Реферат: Векторная алгебра 2

ГЛАВА 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.

§1. Основные определения.

При изучении различных физических процессов и явлений нам приходится иметь дело с объектами разной природы. Некоторые величины в физике, механике и технике полностью описываются заданием их числовых значений. Такими величинами, например, являются длина, объём тела, его масса, температура, электрический заряд и другие.

Эти величины называются скалярными или просто скалярами.

Однако, чтобы задать такие величины как скорость, ускорение, силу, напряженность магнитного поля и так далее, необходимо указать не только численное значение этой величины, но и её направление в пространстве.

Определение 1.

Величина, для которой указаны ее численное значение и направление , называется векторной или вектором.

Векторы изображаются направленными прямолинейными отрезками и обозначаются или , где точки и – начало и конец вектора соответственно. Так фиксируется его направление.

Численное значение векторной величины называется длиной или модулем вектора и обозначается или (длина отрезка).

Если , то – нулевой вектор; направление нулевого вектора

не определено, т. е. его можно считать произвольным.

Определение 2.

Если задан ненулевой вектор , то единичный вектор того же направления называется ортом вектора .

Определение 3.

Два вектора и называются коллинеарными , если они параллельны одной прямой. Это обычно обозначают так . Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Определение 4.

Три вектора называются компланарными , если они параллельны одной плоскости. Нулевой вектор считается компланарным любой системе компланарных между собой векторов.

Определение 5.

Два вектора равны , т.е. , если выполнены три условия:

1. модули их равны =;

2. они параллельны друг другу ;

3. вектора и одинаково направлены.

Из определения равенства векторов следует, что параллельное перемещение не меняет вектора . Этим свойством можно пользоваться, чтобы приводить векторы к общему началу, т. е. откладывать их из одной точки. Такие вектора называют свободными .

§2. Линейные операции над векторами.

Операции сложения , вычитания векторов и умножения вектора на скаляр называются линейными.

Сложение и вычитание векторов.

Сумму двух векторов и можно найти по правилу параллелограмма .

Для этого надо привести их к общему началу и построить на этих векторах параллелограмм как на сторонах. Тогда диагональ параллелограмма, исходящая из общего начала векторов и и будет их суммой (рис.1).

.

Вычитание векторов можно выполнять

как сложение вектора и , т.е. .

Тогда вторая диагональ параллелограмма, исходящая из конца вектора даст нам вектор , представляющий собой разность векторов и : .

Так как противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны, то, учитывая определение равенства двух векторов, сумму векторов и можно представить как третий вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора .

Такой способ построения суммы векторов называют правилом треугольника .

Для этого начало вектора надо совместить с концом вектора , а затем соединить начало вектора с концом вектора .

Тогда, как видно из рис.1, получим вектор .

Для нахождения разности векторов приведём

их к общему началу. Соединив их концы, построим треугольник. Тогда имеем .

Отсюда легко можно получить правило для нахождения суммы большего числа векторов.

Сумму нескольких векторов можно найти по правилу многоугольника: чтобы найти вектор, представляющий собой сумму заданных векторов, нужно последовательно совместить начало следующего вектора-слагаемого с концом предыдущего, тогда вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец – с концом последнего, будет суммой заданных векторов.

Например, вектор есть сумма заданных векторов и :

Свойства сложения векторов:

1) – переместительное св-во (коммутативность);

2) – сочетательное св-во (ассоциативность). Оба свойства операции сложения векторов следуют непосредственно из определения операции.

Для любых двух векторов и справедливо неравенство треугольника: (если векторы и неколлинеарны, то сумма длин двух его сторон больше длины третьей стороны). Очевидно, что это неравенство выполняется и для любого числа векторов, т.е. .

Умножение вектора на скаляр .

Пусть – ненулевой вектор, – скаляр.

Произведением вектора на скаляр называется вектор , обладающий следующими свойствами:

а) , ;

б) , т.е. они коллинеарны;

в) сонаправлен вектору (т.е. направлен одинаково с ним), если , и направлен в противоположную сторону, если .

Замечание. Из определения следует, что

1. вектор нулевой , если один из его сомножителей равен нулю;

2. критерий коллинеарности двух векторов:

если , при (существует такое ).

Свойства умножения вектора на скаляр:

1. Перестановочное (или коммутативное)

2. Сочетательное (или ассоциативное): , где - скаляры.

3. Распределительное (дистрибутивное):

, где и - скаляры;

.

Доказательства этих свойств непосредственно вытекают из определения равенства векторов и сложения векторов.

3. Линейная зависимость и независимость векторов .

Пусть даны векторы и скаляры .

Определение 1. Вектор

называется линейной комбинацией векторов .

