| Скачать .docx | Скачать .pdf |
Дипломная работа: Метризуемость топологических пространств
Министерство образования и науки Российской Федерации
Вятский государственный гуманитарный университет
Математический факультет
Кафедра математического анализа и МПМ
Дипломная работа
Метризуемость топологических пространств
Выполнила
студентка 5 курса
математического факультета
Побединская Татьяна Викторовна
_______________________________
(подпись)
Научный руководитель
к.ф.-м.н., доцент кафедры математического анализа и МПМ Варанкина Вера Ивановна
_______________________________
(подпись)
Рецензент
_______________________________
(подпись)
Допущена к защите в ГАК
Зав. кафедрой______________________________к.п.н., доцент Крутихина М.В.
(подпись)
«_____» _______________2004 г.
Декан факультета_________________________к.ф.-м.н., доцент Варанкина В.И.
(подпись)
«_____» _______________2004 г.
КИРОВ
2004
Содержание
Глава I. Основные понятия и теоремы.. 4
Глава II. Свойства метризуемых пространств. 10
Глава III. Примеры метризуемых и неметризуемых пространств. 21
Введение
Тема дипломной работы – «Метризуемость топологических пространств».
В первой главе работы вводятся основные определения, связанные с понятиями метрического и топологического пространств.
Во второй главе рассматриваются и доказываются следующие свойства метризуемых пространств:
1. Метризуемое пространство хаусдорфово.
2. Метризуемое пространство нормально.
3. В метризуемом пространстве
выполняется первая аксиома счетности.
4. Метризуемое пространство совершенно нормально.
5. Для метризуемого пространства следующие условия эквивалентны:
1) сепарабельно,
2) имеет счетную базу,
3) финально компактно.
6. Любое метризуемое топологическое пространство может быть метризовано ограниченной метрикой.
7. Произведение счетного числа метризуемых пространств метризуемо.
В третьей главе рассматриваются примеры метризуемых и неметризуемых пространств.
Глава I. Основные понятия и теоремы
Определение.
Метрическим пространством
называется пара 
, состоящая из некоторого множества (пространства) элементов (точек) и расстояния, то есть однозначной неотрицательной действительной функции 
, определенной для любых 
и 
из и удовлетворяющей трем условиям:
1) 
(аксиома тождества);
2) 
(аксиома симметрии);
3) 
(аксиома треугольника).
Определение.
Пусть – некоторое множество. Топологией в
называется любая система 
его подмножеств 
, удовлетворяющая двум требованиям:
1. Само множество и пустое множество принадлежат .
2. Объединение 
любого (конечного или бесконечного) и пересечение 
любого конечного числа множеств из принадлежат .
Множество с заданной в нем топологией , то есть пара 
, называется топологическим
пространством.
Множества, принадлежащие системе , называются открытыми.
Множества 
, дополнительные к открытым, называются замкнутыми
множествами топологического пространства .
Определение.
Совокупность 
открытых множеств топологического пространства называется базой
топологического пространства , если всякое открытое множество в может быть представлено как объединение некоторого числа множеств из 
.
Теорема 1.
Всякая база в топологическом пространстве 
обладает следующими двумя свойствами:
1)
любая точка 
содержится хотя бы в одном 
;
2)
если содержится в пересечении двух множеств 
и 
из , то существует такое 
, что 
.
Определение.
Открытым шаром или окрестностью точки 
радиуса 
в метрическом пространстве 
называется совокупность точек 
, удовлетворяющих условию 
. При этом 
– центр шара, – радиус шара.
Утверждение 1.
Для любого , принадлежащего -окрестности точки , существует окрестность радиуса 
, включенная в -окрестность точки .
Доказательство.
Выберем в качестве :
.
Достаточно доказать для произвольного 
импликацию 
. Действительно, если 
, то 
Получаем, что 
, что и требовалось доказать.
Теорема 2. Совокупность всех открытых шаров образуют базу некоторой топологии.
Доказательство. Проверим свойства базы (теорема 1).
· Свойство первое очевидно, так как для любого выполняется 
для любого 
.
· Проверим второе свойство.
