Курсовая работа: Особые свойства Гамма-функции Эйлера

Реферат

Целью данной курсовой работы является изучение особых свойств Гамма-функции Эйлера. В ходе работы была изучена Гамма-функция, её основные свойства и составлен алгоритм вычисления с разной степенью точности. Алгоритм был написан на языке высокого уровня - Си. Результат работы программы сверен с табличным. Расхождений в значениях обнаружено не было.

Пояснительная записка к курсовой работе выполнена в объёме 36 листов. Она содержит таблицу значений гамма-функции при некоторых значениях переменных и тексты программ для вычисления значений Гамма-функции и для построения графика, а также 2 рисунка.

Для написания курсовой работы было использовано 7 источников.

Введение

Выделяют особый класс функций, представимых в виде собственого либо несобственого интеграла, который зависит не только от формальной переменной, а и от параметра.

Такие функции называются интегралами зависящими от параметра. К их числу относятся гамма и бета функции Эйлера.

Бета функции представимы интегралом Эйлера первого рода:

Гамма функция представляется интегралом Эйлера второго рода:

Гамма-функция относится к числу самых простых и значимых специальных функций, знание свойств которой необходимо для изучения многих других специальных функций, например, цилиндрических, гипергеометрических и других.

Благодаря её введению значительно расширяются наши возможности при вычислении интегралов. Даже в случаях, когда конечная формула не содержит иных функций, кроме элементарных, получение её всё же часто облегчает использование функции Г, хотя бы в промежуточных выкладках.

Эйлеровы интегралы представляют собой хорошо изученные неэлементарные функции. Задача считается решённой, если она приводится к вычислению эйлеровых интегралов.

1. Бэта-функци я Эйлера

Бэта – функции определяются интегралом Эйлера первого рода:

=(1.1)

Он представляет функцию от двух переменных параметров и : функцию B . Если эти параметры удовлетворяют условиям и ,то интеграл (1.1) будет несобственным интегралом, зависящим от параметров и ,причём особыми точками этого интеграла будут точки и

Интеграл (1.1) сходятся при .Полагая получим:

= - =

т.e. аргумент и входят в симметрично. Принимая во внимание тождество

по формуле интегрирования почестям имеем

Откуда получаем

=

(1.2)

При целом b = n последовательно применяя (1.2)

Получим

(1.3)

при целых = m,= n, имеем

но B(1,1) = 1,следовательно:

Положим в (1.1) .Так как график функции симметрична относительно прямой ,то

и в результате подстановки , получаем

полагая в(1.1) ,откуда , получим

(1.4)

разделяя интеграл на два в пределах от 0 до 1 и от 1 до и применение ко второму интегралу подстановки ,получим

2. Гамма-функция

2.1 Определение

Восклицательный знак в математических трудах обычно означает взятие факториала какого-либо целого неотрицательного числа:

n! = 1·2·3·...·n.

Функцию факториал можно еще записать в виде рекурсионного соотношения:

(n+1)! = (n+1)·n!.

Это соотношение можно рассматривать не только при целых значениях n.

Рассмотрим разностное уравнение

G(z+1)=zG(z).

(2.1)

Несмотря на простую форму записи, в элементарных функциях это уравнение не решается. Его решение называется гамма-функцией. Гамма-функцию можно записать в виде ряда или в виде интеграла. Для изучения глобальных свойств гамма-функции обычно пользуются интегральным представлением.

2.2 Интегральное представление

Перейдем к решению этого уравнения. Будем искать решение в виде интеграла Лапласа:

В этом случае правая часть уравнения (2.1) может быть записана в виде:

Эта формула справедлива, если существуют пределы для внеинтегрального члена. Заранее нам не известно поведение образа [(G)\tilde](p) при p®±¥. Предположим, что образ гамма-функции таков, что внеинтегральное слагаемое равно нулю. После того, как будет найдено решение, надо будет проверить, верно ли предположение о внеинтегральном слагаемом, иначе придется искать G(z) как-нибудь по-другому.

Левая часть равенства (2.1) записывается следующим образом:

Тогда уравнение (2.1) для образа гамма-функции имеет вид:

Это уравнение легко решить:

(2.2)

Нетрудно заметить, что найденная функция [(Г)\tilde](p) на самом деле такова, что внеинтегральный член в формуле (2.2) равен нулю.

