| Скачать .docx | Скачать .pdf |
Курсовая работа: Решетки субнормальных и f-субнормальных подгрупп
Курсовая работа
"Решетки субнормальных и 
-субнормальных подгрупп"
Введение
В теории конечных групп одним из центральных понятий является понятие -субнормальной подгруппы. Изучению свойств субнормальных подгрупп конечных групп положило начало в 1939 г. известная работа Виландта [10], оказавшая огромное влияние на развитие всей теории конечных групп в последующие годы.
В первом разделе курсовой работы изучаются основные положения теории субнормальных подгрупп. Важнейшим достижением данной теории является результат Виландта о том, что множество всех субнормальных подгрупп любой конечной группы образует решетку.
Формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно фактор-групп и подпрямых произведений, всегда находились в поле деятельности исследователей по теории конечных групп. Однако вплоть до 1963 г. формационное развитие теории конечных групп шло лишь по пути накопления фактов, относящихся к различным конкретным формациям, из которых наиболее популярными были формация разрешимых групп и ее подформации, составленные из абелевых, нильпотентных и сверхразрешимых групп. Хотя теория конечных групп никогда не испытывала недостатка в общих методах, идеях и нерешенных проблемах, все же обилие полученных результатов с неизбежностью привело к необходимости разработки новых общих методов и систематизирующих точек зрения. Толчок, произведенный работой Гашюца [8], вызвал целую лавину исследований и привел к возникновению нового направления – теории формаций.
В теории формаций одним из важнейших понятий является понятие -субнормальных подгрупп, которое является естественным расширением субнормальных подгрупп. Поэтому, конечно, возникает задача о построении теории -субнормальных подгрупп, аналогичной теории субнормальных подгрупп Виландта.
Во втором разделе курсовой работы рассматриваются минимальные не -группы.
В третьем разделе приводится описание локальных наследственных формаций, обладающих решеточным свойством для -субнормальных подгрупп.
1. Субнормальные подгпруппы и их свойства
Определение.
Пусть 
– подгруппа группы 
. Цепь подгрупп
в которой 
для любого 
, 
,…, 
, называется субнормальной 
-цепью, а число – длиной этой цепи. Наименьшее , при котором существует хотя бы одна субнормальная -цепь длины , называется дефектом подгруппы в и обозначается через 
.
Определение.
Пусть – подгруппа группы . Если существует хотя бы одна субнормальная -цепь, то подгруппа называется субнормальной, обозначается 
.
Лемма.
Если 
субнормальна в , и субнормальна в , то субнормальна в .
субнормальна в , следовательно, по определению субнормальной подгруппы существует субнормальная 
-цепь
субнормальна в , следовательно, существует субнормальная -цепь
Таким образом, мы получили субнормальную 
-цепь
то есть субнормальна в по определению. Лемма доказана.
Теорема.
Если подгруппа субнормальна, но не нормальна в , то существует такой элемент 
, что
Доказательство.
Пусть 
– дефект подгруппы в группе . Рассмотрим субнормальную -цепь длины :
Из того, что не нормальна в , следует, что 
. не нормальна и в 
, иначе мы получаем противоречие с тем, что – дефект подгруппы в группе , так как в этом случае подгруппу 
в цепи можно было опустить. Поэтому существует элемент 
такой, что 
. Теперь имеем
Так как 
, то 
. С другой стороны, 
и 
, откуда получаем 
. Теорема доказана.
Определение.
Пусть – субнормальная подгруппа дефекта в . Субнормальная -цепь
называется канонической, если для любой субнормальной -цепи
имеет место 
, 
, 
,…, .
Другими словами, каноническая субнормальная цепь входит почленно в любую другую субнормальную цепь той же длины.
Теорема.
Если субнормальна в , то существует единственная каноническая субнормальная -цепь.
Доказательство.
Пусть – дефект подгруппы 
в группе 
. Будем рассматривать все возможные субнормальные -цепи длины 
.
все субнормальные -цепи длины 
(
– второй индекс). Положим 
. Так как 
, то для любого , ,…, 
мы имеем
Таким образом, цепь
является субнормальной 
-цепью длины и, следовательно, не имеет повторений. Так как 
при любых 
и 
, то теорема доказана.
Теорема.
