Реферат: Частные производные

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ ЭКОНОМИКИ И ИНФОРМАТИКИ

КАФЕДРА МАТЕМЕТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ В ЭКОНОМИКЕ

РЕФЕРАТ

НА ТЕМУ:

“ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ”

ВЫПОЛНИЛ:

СТУДЕНТ II КУРСА ГР. И-04-2

ПИВКОВ В.А.

ПРОВЕРИЛ:

ВОРОНОВА Е.А.

г. Липецк - 2006

Содержание.

I. Функции нескольких переменных.

II. Частные производные

III. Частные производные и дифференциалы высших порядков

Список литературы

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПРЕМЕННЫХ.

Определение функции нескольких переменных.

Переменная z называется функцией двух независимых переменных x и y , если некоторым парам значении x и y по какому – либо правилу или закону ставится в соответствие определенное значение z.

Множество G пар значений x и y , которые могут принимать переменные x и y , называется областью определения функции, а множество всех значений, принимаемых z в области определения, - областью значений функции z . Переменные x и называются аргументами функции.

Пара чисел x и y определяет положение точки M на плоскости xOy с координатами x и y . Поэтому функцию двух переменных можно рассматривать либо как функцию двух переменных можно рассматривать как функцию точки M, либо как скалярную функцию векторного аргумента .

Каждой тройке (x; y; z) в пространстве Oxyz соответствует точка M(x; y; z). Совершенно аналогично случаю двух переменных можно дать определение функции трех переменных . Областью определения функции трех переменных будет все пространство или его часть.

Аналогично можно дать определение функции четырех и более переменных.

1.2 Предел функции двух переменных.

Множество точек M(x; y), координаты x и y которых удовлетворяют неравенству или называется δ-окрестность точки .

Определение. ЧислоA называет пределом функции при стремлении точки M к точке , если для любого ε>0 существует такое δ>0 , что для всех точек M из области определения этой функции, удовлетворяющих условию имеет место неравенство . Обозначают это так: или

Функция называется бесконечно малой при если

1.3 Непрерывность функции двух переменных.

Пусть точка принадлежит области определения . Определение. Функция называется непрерывной в точке если

или причем точка M стремится к M₀ произвольным образом, оставаясь в области определения функции.

Обозначим , . Полным приращением при переходе от точки , к точке M называется разность значении функции в этой точке , т.е.

Частные производные.

2.1 Частные производные.

Частной производной функции нескольких переменных по какой-нибудь переменной в рассматриваемой точке называется обычная производная по этой переменной, считая другие переменные фиксированными (постоянными). Например, для функции двух переменных в точке частные производные определяются так:

,

,

если эти пределы существуют. Величина называется частным приращением функции z в точке по аргументу . Используются и другие обозначения частных производных:

, , , ,

, , , .

Символы , , , как дроби трактовать нельзя (в этом отличие от случая одной переменной).

Из определения следует геометрический смысл частной производной функции двух переменных: частная производная - угловой коэффициент касательной к линии пересечения поверхности и плоскости в соответствующей точке .

Пользуясь понятием скорости изменения переменной, можно сказать, что частная производная есть скорость изменения функции относительно при постоянном .

Из определения частных производных следует, что правила вычисления их остаются теми же, что для функций одной переменной, и только требуется помнить, по какой переменной ищется производная.

Пример 1. Если , то , .

Пример 2. Если , то , . Величина называется изотермическим коэффициентом упругости идеального газа.

Аналогично определяются и обозначаются частные производные функции трех и большего числа независимых переменных.

2.2 Полный дифференциал.

. (1)

Если приращение (1) можно представить в виде , (2)

Где А и В не зависят от и , а и стремятся к нулю при стремлении к нулю и , то функция называется дифференцируемой в точке , а линейная часть приращения функции (т.е. та часть , которая зависит от и линейно) называется полным дифференциалом (или просто дифференциалом ) этой функции в точке и обозначается символом :

. (3)

Из определения дифференцируемости функции следует, что если данная функция дифференцируема в точке , то она в этой точке непрерывна.

Действительно, если в точке функция дифференцируема, то для этой точки представимо в форме (2), откуда следует, что

,

а это и означает, что в точке функция непрерывна.

Из дифференцируемости функции в данной точке следует существование ее частных производных в этой точке (необходимое условие дифференцируемости ).

В самом деле, пусть функция в точке дифференцируема. Тогда имеет место соотношение (2). Полагая в нем , имеем:

.

Деля на и переходя к пределу при , получаем:

.

Это означает, что в точке существует частная производная функции по и . (4)

Аналогично доказывается, что в точке существует частная производная

. (5)

Используя формулы (4) и (5), можно переписать выражение (3) в виде

.

Если положить , то , т.е. . Аналогично, полагая , получим . Значит, дифференциалы независимых переменных совпадают с приращениями этих переменных, и можно записать дифференциал (3) в следующем виде: .

Теорема (достаточное условие дифференцируемости). Если функция имеет частные производные в некоторой окрестности точки и эти производные непрерывны в самой точке , то эта функция дифференцируема в точке .

Доказательство . Дадим переменным и столь малые приращения и , чтобы точка не вышла за пределы указанной окрестности точки . Полное приращение можно записать в виде .

Каждая из этих разностей представляет частное приращение функции. Преобразует каждую из этих разностей по формуле Лагранжа. Получим:

(6)

Так как производные и непрерывны в точке , то

,

Отсюда

,, где и - бесконечно малые при , . Подставляя эти значения в равенство (6), находим:

,

а это и означает, что функция дифференцируема в точке .

2.3 Производные и дифференциал сложной функции.