Пусть 
, 
и 
, тогда, воспользовавшись утверждением 1, найдем такое 
, что 
Теорема доказана.
Определение.
Топологическое пространство 
метризуемо
, если существует такая метрика 
на множестве , что порожденная этой метрикой топология совпадает с исходной топологией пространства .
Аксиомы отделимости
Аксиома 
. Для любых двух различных точек топологического пространства окрестность хотя бы одной из них не содержит другую.
Аксиома 
. Каждая из двух произвольных точек пространства имеет окрестность, не содержащую вторую точку.
Предложение.
является - пространством тогда и только тогда, когда для любого 
множество 
замкнуто.
Доказательство.
Необходимость.
Пусть 
. Так как является -пространством, то существует окрестность 
, не содержащая .
Рассмотрим 
Докажем, что 
. Применим метод двойного включения:
· Очевидно, что 
по построению множества 
.
· 
.
Пусть 
отсюда для любого 
отличного от 
существует окрестность 
, значит 
, тогда 
.
Множество 
- открыто, как объединение открытых множеств.
Тогда множество 
- замкнуто, как дополнение открытого множества.
Достаточность.
Рассмотрим 
. По условию 
замкнутые множества. Так как , то 
. Множество 
-открыто как дополнение замкнутого и не содержит . Аналогично доказывается существование окрестности точки 
, не содержащей точку
Что и требовалось доказать.
Аксиома 
( аксиома Хаусдорфа). Любые две точки пространства имеют непересекающиеся окрестности.
Аксиома 
.
Любая точка и не содержащее ее замкнутое множество имеют непересекающиеся окрестности.
Определение.
Пространства, удовлетворяющие аксиомам 
(
) называются -пространствами
(
-пространства называют также хаусдорфовыми пространствами
).
Определение.
Пространство называется нормальным
или 
-пространством
, если оно удовлетворяет аксиоме , и всякие его два непустые непересекающиеся замкнутые множества имеют непересекающиеся окрестности.
Определение.
Система окрестностей называется определяющей системой окрестностей точки 
, если для любой окрестности 
точки найдется окрестность из этой системы, содержащаяся в 
.
Определение.
Если точка топологического пространства имеет счетную определяющую систему окрестностей, то говорят, что в этой точке выполняется первая аксиома счетности
. Если это верно для каждой точки пространства, то пространство называется пространством с первой аксиомой счетности.
Определение.
Две метрики 
и 
на множестве называются эквивалентными
, если они порождают на нем одну и ту же топологию.
Пример.
На плоскости 
для точек 
и 
определим расстояние тремя различными способами:
1. 
,
2. 
,
3. 
.
· Введенные расстояния являются метриками. Проверим выполнимость аксиом метрики для введенных расстояний.
1. 1) 
2) так как 
и 
, то вторая аксиома очевидна: 
3) рассмотрим точки ,,
и докажем следующее неравенство:
Возведем это неравенство в квадрат:
.
Так как 
и 
(поскольку 
) и выражение 
есть величина неотрицательная, то неравенство является верным.
2. 1) 
2) так как 
и 
, то вторая аксиома очевидна: 
.
3) рассмотрим точки ,, и докажем следующее неравенство: 
.
Тогда и 
.
3. 1) 
2) так как 
и 
, то вторая аксиома очевидна:
.
3) рассмотрим точки ,,.
Неравенство: 
- очевидно.
· Введенные метрики 
и 
эквивалентны, то есть задают одну и ту же топологию.
Пусть метрика 
порождает топологию 
, - топологию 
и 
- топологию 
. Достаточно показать два равенства.
Покажем, что 
.
Рассмотрим множество, 
открытое в и покажем, что 
открыто в . Возьмем некоторую точку и изобразим шар с центром в этой точке, который целиком лежит в . Шар в - квадрат, шар в - круг. А квадрат всегда можно заключить в круг. Тогда открыто и в .
Аналогично доказывается, что 
. А тогда и 
.
Глава II. Свойства метризуемых пространств
Свойство 1. Метризуемое пространство хаусдорфово.
Доказательство.
Пусть 
. Возьмем 
. Докажем, что 
.
