Реферат: Решения к Сборнику заданий по высшей математике Кузнецова Л.А. - 2. Дифференцирование. Зад.20

Задача 20 . Показать, что функция удовлетворяет уравнению (1).

20.1.

y'= e^{-x^2/2} -x² e^{-x^2/2} = e^{-x^2/2} (1-x² )

xe^{-x^2/2} (1-x² )=xe^{-x^2/2} (1-x² )

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.2.

y'= (xcosx-sinx)/x²

(xcosx-sinx)/x+sinx/x=cosx

cosx=cosx

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.3.

y'= -10e^{-2 x} +e^x /3

-10e^-2x +e^x /3+10e^-2x +2e^x /3=e^x

e^x =e^x

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.4.

y'= -cx/√(1-x² )

-cx(1-x² )/√(1-x² )+2x+cx√(1-x² )=2x

2x=2x

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.5.

y'= √(1-x² )-x² /√(1-x² )= (1-2x² )/√(1-x² )

x √(1- x ² )(1-2 x ² ) = x-2x³

√(1-x² )

x-2x³ = x-2x³

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.6.

y'= c*tgx/cosx

c*tgx/cosx-c*tgx/cosx=0

0=0

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.7.

y'= 3/(3x+c)²

3/(3x+c)² =3/(3x+c)²

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.8.

y'= e^x /(c+e^x )

e^x /(c+e^x )= e^x /e^{ln(c+e^x)}

e^x /(c+e^x )=e^x /(c+e^x )

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.9.

dy= (2x-c)dx/(2√(x² -cx))

(x2+x2-cx)dx-(2x√(x2-cx)(2x-c)dx)/(2√(x² -cx))=0

0=0

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.10.

dy= (cx-xlnx+1)dx

(x-x(c-lnx))dx+x(cx-xlnx+1)dx=0

0=0

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.11.

y'= e^tgx/2 /(2cos² x/2)= e^tgx/2 /(cosx+1)

sinx*e^tgx/2 /(cosx+1)= e^tgx/2 lne^tgx/2

tgx/2= tgx/2

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.12.

y'= (1-x+1+x)/(1-x)² =2/(1-x)²

2/(1-x)² = 1-2 x + x ² +1+2 x + x ²

(1-x)² (1+x)

2/(1-x)² =2/(1-x)²

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.13.

y'= 1-b²

(1-bx)²

b+x – x( 1-b² ) = b + x² ( 1-b² )

1+bx (1-bx)² (1-bx)²

b + x ² (1-b² )=b + x ² (1-b² )

(1-bx)² (1-bx)²

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.14.

y'= 1-2x _

³ √(2+3x-3x² )²

(1-2x) ³ √(2+3x-3x² ) = 1-2x _

³ √(2+3x-3x² )^{2 3} √(2+3x-3x² )

1-2x _ = 1-2x _

³ √(2+3x-3x² ) ³ √(2+3x-3x² )

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.15.

y'= 4e^x = e^x _

4(1+e^x )√(ln((1+e^x )/2)² +1) (1+e^x )√(ln((1+e^x )/2)² +1)

e^x (1+e^x )√(ln((1+e^x )/2)² +1) = e^x

(1+e^x )√(ln((1+e^x )/2)² +1)

e^x =e^x

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.16.

dy= 3dx _

3xcos² ln3x

(1+tg² ln3x)dx = 3xdx _

3xcos² ln3x

dx/cos² ln3x= dx/cos² ln3x

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.17.

y'= 2/(x³ √(2/x² -1))

1+2/x² -1- 2x√(2/x² -1)/(x³ √(2/x² -1))=0

0=0

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.18.

y'= x-1 _

3x√(x-lnx-1)²

lnx+x-lnx-1-3x(x-1)√(x-lnx-1)² = 0

3x√(x-lnx-1)²

0=0

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.19.

y'= 7/(ax+1)²

a+7x/(ax+1) – 7x/(ax+1)² = a(1+7x² /(ax+1)² )

a(1+7x² /(ax+1)² )= a(1+7x² /(ax+1)² )

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.20.

y'= -a² _

2x² √(a/x-1)cos² √(a/x-1)

a² +a² tg² √(a/x-1)- 2a² x√(ax-x² ) = 0

2x² √(a/x-1)cos² √(a/x-1)

a² /cos² √(a/x-1) – a² /cos² √(a/x-1)=0

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.21.

y'= 1 _

8 ⁴ √(√x+√(x+1))

8x _ ⁴ √(√x+√(x+1)) = -1 _

8 ⁴ √(√x+√(x+1)) ⁴ √(√x+√(x+1))³ √(x+1)

-1 _ = -1 _

⁴ √(√x+√(x+1))³ √(x+1) ⁴ √(√x+√(x+1))³ √(x+1)

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.22.

y'= e^{x^2} (1+2x² +2x)

e^{x^2} (1+2x² +2x) – 2xe^{x^2} (1+x)=2xe^{x^2}

2xe^{x^2} =2xe^{x^2}

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.23.

y'= 2x² -4x⁵ -x⁶ -2x³ -1

x² (x³ +1)²

x(x³ +1)( 2x² -4x⁵ -x⁶ -2x³ -1) + (2x³ -1)(2x² +1) = x³ -2

x² (x³ +1)² x(x³ +1) x

x³ -2 = x³ -2

x x

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.24.

y'= (1+2x)e^{x+x^2} +2e^x

(1+2x)e^{x+x^2} +2e^x - e^{x+x^2} +2e^x = 2xe^{x+x^2}

2xe^{x + x ^2} =2xe^{x + x ^2}

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.25.

y'= -cosx-xsinx+3

-xcosx+x² sinx+3x = -xcosx+3x+ x² sinx

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.26.

y'= -cosx-1 _

2√(sinx+x)³

-2sinx(cosx+1) + cosx = xcosx-sinx

2√(sinx+x)³ √(sinx+x) √(sinx+x)³

xcosx-sinx = xcosx-sinx

√(sinx+x)³ √(sinx+x)³

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.27.

y'= 2 x ³ -4 x ² +2 x -1

(x-1)²

x ( x -1)(2 x ³ -4 x ² +2 x -1) + x/(x-1)+x² = x² (2x-1)

(x-1)²

x² (2x-1)= x² (2x-1)

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.28.

y'= (cosx+xsinx)/cos² x

(cosx+xsinx)/cos² x-xtgx/cosx = secx

1/cosx=secx

secx= secx

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.29.

y'= n(x+1)^n-1 (e^x -1)+(x+1)ⁿ e^x

n(x+1)^n-1 (e^x -1)+(x+1)ⁿ e^x - n(x+1)ⁿ (e^x -1)/(x+1) = (x+1)ⁿ e^x

(x+1)ⁿ e^x =(x+1)ⁿ e^x

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.30.

y'= 2xcosx-2sinx-x² sinx

x²

xsinx(2xcosx-2sinx-x² sinx) + (sinx-xcosx)(2sinx+xcosx) = sinxcosx-x

x² x

sinxcosx-x= sinxcosx-x

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.31.

y'= 2x-4x³ = 1-2x²

2√(x⁴ -x² ) √(x² -1)

-x√(x⁴ -x² )( 1-2x² ) - x⁴ +x² = x⁴

√(x² -1)

x⁴ = x⁴

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).