Если 
субнормальна в 
и 
– подгруппа 
, то пересечение 
есть субнормальная подгруппа .
Доказательство.
Рассмотрим субнормальную -цепь минимальной длины :
Положим 
. Получаем цепь
Ясно, что она будет субнормальной, так как 
. Действительно, пусть 
, значит, 
и 
. Тогда для любого 
, так как 
и 
.
Мы получили субнормальную 
-цепь. Теорема доказана.
Следствие.
Пусть и 
– подгруппы группы . Если 
субнормальна в и – подгруппа , то субнормальна в .
Доказательство.
Пусть 
и цепь
является субнормальной -цепью.
Положив 
, получим субнормальную 
-цепь
что и требовалось.
Теорема.
Пусть субнормальна в и субнормальна в . Тогда пересечение 
есть субнормальная подгруппа в.
Доказательство.
Пусть 
– наибольший из дефектов подгрупп и 
в группе . Очевидно, существует (возможно, с повторениями) цепи
Положим 
, 
, 
,…, . Из 
, 
следует, что 
нормальна в 
. Следовательно, цепь
является субнормальной 
-цепью, что и доказывает теорему.
Лемма.
Если субнормальна в , а 
– нормальная подгруппа группы , то произведение есть субнормальная подгруппа группы .
Доказательство.
субнормальна в , следовательно, существует субнормальная -цепь
Следовательно, цепь
будет субнормальной.
Действительно, так как 
и 
, то 
. Лемма доказана.
Лемма.
Если подгруппы и субнормальны в и 
, топроизведение 
есть субнормальная подгруппа группы .
Доказательство.
Если нормальна в , то результат следует по лемме 1.9.
Предположим, что не нормальна в , то есть 
. Будем считать, что теорема верна для субнормальных подгрупп с дефектом меньшим 
. Таким образом, если 
и 
субнормальны в причем 
и 
, то по индуктивному предположению 
субнормальна в .
Пусть 
– каноническая субнормальная 
-цепь. Так как нормализует подгруппу , то для любого 
цепь
будет субнормальной -цепью. По свойству канонической субнормальной -цепи 
, а значит, 
для любого , 
,…, (по определеделению).
Следовательно, содержится в 
для любого 
. Так как 
и 
, то по индукции 
субнормальна в 
. По следствию 1.7.1 субнормальна в . Так как 
и , то 
. Таким образом, 
, 
, а значит, по лемме 1.9 подгруппа субнормальна в 
. К тому же 
, то мы получаем 
. Лемма доказана.
Теорема.
Если 
и – субнормальный подгруппы группы 
, то 
есть также субнормальная подгруппа 
.
Доказательство.
Положим 
. Среди субнормальных подгрупп группы , содержащихся в 
, выберем подгруппу 
, имеющю наибольший порядок. По следствию 1.7.1 субнормальна в . Докажем, что нормальна в 
. Предположим противное, то есть что не нормальна в . Тогда по теореме 1.4 найдется такой элемент 
, что 
, 
и 
. Так как 
субнормальна в и 
, то 
субнормальна в . Получается следующая ситуация: и 
субнормальны в , 
. По лемме 1.10 
субнормальна в . Ввиду выбора отсюда следует 
, что противоречит .
Итак, нормальна в , а значит, и 
нормализуют подгруппу . По лемме 1.10 
и 
субнормальны в . Так как 
и 
, то ввиду выбора получаем 
. Следовательно, 
, откуда вытекает, что 
. Теорема доказана.
Объединим теоремы 1.8 и 1.11 в один результат.
Теорема (Виландт).
Множество всех субнормальных подгрупп группы образует подрешетку решетки 
.
Отметим одно часто используемое приложение теорем 1.4 и 1.12.
Теорема.
Пусть 
– некоторое непустое множество субнормальных подгрупп группы , удовлетворяющее следующим условиям:
1) если 
и 
, то 
;
2) если , 
, 
, , то 
.
Тогда 
для любой подгруппы 
.
Доказательство.
Возьмем произвольную подгруппу из 
. Если не нормальна в , то по теореме 1.4 найдется такой элемент , что 
, 
, 
. По условиям 1) и 2) 
, 
. Если не нормальна в , то найдется 
такой, что 
, 
, 
. Тогда 
и 
. Если не нормальна, то описанную процедуру применяем к . Так как конечна, то этот процесс завершится построением нормальной подгруппы 
, представимой в виде 
, где 
– некоторые элементы из . Очевидно, 
, и теорема доказана.
