокуса и от директрисы y=ax2 .
25.Эллипс и его св-ва:
Кривая второго порядка наз. эллипсом если коэффициенты А и L имеют одинаковые знаки
Аx2 +Cy2 =d
ур.-е
наз. канонич. ур.-ем эллипса, где При а=в представляет собой ур-е окружности х2 +y2 =а2
Точки F1 (-c,0) и F2 (c,0) - наз. фокусами эллипса а.
Отношение e=с/а наз. его эксцентриситетом (0<=e<=1)
Точки A1 ,A2 ,B1 ,B2 -вершины эллипса.
Св-во:
Для любой точки эллипса сумма расстояний этой точки до фокусов есть величина постоянной, =2а.
26. Гипербола и ее св-ва.
Кривая 2го порядка наз. гиперболой, если в ур-ии Ax2 +Cy2 =d, коэффициент А и С имеют противоположные знаки, т.е. А*С<0
б) Если d>0, то каноническое ур-е гиперболы примет вид: x2 /a2 -y2 /b2 =1, F1(c,o) и F2 (-c,0) - фокусы ее, e>0, e=c/a - эксцентриситет.
Св-во:
для любой точки гиперболы абсолютная величина разности ее расстояний до фокусов есть величина постоянная = 2а.
б) если d=0, ур-е примет вид x2 /a2 -y2 /b2 =0, получаем 2 перекрестные прямые х/а±у/b=0
в) если d<0, то x2 /a2 -y2 /b2 =-1 - ур-е сопряженной гиперболы.
27. Понятие о поверхностях 2го порядка.
Алгебраическим ур-ем 2ой степени наз. ур-е вида Ax2 +Bxy+Cy2 +Dx+ey+F=0, где A,B,C,D,e,F - действительные числа
Линии, которые в системе декартовых координат определяются алгебраическим ур-ем 2ой степени наз. линиями 2го порядка.
28. Функции. Определение способа задания. Классификация функций. Основные элементарные функции.
Функция - это зависимость одной величины от другой.
Если существует взаимооднозначное соответствие между переменной х одного множества и переменной у другого множества, то она называется функциональной зависимостью. y=f(x).
Определение способа задания:
-аналитически (y=kx+b)
-графический (график)
-таблично
x | 1 | 2 | 3 |
y | 4 | 5 | 8 |
-алгоритмически (с помощью ЭВМ)
Классификация функций:
Элементарные: - функции, которые получаются из основных элементарных ф-ций с помощью алгебраических действий (+,-,*,/,введение в степень). Основные элементарные ф-ции:
1. y=xn - степенная
2. y=ax - показательная
3. y=loga x - логарифмическая
4. y=sinx, y=cosx - тригонометрические.
Сложные:
Y=f(U), где U=j(x), Y=f[j(x)]
Если ф-ция у зависит от промежуточного аргумента U, который зависит от независимой переменной х, то y=f[j(x)] называется сложным заданием х.
29. Определение пределов последовательности и ф-ции. Осн. св-ва пределов ф-ции 1ой переменной.
а) Предел последовательности:
y=f(Un), где U1 ,U2 ,...Un , а Un =n/(n2 +1)
Предел: число а называется пределом переменной xn , если для каждого “+” как угодно малого числа e(эпсилон) существует такой номер N, что при n>N разность |xn -a|<e
limxn =a
n®¥
-e<Xn -a<e
a-e<Xn <a+e
б) Предел ф-ции:
y=f(x) число а называется пределом переменной х, если разность м/ду ними есть б.м.в. |x-a|®0, |x-a|<e
Число А называется пределом ф-ции f(x) при х®а, если для каждого, как угодно малого на период заданного числа e. -e>0, найдется такое как угодно малое на период заданного d>0, что будут выполняться неравенства: Если |x-a|<d, то |f(x)-A|<e
Основные св-ва:
1.Если величина имеет предел, то только 1.
2. limC=C, где С- постоянная величина
3. Если a-б.м.в., то lima=0
4. предела б.б.в. не существует
5. если limy=a, то y=a+a, где a-б.м.в.
30. Основные теоремы о пределах.
