Скачать .docx | Скачать .pdf |
Реферат: Методы прямоугольников и трапеций
Методы прямоугольников и трапеций. Простейшим методом численного интегрирования является метод прямоугольников. Он непосредственно использует замену определенного интеграла интегральной суммой (3.20). В качестве точек ξ i могут выбираться левые (ξ = x i -1 ) или правые (ξ i = xi ) границы элементарных отрезков. Обозначая f{xi ) = yi , ∆xi = hi , получаем следующие формулы метода прямоугольников соответственно для этих двух случаев:
∫ f(x) dx h1 y0 + h2 y1 + ... + hn yn-1 (3.24)
∫ f(x) dx h1 y1 + h2 y2 + ... + hn yn (3.25)
Широко распространенным и более точным является вид формулы прямоугольников, использующий значения функции в средних точках элементарных отрезков (в полуцелых узлах):
∫ f{x)dx , (3.26)
Xi-1/2 = (xi-1 + xi )/2 = xi-1 + hi /2, i = 1,2,... ,n.
В дальнейшем под методом прямоугольников будем понимать последний алгоритм (он еще называется методом средних).
В рассмотренных методах прямоугольников используется кусочно постоянная интерполяция: на каждом элементарном отрезке функция f ( x ) приближается функцией, принимающей постоянные значения (константой). При этом площадь всей фигуры (криволинейной трапеции) приближенно складывается из площадей элементарных прямоугольников. На рис. 3.2 верхняя, средняя и нижняя горизонтальные штриховые линии относятся к элементарным прямоугольникам, которые соответствуют формулам (3.25), (3.26) и (3.24).
Метод трапеций использует линейную интерполяцию, т. е. график функции у = f ( x ) представляется в виде ломаной, соединяющей точки ( xi , yi ). В этом случае площадь всей фигуры приближенно складывается из площадей элементарных прямолинейных трапеций (рис. 3.2). Площадь каждой такой трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:
σi = hi , i=1,2,...,n.
Складывая все эти равенства, получаем формулу трапеций для численного интегрирования:
∫ f{x)dx (3.27)
y (xi ,yi )
(xi-1 ,yi-1 )
yi-1 yi
hiV
x
xi-1 xi-1/2 xi
Рис. З.2. Вычисление σi в методах
прямоугольников и трапеций
Важным частным случаем рассмотренных формул является их применение при численном интегрировании с постоянным шагом hi = h = const ( i = 1,2,..., n ). Формулы прямоугольников и трапеций в этом случае принимают соответственно вид
∫ f{x)dx, (3.28)
∫ f{x)dx(+). (3.29)
Погрешность численного интегрирования определяется шагом разбиения. Уменьшая этот шаг, можно добиться большей точности. Правда, увеличивать число точек не всегда возможно. Если функция задана в табличном виде, приходится, как правило, ограничиваться данным множеством точек. Повышение точности может быть в этом случае достигнуто за счет повышения степени используемых интерполяционных многочленов. Рассмотрим два таких способа численного интегрирования: использование квадратичной интерполяции (метод Симпсона) и интерполирование с помощью сплайнов.
Метод Симпсона. Разобьем отрезок интегрирования [а, b ] на четное число п равных частей с шагом h . На каждом отрезке [х0 ,х2 ], [х2 ,х4 ],... , [х i -1 ,х i +1 ], ... , [х n -2 , xn ] подынтегральную функцию f ( x ) заменим интерполяционным многочленом второй степени:
f(x) φ i (x) = ai x2 +bi x+ci , xi-1 x xi+1 .
Коэффициенты этих квадратных трехчленов могут быть найдены из условий равенства многочлена в точках хi , соответствующим табличным данным уi . В качестве φ i (х) можно принять интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени, проходящий через точки Mi -1 (xi -1 ,yi -1 ), Mi (xi ,yi ), Mi +1 (xi +1 , yi +1 ):
φ i (x)= yi-1 + yi + yi+1 .
Сумма элементарных площадей σi и σi +1 (рис. 3.3) может быть вычислена с помощью определенного интеграла. Учитывая равенства xi +1 – xi = xi - xi -1 = h , получаем
σi + σi+1 = ∫ φ i (x)dx=1/2h2 ∫ (x-xi )(x-xi+1 )yi-1 -2(x-xi-1 )(x-x+1 )yi +(x-xi-1 )(x-xi )yi+1 ]dx=
= h/3(yi-1 +4yi +yi+1 )
Проведя такие вычисления для каждого элементарного отреза [хi -1 ,хi +1 ], просуммируем полученные выражения:
S = h/3(y0 +4y1 +2y2 +4y3 +2y4 +...+2yn-2 +4yn-1 +yn ).
Данное выражение для S принимается в качестве значения определенного интеграла:
∫ f(x)dx h/3[y0 +4(y1 +y3 +...+yn-1 )+2(y2 +y4 +...+yn-2 )+yn ]. (3.30)
Полученное соотношение называется формулой Симпсона или формулой парабол.
Эту формулу можно получить и другими способами, например двукратным применением метода трапеций при разбиениях отрезка [а, b ] на части с шагами h и 2 h или комбинированием формул прямоугольников и трапеций (см. п. 5).
Иногда формулу Симпсона записывают с применением полуцелых индексов. В этом случае число отрезков разбиения п произвольно (не обязательно четно), и формула Симпсона имеет вид
∫ f(x)dx h/6[y0 +4(y1/2 +y3/2 +...+yn-1/2 )+2(y1 +y2 +...+yn-1 )+yn ]. (3.31)
Легко видеть, что формула (3.31) совпадет с (3.30), если формулу (3.30) применить для числа отрезков разбиения 2п и шага h /2.
Пример. Вычислить по методу Симпсона интеграл I = ∫ .
Значения функции при п = 10, h = 0.1 приведены в табл. 3.3.
Применяя формулу (3.30), находим
I=0.1/3[y0 +4(y1 +y3 +y5 +y7 +y9 )+2(y2 +y4 +y6 +y8 )+y10 ]=...=0.785398.
Результат численного интегрирования с использованием метода Симпсона оказался совпадающим с точным значением (шесть значащих цифр).
Один из возможных алгоритмов вычисления определенного интеграла по методу Симпсона представлен на рис. 3.4. В качестве исходных данных задаются границы отрезка интегрирования [а, b ], погрешность ε, а также формула для вычисления значений подынтегральной функции у = f (х). Первоначально отрезок [а, b ] разбивается на две части с шагом h = ( b — а)/2 . Вычисляется значение интеграла 11 . Потом число шагов удваивается, вычисляется значение 12 с шагом h /2. Условие окончание счета принимается в виде | I 1 —12 | < е. Если это условие не выполнено, происходит новое деление шага пополам и т. д.
Отметим, что представленный на рис. 3.4 алгоритм не является оптимальным: при вычислении каждого приближения I 2 не используются значения функции f (х), уже найденные на предыдущем этапе.