Зная образ гамма-функции, легко получить и выражение для прообраза:

Это неканоническая формула, для того, чтобы привести ее к виду, полученному Эйлером, надо сделать замену переменной интегрирования: t = exp(-p), тогда интеграл примет вид:

Постоянная C выбирается так, чтобы при целых значениях z гамма-функция совпадала с функцией факториал: Г(n+1) = n!, тогда:

следовательно C = 1. Окончательно, получаем формулу Эйлера для гамма-функции:

(2.3)

Эта функция очень часто встречается в математических текстах. При работе со специальными функциями, пожалуй, даже чаще, чем восклицательный знак.

Проверить, что функция, определенная формулой (2.3), действительно удовлетворяет уравнению (2.1), можно, проинтегрировав интеграл в правой части этой формулы по частям:

2.3 Область определения и полюсы

В подынтегральной функции интеграла (2.3) при экспонента exp(-tz ) при R(z ) > 0 убывает гораздо быстрее, чем растет алгебраическая функция t ^(z-1) . Особенность в нуле - интегрируемая, поэтому несобственный интеграл в (2.3) сходится абсолютно и равномерно при R (z) > 0. Более того, последовательным дифференцированием по параметру z легко убедиться, что Г(z ) - голоморфная функция при R (z ) > 0. Однако, непригодность интегрального представления (2.3) при R (z ) 0 не означает, что там не определена сама гамма-функция - решение уравнения (2.1).

Рассмотрим поведение Г(z) в окрестности нуля. Для этого представим:

где - голоморфная функция в окрестности z = 0 . Из формулы (2.1) следует:

Тогда

то есть Г(z) имеет полюс первого порядка при z = 0.

Также легко получить:

то есть в окрестности точки функция Г(z ) также имеет полюс первого порядка.

Таким же образом можно получить формулу:

(2.4)

Из этой формулы следует, что точки z = 0,-1,-2,... - простые полюсы гамма-функции и других полюсов на вещественной оси эта функция не имеет. Нетрудно вычислить вычет в точке z = -n, n = 0,1,2,...:

2.4 Представление Ганкеля через интеграл по петле

Выясним, имеет ли гамма-функция нули. Для этого рассмотрим функцию

Полюсы этой функции и есть нули функции Г(z).

Разностное уравнение для I(z ) легко получить, воспользовавшись выражением для Г(z ):

Выражение для решения этого уравнения в виде интеграла можно получить так же, как было получено интегральное выражение для гамма-функции - через преобразование Лапласа. Ниже приведены вычисления.ни такие же, как и в п.1).ии теграла будут точки ____________________________________________________________________________

или

После разделения переменных получим:

Проинтегрировав получаем:

или

Переход к прообразу Лапласа дает:

В полученном интеграле сделаем замену переменной интегрирования:

тогда

Здесь важно заметить, что подынтегральная функция при нецелых значениях z имеет точку ветвления t = 0. На комплексной плоскости переменной t проведем разрез по отрицательной вещественной полуоси. Интеграл по этой полуоси представим как сумму интеграла по верхнему берегу этого разреза от до 0 и интеграла от 0 до по нижнему берегу разреза. Чтобы интеграл не проходил через точку ветвления, устроим вокруг нее петлю.

Рис1: Петля в интегральном представлении Ганкеля.

В результате получим:

Чтобы выяснить значение постоянной, вспомним, что I(1) = 1, с другой стороны:

Интегральное представление

(2.5)

называется представлением Ганкеля по петле.

Легко видеть, что функция 1/Г(z ) не имеет полюсов в комплексной плоскости, следовательно, гамма-функция не имеет нулей.

С помощью этого интегрального представления можно получить формулу для произведения гамма-функций. Для этого в интеграле сделаем замену переменной , тогда:

то есть

2.5 Предельная форма Эйлера

Гамма-функцию можно представить в виде бесконечного произведения. Это можно заметить, если в интеграле (2.3) представить

Тогда интегральное представление гамма-функции:

В этой формуле мы можем поменять пределы - предел интегрирования в несобственном интеграле и предел при внутри интеграла. Приведем результат:

Возьмем по частям этот интеграл:

Если провести эту процедуру n раз, получим:

Переходя к пределу, получим предельную форму Эйлера для гамма-функции:

(2.6)

2.6 Формула для произведения

Ниже понадобится формула, в которой произведение двух гамма-функций представляется через одну гамма-функцию. Выведем эту формулу, используя интегральное представление гамма-функций.

Повторный интеграл представим как двойной несобственный интеграл. Это можно сделать, воспользовавшись теоремой Фубини. В результате получим:

Несобственный интеграл равномерно сходится. Его можно рассматривать, например, как интеграл по треугольнику, ограниченному осями координат и прямой x+y = R при R. В двойном интеграле сделаем замену переменных:

Якобиан этой замены

Пределы интегрирования: u меняется от 0 до ∞, v при этом меняется от 0 до 1. В результате получим:

Перепишем опять этот интеграл как повторный, в результате получим:

где Rp > 0, Rv > 0.

