Реферат: Великая теорема Ферма 2

Содержание

1. Биография Ферма 3

2. Достижения в математике 4

3. Малая теорема Ферма 6

4. История Великой теоремы Ферма 7

Биография Ферма

“Пьер, сын Доминика Ферма, буржуа и второго консула города Бомона, крещен 20 августа 1601 г. Крестный отец - Пьер Ферма, купец и брат названного Доминика, крестная мать - Жанна Казнюв, и я”. Подпись отсутствует, но предыдущая запись подписана: “Дюма, викарий”. Этот документ искали полтора века и обнаружили лишь в 1846 г. благодаря усилиям адвоката Топиака. До этого считалось, что Ферма родился и умер в Тулузе, где 34 года исправно служил чиновником кассационной палаты Тулузского парламента. Маленький городок Бомон на левом берегу Гаронны вблизи Монтабане-на-Тарне и все его пять тысяч жителей по сей день не в силах осознать значимость находки адвоката. Здесь родился великий Ферма, последний математик-алхимик, замучивший человечество своими загадками, один из четырех титанов математики нового времени.

Пьер провел детство с родителями, а учиться поехал в Тулузу - ближайший университетский город. Изучив право, Пьер Ферма успешно начал карьеру адвоката, но решил перейти на государственную службу. Пьер женился на кузине своей матери Луизе де Лонг, дочери советника парламента. Благодаря тестю он дослужился до звания советника и приобрел вожделенную приставку “де”. В 1631 г. актом от 14 мая Ферма зачисляется на должность советника кассационной палаты Тулузкого парламента.

В семье гениального математика родились три сына и две дочери. Один сын стал юристом, два других священниками, а обе дочери Ферма приняли монашество.

В свой бурный век Ферма прожил основательно и тихо. Он не писал философских трактатов, не был наперсником французских королей, не воевал, не путешествовал, не создавал и не посещал математические кружки, не имел учеников и почти не печатался при жизни. Он изменил себе лишь перед смертью, опубликовав в Тулузе далеко не самые блестящие из своих находок в небольшом трактате “О сравнении кривых линий прямыми”. Всю свою жизнь Ферма провел в Тулузе, в той же должности, и неожиданно скончался в возрасте 64 лет во время поездки по делам службы. Жизнь его бедна внешними событиями, но следы, оставленные им в математике, таковы, что интерес к его личности не ослабевает.

Достижения в математике

Достижения Ферма относятся к разным разделам математики: к аналитической геометрии, теории чисел, анализу, вычислению интегралов и т.д. В теории чисел Ферма разработал способ систематического нахождения всех делителей произвольного числа, сформулировал теорему о возможности представления произвольного числа суммой не более четырех квадратов. С именем Ферма связаны две замечательные теоремы - большая (иногда ее называют последней) и малая. Ферма и Р. Декарт - основоположники аналитической геометрии. Кроме того, Ферма раньше Декарта и более систематизировано ввел прямолинейные координаты, изложил метод координат и применил его к геометрии, выведя уравнения прямой и кривых второго порядка. В работе "Введение к теории плоских и пространственных мест", ставшей известной в 1636 г., Ферма показал, что прямым соответствуют уравнения 1-й степени, а коническим сечениям - уравнения 2-й степени. Ферма исследовал общие виды уравнений 1-й и 2-й степени преобразованием координат. Важное место в истории дифференциального и интегрального исчисления заняла работа Ферма "Метод отыскания наибольших и наименьших значений", опубликованная лишь в 1679 г. В ней Ферма фактически осуществил операцию, называемую теперь дифференцированием, и применил ее для нахождения не только максимумов и минимумов, но и касательных к кривым. Ферма сформулировал общий закон дифференцирования дробных степеней; распространил формулу интегрирования степени на случаи дробных и отрицательных показателей.