1. Предел суммы = суммы пределов:
limx=a, limy=b, тогда x=a+a, y=b+b, где a и b - б.м.в. x+y=(a+a)+(b+b)=(a+b)+(a+b), где a+b=w- б.м.в.
x±y=(a±b)+w, то lim(x±y)=a±b=limx+limy.
2. Теорема о пределе производной: если сомножители имеют пределы, то и произведение имеет предел, равный произведению пределов сомножителей.
limx=a, limy=b, то на основании 5го св-ва
x=a+a
y=b+b, где a и b - б.м.в.
x*y=(a+a)*(b+b)=a*b+(ab+ab+ab), то
сумма б.м.в. = d(дельта)
xy=ab+d
xy®ab,
limxy=ab=limx*limy
3. Следствие: постоянная величина выноситься за знак предела.
limCx=limC*limx=C*limx
4. Предел от частного = частному пределов (кроме limx/limy=0
limx/y=limx/limy, т.к. limx=a, limy=b
x=a+a, y=b+b
x/y=(a+a)/(b+b)
31. 1й, 2й замечательный пределы.
1 й : limsinx/x=1, limx/sinx=1. x ® 0
j
lim((Sina)/a)=1
x®0
SD OAC <Sсектора OAC <SD OCB
SD OAC =1/2*OC*AD, OA=OC=1, то
SD OAC =1/2*OC*OA*Sina=1/2*Sina
Sсектора OAC =1/2*OA*OC*a=1/2*a(т.к. OA=OC)
SD OCB =1/2*OC*BC=1/2*OC*OC*tga=1/2*tga
1/2*Sina<1/2*a<1/2tga //*2
sina<a<tga//:sin
1<a/sina<1/cosa, =>cosa<sina/a<1,
limCosa<lim((Sina)/a)<lim1, по признаку
a®0 a®0 существования
предела ф-ции
lim((Sina)/a)=1
a®0
2ой: lim(1+1/n)n =e»2.7183
n®¥
Зная, что 1/n=a - б.м.в., то n=1/a и
x®¥a®0
lim(1+1/n)1/ a =e
a®0
32. Основные приемы нахождения пределов.
1. Подстановка: при х®х0 и х0 Îобласти определения ф-ции f(x), предел ф-ции f(x)= его частному значению при х=х0
limf(x)=f(x0 )
x®x0
2. Сокращение: при х®¥ и х®х0 f(x)/g(x)=0/0, то сокращают числитель и знаменатель на множитель, стремящийся к 0.
3. уничтожение иррациональности (* числитель и знаменатель на 1 число).
4.деление на наивысшую степень х: при х®¥ и х®х0 f(x)/g(x)=0/0, то делим числитель и знаменатель на наивысшую степень.
5. сведение к известным пределам: lim((Sinx)/x)=1
x®¥
lim(1+1/n)x =e
x®¥
33. Непрерывность ф-ции в точке и на интервале.
x=x0 +Dx, Dx=x-x0
Dy=f(x0 +Dx)-f(x0 )
Ф-ция y=f(x) наз. непрерывной в точке x0 , если она определена в окрестности этой точки, а limDy=0. (б.м. приращению аргумента соответствует б.м. приращению ф-ции).
limDy=lim[f(x)-f(x0 )]=limf(x)-limf(x0 )=0, то
limf(x)=limf(x0 )
x®x0
Ф-ция непрерывна в точке х0 , если ее предел = значению этой ф-ции в точке х0
Ф-ция явл. непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой его точке.
34. Признаки существования а) предела ф-ции и б) предела последовательности.
а) если все значения ф-ции f(x) заключены между значениями ф-ции j(x) и g(x), которые имеют 1 предел при х®а, то и limf(x)=A
j(x)<=f(x)<=g(x), где limj(x)=А, limg(x)=А, то limf(x)=A. х®а
б) Если последовательность монотонно возрастает и ограниченна сверху, то она имеет предел.
Последовательность монотонно возрастает, если последующий член>предыдущего (xn +1 >xn )
Последовательность ограничена сверху, если существует такое М, что xn <=M.
35. Бесконечно малые величины и их св-ва:
величина называется б.м.в. в каком-то процессе, если она в этом процессе бесконечно уменьщается.(r=m/V, если V®¥, то r®0)
Св-ва б.м.в.:
-сумма или разность конечного числа б.м.в. есть б.м.в. (a и b-б.м.в., то a±b=б.м.в.)