Определение 2.

Векторы называются линейно независимыми , если равенство

выполняется только при условии, что при всех

(только при нулевом наборе коэффициентов ).

Определение 3.

Векторы называются линейно зависимыми , если их линейная комбинация обращается в ноль при условии, что хоть один из скаляров отличен от нуля.

Это значит, что среди всех наборов коэффициентов , при которых линейная комбинация обращается в ноль, есть хоть один ненулево й.

Замечание.

Пусть , а какой-то отличен от нуля. Например, пусть . Тогда имеем

.

Следовательно, если система векторов линейно зависима, то, по крайней мере, один из векторов этой системы есть линейная комбинация остальных векторов.

Поэтому любые два коллинеарных вектора () линейно зависимы, и любые три компланарных вектора () тоже линейно зависимы.

Справедливы и обратные утверждения: любые два неколлинеарных вектора на плоскости линейно независимы и любые три некомпланарных вектора в пространстве линейно независимы.

Действительно, если ненулевые векторы и неколлинеарны, то из следует . Иначе есть ненулевой набор коэффициентов , что противоречит предположению о неколлинеарности.

Если же три ненулевых вектора и некомпланарны (два вектора всегда компланарны), то из равенства следует, что . Иначе опять придём к противоречию:

если, например, , то и по определению операции сложения векторов данные вектора и образуют треугольник, через который можно провести плоскость.

Определение 4.

Любая пара неколлинеарных векторов на плоскости и любая тройка векторов в пространстве называется базисом множества всех векторов, расположенных соответственно на плоскости или в пространстве.

Сами эти векторы называют базисными векторами .

Из замечания следует, что, если два компланарных вектора и не коллинеарны , то любой третий вектор , компланарный с ними, можно представить в виде , т.е., как говорят, можно разложить по базису (, ). Числа и в этом случае называются координатами вектора в базисе (, ). . Разложение вектора по базису (, ) единственно, т.е. координаты и можно найти единственным образом. Покажем это.

Действительно .Пусть заданы векторы , причем и неколлинеарны. Если вектор коллинеарен одному из векторов, например, вектору , тогда или , где .

Если вектор неколлинеарен ни одному из векторов и , то приведём вектора к одному началу . Продолжим прямые, на которых лежат вектора и , а затем проведем прямые, параллельные векторам и через конец вектора , достроив таким образом параллелограмм OPQR . . Вектор является диагональю параллелограмма. Тогда по правилу параллелограмма имеем , но

Из построения следует и единственность такого разложения вектора по базису . Количество базисных векторов называется размерностью векторного пространства: так плоскость называется двумерным пространством и обозначается .

Любые три некомпланарных вектора , , в пространстве линейно независимы и образуют базис трехмерного пространства ; всякий четвертый вектор этого пространства можно единственным образом разложить по базису (, , ), т.е. представить в виде , где a, b, g – координаты вектора в базисе (, , ),.

Доказательство можно провести аналогично предыдущим рассуждениям.

Определение 5.

Три некомпланарных вектора , , называются правой тройкой векторов, если из конца третьего вектора () кратчайший поворот от первого вектора () ко второму вектору () виден происходящим

в положительном направлении (против часовой стрелки).

И, соответственно, – левой тройкой, если по часовой стрелке.

§ 4. Проекция вектора на ось.

Проекцией точки А на заданную ось называется точка, которая является основание перпендикуляра , опущенного из точки А на ось.

Проекцию точки на ось можно также определить как точку пересечения оси с проектирующей плоскостью, т. е. с плоскостью, проведённой через данную точку перпендикулярно оси.

Пусть в пространстве заданы два вектора и .

Приведём их к общему началу. Углом между векторами и называется наименьший угол, на который надо повернуть один из векторов,

чтобы его направление совпало с направлением другого вектора. Из этого определения следует, что .

Определение 1.

Проекцией вектора на ось называется длина отрезка , взятая со знаком плюс , если вектор и ось одинаково направлены, и со знаком минус, если они направлены в разные стороны.

Проекцию вектора на ось будем обозначать следующим образом: или .

Очевидно, что , если угол между векторами и острый, и , если угол между векторами и – тупой.

Проекцию можно вычислить по формуле

,

где – угол наклона вектора к оси .

Теорема 1 .

Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось.

Доказательство .

Пусть . Обозначим через проекции на ось точек A , B и C соответственно. Пусть точки имеют по оси соответственно координаты . Тогда

, и

,

что и требовалось доказать.

Эта теорема легко обобщается на случай любого числа слагаемых.

Теорема 2 .

Если вектор умножить на число , то и его проекция на ось умножится на число .

Доказательство .