Предположим, что 
, тогда существует 
, т.е. 
и 
. Тогда, 
. Получили противоречие. Следовательно, 
.
Следствие.
Метризуемое пространство является 
- пространством.
Определение.
Расстоянием от точки 
до множества 
в метрическом пространстве называется 
.
Утверждение 2.
Пусть множество 
фиксировано; тогда функция 
, сопоставляющая каждой точке 
расстояние 
, непрерывна на пространстве 
.
Доказательство.
Воспользуемся определением непрерывности: функция 
называется непрерывной в точке 
, если 
.
Из неравенства 
, где 
, получаем 
. Аналогично 
. Из полученных неравенств следует 
.
Для произвольного 
возьмем 
. Тогда из неравенства 
следует 
. Непрерывность доказана.
Лемма.
– замкнутое множество в метрическом пространстве 
. Для любого 
расстояние от 
до множества положительно.
Доказательство.
Множество замкнуто, отсюда следует, что множество 
- открыто. Так как точка принадлежит открытому множеству 
, то существует такое
, что 
. Так как 
, то 
для некоторого 
. Поэтому 
для любого . Следовательно, 
, что и требовалось доказать.
Свойство 2. Метризуемое пространство нормально.
Доказательство. По доказанному метризуемое пространство является
-пространством. Остается доказать, что любые непустые непересекающиеся замкнутые множества и 
имеют непересекающиеся окрестности.
Так как 
и множество замкнуто по условию, то для любого 
по лемме 
.
Обозначим 
и 
для произвольных 
и 
.
Множества 
и 
открыты как объединения открытых шаров в и содержат соответственно множества и .
Следовательно, - окрестность множества , 
- окрестность множества 
.
Докажем, что 
.
Предположим, что 
, то есть 
. Тогда из условия 
следует, что 
для некоторого 
. Отсюда 
.
Аналогично получаем 
для некоторого 
. Для определенности пусть 
. Тогда 
.
Получаем 
, для некоторой точки 
, что невозможно в силу определения расстояния от точки до множества.
Следовательно 
. Таким образом, является 
-пространством, а, значит, нормальным пространством. Теорема доказана.
Свойство 3.
В метризуемом пространстве
выполняется первая аксиома счетности.
Доказательство.
Пусть 
- произвольное открытое множество, содержащее точку 
. Так как открытые шары образуют базу топологии метрического пространства, то содержится в вместе с некоторым открытым шаром, то есть 
для некоторых 
и . По утверждению 1 найдется такое 
, что 
.
Возьмем 
, для которого 
. Тогда 
. Таким образом открытые шары 
, образуют определяющую систему окрестностей точки 
. Очевидно, что множество этих окрестностей счетно. Что и требовалось доказать.
Определение.
Множеством типа
или просто - множеством
пространства называется всякое множество 
, являющееся объединением счетного числа замкнутых (в ) множеств.
Определение.
Множеством типа 
или просто - множеством
пространства называется всякое множество , являющееся пересечением счетного числа открытых (в ) множеств.
Очевидно, что множества типа и
являются взаимно дополнительными друг для друга.
Определение.
Нормальное пространство, в котором всякое замкнутое множество является множеством типа
, называется совершенно нормальным
.
Утверждение 3.
Нормальное пространство является совершенно нормальным тогда и только тогда, когда всякое открытое множество, принадлежащее этому пространству, является множеством типа .
Свойство 4. Метризуемое пространство совершенно нормально.
Доказательство.
Пусть 
- непустое замкнутое множество в . Тогда 
для непрерывной функции 
(непрерывность ее установлена в утверждении 2). Обозначим 
, множества 
открыты в как прообразы открытых множеств при непрерывном отображении. Докажем, что 
.
Пусть 
, тогда 
. Так как 
для любого 
, то 
для любого . Отсюда 
.
Обратно. Пусть , тогда для любого 
. Отсюда 
для любого , поэтому 
для любого , тогда 
, значит 
. Таким образом множество является множеством типа 
.
Определение.
Множество 
всюду плотно в
, если любое непустое открытое в множество содержит точки из .
Определение.