-произведение б.м.в. на величину ограниченную есть б.м.в. (U<=M, то a*U=б.м.в.)
-произведение б.м.величин=б.м.в.
-произведение б.м.в. на постоянную = б.м.в
36. Бесконечно большие величины и их св-ва.
б.б.в - величина для которой |Xn |®¥ (при xn =1/n, n®0, то xn ®¥)
Св-ва:
-величина обратная б.б.в. явл. б.м.в. (1/¥=0; 1/0=¥)
-сумма б.б.в. (с одинаковым знаком) есть б.б.в.
-произведение 2х б.м.величин=б.м.в.
-частное от деления 2х б.б.в = неопределенность
38. Св-ва непрерывных ф-ций:в
в отрезке:
1. Если ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b] и f(a)*f(b)<0, т.е. знаки f(a) и f(b) противоположны, то на (a,b) найдется хотя бы одна точка х=с, что f(c)=0 (график)-теорема Больцана-Коши.
2. Если ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b], то она ограничена на этом промежутке.
3. Если ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b], то она достигает на этом отрезке minm и maxM (теорема Вейерштрасса).
в точке:
1. если ф-ция f(x) и g(x) непрерывна в х0 , то их сумма, произведение, частное (при j(х0 )¹0) явл-ся ф-циями, непрерывными в х0
2. если ф-ция y=f(x) непрерывна в х0 , и f(x0 )>0, то существует окрестность х0 , в которой f(x)>0
3. если y=f(U) непрерывна в U0 , а U=j(x) непрерывна в U0 =j(x0 ), то сложная ф-ция y=f[j(x)] непрерывна в х0 .
39. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной и ее геометрический смысл.
1. ncp. =DS/Dt, n=lim(DS/Dt), гдеDt®0
2. pcp. =Dm/Dl, pT =lim(Dm/Dl), гдеDl®0
Dy=f(x+Dx)-f(x), y=f(x)
lim(Dy/Dx)=lim((f(x+Dx)-f(x))/Dx)
Dx®0 Dx®0
Смысл производной - это скорость изменения ф-ции при изменении аргумента.
y=f(x+Dx)-f(x), y=f(x). производной в точке а называется предел отношения приращения ф-ции к приращению аргумента:
lim(Dy/Dx)=lim((f(x+Dx)-f(x))/Dx)=dy/dx
Dx®0 Dx®0
Вычисление производной: lim(Dy/Dx)=y` Dx®0
1) если y=x, Dy=Dx, y`=x=lim(Dy/Dx)=1.
2) если y=x2 , Dy=(x+Dx)2 -x2 =x2 +2xDx+Dx2 -x2 =Dx(2x-Dx),
(x2 )`=lim((Dx(2x+Dx))/Dx)=lim(2x+Dx)=2x
x®0 Dx®0
Геометрический смысл производной.
KN=Dy, MK=Dx
DMNK/tg2=Dy/Dx
вычислим предел левой и правой части:
limtga=lim(Dy/Dx) Dx®0
tga0 =y`
a®a0
При Dx®0 секущая MN®занять положение касательной в точке M(tga0 =y`, a®a0 )
Геометрический смысл производной заключается в том, что есть tg угла наклона касательной, проведенной в точке x0 .
40. Основные правила дифференцирования.
Теорема: Если f(x) и g(x) дифферен. в точке х, то:
Теорема о произв. сложной функции:
Если y(x)=f(u(x)) и существует f’(u) и u’(x), то существует y’(x)=f(u(x))u’(x).
Теорема о произв. обратной функции.
Таблица производных:
41. Дифференцирование сложных ф-ций:
Производная сложной ф-ции = произведению производной ф-ции по промежуточному аргументу и производной самого промежуточного аргумента по независимой переменной.
y`=f(x)*U`,или yx `=yU `*Ux `, или dy/dx=dy/dU=dU/dx
Например:
42. Дифференцирование обратной ф-ции.
y=f(x), то x=j(y) - обратная ф-ция.
Для дифференцируемой ф-ции с производной, не = 0, производная обратной ф-ции = обратной величине производной данной ф-ции, т.е. xy `=1/yx `.