Пусть , где , . Тогда в конечном итоге z будет функцией одной переменной t . Предположим, что , непрерывны и , существуют. Найдем . Дадим переменной t приращение . Тогда x , y , а следовательно, и z получат свои приращения , и . В силу достаточного условия дифференцируемости

,

откуда

.

Устремим теперь к нулю. Тогда и будут стремиться к нулю, так как функции x иy непрерывны (мы предположили существование производных и ), а потому и будут стремиться к нулю. В пределе получим:

,

или, короче,

. (7)

Формула (7) называется формулой производной сложной функции .

Пример 1. Пусть , , . По формуле (7) имеем:

.

Предположим, в частности, что роль независимой переменной играет, т.е. рассмотрим функцию , где . Согласно формуле (7) будем иметь:

, (8)

так как . В формуле (8) - частная производная по первому аргументу функции двух переменных , а - обычная производная сложной функции одной переменной x : . Последнюю производную будем называть полной производной функции. В случае, когда , где , аналогично получает:

( - частная производная по второму аргументу функции , - полная производная функции одной переменной y: ).

Пусть теперь , ( здесь предполагается существование первых производных функций , по и ). В этом случае z будет функцией двух независимых переменных и . Следовательно, для этого случая формулу (7) нужно переписать в виде

. (9)

Аналогично

. (10)

Пример 2. Если , где , от , .

Из формул (9) и (10) видно, что символ частной производной, как уже отмечалось выше, нельзя трактовать как дробь. В самом деле, если бы можно было сократить на и , то из формул (9) и (10) получили бы, что

и .

2.3 Неявные функции и их дифференцирование.

Если уравнение, с помощью которого задается функция одной переменной x , не разрешено относительно y , то эта функция называется неявной . Разрешая это уравнение относительно y , мы получаем ту же функцию, но уже заданную в явной форме. Однако часто бывает, что разрешить такое уравнение относительно y невозможно (например, ) или нецелесообразно; в этом случае уравнение так и оставляют неразрешенным, в общем виде (когда все его члены перенесены в левую часть):

. (11)

В связи с этим встает вопрос о том, как найти производную неявной функции, не разрешая уравнения (11) относительно у .

Если в уравнении (11), определяющем неявную функцию , задавать значения независимой переменной х , то для нахождения соответствующего значения у надо решать уравнение. Теперь, если в это уравнение подставить его решение, то получится тождество. Поэтому можно сказать также, что неявная функция , определенная уравнением (11), - это такая функция, которая, будучи подставлена в уравнение (11), обращает его в тождество. Дифференцируя это тождество по x согласно правилу дифференцирования сложной функции, получим:

.

Отсюда при вытекает формула для производной неявной функции

. (12)

Пример 1. Пусть y как функция от x задана соотношением . Найти .

Для имеем: , и согласно формуле (12)

.

Пусть уравнение (13)

Определяет z как неявную функцию независимых переменных x иy .

Пользуясь формулой (12), из равенства (13) имеем:

, . (14)

Пример 2. Найти частные производные неявной функции z , заданной уравнением .

Согласно формулам (14)

,

Частные производные и дифференциалы высших порядков.

3.1 Частные производные высших порядков.

Частные производные функции нескольких переменных сами являются функциями этих переменных и могут иметь частные производные. Для исходной функции эти последние производные будут частными производными второго порядка . Так, для функции двух независимых переменных можно определить (предполагается, что все производные существуют) четыре частные производные второго порядка, которые обозначаются символами

, ,

, .

Частные производные и , отличающиеся порядком дифференцирования, называются смешанными частными производными второго порядка .

Аналогично определяются частные производные третьего, четвертого и старших порядков.

Пример. Найти частные производные второго порядка функции .

Имеем:

, ,,

, , , .

Здесь =. Оказывается, имеет место следующая теорема.

Теорема . Смешанные производные второго порядка равны, если они непрерывны: =.

Следствие. Смешанные производные высших порядков равны, если они непрерывны и получены в результате дифференцирования по одним и тем же переменным одинаковое число раз, но может быть в разной последовательность .

Покажем это на примере:

,

т.е.

.

Здесь мы дважды пользовались только что отмеченной теоремой: первый раз применительно к функции (мы изменили порядок ее дифференцирования), второй раз использовали равенство =. В общем случае схема рассуждений аналогична.

3.2 Признак полного дифференцирования.

Выясним, при каких условиях выражение , (1)

где и непрерывны и вместе со своими частными производными первого порядка, является полным дифференциалом некоторой функции , или, кратко, полным дифференциалом.

Теорема . Выражение (1) есть полный дифференциал тогда и только тогда, когда выполнено равенство

.

3.3. Дифференциалы высших порядков.

Заметим прежде всего, что для функции нескольких переменных справедливы те же общие правила дифференцирования, что и для функции одной переменной:

I. ,.

II. .

III. .

IV. .

Пусть имеется функция независимых переменных x иy , обладающая непрерывными частными производными второго порядка. Рассмотрим ее полный дифференциал

(dx иdy – произвольные приращения), который назовем полным дифференциалом первого порядка (или, кратко, первым дифференциалом ).

Так как и по предложению имеют непрерывные частные производные первого порядка, то от функции , в свою очередь, можно взять полный дифференциал . Так получим полный дифференциал второго порядка (или, кратко, второй дифференциал ), который обозначается .

Аналогично, потребовав существование непрерывных частных производных третьего, четвертого, п -го порядков, можно получить полные дифференциалы соответственно третьего, четвертого, п -ого порядков.

Найдем выражения для второго дифференциала через частные производные. Пользуясь правилами I, III (dx иdy не зависят отx иy , т.е. рассматриваются как постоянные) и приведенной в п. 3.1 теоремой, можно записать:

(2)

(здесь , ).

Формула (2) обобщается на случай дифференциала п -го порядка.