Скачать .docx | Скачать .pdf |
Реферат: Определение законов распределения случайных величин и их числовых характеристик на основе опытны
Самарский государственный аэрокосмический университет
им. академика С.П. Королева
Кафедра прикладной математики
Расчетно-графическая работ по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»
Тема работы : « Определение законов распределения случайных величин и их числовых характеристик на основе опытных данных. Проверка статистических гипотез»
Вариант № 15
Выполнил студент группы № 625
Евгений В. Репекто
Самара - 2002
Задание на расчетно-графическую работу
Дан протокол содержащий 120 пронумерованных значений:
№ | № | № | № | ||||
1 | 4 | 31 | 10 | 61 | 20 | 91 | 44 |
2 | 19 | 32 | 25 | 62 | 16 | 92 | 12 |
3 | 25 | 33 | 38 | 63 | 15 | 93 | 16 |
4 | -4 | 34 | 1 | 64 | 32 | 94 | 9 |
5 | 58 | 35 | 19 | 65 | 52 | 95 | 12 |
6 | 34 | 36 | 55 | 66 | -5 | 96 | 40 |
7 | 32 | 37 | 9 | 67 | 21 | 97 | 17 |
8 | 36 | 38 | 11 | 68 | 30 | 98 | 10 |
9 | 37 | 39 | 6 | 69 | 27 | 99 | 31 |
10 | 4 | 40 | 31 | 70 | 12 | 100 | 49 |
11 | 24 | 41 | 17 | 71 | 19 | 101 | 25 |
12 | 3 | 42 | -6 | 72 | 1 | 102 | 33 |
13 | 48 | 43 | 14 | 73 | 23 | 103 | 26 |
14 | 36 | 44 | 9 | 74 | 7 | 104 | 19 |
15 | 27 | 45 | 13 | 75 | 4 | 105 | 25 |
16 | 20 | 46 | 25 | 76 | 16 | 106 | 34 |
17 | 1 | 47 | 11 | 77 | 38 | 107 | 10 |
18 | 39 | 48 | 18 | 78 | 40 | 108 | 24 |
19 | 11 | 49 | 2 | 79 | 30 | 109 | 2 |
20 | 16 | 50 | 29 | 80 | 14 | 110 | 38 |
21 | 49 | 51 | 20 | 81 | 51 | 111 | 30 |
22 | 25 | 52 | 48 | 82 | 17 | 112 | 10 |
23 | 26 | 53 | 16 | 83 | 25 | 113 | 39 |
24 | 30 | 54 | 29 | 84 | 34 | 114 | 1 |
25 | 19 | 55 | 12 | 85 | 23 | 115 | 40 |
26 | 32 | 56 | -3 | 86 | 20 | 116 | 7 |
27 | 3 | 57 | 16 | 87 | 9 | 117 | 26 |
28 | 40 | 58 | 41 | 88 | 29 | 118 | 36 |
29 | 45 | 59 | 19 | 89 | 18 | 119 | 22 |
30 | 35 | 60 | 0 | 90 | 46 | 120 | 28 |
Все эти протокольные значения считаются значениями выборки
некоторой случайной величины , а 60 из них, имеющие нечетные номера – значениями выборки
другой случайной величины
Требуется:
1. Построить вариационные ряды для случайных величин и .
2. Произведя группировку элементов каждой выборки (используя формулу Стерджеса) построить статистические ряды распределения случайных величин и .
Образец заполнения таблицы для статистического ряда.
№ пр-ка | Границы промежутка |
Середина промежутка |
Количество элементов выборки в промежутке |
Частота для промежутка |
1 | ||||
2 | ||||
… | … | … | … | … |
3. Построить гистограммы распределения случайных величин и .
4. Найти выборочное среднее , и исправленные выборочные дисперсии: , случайных величин и .
5. Проверить, используя метод гипотезу о нормальном распределении, каждой из случайных величин и при уровне значимости .
6. Построить график функции плотности распределения случайной величины в одной системе координат с гистограммой.( взяв в качестве математического ожидания их статистические оценки и ) и вычислив значение функции в точках: , , а также в точке левее первого и правее правого промежутка группировки.
7. Выполнить задание 6 для случайной величины .
8. Найти доверительные интервалы для математических ожиданий и дисперсий случайных величин и , соответствующие доверительной вероятности .
9. Проверить статистическую гипотезу при альтернативной гипотезе на уровне значимости .
10. Проверить статистическую гипотезу при альтернативной гипотезе на уровне значимости .
Решение
1. Построить вариационные ряды для случайных величин и .