Dy/Dx=1/(Dy/Dx) - возьмем предел от левой и правой части, учитывая, что предел частного = частному пределов:
lim(Dy/Dx)=1/(lim(Dy/Dx), т.е. yx `=1/xy или f`(x)=1/j`(x)
Например:
43. Производные степенных и тригонометрических функций.
Основные формулы:
44. Производные обратных тригонометрических функций.
Основные формулы:
Для сложных функций:
45. Производные показательных и логарифмических функций.
Основные формулы:
Если z=z(x) – дифференцируемая функция от x, то формулы имеют вид:
46. Логарифмическое дифференцирование. Вывод производной степенной ф-ции.
y=ax - показательная ф-ция, y=xn - степенная, y=xx - показательно-степенная.
y=[f(x)]j ( x ) - показательно-степенная ф-ция.
lny=xlnx - найдем производную от левой и правой части, считая у ф-цией х.
(1/y)*y`=(lny)
(x*lnx)`=x`lnx+x*(lnx)`=lnx+1
y`=y*(lnx+1)=xx (lnx+1)
Операция, которая заключается в последовательном применении к ф-ции y=f(x) сначала логарифмирование, а затем дифференцирование.
Степенная ф-ция:
1.y=xn , nlnx, y`/y=n/x=n*(x)-1
y`=y*n*(x-1 )=n*xn *x-1 =n*xn-1
2.y=eU , где U=sinx
U`=cosx, y`=(eU )`=eU *U`=esinx *cosx.
47. Производная высших порядков ф-ции 1й переменной.
y=f(x)
y``=(y`)`=lim((f`(x+Dx)-f`(x))/Dx)
x®0
y```=(y``)`= lim((f``(x+Dx)-f``(x))/Dx)
f(n) (x)=[f(n-1) (x)]`
48. Производные 1,2-го порядка неявных ф-ций.
Неявной называется такая ф-ция у аргумента х, если она задана уравнением F(x,y)=0, не разрешенным относительно независимой переменной.
y=f(x), y=x2 -1 - явные
F(x,y)=0, a2 =x2 +y2 - неявные ф-ции.
1)a2 =x2 +y2 - найдем производную, продифференцируем, считая у - сложной ф-цией х.
y`=2x+2y=0, т.к. а- постоянная
y*y`=-x, y`=-x/y
2) x3 -3xy+y3 =0
3x3 -3(xy)`+3y2 *y`=0 //:3
x2 -(x`y+y`x)+y2 *y`=0
y`y2 -xy`=y-x2
y`=(y-x2 )/(y2 -x)
49. Дифференциал ф-ции и его геометрический смысл. Св-ва дифференциала.
limy=A, y=A+a
limDy/Dx=y`, Dy/Dx=y`+a, Dy=y`Dx+aDx
Dx®0
Dy=y`Dx+e, где e-б.м.в., величина более высокого порядка малости,, чем Dx(a), и ее можно отбросить.
dy=y`Dx
Дифференциалом ф-ции наз. величина, пропорциональная б.м. приращению аргумента Dх и отличающаяся от соответствующего приращения ф-ции на б.м.в. более высокого порядка малости, чем Dх.
Если y=x, то dy=dx=x`Dx=Dx, dx=Dx
Если y¹x, то dy=y`dx, y`=dy,dx
Геометрический смысл: дифференциал - изменение ординаты касательной, проведенной к графику ф-ции в точке (x0 ,f(x0 )) при изменении x0 на величину Dx
Св-ва:
1. (U±V)`=U`±V`, то (U±V)`dx=U`dx±V`dx, d(U±V)=d(U±V)
2. (UV)`=U`V+V`U, то (UV)`dx=V`dU+U`dV
3.d(c)=c`dx=0*dx=0
4. d(U/V)`=(V`dU-U`dV)/V2 .
50.Теорема Ролля.
Если функция f(x) непрерывна на заданном промеж/ [a,b] деффер. на интервале (a,b) f(a)=f(b) то существует т. с из интерв. (a,b), такая, что f’(c)=0.
51 . Теорема Лагранжа.
Если функция f(x) непрерывна на [a,b] и дефференцирована на (a,b), то сущест.
т. с(a,b), такая, что: f(b)-f(a)=f’(c)(b-a).
Доказательство: применим т.Коши, взяв только g(x)=x, тогда g’(x)=1¹0.
