Скачать .docx | Скачать .pdf |
Курсовая работа: Алгебраические группы матриц
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
"Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины"
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Курсовая работа
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ МАТРИЦ
Исполнитель:
студентка группы H.01.01.01 М-42
Мариненко В.В.
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
профессор Скиба С.В.
Гомель 2003
Содержание
1. Алгебраические группы матриц
1.1 Примеры алгебраических групп матриц
1.3 Компоненты алгебраической группы
3 Линейные отображения. Действия с матрицами
Список использованных источников
Множество матриц
-ой степени над
будем рассматривать как аффинное пространство
с имеющейся на ней полиномиальной топологией. Алгебраические группы матриц
определяются как невырожденные части алгебраических множеств из
, являющиеся группами относительно обычного матричного умножения. Простейший пример такой группы - общая линейная группа
. В настоящем параграфе мы начнем систематическое изучение алгебраических матричных групп.
Все топологические понятия относятся к полиномиальной топологии; черта обозначает замыкание в , диез - замыкание в
, бемоль - взятие невырожденной части, т. е.
- совокупность всех невырожденных матриц из
. Иногда, допуская вольность, мы употребляем для групп те же понятия, что и для подлежащих алгебраических множеств, - например, говорим об общих точках групп; это не должно вызывать недоразумений.
1. Алгебраические группы матриц
1.1 Примеры алгебраических групп матриц
Классические матричные группы - общая, специальная, симплектическая и ортогональная :
где
- единичная матрица и штрих обозначает транспонирование.
Диагональная группа
, группы клеточно-диагональных матриц данного вида. Треугольная группа
(для определенности --- с нижним нулевым углом), унитреугольная группа
(треугольные матрицы с единичной диагональю), группы клеточно-треугольных матриц данного вида.
Централизатор произвольного множества из в алгебраической группе
, нормализатор замкнутого множества из
в
.
Пересечение всех алгебраических групп, содержащих данное множество матриц из
--- алгебраическая группа. Она обозначается
и называется алгебраической группой, порожденной множеством
.
Каждую алгебраическую линейную группу из можно изоморфно --- в смысле умножения и полиномиальной топологии --- отождествить с замкнутой подгруппой из
в силу формулы
Такое отождествление позволяет при желании ограничиться рассмотрением только таких групп матриц, которые сами являются алгебраическими множествами (а не их невырожденными частями). Это дает другое оправдание тем вольностям в терминологии, которые упоминались в начале параграфа.
Множество всех матриц из , оставляющих инвариантной заданную невырожденную билинейную форму
на
.
Пусть --- алгебра над
конечной размерности
(безразлично, ассоциативная или нет),
--- группа всех ее автоморфизмов. Фиксируя в
какую-нибудь базу
и сопоставляя автоморфизмам алгебры
их матрицы в этой базе, мы получим на
строение алгебраической группы. Действительно, пусть
т. е. --- структурные константы алгебры
. Пусть далее
где . Тогда
задается в матричных координатах
очевидными полиномиальными уравнениями, вытекающими из соотношений
Указать в приведенных выше примерах определяющие уравнения, найти общую точку, если она есть.
В дальнейшем нам встретится еще много примеров и конструкций алгебраических матричных групп.
1.1.1
Если матричная группа содержит алгебраическую подгруппу
конечного индекса, то
сама алгебраическая.
Доказательство. Пусть - аннулятор группы
в
,
- его корень в
. Надо показать, что
. Пусть, напротив,
. Пусть
- смежные классы
по
. Для каждого
выберем многочлен
и положим
Очевидно, ,
. Получили противоречие.
Пусть --- алгебраическая группа,
,
--- подмножество и замкнутое подмножество из
. Тогда множества
где , замкнуты. Если
тоже замкнуто и
--- общее поле квазиопределения для
,
,
, то
,
,
квазиопределены над
. В частности, если существует хотя бы одно
с условием
(соответственно,
,
), то можно считать, что
(см. 7.1.5).