Следствие.
Если – непустой радикальный класс, то 
содержит все субнормальные -подгруппы группы .
Доказательство.
Пусть – множество всех субнормальных -подгрупп из . Ввиду теоремы 1.12 легко заметить, что удовлетворяет условиям 1) и 2) теоремы 1.13.
Следствие.
Для любой субнормальной подгруппы группы справедливы следующие утверждения:
1) если 
– 
-группа, то 
;
2) если 
нильпотентна, то 
;
3) если 
-нильпотентна, то 
;
4) если разрешима, то 
.
2. Минимальные не 
-группы
Лемма [3].
Пусть 
, где – локальная формация. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) группа 
монолитична с монолитом
2) 
– -группа для некоторого простого ;
3) 
– -эксцентральный главный фактор 
;
4) 
;
5) если группа неабелева, то ее центр, коммутант и подгруппы Фраттини совпадают и имеют экспоненту ;
6) если абелева, то она элементарна;
7) если 
, то – экспонента ; при 
экспонента 
не превышает 4;
8) для любой -абнормальной максимальной подгруппы 
из 
имеет место
9) любые две -абнормальные максимальные подгруппы группы сопряжены в ;
10) если 
и подгруппа содержит , то 
для любого полного локального экрана 
формации ;
11) если 
– -абнормальная максимальная подгруппа группы и – некоторый полный локальный экран , то 
– минимальная не 
-группа и либо 
, либо 
.
Доказательство.
1) Пусть 
– минимальная нормальная подгруппа из такая, что 
. Очевидно, что 
. Противоречие. Итак, 
– минимальная нормальная подгруппа 
. Так как – формация, то, нетрудно заметить, что 
– единственная минимальная нормальная подгруппа из . А это значит, что
Отсюда следует, что
2) Выше мы показали, что 
– главный 
-фактор. Покажем, что – -группа. Предположим противное. Пусть простое число 
делит 
, но не делит 
. По лемме 4.4 из [5] 
, где 
– содержащаяся в 
силовская 
-подгруппа из . Тогда
Отсюда и из насыщенности получим 
. Но тогда 
, что невозможно.
Пусть 
– главный фактор группы . Ввиду 2) является -группой и 
. Следовательно, каждая -абнормальная масимальная подгруппа группы является -нормализатором группы . Так как 
-нормализатор группы покрывает только -центральные главные факторы, то мы получаем, что -гиперцентральна в . Согласно следствию 9.3.1 из [5] 
. Отсюда следует, что 
, т.е. 
.
Обозначим через 
коммутант группы . Так как 
– -корадикал группы 
, то по теореме 11.6 из [5] каждый главный фактор группы на участке от до -эксцентрален. Отсюда и из -гиперцентральности 
заключаем, что 
. Так как
то мы получаем тaкже рaвенство 
. Таким образом, утверждения 2) – 6), 9) доказаны.
Докажем 7). Предположим, что неабелева. Пусть 
– произвольный элемент из . Ввиду 4) 
, причем 
. Следовательно,
для всех элементов ,
из . Это означает, что 
имеет экспоненту . Учитывая это и то, что 
содержится в 
, получаем для любых 
, из при 
:
Значит, отображение 
является -эндоморфизмом группы . Так как
то 
-гиперцентральна в 
. Вспоминая, что 
– -эксцентральный главный фактор, получаем равенство 
. Так как 
имеет экспоненту , то утверждение 7) при доказано.
Пусть 
. Тогда
где 
. Рассматривая отображение 
как и выше получаем, что 
. Значит имеет экспоненту не больше 4.
Докажем 8). Выше мы доказали, что 
. Пусть 
. Тогда в найдется такая максимальная подгруппа , что 
. Так как 
, то 
. Отсюда 
. Противоречие. Итак, 
. По теореме 9.4 из [5] имеем 
для любой -абнормальной максимальной подгруппы 
группы . Нетрудно показать, что 
.
