Реферат: Обработка статистических данных и установление закона распределения случайных величин

ГОУ ВПО

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

кафедра

«Управление

эксплуатационной работой»

Расчетно-графическая работа

«Обработка статистических данных и

установление закона распределения

случайных величин»

Выполнил: Роднов Е.А.

студент 232 группы

Проверил: Виноградова Л.Л.

Хабаровск, 2007

В табл. 1 приведены моменты фактического прибытия поездов на станцию, полученные в результате натурных наблюдений.

Необходимо:

1. Составить статистический ряд интервалов прибытия грузовых поездов на сортировочную станцию.

2. Установить основные временные параметры входящего на станцию поездопотока (среднее значение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации).

3. Построить гистограмму распределения вероятностей появления интервалов между поездами.

4. Определить параметр в эрланговском распределении интервалов прибытия поездов в парк приема.

5. По внешнему виду гистограммы подобрать теоретический закон распределения.

6. Проверить по критерию согласия Пирсона и условию Романовского правдоподобность гипотезы о выбранном теоретическом распределении интервалов прибытия поездов в расформирование.

7. Рассчитать число бригад ПТО в парке приема (время на техническое обслуживание t _то принять равным 20 мин).

Таблица 1

Моменты фактического прибытия поездов на станцию

№ п/п	Время прибытия (ч, мин)	№ п/п	Время прибытия (ч, мин)	№ п/п	Время прибытия (ч, мин)	№ п/п	Время прибытия (ч, мин)	№ п/п	Время прибытия (ч, мин)
1	0-04	19	6-01	37	12-43	55	20-45	73	4-02
2	0-10	20	6-26	38	13-00	56	22-45	74	4-20
3	0-25	21	7-12	39	14-10	57	22-49	75	4-30
4	0-45	22	7-22	40	14-22	58	22-54	76	4-55
5	1-15	23	7-40	41	14-24	59	22-59	77	5-08
6	1-30	24	8-01	42	14-50	60	23-15	78	5-15
7	2-01	25	8-15	43	14-55	61	23-25	79	5-22
8	2-26	26	9-35	44	16-25	62	23-47	80	6-15
9	2-40	27	9-45	45	16-35	63	23-51	81	7-05
10	2-45	28	9-53	46	16-38	64	0-04	82	7-25
11	2-50	29	10-05	47	16-50	65	0-35	83	7-35
12	3-48	30	10-15	48	17-40	66	0-48	84	7-44
13	3-52	31	10-26	49	18-05	67	1-01	85	8-10
14	3-58	32	10-34	50	18-10	68	1-48	86	8-21
15	4-15	33	11-05	51	18-36	69	2-38	87	8-27
16	4-40	34	11-37	52	18-50	70	3-01	88	8-38
17	5-09	35	12-04	53	19-58	71	3-12	89	10-00
18	5-43	36	12-20	54	20-11	72	3-50

Решение

Интервалы прибытия определил путем вычитания предыдущего времени прибытия поезда из последующего и представил в табл. 2.

Таблица 2

Интервалы прибытия поездов

№ п/п	Интервал, мин	№ п/п	Интервал, мин	№ п/п	Интервал, мин	№ п/п	Интервал, мин	№ п/п	Интервал, мин	№ п/п	Интервал, мин	№ п/п	Интервал, мин	№ п/п	Интервал, мин	№ п/п	Интервал, мин
1	6	11	58	21	10	31	8	41	26	51	14	61	22	71	38	81	20
2	15	12	4	22	18	32	31	42	5	52	68	62	4	72	12	82	10
3	20	13	6	23	21	33	32	43	90	53	13	63	13	73	18	83	9
4	30	14	17	24	14	34	27	44	10	54	34	64	31	74	10	84	26
5	15	15	25	25	80	35	16	45	3	55	120	65	13	75	25	85	11
6	31	16	29	26	10	36	23	46	12	56	4	66	13	76	13	86	6
7	25	17	34	27	8	37	17	47	50	57	5	67	47	77	7	87	11
8	14	18	18	28	12	38	70	48	25	58	5	68	50	78	7	88	82
9	5	19	25	29	10	39	12	49	5	59	16	69	23	79	53
10	5	20	46	30	11	40	2	50	26	60	10	70	11	80	50

Группировка происходит по классам (разрядам). Количество классов К определил по формуле:

К = (1 + 3,21 ∙ lgn ), (1)

где n – общее число наблюдений.

К = (1 + 3,21 ∙ lg88) = 7, 24.

Принимаем количество классов К равным 8.

Величину интервала (шаг класса) группирования Iопределил по формуле:

, (2)

где х_max , х_min – наибольшее и наименьшее значения случайной величины.

Далее произвел группирование интервалов по разрядам. В процессе группирования установил, сколько интервалов m_i попало в разряд t_i – t_i+1 . Последующие расчеты основных параметров статистического ряда выполнил в форме табл. 3, в которую свел все промежуточные результаты вычислений.