Если на множестве выполняется теоретико-групповое тождество
, то оно выполняется и на его замыкании
. В частности, коммутативность, разрешимость, нильпотентность матричной группы сохраняются на ее замыкании в полиномиальной топологии.
1.2 О полугруппах
Определим действие элементов из на рациональные функции из
,
, полагая
Для каждого отображение
(сдвиг аргумента) есть автоморфизм поля
. Отображение
есть изоморфизм полной линейной группы
в группу автоморфизмов расширения
.
Имеет место следующее предложение.
1.2.1
Все замкнутые (в полиномиальной топологии) полугруппы из являются группами. Более общно: замыкание
произвольной полугруппы
--- группа. Более точно: если
--- аннулятор
в
, то
совпадает с
Здесь вместо можно написать
.
Доказательство. Во-первых, и, значит,
. Действительно, если
,
и
, то
, т. е.
. Подпространство
многочленов из
степени
отображается оператором
на себя, так как оно конечномерно, а опрератор обратим. Но тогда и всё
отображается на себя, как объединение всех
.
Во-вторых, , т. е.
для каждого
. Действительно, пусть
. По уже доказанному,
. Найдём
с условием
. Тогда
.
В-третьих, , т. е.
для всех
,
. Действительно,
. Предложение доказано.
Таким образом, теория алгебраических полугрупп из исчерпывается теорией алгебраических групп.
Отметим ещё одно полезное предложение.
1.2.2
Пусть алгебраическая группа неприводима, т. е.
--- многообразие,
--- густое подмножество, плотное в
. Тогда каждый элемент
является произведением двух элементов из
; в частности, если
--- подгруппа, то она совпадает с
.
Доказательство. Множества и
тоже густые и плотные, поэтому пересечение
непусто (см. п. 8.2).
Если --- полугруппа из
, то
.
1.3 Компоненты алгебраической группы
Пусть --- алгебраическая группа матриц. Невырожденные части компонент её подлежащего многообразия
называеются компонентами
группы
. наличие в
групповой структуры позволяет высказать о компонентах ряд важных утверждений, отсутствующих в случае произвольного многообразия.
1.3.1
Теорема. Пусть --- алгебраическая группа матриц. Её компонента
, содержащая единицу, единственна и является нормальной подгруппой. Остальные компоненты --- смежные классы
по
(в частности, они являются связными компонентами группы
в полиномиальной топологии).
--- единственная связная замкнутая подгруппа конечного индекса в
. Аннулятор
компоненты
связан с аннулятором
всей группы
следующим образом:
для
некоторого
, зависящего от
, где
--- аннулятор единицы в
,
--- некоторый многочлен из
.
Доказательство. а) Пусть --- общее поле определения всех компонент
группы
. Пусть
,
содержат единицу
,
,
--- их независимые общие точки над
и
,
. Имеем специализации
над , откуда
,
,
. Этим доказана единственность компоненты
.
б) Очевидно, что отображения
являются гомеоморфизмами пространства . Так как
инвариантна относительно них, то
--- нормальная подгруппа группы
.
в) Пусть . Тогда
при фиксированном
--- снова все компоненты группы
. В частности,
,
. Этим доказано, что
--- смежные классы
по
и, значит, связные компоненты группы
.
г) Если --- связная замкнутая подгруппа группы
, то, предыдущему,
. Если, кроме того,
конечного индекса, то она той же размерности, что и
, потому совпадает с
.
д) Для каждого возьмем многочлен
Пусть --- точка из
, в которой
. Рассмотрим многочлен
Он искомый. В самом деле, очевидно, . Оба включения справа налево очевидны (использовать простоту идеала
). Остается доказать включение
Пусть ,
. Имеем:
Если , то
, если же
,
, то
. В любом случае
. Следовательно,
. Теорема доказана.
Мы видим, в частности, что для алгебраической группы неприводимость и связность в полиномиальной топологии --- одно и то же; в дальнейшем мы будем пользоваться только вторым термином, чтобы избежать путаницы с понятием матричной приводимости групп (к полураспавшейся форме).
Доказать, что связанная компонента единицы алгебраической группы содержится в любой замкнутой подгруппе конечного индекса.