По теореме 7.11 из [5],
Так как 
, то
Ввиду того, что 
и 
– главный фактор , имеем 
. Итак, 
. Пусть – любая -абнормальная максимальная подгруппа группы . Тогда 
. Ясно, что
Не ограничивая общности, положим 
. Тогда – единственная минимальная нормальная подгруппа . Легко видеть, что 
и 
. Но – -группа. Значит, 
. По условию 
. Следовательно, ввиду полноты экрана имеет место
то 
. Таким образом, всякая собственная подгруппа группы 
принадлежит 
. Допустим, что 
. Тогда
и поэтому 
. Полученное противоречие показывает, что 
, т.е. 
– минимальная не -группа.
Предположим теперь, что 
. Покажем, что 
. Не теряя общности, можно положить, что . Тогда 
, 
. Пусть 
, где 
и 
, где 
. Для всякого 
через 
обозначим подгруппу 
. Предположим, что все 
отличны от . Так как 
, то – дополнение к в . Если 
для всех различных 
и 
, то
и поэтому 
. Противоречие. Значит 
для некоторых различных и . Из последнего вытекает
что невозможно. Полученное противоречие показывает, что 
для некоторого и, следовательно, 
. Лемма доказана.
Лемма [4].
Пусть – наследственная локальная формация, 
– такая нормальная подгруппа группы , что 
. Тогда 
равносильно 
.
Доказательство.
Пусть 
. Тогда 
, и если 
– произвольная максимальная подгруппа 
, то 
, а значит, и 
принадлежит . Следовательно, .
Предположим теперь, что . Понятно, что 
.Пусть – произвольная максимальная подгруппа , тогда 
. Пусть 
– произвольный -главный фактор из . Обозначим 
. Пусть 
– максимальный внутренний локальный экран формации , и пусть 
. Так как 
, то 
. Покажем, что 
. По лемме 8.7 из [6] формация 
наследственна. Следовательно, если 
, то сразу получим 
. Если же , то 
вытекает из изоморфизма 
. Итак, всякий 
-главный фактор из , 
-централен в . Значит, 
. Таким образом, . Лемма доказана.
Лемма [3].
Пусть – локальная наследственная формация, 
– некоторый ее полный экран. Группа принадлежит 
тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия:
1) 
;
2) 
, где – главный -фактор группы , 
– минимальная не 
-группа.
Доказательство. Необходимость вытекает из леммы 2.1.
Достаточность. Пусть 
и 
– произвольные максимальные подгруппы 
. Покажем, что 
. Если 
-абнормальна, то ввиду леммы 2.1 имеем 
. Значит, . Пусть 
. По условию
Следовательно, 
и по лемме 2.1 
– -группа. Значит по лемме 8.2 из [6] . Итак, 
. Применяя теперь лемму 2.1 получаем, что . Лемма доказана.
Лемма [3].
Пусть – локальная формация, имеющая постоянный наследственный локальный экран . Тогда справедливы следующие утверждения:
1) 
для любого из 
;
2) 
тогда и только тогда, когда 
для любого из , 
– главный фактор 
, 
.
Доказательство.
1) Пусть – произвольная группа из 
. Покажем, что . Предположим противное. Пусть 
– подгруппа наименьшего порядка из , не принадлежащая . Очевидно, что 
. Так как – постоянный экран, то ввиду леммы 4.5 из [5] 
для любого из . Если 
, то из того, что 
следует 
. Получили противоречие. Итак, 
– собственная подгруппа из . Но тогда 
, что невозможно.
2) Пусть 
. Покажем, что 
. Так как
то, не ограничивая общности, можно считать, что 
. Пусть – произвольная 
-абнормальная максимальная подгруппа группы 
. Тогда по лемме 2.1 
, где 
. Очевидно, что 
. Отсюда следует, что 
– 
-группа. Так как и – постоянный экран, то 
. Пусть 
– произвольная собственная подгруппа из . Так как формация 
наследственна, то 
. Кроме того, 
. Отсюда 
. Следовательно,
Если теперь 
, то 
. Отсюда нетрудно заметить, что 
. Противоречие. Итак, 
. Из леммы 2.1 следует, что
есть главный -фактор группы .
Пусть теперь 
. Очевидно, что . Пусть – собственная подгруппа из .Рассмотрим подгруппу 
. Если 
, то тогда
Согласно пункту 1 
. Пусть 
. Тогда 
– собственная подгруппа группы 
. Тогда
Отсюда 
. А это значит, что 
. Итак, 
. Так как 
, то по лемме 2.1 . Лемма доказана.
