Реферат: Решение игры в смешанных стратегиях

Решение игр в смешанных стратегиях.

Если игра не имеет седловой точки, то применение чистых стратегий не дает оптимального решения игры. Так, в примере 1 α ≠ β , седловая точка отсутствует. В таком случае можно получить оптимальное решение, случайным образом чередуя чистые стратегии.

Смешанной стратегией S_A игрока А называется применение чистых стратегий A₁ , A₂ , ..., A_m с вероятностями p₁ , p₂ , ..., p_i , ..., p_m причем сумма вероятностей равна 1:

Смешанные стратегии игрока А записываются в виде матрицы

или в виде строки S_A = (p₁ , p₂ , ..., p_i , ..., p_m )

Аналогично смешанные стратегии игрока В обозначаются:

, или, S_B = (q₁ , q₂ , ..., q_i , ..., q_n ),

где сумма вероятностей появления стратегий равна 1:

Чистые стратегии можно считать частным случаем смешанных и задавать строкой, в которой 1 соответствует чистой стратегии. На основании принципа минимакса определяется оптимальное решение (или решение ) игры: это пара оптимальных стратегий S^* _A , S^* _B в общем случае смешанных, обладающих следующим свойством: если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то другому не может быть выгодно отступать от своей. Выигрыш, соответствующий оптимальному решению, называется ценой игры v . Цена игры удовлетворяет неравенству:

α ≤ v ≤ β

где α и β — нижняя и верхняя цены игры. Справедлива следующая основная теорема теории игр — теорема Неймана . Каждая конечная игра имеет по крайней мере одно оптимальное решение , возможно, среди смешанных стратегий . Пусть S^* _A = (p^* ₁ , p^* ₂ , ..., p^* _i , ..., p^* _m ) и S^* _B = (q^* ₁ , q^* ₂ , ..., q^* _i , ..., q^* _n ) — пара оптимальных стратегий. Если чистая стратегия входит в оптимальную смешанную стратегию с отличной от нуля вероятностью, то она называется активной.

Справедлива теорема об активных стратегиях: если один из игроков придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то выигрыш остается неизменным и равным цене игры v , если второй игрок не выходит за пределы своих активных стратегий .

Эта теорема имеет большое практическое значение — она дает конкретные модели нахождения оптимальных стратегий при отсутствии седловой точки.

Рассмотрим игру размера 2×2 , которая является простейшим случаем конечной игры. Если такая игра имеет седловую точку, то оптимальное решение — это пара чистых стратегий, соответствующих этой точке.

Игра, в которой отсутствует седловая точка, в соответствии с основной теоремой теории игр оптимальное решение существует и определяется парой смешанных стратегий S^* _A = (p^* _1, p^* ₂ ) и S^* _B = (q^* ₁ , q^* ₂ ).

Для того чтобы их найти, воспользуемся теоремой об активных стратегиях. Если игрок А придерживается своей оптимальной стратегии S'_A , то его средний выигрыш будет равен цене игры v , какой бы активной стратегией ни пользовался игрок В . Для игры 2×2 любая чистая стратегия противника является активной, если отсутствует седловая точка. Выигрыш игрока А (проигрыш игрока В ) — случайная величина, математическое ожидание (среднее значение) которой является ценой игры. Поэтому средний выигрыш игрока А (оптимальная стратегия) будет равен v и для 1 -й, и для 2 -й стратегии противника.

Пусть игра задана платежной матрицей

Средний выигрыш игрока А , если он использует оптимальную смешанную стратегию

,

а игрок В — чистую стратегию B₁ (это соответствует 1 -му столбцу платежной матрицы Р ), равен цене игры v : a₁₁ p^* ₁ + a21 p^* ₂ = v . Тот же средний выигрыш получает игрок А , если 2 -й игрок применяет стратегию B₂ , т.е. a₁₂ p^* ₁ + a₂₂ p^* ₂ = v . Учитывая, что p^* ₁ + p^* ₂ = 1 , получаем систему уравнений для определения оптимальной стратегии S'_A и цены игры v :

Решая эту систему, получим оптимальную стратегию

и цену игры

Применяя теорему об активных стратегиях при отыскании S^* _B - оптимальной стратегии игрока В , получаем, что при любой чистой стратегии игрока А (А₁ или А₂ ) средний проигрыш игрока В равен цене игры v , т.е.

Тогда оптимальная стратегия определяется формулами:

Пример 1.

Игра «поиск»

Игрок А может спрятаться в одном из двух убежищ (I и II ); игрок В ищет игрока А , и если найдет, то получает штраф 1 ден. ед. от А , в противном случае платит игроку А 1 ден. ед. Необходимо построить платежную матрицу игры.

Решение . Для составления платежной матрицы следует проанализировать поведение каждого из игроков. Игрок А может спрятаться в убежище I – обозначим эту стратегию через A₁ или в убежище II — стратегия A₂ .

Игрок В может искать первого игрока в убежище I — стратегия B₁ , либо в убежище II — стратегия B₂ . Если игрок А находится в убежище I и там его обнаруживает игрок В , т.е. осуществляется пара стратегий (A₁ , B₁ ), то игрок А платит штраф, т.е. a₁₁ = - 1 . Аналогично получаем a₂₂ = - 1 (A₂ , B₂ ) . Очевидно, что стратегии (A₁ , B₂ ) и (A₂ , B₁ ) дают игроку А выигрыш 1 , поэтому a₁₂ = a₂₁ = 1. Таким образом, для игры "поиск" размера 2×2 получаем платежную матрицу

Применим полученные результаты для отыскания оптимальных стратегий для игры, рассмотренной в примере 1.

Пример 2.

Найти оптимальные стратегии игры, приведенной в примере 1.

Решение . Игра "поиск" задана платежной матрицей без седловой точки:

Поэтому ищем решение в смешанных стратегиях; для игрока А средний выигрыш равен цене игры v (при B₁ и B₂ ) ; для игрока В средний проигрыш равен цене игры v (при A₁ и B₂ ). Системы уравнений в данном случае имеют вид:

Решая эти системы, получаем

Это означает, что оптимальная стратегия каждого игрока состоит в том, чтобы чередовать свои чистые стратегии случайным образом, выбирая каждое из убежищ с вероятностью 1/2 , при этом средний выигрыш равен 0 .

РЕФЕРАТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА»

НА ТЕМУ: «Решение игры в смешанных стратегиях».