Подгруппа алгебраической группы
тогда и только тогда замкнута, когда замкнуто её пересечение со связной компонентой единицы
.
<<Только тогда>> очевидно. <<Тогда>> вытекает из 9.1.9, если заметить, что
Конечная нормальная подгруппа связной алгебраической группы
всегда лежит в центре
.
В заключение отметим, что если в качестве универсальной области выбрано поле комплексных чисел , то в алгебраической группе можно рассматривать две топологии --- полиномиальную и евклидову. Ясно, что вторая тоньше первой, поэтому, в частности, евклидова связная компонента единицы содержится в полиномиальной связной компоненте. Можно было бы доказать и обратное, т. е. на самом деле связные компоненты комплексной алгебраической группы в обеих топологиях одни и те же. Этот результат становится неверным, если рассматривать
-порцию комплексной алгебраической группы (по поводу определения см. следующий пункт).
1.4. О
-группах
Пусть - поле. По определению, алгебраическая
-группа
--- это группа матриц из
, выделяемая полиномиальными уравнениями с коэффициентами в
. Иначе можно сказать, что это
-порция, т. е. пересечение с
, некоторой алгебраической группы, квазиопределенной над
. Обычные алгебраические группы тоже можно трактовать как
-группы по отношению к некоторой большей универсальной области
. В этом смысле понятие алгебраической
-группы является более общим, так как от
не требуется ни алгебраической замкнутости, ни бесконечной степени трансцендентности над простым полем.
В свойствах алгебраических групп и -групп много общего. Имеется сандартный способ перехода от первых ко вторым --- посредством поля определения (в чём и состоит основное значение этого понятия). Нам не раз представится возможность продемонстрировать этот способ. В целом же
-группы в нашем изложении останутся на заднем плане, лишь иногда выходя на авансцену.
Многие результаты о -группах по формулировке и доказательству вполне аналогичны результатам об абсолютных алгебраических группах (в
) и опираются на сведения из алгебраической геометрии для
-множеств, (по определению, алгебраическое
-множество
выделяется в
уравнениями с коэффициентами из
).
2.1 Возвращение к уравнениям
В арифметическом линейном пространстве столбцов высоты
рассмотрим
векторов
и их линейную оболочку . Пусть дан еще один вектор
. Спрашивается, принадлежит ли
подпространству
, а если принадлежит, то каким образом его координаты
выражаются через координаты векторов
. В случае
вторая часть вопроса относится к значениям координат вектора
в базисе
. Мы берем линейную комбинацию векторов
с произвольными коэффициентами
и составляем уравнение
. Наглядный вид этого уравнения
есть лишь иная запись системы из линейных уравнений с
неизвестными:
Первое впечатление таково, что мы вернулись к исходным позициям, потеряв время и ничего не выиграв. На самом же деле мы располагаем теперь рядом важных понятий. Осталось приобрести навыки в обращении с ними.
В этом месте удобно условиться в обозначениях. В дальнейшем для сокращения записи мы часто будем обозначать сумму значком
. При этом
--- величины произвольной природы (числа, векторы-строки и т. д.), для которых выполнены все законы сложения чисел или векторов. Правила
достаточно понятны, чтобы их нужно было разъяснять. Будут рассматриваться также двойные суммы ,
в которых порядок суммирования (по первому и по второму индексу) можно выбирать по своему желанию. Это легко понять, если расположить величины в прямоугольную матрицу размера
: в нашей воле начинать суммирование элементов матрицы по строкам или по столбцам.
Другие возможные типы суммирования будут разъясняться в нужном месте.
2.2 Ранг матрицы
Назовем пространством столбцов
прямоугольной матрицы размера
введенное выше пространство
, которое мы будем обозначать теперь символом
или просто
(в --- вертикальный). Его размерность
назовем рангом по столбцам матрицы
. Аналогично вводится ранг по строкам матрицы
:
, где
--- подпространство в
, натянутое на векторы-строки
,
(г --- горизонтальный). Другими словами,
- ранги систем векторов-столбцов и соответственно векторов-строк. По теореме о существовании конечного базиса у подпространства величины
и
определены правильно.