2. Производная гамма функции

Интеграл

сходится при каждом ,поскольку ,и интеграл при сходится.

В области , где - произвольное положительное число, этот интеграл сходится равномерно, так как и можно применить признак Вейрштраса. Сходящимся при всех значениях является и весь интеграл так как и второе слагаемое правой части является интегралом, заведомо сходящимся при любом.Легко видеть что интеграл сходится пов любой области где произвольно. Действительно для всех указанных значений и для всех ,и так как сходится, то выполнены условия признака Вейерштрасса. Таким образом , в области интеграл сходится равномерно.

Отсюда вытекает непрерывность гамма функции при.Докажем дифференцируемость этой функции при .Заметим что функция непрерывна при и, и покажем ,что интеграл :

сходится равномерно на каждом сегменте , . Выберем число так , чтобы ; тогда при .Поэтому существует число такое , что и на.Но тогда на справедливо неравенство

и так как интеграл сходится, то интеграл сходится равномерно относительно на . Аналогично для существует такое число , что для всех выполняется неравенство . При таких и всех получим , откуда в силу признака сравнения следует , что интеграл сходится равномерно относительно на . Наконец , интеграл

в котором подынтегральная функция непрерывна в области

, очевидно, сходится равномерно относительно на . Таким образом , на интеграл

сходится равномерно , а, следовательно , гамма-функция бесконечно дифференцируема при любом и справедливо равенство

.

Относительно интеграла можно повторить те же рассуждения и заключить, что

По индукции доказывается , что Г-функция бесконечно дифференцируема прии для ее я -ой производной справедливо равенство

Изучим теперь поведение - функции и построим эскиз ее графика. (см. Приложение 1)

Из выражения для второй производной -функции видно, что для всех . Следовательно, возрастает. Поскольку , то по теореме Роля на сегменте [1,2]производная при и при , т. е. Монотонно убывает на и монотонно возрастает на . Далее , поскольку , то при . При из формулы следует , что при .

Равенство , справедливое при , можно использовать при распространении - функции на отрицательное значение .

Положим для, что . Правая часть этого равенства определена для из (-1,0) . Получаем, что так продолженная функция принимает на (-1,0) отрицательные значения и при , а также при функция .

Определив таким образом на , мы можем по той же формуле продолжить ее на интервал (-2,-1). На этом интервале продолжением окажется функция, принимающая положительные значения и такая, что при и . Продолжая этот процесс, определим функцию , имеющею разрывы в целочисленных точках (см. Приложение 1.)

Отметим еще раз, что интеграл

определяет Г-функцию только при положительных значениях , продолжение на отрицательные значения осуществлено нами формально с помощью формулы приведения .

4. Вычисление некоторых интегралов.

Формула Стирлинга

Применим гамма функцию к вычислению интеграла:

где m > -1,n > -1.Полагая , что ,имеем

и на основании (2.8) имеем

(4.1)

В интеграле

Где k > -1,n > 0,достаточно положить

Интеграл

Где s > 0,разложить в ряд

=

где дзетта функция Римана

Рассмотрим неполные гамма функции (функции Прима)

связанные неравенством

Разлагая, в ряд имеем

Переходя к выводу формулы Стирлинга , дающей в частности приближенное значение n! при больших значениях n ,рассмотрим предварительно вспомогательную функцию

(4.2)

Непрерывна на интервале (-1,) монотонно возрастает от до при изменении от до и обращаются в 0 при u = 0.Так как

то при u > 0 и при u < 0 , далее имеем

И так производная непрерывна и положительна во всем интервале ,удовлетворяет условию

Из предыдущего следует, что существует обратная функция, определенная на интервале непрерывная и монотонно возрастающая в этом интервале,

Обращающаяся в 0 при v=0 и удовлетворяющая условие

(4.3)

Формулу Стирлинга выведем из равенства

полагая ,имеем

Положим далее введенная выше обратная функция, удовлетворяющая условиям u = -1при ,и при .Замечая что(см.4.2)

имеем

,

полагая на конец ,,получим

или

в пределе при т.е. при (см 4.3)

откуда вытекает формула Стирлинга

которую можно взять в виде

(4.4)

где ,при

для достаточно больших полагают

(4.5)

вычисление же производится при помощи логарифмов

если целое положительное число, то и (4.5) превращается в приближенную формулу вычисления факториалов при больших значениях n

приведем без вывода более точную формулу

где в скобках стоит не сходящийся ряд.