52. Теорема Коши.
Если f(x), g(x) удовл. трем условиям:
1). f(x), g(x) непрерыв. на промеж [a,b]
2). f(x), g(x) деффер. на интервале (a,b)
3). g’(x)¹0 на интер. (a,b), то сущ. т. с
g(b)¹g(a) (неравны по теореме Ролля).
1). F(x) – непрерывна на [a,b]
2). F(x) – деффиренцирована на (a,b)
3). F(a)=0 ; F(b)=0
по теореме Ролля сущ. сÎ(a,b); F’(с)=0
53 . Необходимые и достаточные признаки монотонности ф-ции:
Если x2 >x1 , f(x2 )>f(x1 ), то ф-ция монотонно возрастает
Если x2 >x1 , f(x2 )<f(x1 ), то ф-ция монотонно убывает
Монотонность - постоянство
Необходимые признаки:1)если ф-ция f(x) всюду в интервале возрастает, то ее производная в этом интервале неотрицательна (f`(x)>=0)
2)если ф-ция f(x) всюду в интервале убывает, то ее производная в этом интервале неположительная (f`(x)<=0)
3)если ф-ция f(x) всюду в интервале постоянна, то ее производная в этом интервале =0 (f`(x)=0)
Достаточные признаки монотонности: 1)если f`(x) в интервале положительна, то ф-ция f(x) возрастает в этом интервале.
2)если f`(x)<0, то ф-ция f(x) возрастает в этом интервале.
3)если f`(x)=0, то ф-ция f(x)=const на интервале.
x1 <a<x2 , x2 -x1 >0, x2 >x1
1. если f`(a)>0, то f(x2 )>f(x1 )
2. если f`(a)<0, то f(x2 )<f(x1 )
3. если f`(a)=0, то f(x2 )=f(x1 )
54 . Экстремумы ф-ций. Признаки существования экстремума. Наибольшее и наименьшее значение ф-ции 1й переменной.
Точка х называется точкой max ф-ции, если значение ф-ции в этой точке - наименьшее в некоторой ее окрестности.
1- локальный max
2- локальный min
3- глобальный max
4- глобальный min
если tga>0, то f`(x)>0
если tga<0, то f`(x)<0
Необходимый признак экстремума:ф-ия f(x) может иметь max и min только в тех точках, в которых f`(x)=0 или не существует.
(В них можно построить ¥ касательных).
Достаточный признак: точка х0 является точкой экстремума, если ее производная в этой точке меняет знак:
- если с “+” на “-”, то х0 - т. max
- если с “-” на “+”, то х0 - т. min
55 . Выпуклость и вогнутость линий точки перегиба.
Линия называется выпуклой, если она пересекается с любой своей секущей не более чем в 2х точках.
Линия наз-ся вогнутой, если она целиком лежит по 1 сторону от касательной, проведенной в любой ее точке.
Точка перегиба - точка, отделяющая выпуклый участок дуги от вогнутого.
Необходимый признак выпуклости и вогнутости: если линия на интервале выпуклая, то ее 2я производная <=0; если линия на интервале вогнутая, то ее f``(x)>=0
Достаточный признак: если f``(x) всюду в интервале “-”, то линия в интервале выпуклая; если f``(x)>0, то линия вогнутая
Признаки точки перегиба: чтобы X0 была т. перегиба, <=> чтобы у`` в этой точке = 0 и меняла знак при переходе х через х0 .
56. Асимптота графика ф-ции.
Асимптота - прямая, к которой график ф-ции стремится, но никогда ее не пересекает.
1) прямая х=х0 назыв-ся вертикальной асимптотой графика ф-ции f(x)=y, если при х®х0 |f(x)|®+¥ (вида x=b)
2) y=kx+b, ,y=f(x) - общее ур-е наклонной асимптоты
lim[f(x)-(kx+b)]=0, f(x)=kx+b+a(б.м.в.) по св-ву x®¥пределов.
разделим левую и правую части на х. Возьмем предел при х®¥
f(x)/x=k+b/x+a/x, lim(f(x)/x)=limk+lim(b/x)+lim(a/x)
x®¥
, то
k=lim(f(x)/x)
b=lim[f(x)-kx]
Если эти пределы существуют, то существует и наклонная ассимптота вида kx+b=y
3)k=lim(f(x)/x)=0, y=b - горизонтальная асимптота.