Наследие Ферма неисчерпаемо по глубине содержания. Ферма своими работами способствовал развитию новых отраслей в математике: математического анализа, аналитической геометрии (одновременно с Декартом), теории вероятностей. Главным вкладом Ферма в алгебру явилась развитая им теория соединений или, как её ещё называют, комбинаторика. Отдельные задачи теории соединений были решены уже в древности греками и индийцами, но научная постановка этих вопросов возникла лишь в XVII веке в работах Ферма и его современника, знаменитого французского философа, математика и физика Блеза Паскаля. Исходя из основ комбинаторики, эти два учёных и положили начало новой математической науке, называемой теорией вероятностей, получившей в XVIII веке значительную теоретическую базу.

Ферма работал также над некоторыми вопросами физики, например, сформулировал так называемый принцип геометрической оптики, из которого выводятся законы отражения и преломления света (принцип Ферма).

Прижизненная известность Ферма основана на обильной переписке, в которой он донимал друзей и недругов необычными задачами. Его посмертная слава разрослась благодаря скромным пометкам на полях “Арифметики” Диофанта. Обычно человечеству необходимо несколько десятков лет, чтобы разобраться с наследием очередного неуемного гения. На окончательное осмысление загадок Ферма понадобилось без малого четыре века.

Малая теорема Ферма

Один из важнейших результатов Ферма получил специальное название “Малая теорема Ферма”. Это фундаментальный факт теории делимости на простые числа: для любого простого p и любого a ³ 1 , которое не делится на p , разность делится на p .

Например, пусть a =5, p =2, 3, 7, 11. Тогда 5^2-1 -1=2×2, 5^3-1 -1=3×8, 5^7-1 -1=7×2232, 5^11-1 -1=11×887784. Ферма высказал эту теорему в письме Френиклю де Бесси в 1640 г. с обычным для него замечанием: “... я бы Вам прислал доказательство, если бы не опасался быть слишком длинным”.

Первое доказательство “Малой теоремы Ферма” дал Лейбниц. Затем Эйлер, начиная с 1736 г., опубликовал сразу три различных доказательства, которые показывают, что Ферма вполне мог уметь доказывать свою теорему. Потомки часто искали элементарные доказательства утверждений Ферма, пытаясь понять, насколько лукавил великий тулузец. Проблемы Ферма волновали Эйлера на протяжении всей жизни. В 1760 г. он получил существенное обобщение его “Малой теоремы”: пусть j (m ) - число натуральных чисел, не превосходящих m и взаимно простых с m . Тогда для любого m и любого a ³ 1 , взаимно простого с m , разность a ^{j (m )} -1 делится на m . Эту терему Эйлер скромно опубликовал в качестве четвертого доказательства “Малой теоремы Ферма”.

История Великой теоремы Ферма

Наконец, мы переходим к изложению самой знаменитой теоремы в истории математики. Эта теорема получила известность как “Великая теорема Ферма” (она же “Большая”, она же “Последняя”). На современном языке это звучит так:

не существует отличных от нуля целых чисел x, y и z, для которых имеет место равенство

(*)

при n>2 .

Разумеется, никакого уравнения у Ферма не было. Он вообще не знал знака равенства, а использовал латинское eq . Приводим утверждение Ферма в оригинальном виде:

“Куб, однако, на два куба или квадроквадрат на два квадроквадрата и вообще никакую до бесконечности сверх квадрата степень в две того же названия невозможно разделить ”. И не поставив точку, Ферма приписал: ”я открыл поистине удивительное доказательство этого предложения. Но оно не умещается на узких полях“.

Она-то, эта запись, и явилась причиной последующей грандиозной суматохи вокруг теоремы.

Этой фразой Ферма прокомментировал задачу из Диофанта: “Заданный квадрат разложить на два квадрата”. Данное замечание является вторым по счету из сделанных им на полях “Арифметики”. Первое касалось житейских тем.