Будем говорить, что матрица получена из
при помощи элементарного преобразования типа
(I), если
для какой-то пары индексов
и
для
. Если же
для всех
и
,
, то говорим, что к
применено элементарное преобразование типа
(II).
Заметим, что элементарные преобразования обоих типов обратимы, т. е. матрица , получающаяся из
при помощи одного элементарного преобразования, переходит снова в
путем применения одного элементарного преобразования, причем того же типа.
2.2.1
Лемма. Если матрица получена из прямоугольной матрицы
путем применения конечной последовательности элементарных преобразований, то имеют место равенства:
(i)
(ii)
Доказательство. Достаточно рассмотреть тот случай, когда получена из
путем применения одного элементарного преобразования (сокращенно э. п.).
(i) Так как, очевидно, , то э. п. типа (I) не меняет
. Далее,
и, следовательно,
, так что
не меняется и при э. п. типа (II).
(ii) Пусть --- столбцы матрицы
. Нам нужно доказать, что
Тогда всякой, в том числе и максимальной, независимой системе столбцов одной матрицы будет отвечать независимая система столбцов с теми же номерами другой матрицы, чем и устанавливается равенство . Заметим еще, что в силу обратимости элементарных преобразований достаточно доказать импликацию в одну сторону. Пусть, например,
. Тогда, заменяя в (1)
на
и все
на 0, мы видим, что
--- решение однородной системы ОС, ассоциированной с линейной системой (2). По соответствующей теореме это решение будет также решением однородной системы
, получающейся из ОС при помощи э. п. типа (I) или (II) и имеющей своей матрицей как раз матрицу
. Так как система
кратко записывается в виде
, то мы приходим к соотношению
Основным результатом этого параграфа является следующее утверждение:
2.2.2
Теорема. Для любой прямоугольной -матрицы
справедливо равенство
(это число называется просто рангом матрицы
и обозначается символом
).
Доказательство. Т. к. конечным числом элементарных преобразований, совершаемых над строками , матрицу
можно привести к ступенчатому виду:
с . Согласно лемме
так что нам достаточно доказать равенство
.
Столбцы матриц и
с номерами
, отвечающими главным неизвестным
линейной системы (2), будем называть базисными столбцами. Эта терминология вполне оправдана. Предположив наличие соотношения
связывающего векторы-столбцы ,
,
матрицы (3), получим последовательно:
,
,
,
,
, а так как
, то
. Значит,
и
. Но пространство
, порожденное столбцами матрицы
, отождествляется с пространством столбцов матрицы, которая получается из
удалением последних
нулевых строк. Поэтому
. Сопоставление двух неравенств показывает, что
(неравенство
вытекает также из того очевидного соображения, что все столбцы матрицы
являются линейными комбинациями базисных; проделайте это самостоятельно в качестве упражнения).
С другой стороны, все ненулевые строки матрицы линейно независимы: любое гипотетическое соотношение
как и в случае со столбцами, дает последовательно ,
,
,
. Откуда
. Стало быть,
2.3 Критерий совместности
Ступенчатый вид матрицы , дающий ответ на ряд вопросов относительно линейных систем, содержит элементы произвола, связанные, например, с выбором базисных столбцов или, что эквивалентно, с выбором главных неизвестных системы (2). В то же время из теоремы 1 и из ее доказательства извлекается
Следствие. Число главных неизвестных, линейной системы (2) не зависит от способа приведения ее к ступенчатому виду и равно , где
--- матрица системы.
Действительно, мы видели, что число главных неизвестных равно числу ненулевых строк матрицы (см. (3)), совпадающему, как мы видели, с рангом матрицы
. Ранг определялся нами совершенно инвариантным образом. Этими словами выражается тот факт, что ранг матрицы служит ее внутренней характеристикой, не зависящей от каких-либо привходящих обстоятельств.
В следующей главе мы получим эффективное средство для вычисления ранга матрицы , устраняющее необходимость приведения
к ступенчатому виду. Это, несомненно, повысит ценность утверждений, основанных на понятии ранга. В качестве простого, но полезного примера сформулируем критерий разрешимости линейной системы.