Вариационный ряд величины
-6 | 12 | 22 | 33 |
-5 | 12 | 23 | 34 |
-4 | 12 | 23 | 34 |
-3 | 12 | 24 | 34 |
0 | 13 | 24 | 35 |
1 | 14 | 25 | 36 |
1 | 14 | 25 | 36 |
1 | 15 | 25 | 36 |
1 | 16 | 25 | 37 |
2 | 16 | 25 | 38 |
2 | 16 | 25 | 38 |
3 | 16 | 25 | 38 |
3 | 16 | 26 | 39 |
4 | 16 | 26 | 39 |
4 | 17 | 26 | 40 |
4 | 17 | 27 | 40 |
6 | 17 | 27 | 40 |
7 | 18 | 28 | 40 |
7 | 18 | 29 | 41 |
9 | 19 | 29 | 44 |
9 | 19 | 29 | 45 |
9 | 19 | 30 | 46 |
9 | 19 | 30 | 48 |
10 | 19 | 30 | 48 |
10 | 19 | 30 | 49 |
10 | 20 | 31 | 49 |
10 | 20 | 31 | 51 |
11 | 20 | 32 | 52 |
11 | 20 | 32 | 55 |
11 | 21 | 32 | 58 |
Вариационный ряд величины
1 | 21 |
2 | 22 |
2 | 23 |
3 | 23 |
4 | 24 |
4 | 25 |
6 | 25 |
9 | 25 |
9 | 25 |
10 | 26 |
10 | 26 |
11 | 26 |
11 | 27 |
12 | 27 |
12 | 30 |
13 | 30 |
14 | 31 |
15 | 32 |
16 | 37 |
16 | 38 |
16 | 38 |
17 | 39 |
17 | 40 |
18 | 44 |
19 | 45 |
19 | 48 |
19 | 49 |
19 | 51 |
20 | 52 |
20 | 58 |
2. Произведя группировку элементов каждой выборки (используя формулу Стерджеса) построить статистические ряды распределения случайных величин и .
Найдем количество элементов выборок после группировки элементов
Величина :
Величина :
Сгруппировав элементы получим статистический ряд распределения случайной величины
№ пр-ка | Границы промежутка
|
Середина промежутка
|
Количество элементов выборки в промежутке
|
Частота для промежутка
|
1 | -8 ; 0 | -4 | 4 | 0.0333 |
2 | -0 ; 8 | 4 | 15 | 0.1250 |
3 | 8 ; 16 | 12 | 19 | 0.1583 |
4 | 16 ; 24 | 20 | 25 | 0.2083 |
5 | 24 ; 32 | 28 | 24 | 0.2000 |
6 | 32 ; 40 | 36 | 17 | 0.1417 |
7 | 40 ; 48 | 44 | 8 | 0.0667 |
8 | 48 ; 56 | 52 | 8 | 0.0667 |
Сгруппировав элементы получим статистический ряд распределения случайной величины
№ пр-ка | Границы промежутка |
Середина промежутка |
Количество элементов выборки в промежутке |
Частота для промежутка |
1 | 0; 9 | 4,5 | 7 | 0.1167 |
2 | 9 ; 18 | 13,5 | 16 | 0.2667 |
3 | 18 ; 27 | 22,5 | 19 | 0.3167 |
4 | 27 ; 36 | 31,5 | 6 | 0.1000 |
5 | 36 ; 45 | 40,5 | 6 | 0.1000 |
6 | 45 ; 54 | 49,5 | 5 | 0.0833 |
7 | 54 ; 63 | 58,5 | 1 | 0.0167 |
3. Построить гистограммы распределения случайных величин и .
Гистограммы распределения приведены на графиках с теоретическими функциями распределения.
4. Найти выборочное среднее , и исправленные выборочные среднеквадратические отклонения: , случайных величин и .
Выборочное среднее случайной величины равно
Выборочное среднее случайно величины равно
Найдем исправленное среднеквадратическое отклонение случайной величины :
=14.3632
Найдем исправленное среднеквадратическое отклонение случайной величины :
=13.5727
5. Проверить, используя метод гипотезу о нормальном распределении, каждой из случайных величин и при уровне значимости .
Проверим гипотезу о нормальном распределении случайной величины .