57. Предел и непрерывность ф-ции нескольких переменных.
Величина U наз-ся ф-цией переменных (x1 ,x2 ...xn ), если каждой, рассматриваемой в совокупности этих величин соотв-ет 1 определенное значение величины U.
Пусть f(M)=M0 (x1 0 , x2 0 ,... xn 0 ), M(x1 , x2 ,... xn )
Ф-ция f(M)=f(x1 , x2 ,... xn ) имеет предел А при М0 ®М, если каждому значению как угодно малого числа d(дельта) соотв-ет, как угодно малое заданное число e>0, если |M0 M |=d, то |f(M)-A|<e
Ф-ция f(M) наз-ся непрерывной в точке М0 , если б.м. приращению любого аргумента соответствует б.м. приращение ф-ции.
limf(x1 0 , x2 0 ,... xn 0 )=limf(x1 , x2 ,... xn )
x1 0 ® x1
x2 0 ® x2
xn 0 ® xn
58. а) Частная производная ф-ции нескольких переменных. б) Частный и полный дифференциалы.
а) рассмотрим на примере ф-ции 2х переменных
x=f(x,y), точка A(x0 ,y0 )
Dz=f(x0 +Dx, y0 +Dy)-f(x0 ,y0 ) - полное приращение.
Частное приращение по х (по у):
DxZ=f(x0 +Dx, y)-f(x0 , y0 )
DyZ=f(y0 +Dy, x)-f(x0 , y0 )
Частная производная ф-ция:
б) dxZ=Zx
`*Dx=¶Z/¶x*dx; dxZ=Zy
`*Dy=¶Z/¶y*dy
Полный дифференциал dZ=dx Z+dy Z=Z`x dx +Z`y dy
dZ=¶Z/¶x*dx+=¶Z/¶y*dy
Чтобы найти полный дифференциал ф-ции надо найти частные производные от этой ф-ции по всем независимым переменным, умножить их на дифференциал этих переменных, рез-ты сложить.
59. Производная 2го порядка ф-ции нескольких переменных. Дифференцирование сложной ф-ции 2х переменных.
Частное производной 2го порядка от ф-ции Z явл. частная производная от 1й производной:
Z``XX =(Z`x )`x ; Z``yy =(Z`y )`y
Z``Xy =(Z`x )`y =(Z`y )`x
60 . Экстремумы ф-ции нескольких переменных. Необходимые и достаточные признаки экстремума ф-ции 2х переменных.
Z=f(x,y), M0 (x0 ,y0 ), M(x,y)
Max ф-ции Z называется такое ее значение f(x0 ,y0 ), которое является наибольшим среди всех значений, принимаемых в некоторой окрестности точки M0
Min ф-ции Z называется такое ее значение f(x0 ,y0 ), которое является наименьшим среди всех значений, принимаемых в некоторой окрестности точки M0
Экстремум сущ. в тех точках, в которых частная производная ф-ции Z=0 или не существует:
Если Z=f(x1 ,x2 ,...xn ), то ¶Z/¶xi =0, i=1,2,...n - необходимое условие.
Достаточный признак:
где A= Z``XX (x0 ,y0 ), C= Z``yy (x0 ,y0 ), B= Z``yx (x0 ,y0 ),
1) если D>0, то М0 - точка экстремума;
если А<0 или С<0, то М0 - точка max;
если А>0 или С>0, то М0 - точка min.
2) если D<0, то экстремума нет
3) если D=0, то вопрос о существовании экстремума остается открытым.
61. Общая схема исследования ф-ции необходима для построения графика.
Найти:
-обл. определения ф-ции
-точки разрыва и интервалы, где ф-ция явл-ся непрерывной
-поведение ф-ции в окрестностях точки разрыва, вертикальной асимптоты
-т. пересечения графика с осями координат
-симметрия графика (чет./нечет):
f(-x)=x симметрична относительно осей
f(-x)=-x симметрична относительно О(0,0)
-периодичность
-интервалы монотонности
-точки экстремума
-наибольшее и наименьшее значение
-выпуклость, вогнутость
-точки перегиба
-поведение ф-ции в безконечности, наклонная и горизонтальные асимптоты
-нанесение на график.