Лемма.
Пусть 
– непустая наследственная формация. Тогда:
1) если 
– подгруппа группы и 
, то 
-субнормальна в ;
2) если 
-субнормальна в 
, 
– подгруппа группы , то 
-субнормальна в 
;
3) если 
и 
-субнормальные подгруппы , то 
– -субнормальная подгруппа ;
4) если -субнормальна в 
, а 
-субнормальна в , то 
-субнормальна в ;
5) если все композиционные факторы группы 
принадлежат формации , то каждая субнормальная подгруппа группы является -субнормальной;
6) если – -субнормальная подгруппа группы , то 
-субнормальна в для любых 
.
Лемма.
Пусть 
– непустая формация, 
– подгруппа группы , – нормальная подгруппа из . Тогда:
1) если -субнормальна в , то 
-субнормальна в и 
-субнормальна в 
;
2) если 
, то -субнормальна в тогда и только тогда, когда 
-субнормальна в 
.
3. Формации с решеточным свойством
Лемма [1].
Пусть – наследственная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп;
2) группа 
принадлежит , если 
, 
– -субнормальные -подгруппы группы ;
3) 
– формация Фиттинга и всякая -субнормальная -подгруппа группы содержится в -радикале этой группы.
Установим, что из 1) следует 2).
Пусть 
– контрпример минимального порядка. В этом случае 
, где 
-субнормальная -подгруппа группы 
, 
, и не принадлежит 
. Пусть 
– минимальная нормальная подгруппа группы 
. Все условия леммы для фактор-групп выполняются, поэтому в силу выбора имеем, что 
. В виду теоремы 4.3 из [7] формация является насыщенной. Поэтому группа имеет единственную минимальную нормальную подгруппу 
и 
.
Если 
, то – простая группа. Так как 
и 
– -субнормальная подгруппа группы 
, 
, то либо 
, либо 
. Значит, 
. Противоречие с выбором группы .
Пусть 
. Рассмотрим подгруппы 
и 
. Так как – собственная -субнормальная подгруппа и , то нетрудно видеть, что 
– собственная подгруппа , 
. Покажем, что 
.
Рассмотрим два случая.
1. Пусть – абелева группа. Тогда – 
-группа, – простое число. Так как 
и подгруппа -субнормальна в , то по лемме 2.6 получаем 
, 
.
2. Пусть – неабелева группа. В этом случае
есть прямое произведение изоморфных неабелевых простых групп и 
.
Рассмотрим подгруппу 
. Так как подгруппа 
-субнормальна в , то ввиду леммы 2.4 и подгруппа 
-субнормальна в группе . Пусть
Ввиду леммы 2.5 подгруппа 
-субнормальна в для любого 
из 
. Так как формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп, то 
– -субнормальная подгруппа . Кроме того, из 
следует, что 
. Если 
, то 
. Получили противоречие с 
. Значит, 
. Так как нормальна в , то 
нормальна в 
. Но
где 
– неабелева простая группа и 
для всех 
. Поэтому
Из и наследственности формации следует, что 
. Но тогда 
. Далее, так как 
, то по лемме 2.5 подгруппа 
-субнормальна в . Значит, она -субнормальна и в , . Тогда из получаем что
Пусть 
– добавление к подгруппе 
в группе . Так как 
, то 
. В силу насыщенности формации из
и
получаем, что 
. Итак, 
, и 
.
Используя тождество Дедекинда, имеем
Если предположить, что 
, то 
. В этом случае
Так как , то 
не может быть -субнормальной подгруппой в . Следовательно, можно считать, что 
, .
Так как подгруппа 
-субнормальна в группе и 
, то из наследственности формации следует, что подгруппа 
-субнормальна в 
.
Так как формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп, то 
– -субнормальная подгруппа группы . Кроме того, из и наследственности формации имеем 
. Обозначим 
, , и рассмотрим подгруппу 
. Если 
, то 
, что невозможно ввиду -субнормальности в подгруппы 
.
Пусть 
. Из 
, нормальности в и нормальности 
в 
следует, что нормальна в .