Заметим, что если , то вектор направлен в ту же сторону, что и вектор и составляет с осью тот же угол , что вектор . Если , то вектор направлен противоположно вектору и составляет с осью угол ().

1). Пусть , тогда по формуле

.

2)пусть , тогда по формуле

что и требовалось доказать.

Следствие .

Проекция разности двух векторов на ось равна разности проекций этих векторов на ту же ось.

Произведение проекции вектора на ось на единичный вектор этой оси (его называют ортом ) называется составляющей вектора по оси .

§5. Координаты вектора в декартовом базисе

Определение 1.

Три некомпланарных вектора , , называются правой тройкой векторов, если из конца третьего вектора () кратчайший поворот от первого вектора () ко второму вектору () виден происходящим в положительном направлении (против часовой стрелки) и левой тройкой в противном случае.

Мы уже говорили, что ортом ненулевого вектора называется единичный вектор , направленный одинаково с вектором .

Выберем в пространстве произвольную точку и проведём через неё три взаимно перпендикулярные оси. Перенумеруем их. Ось с выбранным на ней началом отсчёта и единицей длины называется координатной осью.

Упорядоченная система (т.е. перенумерованная система) трёх взаимно перпендикулярных координатных осей с общим началом отсчёта и общей единицей длины называется прямоугольной системой координат в пространстве (её называют также декартовой системой координат или ортогональной системой координат).

В этой системе координат первую ось будем называть осью абсцисс (или осью ), вторую – осью ординат (или осью ), третью – осью аппликат (или осью ).

Плоскости, содержащие любые две координатные оси будем называть координатными плоскостями:

плоскостью или , если она содержит оси и ,

плоскостью или , если она содержит оси и ,

плоскостью или , если она содержит оси и .

Эти плоскости будут перпендикулярны координатным осям , и соответственно.

Введём единичные векторы , направления которых совпадают с положительным направлением соответственно осей , , , т.е.

, , .

Векторы в дальнейшем будем называть ортами осей прямоугольной или декартовой системы координат.

Различают правую и левую координатные системы. В дальнейшем будем использовать правую систему координат.

Векторы некомпланарны и, следовательно, образуют базис трёхмерного пространства. Эти векторы взаимно перпендикулярны и модули их равны единице

.

Такая система базисных векторов называется ортогональной и нормированной .

Иногда говорят, что правая тройка взаимно ортогональных ортов образует декартов базис.

Рассмотрим произвольный вектор и найдем проекции этого вектора на оси координат. Эти проекции будем называть координатами вектора в декартовом базисе .

Поместим начало вектора в точку O . Тогда .

Проведем через конец вектора OM плоскости, параллельные координатным плоскостям. Они отсекут на координатных осях отрезки, которые представляют собой проекции вектора OM на соответствующие координатные оси. В результате такого построения получим прямоугольный параллелепипед, одной из диагоналей которого является вектор .

По правилу сложения векторов ,

но , .

Следовательно,

Рис.4

В правой части стоят составляющие вектора по осям координат:

, ,

,

Тогда разложение вектора по ортам декартовой системы координат запишется в виде

.

Часто используется более короткое обозначение .

Зная проекции вектора на координатные оси, можно легко найти . Действительно , так как квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его сторон, то

.

Вектор ( – начало координат) называется радиус-вектором точки M . Координатами точки в пространстве называются проекции её радиуса-вектора на координатные оси , т.е. координаты вектора совпадают с координатами точки M

.

Заметим, что радиус-вектор точки является связанным вектором, так как его начало всегда совпадает с началом координат.

Пусть и – точки пространства. Найдем координаты вектора . По правилу сложения векторов имеем

,

.

Рис. 5

Таким образом, проекции вектора на координатные оси равны разностям соответствующих координат конца и начала вектора.

Теперь мы можем определить расстояние между двумя точками пространства как длину соответствующего вектора

Вспомним основные теоремы о проекциях. Пусть даны два вектора , и скаляр . Тогда из свойств проекций вектора на ось следует

Пусть . Проектируя это равенство на оси координат, получим , , . Следовательно, одноимённые координаты у этих векторов пропорциональны

.

Это условие коллинеарности векторов в координатной форме.

Косинусы углов, которые вектор образует с осями координат, называются направляющими косинусами вектора .

,

где – угол между вектором и осью .

; ; ,

где и – углы между вектором и осями , и соответственно.

,

таким образом,

.

§6. Скалярное произведение двух векторов

Определение.

Скалярным произведением двух векторов и называется произведение их модулей на косинус угла между ними (т.е. число или скаляр):

.

Свойства скалярного произведения двух векторов:

1) Из определения следует переместительное свойство

;

2) Скалярное произведение равно нулю, т.е.