Топологическое пространство называется сепарабельным
, если оно имеет счетное всюду плотное подмножество.
Определение.
Семейство γ открытых в множеств образуют покрытие пространства
, если содержится в объединении множеств этого семейства.
Определение.
Топологическое пространство называется финально компактным
, если из любого его открытого покрытия можно выделить счетное подпокрытие.
Свойство 5.
Для метризуемого пространства следующие условия эквивалентны:
1) сепарабельно,
2) имеет счетную базу,
3) финально компактно.
Доказательство.
Пусть 
- счетное всюду плотное множество в , - метрика в . Множество окрестностей 
счетно. Докажем, что 
- база топологии в . Пусть - произвольное открытое в множество, 
. Тогда для некоторого . Рассмотрим рациональное число 
, для которого 
и точку 
, для которой 
.
Докажем, что 
. Пусть 
. Так как 
, то 
. Тогда 
. Таким образом, для произвольного 
и открытого множества нашелся элемент из 
, такой, что 
. Следовательно 
- база топологии.
Пусть 
- счетная база в . Рассмотрим произвольное открытое покрытие множества 
, 
- открыты для любого 
(
- индексное множество). Для любого 
существует 
, для которого 
. Так как 
- база, то найдется такое 
, что 
. Тогда 
. Поскольку база счетна, то покрывается счетным числом соответствующих множеств 
. Таким образом, - финально компактно.
Для каждой точки 
рассмотрим окрестности 
, которые образуют покрытие пространства . В силу финальной компактности из этого покрытия можно выделить счетное подпокрытие 
. В каждом из этих множеств выберем точку 
. Множество точек 
счетно, докажем, что оно плотно в . Пусть - произвольное открытое множество в , 
, тогда 
для некоторого 
. Существует элемент подпокрытия 
. Тогда 
, то есть любое непустое открытое множество в содержит точку этого множества. Что и требовалось доказать.
Определение.
Диаметром непустого множества
в метрическом пространстве называется точная верхняя грань множества всех расстояний между точками множества и обозначается 
.
.
Если 
, то множество называют неограниченным.
Определение.
Метрика 
метрического пространства 
называется ограниченной
, если 
.
Свойство 6. Любое метризуемое топологическое пространство может быть метризовано ограниченной метрикой.
Доказательство.
Пусть метрика порождает топологию топологического пространства . Положим 
для любых 
.
Докажем следующее:
1. 
-метрика на ;
2. метрики и эквивалентны;
3. 
.
1. Проверим выполнимость аксиом.
1) 
;
2)
;
: Докажем, что 
.
Известно, что 
.
· Если 
и 
, то 
и 
, тогда 
. Так как 
, то .
· Если 
или 
, то 
, а 
, тогда .
2. Пусть 
- топология, порожденная метрикой , а 
- топология, порожденная метрикой 
. Докажем, что 
.
Пусть 
- открытое множество в , докажем, что множество 
открыто в . Для любого 
существует 
такое, что 
. Можно считать, что 
. Тогда 
является окрестностью в 
того же радиуса 
. Следовательно, открыто в топологии .
В обратную сторону доказательство проводится аналогично.
Из всего выше сказанного следует, что метрики и 
эквивалентны.
3. Из формулы 
следует, что 
для любых 
. Отсюда 
.
Определение.
- топологические пространства, 
. Тихоновским произведением топологических пространств
называется топологическое пространство 
, в котором базу топологии образуют множества 
, где 
открыто в 
для любого 
и 
для всех индексов кроме конечного их числа.
Свойство 7. Произведение счетного числа метризуемых пространств метризуемо.
Доказательство.
Пусть 
- метризуемые топологические пространства. По лемме на каждом множестве существует ограниченная метрика 
соответственно.
Рассмотрим 
.
Покажем:
1. является метрикой на 
и 
.
2. топология, порожденная метрикой , совпадает с топологией произведения пространств 
.
1. Проверим выполнимость аксиом метрики.
1) 
(так как 
- метрика по условию).
2) 
, 
.
Так как 
(-метрика по условию), то 
, тогда 
.
3) Докажем, что 
.