Неопределенные уравнения (т. е. уравнениями с двумя неизвестными) вида x ² + y ² = z ² интересовали древних греков в связи с теоремой Пифагора. Они искали (и находили) тройки целых чисел, образующие стороны прямоугольного треугольника. Это означает, что при n =1, 2 уравнение (*) имеет бесчисленное множество решений. Догадка Ферма заключалась в том, что при всех прочих n таких троек не существует.

В отношении Ферма достоверно известно, что он доказал “Великую теорему” при n =4 на полях все той же “Арифметики”. И это единственное теоретико-числовое доказательство Ферма, дошедшее до наших дней. На протяжении 20 лет Ферма упорно старался привлечь внимание математиков к “Великой теореме”, предлагая частные случаи в качестве задач. Случай n =3 он формулирует в пяти письмах, причем в последнем письме (от августа 1659 г.) пишет, что доказал теорему для n =3 методом спуска. Между тем “Великую теорему” для общего случая n> 2 Ферма сформулировал только один раз в упомянутом замечании на полях “Арифметики”. Он не формулирует ее ни разу ни в одном из писем. Он предлагает только частные случаи (n =3, 4), в отношении которых уверенно говорит, что располагает доказательством. Даже в письме к де Каркави от 1659 г., в котором Ферма перечисляет свои основные достижения, о “Великой теореме” в общем виде нет ни слова. Это может означать только одно: Ферма обнаружил пробелы в своем “поистине удивительном доказательстве”, которые так и не смог устранить.

Разумеется, это не охладило потомков. Начиная с конца XVII в. началась невиданная по своей напряженности гонка за доказательством “Великой теоремы Ферма”. Обманчивая простота формулировки теоремы обрекла тысячи поклонников математики на бесплодные поиски доказательства или опровержения теоремы. Более ста лет никому из ученых не удавалось продвинуться вперед даже при рассмотрении частных случаев конкретных значений показателя n .

Первый серьезный результат был получен Эйлером (1768). Он показал, что случай n =4 уникален. Это единственный частный вариант “Великой теоремы ”, когда доказательство имеет вполне элементарный характер. Уже при n=3 возникают значительные осложнения. Настолько существенные, что появляется повод в очередной раз сомневаться в честности Ферма. Эйлер доказал теорему для случая n =3, рассматривая комплексные числа вида , где a , b - целые числа. Строго говоря, доказательство Эйлера было дефектным, поскольку он необоснованно перенес ряд свойств обычных чисел на числа вида . В частности он предполагал единственность разложения таких чисел на простые множители. Для устранения пробелов в доказательстве Эйлера понадобились принципиально новые алгебраические абстракции: числовые кольца и поля. Реализацию этой программы начал Гаусс, которому принадлежит первое абсолютно строгое доказательство “Великой теоремы Ферма” для n =3.

Доказательство для случая n=5 предложили почти одновременно в атмосфере острого соперничества два француза: Лежен Дирихле и Лежандр (1825). Оба доказательства были очень сложными. В 1839 г. теорема Ферма была доказана для следующего простого показателя n=7 . Это удалось благодаря титаническим усилиям Ламе. Он же в 1847 г. объявил, что доказал теорему для всех простых показателей n >3. Однако бдительный Лиувиль сразу же обнаружил в рассуждениях Ламе ошибку, сходную с той, которую допустил Эйлер. Ламе был вынужден признать свое поражение.

Пока во Франции происходили эти события, в Германии молодой математик Куммер упорно занимается теоремой Ферма. Повторив все ошибки Ламе, он пришел к понятию “идеальных чисел”, для которых разложение на простые множители единственно. Обобщение этого понятия привело к созданию головокружительных абстрактных конструкций, которые сегодня изучаются в специальном разделе алгебры под названием “Теория идеалов”. Куммер, посвятивший теореме несколько десятков лет, к концу жизни умел доказывать “Великую теорему Ферма” для всех простых показателей n <100. В 1857 г. ему была вручена премия Французской академии наук в размере 3 тыс. франков. Работы Куммера окончательно похоронили надежды на возможность доказательства теоремы Ферма элементарными средствами. Стало ясно, что Ферма никогда не имел и не мог иметь доказательства теоремы в общем виде.