Используя предполагаемый закон распределения, вычислим теоретические частоты по формуле
, где - объем выборки, - шаг (разность между двумя соседними вариантами, ,
Построим вспомогательную таблицу:
1 | 4 | -1.9169 | 4.2461 | 0.0606 | 0.014 |
2 | 15 | -1.3600 | 10.5760 | 19.572 | 1.850 |
3 | 19 | -0.8030 | 19.3161 | 0.0999 | 0.005 |
4 | 25 | -0.2460 | 25.8695 | 0.7561 | 0.0292 |
5 | 24 | 0.3110 | 25.4056 | 1.9757 | 0.0778 |
6 | 17 | 0.8680 | 18.2954 | 1.6780 | 0.0917 |
7 | 8 | 1.4249 | 9.6610 | 2.7590 | 0.2856 |
8 | 8 | 1.9819 | 3.7409 | 18.139 | 4.8491 |
В итоге получим = 7,2035
По таблице критических точек распределения ([1], стр. 465), по уровню значимости =0,05 и числу степеней свободы 8-3=5 находим
Т.к. , экспериментальные данные не противоречат гипотезе и о нормальном распределении случайной величины .
Для случайной величины :
Используя предполагаемый закон распределения, вычислим теоретические частоты по формуле
, где - объем выборки, - шаг (разность между двумя соседними вариантами, ,
1 | 7 | -1.4036 | 5.9274 | 1.1504 | 0.1941 |
2 | 16 | -0.7405 | 12.0665 | 15.4725 | 1.2823 |
3 | 19 | -0.0774 | 15.8248 | 10.0820 | 0.6371 |
4 | 6 | 0.5857 | 13.3702 | 54.3197 | 4.0627 |
5 | 6 | 1.2488 | 7.2775 | 1.6319 | 0.2242 |
6 | 5 | 1.9119 | 2.5519 | 5.9932 | 2.3485 |
7 | 1 | 2.5750 | 0.5765 | 0.1794 | 0.3111 |
В итоге получим =8.1783
По таблице критических точек распределения ([1], стр. 465), по уровню значимости =0,05 и числу степеней свободы 7 - 3=4 находим
Т.к. , экспериментальные данные не противоречат гипотезе и о нормальном распределении случайной величины .
6. Построить график функции плотности распределения случайной величины в одной системе координат с гистограммой.( взяв в качестве математического ожидания и дисперсии их статистические оценки и ) и вычислив значение функции в точках: , , а также в точке левее первого и правее правого промежутка группировки.
7. Выполнить задание 6 для случайной величины .
8. Найти доверительные интервалы для математических ожиданий и дисперсий случайных величин и , соответствующие доверительной вероятности .
Найдем доверительный интервал для математического ожидания :
Рассмотрим статистику , имеющую распределение Стъюдента с степенями свободы. Тогда требуемый доверительный интервал определится неравенством . И доверительный интервал для выглядит следующим образом:
Найдем по таблицам ([2], стр. 391). По =0,95 и =120 находим: =1,980. Тогда требуемый доверительный интервал примет вид:
То есть: (20,93721;26,12946).
Найдем доверительный интервал для математического ожидания :
Рассмотрим статистику , имеющую распределение Стъюдента с степенями свободы. Тогда требуемый доверительный интервал определится неравенством . И доверительный интервал для выглядит следующим образом:
Найдем по таблицам ([2], стр. 391). По =0,95 и =60 находим: =2,001. Тогда требуемый доверительный интервал примет вид:
То есть: (20,043;27,056).
Известно, что если математическое ожидание неизвестно, то доверительный интервал для дисперсии при доверительной вероятности имеет вид
Для случайной величины найдем:
.
Таким образом, имеем доверительный интервал: (162,8696; 273,8515).
Для случайной величины найдем
Таким образом, имеем доверительный интервал: (134,82; 277,8554).
(Квантили распределения найдены по таблице [3], стр. 413).
9. Проверить статистическую гипотезу при альтернативной гипотезе на уровне значимости .
Рассмотрим статистику
,
где
,
которая имеет распределение Стъюдента ,
Тогда область принятия гипотезы .
Найдем s:
Найдем значение статистики :
По таблице квантилей распределения Стъюдента ([2], стр. 391)
Т. к. , то гипотеза принимается. Предположение о равенстве математических ожиданий не противоречит результатам наблюдений.
10. Проверить статистическую гипотезу при альтернативной гипотезе на уровне значимости.
Рассмотрим статистику , где , т.к. . Эта статистика имеет распределение Фишера . Область принятия гипотезы
Найдем значение статистики :
По таблицам найдем . Т.к. , то гипотеза принимается. Предположение не противоречит результатам наблюдений.
Библиографический список
1. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 3. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для втузов / Под. ред. А.В. Ефимова. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. , 1990. – 428 с.
2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для студентов вузов. Изд. 4-е, стер. М.: Высш. Шк., 1997. – 400 с.: ил.
3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для втузов. Изд. 5-е, перераб. и доп. М., «Высш. школа», 1977.
4. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: 1969, 576 с.