2.3.3 Теорема. (Кронекер - Капелли) Система линейных уравнений (2) совместна тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы совпадает с рангом расширенной матрицы
Доказательство. Совместность линейной системы (2), записанной в виде (1), можно трактовать как вопрос о представлении вектора-столбца свободных членов в виде линейной комбинации векторов-столбцов
матрицы
. Если такое представление возможно (т. е. система (2) совместна), то
и
, откуда
(см. формулировку теоремы 1).
Обратно, если ранги матриц и
совпадают и
--- какая-то максимальная линейно независимая система базисных столбцов матрицы
, то расширенная система
будет линейно зависимой, а это означает, что
--- линейная комбинация базисных (и тем более всех) столбцов
. Стало быть, система (2) совместна.
3. Линейные отображения. Действия с матрицами
3.1 Матрицы и отображения
Пусть и
--- арифметические линейные пространства столбцов высоты
и
соответственно. Пусть, далее,
--- матрица размера
. Определим отображение
, полагая для любого
где --- столбцы матрицы
. Так как они имеют высоту
, то в правой части (1) стоит вектор-столбец
. Более подробно (1) переписывается в виде
Если ,
то .
Аналогично .
Обратно, предположим, что --- отображение множеств, обладающее следующими двумя свойствами:
(i) для всех
;
(ii) для всех
.
Тогда, обозначив стандартные базисные столбцы пространств и
соответственно символами
и
, мы воспользуемся свойствами (i), (ii) в применении к произвольному вектору
:
Соотношение (2) показывает, что отображение полностью определяется своими значениями на базисных векторах-столбцах. Положив
мы обнаруживаем, что задание равносильно заданию прямоугольной матрицы
размера
со столбцами
, а соотношения (1) и (2) фактически совпадают. Стало быть, можно положить
.
3.1.1 . Определение. Отображение , обладающее свойствами (i), (ii), называется линейным отображением
из
в
. Часто, в особенности при
, говорят о линейном преобразовании
. Матрица
называется матрицей линейного отображения
.
Пусть ,
--- два линейных отображения
с матрицами
и
. Тогда равенство
равносильно совпадению значений
для всех
. В частности,
, откуда
и
.
Резюмируем наши результаты:
3.1.2
Теорема. Между линейными отображениями в
и матрицами размера
существует взаимно однозначное соответствие.
Следует подчеркнуть, что бессмысленно говорить о линейных отображениях произвольных множеств
и
. Условия (i), (ii) предполагают, что
и
--- подпространства арифметических линейных пространств
,
.
Обратим внимание на специальный случай , когда линейное отображение
, обычно называемое линейной функцией
от
переменных, задается
скалярами
:
Линейные функции (4), равно как и произвольные линейные отображения при фиксированных
и
можно складывать и умножать на скаляры. В самом деле, пусть
--- два линейных отображения. Отображение
определяется своими значениями:
В правой части стоит обычная линейная комбинация векторов-столбцов.
Так как
то - линейное отображение. По теореме 1 можно говорить о его матрице
. Чтобы найти
, выпишем, следуя (3), столбец с номером
:
Матрицу с элементами
естественно назвать линейной комбинацией матриц
и
с коэффициентами
и
:
Итак, .
Особенно часто нами будет использоваться тот факт, что линейные комбинации линейных функций снова являются линейными функциями.
3.2 Произведение матриц
Соотношения (5) и (6) выражают согласованность действий сложения и умножения на скаляры в множествах матриц размера и отображений
. В случае произвольных множеств имеется еще важное понятие произведения (композиции) отображений. Разумно ожидать, что композиция двух линейных отображений должна выражаться неким согласованным образом в терминах матриц. Посмотрим как это делается.
Пусть ,
--- линейные отображения,
--- их композиция.
Вообще говоря, нам следовало бы предварительно проверить, что --- линейное отображение, но это довольно ясно:
(i) ;
(ii) ;
поэтому по теореме 1 с ассоциируется вполне определенная матрица
.