или

в двух следующих случаях:

а) или

б) (ортогональны)

Таким образом, равенство нулю скалярного произведения двух векторов является необходимым и достаточным условием их перпендикулярности (или ортогональности) .

3) Рассмотрим скалярное произведение двух коллинеарных векторов.

Если , то . Если же , то мы имеем скалярное произведение вектора самого на себя .

Скалярное произведение вектора самого на себя называется скалярным квадратом и обозначается .

4) Распределительное свойство

.

Действительно, заметим, что

.

Тогда

5) Если – скаляр, то .

6) Непосредственно из определения операции скалярного умножения векторов следуют формулы

; ,

7) Для базисных векторов справедливы равенства:

; ; ; .

8) Найдём теперь выражение для скалярного произведения в координатной форме.

Пусть , . Скалярное произведение

Таким образом,

.

Условие ортогональности векторов в координатной форме:

.

Замечание.

Выясним механический смысл скалярного произведения.

Пусть под действием постоянной силы точка перемещается по прямой из положения в положение . Сила образует с прямой угол . Работа силы на этом перемещении равна

.

Если ввести вектор перемещения , то выражение для работы можно переписать в виде

.

Следовательно, работа силы равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.

§7. Векторное произведение векторов

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который определяется следующим образом:

а) ,

т.е. численно равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах как на сторонах;

б) и , т.е. он перпендикулярен плоскости, в которой лежат перемножаемые векторы;

в) , , образуют правую тройку векторов, то есть, если из конца вектора () кратчайший поворот от вектора () к вектору () виден происходящим против хода часовой стрелки.

Векторное произведение векторов и обозначается или .

Рис. 6.

Свойства векторного умножения векторов

1. .

Т.к. ,

причем векторы и коллинеарны, но направлены противоположно.

2. , если или или .

Действительно, если оба вектора ненулевые, то при

.

В частности для любого вектора .

Таким образом, для коллинеарности двух ненулевых векторов необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение было бы равно нулю.

3. Ассоциативность (или сочетательность) относительно скалярного множителя: если – скаляр, то справедливо равенство

.

Действительно.

.

Пары векторов и лежат в одной плоскости, . Также легко можно убедиться в справедливости и второй части равенства.

4. Дистрибутивность относительно сложения векторов:

.

5. Векторные произведения координатных ортов.

, , ;

,

где – координатные орты;

6. Найдем теперь координаты векторного произведения векторов в декартовом базисе .

Пусть и .

Используя уже рассмотренные свойства, получим

Итак, если и , то

.

§8. Смешанное произведение трех векторов.

Если взять вектор и умножить его векторно на вектор , а затем полученный вектор скалярно умножить на третий вектор , то получим векторно-скалярное или смешанное произведение трёх векторов.

Определение.

Смешанным произведением трех векторов , и называется скалярное произведение вектора на вектор . Смешанное произведение векторов обозначается так .

Свойства смешанного произведения.

1. , тогда и только тогда, когда векторы компланарны.

2. Выясним геометрический смысл смешанного произведения. Смешанное произведение некомпланарных отличных от нуля векторов по абсолютной величине равно объему параллелепипеда, построенного на векторах .

Покажем это. Приведём все три вектора к одному началу и построим на них параллелепипед. Пусть основанием параллелепипеда является параллелограмм, построенный на векторах . Площадь этого параллелограмма . Обозначим через единичный вектор, перпендикулярный плоскости основания нашего параллелепипеда, а через – угол между векторами и . Тогда . Скалярное произведение векторов , взятое по абсолютной величине, равно высоте h нашего параллелепипеда (если тройка векторов правая, то , а если вектора , и образуют левую тройку векторов, то ).

Объем параллелепипеда

=.

Очевидно, что правая и левая части этого равенства равны по абсолютной величине и имеют одинаковые знаки.

Таким образом, смешанное произведение трёх векторов есть число, модуль которого равен объёму параллелепипеда, построенного на данных векторах. Это число положительное, если векторы образуют правую тройку векторов и отрицательное в противном случае.

3. Круговая перестановка сомножителей в смешанном произведении не меняет его величины, так как при круговой перестановке векторов правая тройка векторов остаётся правой, а левая – левой, т. е. .

4. Из определения смешанного произведения и векторного произведения следует, что при перестановке местами двух соседних сомножителей смешанного произведения оно меняет знак, так как при такой перестановке векторов правая тройка становится левой, а левая – правой, то есть

.

5. Найдем смешанное произведение трех векторов, заданных разложениями в декартовом базисе.

Пусть

, и .

.

Следовательно,

.

Итак, .