, 
, 
. Но так как выполняется неравенство 
, то будет выполняться неравенство:
, тогда 
.
Теперь докажем, что 
.
, где 
геометрическая прогрессия, а 
, тогда 
.
2. 1) Покажем, что каждое множество 
, открытое в топологии, индуцированной метрикой , открыто и в топологии произведения.
Рассмотрим произвольную точку 
. Существует такое 
, что 
. Далее достаточно найти положительное число 
и открытые множества 
, такие, что 
.
Пусть - положительное целое число, удовлетворяющее условию:
.
Для 
положим 
и 
для 
.
Для каждой точки 
. Рассмотрим полученные суммы. Так как 
, где 
, то 
. Так как 
для любых 
, то 
. Тогда 
, т.е. 
. Таким образом 
. Следовательно, множество 
открыто в тихоновской топологии произведения.
2) Пусть множество 
открыто в топологии произведения. Докажем, что оно открыто в топологии, порожденной метрикой .
Требуется доказать, что для любой точки 
найдется такое , что 
.
Так как множество открыто в топологии произведении, то 
для некоторого множества 
, где 
- открыто в 
и 
для любого 
и 
для всех индексов 
кроме конечного их числа. Поскольку и открыто в 
, то 
для конечного числа индексов, для которых 
. Пусть - наименьший из этих значений 
. Докажем, что 
. Возьмем произвольное 
. Тогда 
. Отсюда 
для любого 
. Это означает, что 
для любого 
. Получили 
. Следовательно, множество 
открыто в топологии, индуцируемой метрикой 
. Теорема доказана.
Глава III. Примеры метризуемых и неметризуемых пространств
1. Дискретное топологическое пространство.
- произвольное непустое множество. Открытым назовем любое подмножество в 
. Очевидно, при этом выполнены все аксиомы топологического пространства. Рассмотрим 
Для любого 
множество 
открыто, так как 
. Следовательно, открыто и любое подмножество в 
как объединение одноэлементных множеств. Вывод: дискретное топологическое пространство – метризуемо.
2. Двоеточия.
. Рассмотрим топологии на .
1) 
- простое двоеточие.
2) 
- связное двоеточие.
3) 
- слипшееся двоеточие.
- метризуемо, так как топология 
- дискретная.
, 
- неметризуемы, так как не являются хаусдорфовыми.
3. Стрелка
(
).
В 
открытыми назовем 
и множества вида 
, где 
. Очевидно, при этом выполнены все аксиомы топологического пространства. Топологическое пространство 
не является хаусдорфовым, а значит неметризуемо.
4. Окружности Александрова
(пространство ).
Открытые множества в :
первого рода
: интервал на малой окружности 
плюс его проекция на большую окружность 
, из которой выброшено конечное число точек.
второго рода
: каждая точка на большой окружности открыта.
1. Множество 
замкнуто в тогда и только тогда, когда 
- конечно.
Доказательство.
Очевидно, что любое конечное множество 
замкнуто как дополнение открытого. Пусть и 
- бесконечно. Докажем, что 
- незамкнуто.
Так как 
- бесконечно, то оно содержит счетное подмножество, которое можно рассмотреть как последовательность точек, принадлежащих . Эта последовательность ограничена в 
, по теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Так как 
замкнуто в 
, то предел этой последовательности 
. Пусть 
- точка, для которой 
является проекцией на . Возьмем произвольное открытое в
множество 
, содержащее точку 
. Тогда исходя из структуры открытых множеств первого рода получаем, что 
содержит бесконечно много точек множества 
, т.е. 
является предельной точкой множества . При этом 
. Следовательно, - незамкнуто.
2. Множество не совершенно нормально.
Доказательство.
Пусть дуга 
. Множество 
открыто, как объединение открытых одноэлементных множеств. Замкнутыми в являются по доказанному лишь конечные множества. Но счетное объединение конечных множеств счетно. Следовательно 
открыто и не является множеством типа 
. Таким образом множество 
неметризуемо.
Библиографический список
1. Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. – М.: Наука, 1973.
2. Энгелькинг Р. Общая топология – М.: Мир, 1986.
3. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М. Наука, 1989.