Действие отображений на столбцы в цепочке запишем в явном виде по формуле ():
С другой стороны,
Сравнивая полученные выражения и памятуя о том, что --- произвольные вещественные числа, мы приходим к соотношениям
Будем говорить, что матрица получается в результате умножения
матрицы
на матрицу
. Принято писать
. Таким образом, произведением прямоугольной матрицы
размера
и прямоугольной матрицы
размера
называется прямоугольная матрица
размера
с элементами
, задающимися соотношением (7). Нами доказана
3.2.1
Теорема. Произведение двух линейных отображений с матрицами
и
является линейным отображением с матрицей
. Другими словами,
Соотношение (8) - естественное дополнение к соотношению (6).
Мы можем забыть о линейных отображениях и находить произведение двух произвольных матриц
,
, имея в виду, однако, что символ
имеет смысл только в том случае, когда число столбцов в матрице
совпадает с числом строк в матрице
. Именно при этом условии работает правило (7) "умножения
-й строки
на
-й столбец
", согласно которому
Число строк, матрицы равно числу строк матрицы
, а число столбцов --- числу столбцов матрицы
.
В частности, произведение квадратных матриц одинаковых порядков всегда определено, но даже в этом случае, вообще говоря,
, как показывает хотя бы следующий пример:
Умножение матриц, конечно, можно было бы вводить многими другими способами (умножать, например, строки на строки), но ни один из этих способов не сравним по важности с рассмотренным выше. Это и понятно, поскольку мы пришли к нему при изучении естественной композиции (суперпозиции) отображений, а само понятие отображения относится к числу наиболее фундаментальных в математике.
Следствие. Умножение матриц ассоциативно:
Действительно, произведение матриц соответствует произведению линейных отображений (теорема 2 и соотношение (8)), а произведение любых отображений ассоциативно. К тому же результату можно прийти вычислительным путем, используя непосредственно соотношение (7).
3.3 Квадратные матрицы
Пусть (или
) --- множество всех квадратных матриц (
) порядка
с вещественными коэффициентами
,
Единичному преобразованию , переводящему каждый столбец
в себя, соответствует, очевидно, единичная матрица
Можно записать , где
- символ Кронекера
. Правило (7) умножения матриц, в котором следует заменить на
, показывает, что справедливы соотношения
Матричные соотношения (10), полученные вычислительным путем, вытекают, конечно, из соотношений для произвольного отображения
, если воспользоваться теоремой 1 и равенством (8) с
.
Как мы знаем (см. (5)), матрицы из можно умножать на числа, понимая под
, где
, матрицу
.
Но умножение на скаляр (число) сводится к умножению матриц:
- известная нам скалярная матрица.
В равенстве (11) отражен легко проверяемый факт перестановочности с любой матрицей
. Весьма важным для приложений является следующее его обращение.
3.3.1
Теорема. Матрица из , перестановочная со всеми матрицами в
, должна быть скалярной.
Доказательство. Введем матрицу , в которой на пересечении
-й строки и
-го столбца стоит 1, а все остальные элементы --- нулевые. Если
--- матрица, о которой идет речь в теореме, то она перестановочна,
Перемножая матрицы в левой и правой частях этого равенства, мы получим матрицы
с единственным ненулевым -м столбцом и соответственно с единственной ненулевой
-й строкой. Их сравнение немедленно приводит к соотношениям
при
и
. Меняя
и
, получаем требуемое.
Отметим еще соотношения , которые непосредственно вытекают из определения умножения матриц на скаляры или, если угодно, из соотношений (11) и из ассоциативности умножения матриц.
Для данной матрицы можно попробовать найти такую матрицу
, чтобы выполнялось условие
Если матрица существует, то условию (12) в терминах линейных преобразований отвечает условие
означающее, что --- преобразование, обратное к
.