После Куммера серьезных сдвигов в доказательстве теоремы Ферма не происходило вплоть до 1929 г., когда Вандивер, используя метод Куммера, получил в явном виде некие условия, позволяющие проверять истинность теоремы для любого простого показателя. С этого момента доказательство теоремы для конкретного n свелось к чисто вычислительным проблемам, с которыми легко справляются современные ЭВМ. В результате, к концу семидесятых годов двадцатого века, “Великая теорема Ферма” была доказана для всех n <100000. Это очень большое число, но это еще не все n , а значит “Великая теорема Ферма” не доказана и не опровергнута.

“Великая теорема” обернулась проклятием для десятков, может быть сотен тысяч людей, имевших несчастье вникнуть в ее формулировку и заразиться желанием испытать свои силы. Вступившие на эту стезю уже не внимали никаким доводам рассудка. Иллюстрацией может служить анекдотичная телеграмма, пришедшая в Президиум АН СССР: “Доказал теорему Ферма. Основная идея перенести игрек энной в правую часть. Подробности письмом”.

Ведущие математики всех времен и народов неоднократно объясняли, что элементарное доказательство теоремы Ферма, во-первых, не существует, а во-вторых, не будет иметь никакого значения для науки. Оно всего лишь закроет проблему. Подлинное значение “Великой теоремы” в том, что при попытках ее доказательства были выкованы мощные средства, приведшие к созданию новых обширных разделов математики.

Движение “ферматистов” приняло невероятный размах, после того, как в 1908 г. немецкий любитель математики Вольфскель завещал 100000 марок тому, кто докажет теорему Ферма. Право присуждения премии предоставлялось Гетингенской академии Германии. Немедленно тысячи людей стали бомбардировать научные общества и редакции журналов рукописями, якобы содержащими доказательство “Великой теоремы”. Только в Геттингенское математическое общество за первые три года после объявления завещания Вольфскеля пришло более тысячи “доказательств”. Педантичные немцы даже заготовили бланки: “Ваше доказательство содержит ошибку на стр. ____, которая заключатся в том, что ____________”.

После первой мировой войны во время инфляции премия Вольфскеля обесценилась, но поток доказательств не прекратился.

В то время в кругу математиков появилось полупрезрительное прозвище - ферматист. Так называли всякого самоуверенного выскочку, которому не хватало знаний, но зато с лихвой хватало амбиций для того, чтобы второпях попробовать силы в доказательстве Великой теоремы, а затем, не заметив собственных ошибок, гордо хлопнув себя в грудь, громко заявить: "Я первый доказал теорему Ферма!".

Финал этой истории банален. В 1993 г. все ведущие информационные агентства передали сообщение о том, что двум американским математикам удалось доказать теорему Ферма в общем виде.

В энциклопедии "Британника" (Britannica) за 2002 год обо всем сказанном выше подробно написано в обширной статье: "Fermat, Pierre de". А в еще более обширной статье "Theorem" приводятся истории появления, содержания и решения других подобных Теорем. Но в этом ряду Теорема Ферма по своему содержанию, истории и интересу вне конкуренции. В этой же энциклопедии в заключение зафиксировано: "Используя новейшие методы алгебраической геометрии, английский математик Эндрю Уайлс (Andrew Wiles) при участии своего бывшего ученика Ричарда Тейлора (Richard Taylor) представили решение Последней Теоремы Ферма в общем виде и опубликовали его в 1995 году в журнале "Annals of Mathematics".

Через полгода в нашей прессе выступил крупнейший алгебраист акад. Фадеев, который подтвердил факт доказательства. XX век покончил с “Великой теоремой Ферма” тихо и буднично. При помощи обычной теории идеалов.