5. Примеры вычисления интегралов

Для вычисления необходимы формулы:

Г()

Вычислить интегралы

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Для вычисления гамма-функции используется аппроксимация её логарифма. Для аппроксимации гамма-функции на интервале x>0 используется следующая формула (для комплексных z):

Г(z+1)=(z+g+0.5)^z+0.5 exp(-(z+g+0.5))[a₀ +a₁ /(z+1)+a₂ /(z+2)+...+a_n /(z+n)+eps]

Эта формула похожа на аппроксимацию Стирлинга, но в ней имеется корректирующая серия. Для значений g=5 и n=6, проверено, что величина погрешности ε не превышает 2*10^-10 . Более того, погрешность не превышает этой величины на всей правой половине комплексной плоскости: z > 0.

Для получения (действительной) гамма-функции на интервале x>0 используется рекуррентная формула Г(z+1)=zГ(z) и вышеприведенная аппроксимация Г(z+1). Кроме того, можно заметить, что удобнее аппроксимировать логарифм гамма-функции, чем ее саму. Во-первых, при этом потребуется вызов только одной математической функции - логарифма, а не двух - экспоненты и степени (последняя все равно использует вызов логарифма), во-вторых, гамма-функция - быстро растущая для больших x, и аппроксимация ее логарифмом снимает вопросы переполнения.

Для аппроксимации Ln(Г(х) - логарифма гамма-функции - получается формула:

log(Г(x))=(x+0.5)log(x+5.5)-(x+5.5)+

log(C₀ (C₁ +C₂ /(x+1)+C₃ /(x+2)+...+C₇ /(x+8))/x)

Значения коэффициентов C_k - табличные данные (см. в программе).

Сама гамма-функция получается из ее логарифма взятием экспоненты.

Заключение

Гамма функции являются удобным средством для вычисления некоторых интегралов в частности многих из тех интегралов, которые не представимы в элементарных функциях.

Благодаря этому они широко применяются в математике и ее приложениях, в механике, термодинамике и в других отраслях современной науки.

Список литературы

1. Специальные функции и их приложения:

Лебедев И.И.,М.,Гостехтериоиздат,1953

2. Математический анализ часть 2:

Ильин О.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х.,М.,”Московский университет”,1987

3. Сборник задач по математическому анализу:

Демидович Б.П.,М.,Наука,1966

4. Интегралы и ряды специальные функции:

Прудников А.П., Брычков Ю.А.,М.,Наука,1983

5. Специальные функции:

Кузнецов , М.,”Высшая школа”,1965

6.Асимптотика и специальные функции

Ф.Олвер, М.,Наука,1990.

7.Зоопарк чудовищ или знакомство со спецмальными функциями

О.М.Киселёв,

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1 - График гамма-функции действительного переменного

Приложение 2 – График Гамма-функции

Таблица – таблица значений гамма-функции при некоторых значениях аргумента.

Приложение 3 – листинг программы, рисующий таблицу значений гамма-функции при некоторых значениях аргумента.

Приложение 4 – листинг программы, рисующей график гамма-функции

СОДЕРЖАНИЕ

Реферат............................................................. ...................................3

Введение........................................................... ...................................4

Теоретическая часть…………………………………………………….5

Бета функция Эйлера…………………………………………….5

Гамма функция................................................. ...................................8

2.1. Определение………………………………………………...8

2.2. Интегральное представление………………………………8

2.3. Область определения и полюсы…………………………..10

2.4. Представление Ганкеля через интеграл по петле………..10

2.5. Предельная форма Эйлера………………………………...12

2.6. Формула для произведения………………………………..13

Производная гамма функции ........................ ..................................15

Вычисление интегралов. Формула Стирлинга...........................18

Примеры вычислений интегралов................... ..................................23

Практическая часть…………………………………………………….24

Заключение....................................................... ..................................25

Список литературы……………………………………………..............26

Приложения……………………………………………………………..27

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

График гамма-функции действительного переменного

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

График Гамма-функции

ТАБЛИЦА

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

#include<stdio.h>

#include<stdlib.h>

#include<iostream.h>

#include<math.h>

#include<conio.h>

#define CN 8

static double cof[CN]={

2.5066282746310005,

1.0000000000190015,

76.18009172947146,

-86.50532032941677,

24.01409824083091,

-1.231739572450155,

0.1208650973866179e-2,

-0.5395239384953e-5,

};

double GammLn(double x) {

double lg,lg1;

lg1=log(cof[0]*(cof[1]+cof[2]/(x+1)+cof[3]/(x+2)+cof[4]/(x+3)+cof[5]/(x+4)+cof[6]/(x+5)+cof[7]/(x+6))/x);

lg=(x+0.5)*log(x+5.5)-(x+5.5)+lg1;

return lg;