существует тогда и только тогда, когда
--- биективное преобразование. При этом
определено однозначно. Так как
, то биективность
означает, в частности, что
Пусть теперь --- какое-то биективное линейное преобразование из
в
. Обратное к нему преобразование
существует, но, вообще говоря, не ясно, является ли оно линейным. Чтобы убедиться в линейности
, мы введем векторы-столбцы
и применим к обеим частям этих равенств преобразование . В силу его линейности получим
Так как , то
откуда, в соответствии с импликацией (13), находим, что ,
--- нулевые векторы. Таким образом, выполнены свойства (i), (ii) из 3.1, определяющие линейные отображения. Имеем
, где
--- некоторая матрица. Переписав условие (
) в виде
(см. (8)) и снова воспользовавшись теоремой 1, мы придем к равенствам (12).
Итак, матрица, обратная к , существует в точности тогда, когда преобразование
биективно. При этом преобразование
линейно
. Биективность
равносильна условию, что любой вектор-столбец
записывается единственным образом в виде (1)
где --- столбцы матрицы
(сюръективность
приводит к существованию
, для которого
, а инъективность
дает единственность
: если
, то
, откуда, согласно (12),
). Значит,
совпадает с пространством столбцов
матрицы
, так что
.
Если матрица, обратная к , существует, то, согласно вышесказанному, она единственна. Ее принято обозначать символом
. В таком случае (см. (
))
Квадратную матрицу , для которой существует обратная матрица
, называют невырожденной
(или неособенной
). Невырожденным называют и соответствующее линейное преобразование
. В противном случае матрицу
и линейное преобразование
называют вырожденными
(или особенными
).
Резюмируем полученные нами результаты.
3.3.2
Теорема. Квадратная матрица порядка
является невырожденной тогда и только тогда, когда ее ранг равен
. Преобразование
, обратное к
, линейно и задается равенством (14)
.
Следствие. Невырожденность влечет невырожденность
и
. Если
--- невырожденные
--- матрицы, то произведение
также невырождено и
.
Для доказательства достаточно сослаться на симметричность условия .
Нами получено довольно много правил действий с квадратными матрицами порядка . Имеются в виду, ассоциативность (следствие теоремы 2), (10) и теорема 4. Обратим еще внимание на так называемые законы дистрибутивности
:
где ,
,
--- произвольные матрицы из
.
Действительно, полагая , мы получим для любых
равенство (используется дистрибутивность в
):
левая часть которого дает элемент матрицы
, а правая --- элементы
и
матриц
и соответственно
. Второй закон дистрибутивности (16) проверяется совершенно аналогично. Необходимость в нем обусловлена некоммутативностью умножения в
. Законы дистрибутивности
для линейных отображений ,
,
из
в
можно не доказывать, ссылаясь на соответствие между отображениями и матрицами, но можно, в свою очередь, выводить (16) из (
), поскольку в случае отображений, рассуждение столь же просто.
Таким образом, в данной курсовой работе мы доказали, что связанная компонента единицы алгебраической группы содержится в любой замкнутой подгруппе конечного индекса. В работе была доказана теорема: Для любой прямоугольной -матрицы
справедливо равенство
(это число называется просто рангом матрицы
и обозначается символом
).А также было
получено эффективное средство для вычисления ранга матрицы
, устраняющее необходимость приведения
к ступенчатому виду, доказана теорема: Квадратная матрица
порядка
является невырожденной тогда и только тогда, когда ее ранг равен
. Преобразование
, обратное к
, линейно и задается равенством (14)
и следствие этой теоремы: невырожденность
влечет невырожденность
и
. Если
--- невырожденные
--- матрицы, то произведение
также невырождено и
.
Список использованных источников
1. Шеметков Л.А., Скиба А.Н., Формации алгебраических систем. - М.: Наука, 1989. - 256с.
2. Русаков С.А., Алгебраические -арные системы. Минск, 1987. - 120с.
3. Кон П., Универсальная алгебра. М.:Мир, 1968.--351с.
4. Ходалевич А.Д., Свойства централизаторов конгруэнции универсальных алгебр// Вопросы алгебры.-1996.-Вып.10 с.144-152
5. Mонaxов В.С. Произведение конечных групп, близких к нильпотентным.- В кн.: Конечные группы. Мн.: Наука и техника, 1975, с. 70 - 100.