Таблица 3

Обработка статистического ряда интервалов между моментами

прибытия поездов на станцию

№ п/п	Границы разрядов, t_i - t_i+1	Число интервалов в разряде, m_i	ЧастостьP_i	Среднее значение в разряде, t_i	t_i ∙ P	t_i ² ∙ P
1	2-16,75	46	0,523	9,375	4,901	45,943
2	16,75-31,5	25	0,284	24,125	6,854	165,345
3	31,5-46,25	5	0,057	38,875	2,209	85,867
4	46,25-61	6	0,068	53,625	3,656	196,066
5	61-75,75	2	0,023	68,375	1,554	106,253
6	75,75-90,5	3	0,034	83,125	2,834	235,560
7	90,5-105,25	0	0	97,875	0	0
8	105,25-120	1	0,011	112,625	1,280	144,141
Итого	88	1	23,287	979,176

Для каждого разряда наблюдаемых величин подсчитал их количество и определил частость.

Математическое ожидание М (х) определил по формуле:

, (3)

где – среднее значение разряда i .

М (х) = 9,375 ∙ 0,523 + 24,125 ∙ 0,284 + 38,875 ∙ 0,057 + 53,625 ∙ 0,068 + 68,375 ∙ 0,023 + 83,125 ∙ 0,034 + 97,875 ∙ 0 + 112,625 ∙ 0,011 = 23,287.

Дисперсию D ( x ) определил по формуле:

D ( x ) = M ² ( x ) – ( M [ x ])² , (4)

где – второй начальный момент случайной величины.

M ² ( x ) = 9,375² ∙ 0,523 + 24,125² ∙ 0,284 + 38,875² ∙ 0,057 + 53,625² ∙ 0,068 + 68,375² ∙ 0,023 + 83,125² ∙ 0,034 + 97,875² ∙ 0 + 112,625² ∙ 0,011 = 979,176.

D ( x ) = 979,176 – 23,287² = 436,892.

Среднее квадратическое отклонение – это квадратный корень из дисперсии:

. (5)

= 20,902.

Коэффициент вариации определяется как отношение среднего квадратического отклонение к математическому ожиданию:

. (6)

На основании расчетных характеристик (табл. 3) строится гистограмма распределения интервалов прибытия поездов (рис. 1).

Ординату гистограммы определил по формуле:

, (7)

где ∆ t_i = t_i ₊₁ – t_i шаг конкретного i -го разряда.

Рис. 1. Гистограмма распределения интервалов прибытия поездов

Параметр Эрланга определил по следующей формуле:

, (8)

Исходя из найденного значения параметра Эрланга и внешнего вида гистограммы, сделал предположение, что для данного распределения наиболее близок закон показательного теоретического распределения.

Теоретическая вероятность Р*_i интервалов определенной величины в их общей совокупности равна:

Р*_i = F(t_i ) – F(t_i _– ₁ ), (9)

где F(t_i ) и F(t_i _– ₁ ) – функция показательного распределения.

F(t_i ) = 1 – е^– ^λ ^ti ,

F(t_i–
1 ) = 1 – е^– ^λ ^ti–
1 ,

где λ – интенсивность поступления поездов на станцию

. (10)

Рассчитанные данные занесены в табл. 4.

Таблица 4

Характеристики распределения интервалов

между поступающими в переработку поездами

Границы разрядов, t_i - t_i+1	Число интервалов в разряде, m_i	λt	е^– ^λt	F(t_i )	Р*_i	nР*_i	m_i –nP*_i	(m_i –nP*_i )²	(m_i –nP_i )² /nР_i
2-16,75	46	0,086	0,918	0,082	0,429	37,731	8,269	68,376	1,8122
16,75-31,5	25	0,719	0,489	0,511	0,229	20,113	4,887	23,885	1,1875
31,5-46,25	5	1,353	0,261	0,739	0,122	10,721	-5,721	32,733	3,0531
46,25-61	6	1,986	0,139	0,861	0,065	5,715	0,285	0,081	0,0142
61-75,75	2	2,619	0,074	0,926	0,035	3,046	-1,046	1,095	0,3595
75,75-90,5	3	3,253	0,040	0,960	0,018	1,624	1,376	1,894	1,1660
90,5-105,25	0	3,886	0,021	0,979	0,010	0,866	-0,866	0,749	0,8657
105,25-120	1	4,520	0,011	0,989	0,005	0,461	0,539	0,290	0,6286
105,25-120	1	5,153	0,006	0,994	0,005	0,461	0,539	0,290	0,6286
88	9,0867

Как видно из последней графы табл. 4 критерий согласия Пирсона χ² = 9,0867.

Число степеней свободы rопределил по формуле:

r = R– S, (11)

где R– число разрядов; S – число наложенных связей.

r = 8 – 2 = 6.

Пользуясь специальной таблицей, определяется вероятность Р(χ² ) = 0,1736. Значит, гипотеза о показательном распределении интервалов поступления поездов на станцию не совсем правдоподобна.

По условию Романовского, гипотеза о принятом теоретическом законе распределения считается правдоподобной, если соблюдается следующее неравенство:

. (12)

, следовательно, расхождение между теоретическим и эмпирическим распределениями не столь существенно и гипотеза о показательном законе распределения интервала прибытия поездов на станцию правдоподобна.

Число бригад ПТО в парке приема рассчитал, исходя из условия:

, (13)

где I_p – расчетный интервал прибытия поездов; t _ТО – время на техническое обслуживание поезда одной бригадой; Б – число бригад.

, (14)

где I_min – минимальный интервал между поездами, прибывающими на станцию, I_min = 2 мин.

I_cp = M(t) = 23, 287.

= 12,64 мин.

Время на техническое обслуживание t _ТО принимается равным 20 мин.

Число бригад рассчитал из формулы (13) и округлил до целого числа, следовательно, принял 2 бригады ПТО.