}

double Gamma(double x) {

return(exp(GammLn(x)));

}

void main()

{

double x[8],g[8];

int i,j;

clrscr();

cout<<"vvedite x[1]";

cin>>x[1];

printf("\n\t\t\t_________________________________________");

printf("\n\t\t\t| x |Gamma(x) |");

printf("\n\t\t\t_________________________________________");

for(i=1;i<=8;i++)

{

x[i+1]=x[i]+0.5;

g[i]=Gamma(x[i]);

printf("\n\t\t\t| %f | %f |",x[i],g[i]);

}

printf("\n\t\t\t_________________________________________");

printf("\n Dlia vuhoda iz programmu najmite lybyiy klavishy");

getch();

}

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

#include<stdio.h>

#include<graphics.h>

#include<math.h>

#include<conio.h>

Double gam(double x, double eps)

{

Int I, j, n, nb;

Double dze[5]={1.6449340668422643647,

1.20205690315959428540,

1.08232323371113819152,

1.03692775514336992633,

1.01734306198444913971};

Double a=x, y, fc=1.0, s, s1, b;

If(x<=0)

{

Printf (“вы ввели неправильные данные, попробуйте снова\n”); return -1.0;

}

If(x<i)

{

A=x+1.0;

Fc=1.0/x;

}

While (a>=2)

{

A=a-1.0;

Fc=fc*a;

}

A=a-1.0;

If(a==0) return fc;

B=a*a;

S=0;

For (i=0;i<5;i++)

{

S=s+b*dze[i]/(i+2.0);

B=-b*a;

}

Nb=exp((i.0/6.0)*(7.0*log(a)-log(42/0)-log(eps)))+I;

For (n=1;n<=nb;n++)

{

B=a/n;

Si=0;

For(j=0; j<5; j++)

{

Si=si+b/(j+1.0);

B=-b*a/n;

}

S=s+si-log(1.0+a/n);

}

Y=exp(-ce*a+s);

Return y*fc;

}

Main()

}

Double dx,dy, xfrom=0,xto=4, yto=5, h, maxy, miny;

Int n=100, I, gdriver=DETECT, gmode, X0, YN0, X, Y, Y0,pr=0;

Initgraph(&gdriver,&gmode, “ ”);

X0=30;

YN0=getmaxy()-20;

Line(30, getmaxy ()-10,30,30);

Line(20, getmaxy ()-30, getmaxx ()-20, getmaxy ()-30);

X=170;

Y=450;

Do{

Moveto(X,Y);

DO{

Y=Y-1;

Lineto(X,Y);

Y=Y-10;

Moveto(X,Y);

}while (Y>30);

X=X+150;

Y=450;

}while (X<700);

X=30;

Y=366;

Do{

Moveto(X,Y);

Do{

X=X+1;

Lineto(X,Y);

X=X+10;

Moveto(X,Y);

}while (X<=620);

Y=Y-84;

X=30;

}while (y>=30);

X=30+150.0*0,1845;

Moveto(X,30);

For9i=1;i<n,i++)

{

Dx=(4.0*i)/n;

Dy=gam(dx,1e-3);

X=30+(600/0*i)/n;

Y=450-84*dy;

If(Y<30) continue;

Lineto (X,Y);

}

X=30+150.0*308523;

Lineto(X,30);

Line (30,30,30,10);

Line(620,450,640,450);

Line(30,10,25,15);

Line(30,10,25,15);

Line(640,450,635,445);

Line(640,450,635,455);

Line(170,445,170,455);

Line(320,445,320,455);

Line(470,445,470,455);

Line(620,445,620,455);

Line(25,366,35,366);

Line(25,282,35,282);

Line(25,114,35,114);

Line(25,30,35,30);

Outtexty(20,465,"0");

Outtexty(165,465, "1";

Outtexty(315,465, "2";

Outtexty(465,465, "3";

Outtexty(615,465, "4";

Outtexty(630,465, "x";

Outtexty(15,364, "1";

Outtexty(15,280, "2";

Outtexty(15,196, "3";

Outtexty(15,112, "4";

Outtexty(15,30, "5";

Outtexty(15,10, "y";

Getch()

}