Так как
то
Таким образом получаем
Так как 
, то 
– подгруппа из . Тогда из -субнормальности в подгрупп 
и 
следует, что подгруппа
-субнормальна в . Это невозможно ввиду равенства 
. Значит, 
. Противоречие.
Докажем, что из 2) следует 3). Пусть 
, где – нормальная -подгруппа группы , 
. Так как
и 
, то 
. Из наследственности формации получаем, что подгруппа 
-субнормальна в 
. Ввиду леммы 2.6 подгруппа теперь -субнормальна в , . Так как выполняется условие 2) леммы, то
Следовательно, – формация Фиттинга.
Пусть 
– -субнормальная -подгруппа группы . Ввиду леммы 2.5 подгруппа 
-субнормальна в 
для всех 
. Так как выполняются условия 2) леммы, то
Отсюда следует, что
Наконец установим, что из 3) следует 1). Доказательство проведем индукцией по порядку группы . Пусть и – -субнормальные подгруппы группы и 
. Если 
– минимальная нормальная подгруппа группы , то можно считать, что 
. Учитывая лемму 2.6 по индукции получаем, что 
– -субнормальная подгруппа группы . На основании леммы 2.6 тогда подгруппа 
-субнормальна в . Если 
, то по индукции подгруппа 
-субнормальна в 
, и значит, ввиду леммы 2.5 она -субнормальна.
Будем далее считать, что 
для любой минимальной нормальной подгруппы группы . Ясно, что 
. Если 
, то в силу леммы 3.1.3 
субнормальна в . Но тогда ввиду [8]
Это означает, что 
. Противоречие. Значит 
и 
. Аналогично доказывается, что 
. Итак, и .
По условию леммы – формация Фиттинга и 
, 
. Следовательно,
Пусть 
– минимальная нормальная подгруппа группы , содержащейся в 
. Тогда
Из наследственности формации следует, что – -субнормальная подгруппа группы .
Итак, порождение двух -субнормальных подгрупп 
и 
группы -субнормальна в . Ввиду леммы 2.5 
– также -субнормальная подгруппа группы . Значит, формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп. Лемма доказана.
Лемма [1].
Пусть – наследственная локальная формация. Если замкнута относительно расширений, то формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп.
Доказательство леммы следует из теоремы 5 работы [9] и теоремы 3.1.7.
Отметим, что из леммы 3.2 следует, что формации 
и 
обладают решеточным свойством для -субнормальных подгрупп.
Пусть 
обозначают некоторое подмножество множества натуральных чисел. Пусть 
– некоторое семейство классов групп. Обозначим через 
класс всех групп , представимых в виде
где 
и 
, 
.
Лемма [1]. Справедливы следующие утверждения:
1) пусть 
– наследственная локальная формация, обладающая решеточным свойством для -субнормальных подгрупп, . Тогда и формация 
обладает решеточным свойством для 
-субнормальных подгрупп;
2) пусть 
– некоторое семейство наследственных локальных формаций и 
для любых 
. Тогда и только тогда формация
обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп, когда для каждого 
формация обладает решеточным свойством для 
-субнормальных подгрупп.
Пусть формация 
обладает решеточным свойством для 
-субнормальных подгрупп, . Ввиду леммы 3.1 
и 
– формации Фиттинга поэтому из леммы 2.1.3 следует, что 
также является формацией Фиттинга.
Пусть – -субнормальная подгруппа группы и 
. Ясно, что подгруппа 
-субнормальна в для любого 
. Так как 
и 
, то ввиду леммы 3.1 получаем, что 
и 
. Следовательно,
Теперь утверждение 1 следует из леммы 3.1.
Докажем утверждение 2). Пусть формация
обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп. Отметим, что 
. Отсюда ввиду утверждения 1) настоящей леммы и леммы 3.2 следует, что формация обладает решеточным свойством для 
- субнормальных подгрупп.
Обратно, пусть для любого формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп. Пусть
Индукцией по порядку группы покажем, что любая группа 
, где 
, 
– -субнормальные -подгруппы группы принадлежат .
Пусть – минимальная нормальная подгруппа группы . Ввиду леммы 2.6 из соображений индукции получаем, что 
. Так как – насыщенная формация, то имеет единственную минимальную нормальную подгруппу и 
. Ясно, что
Отметим также, что
где 
– изоморфные простые группы для 
.
Докажем, что . Рассмотрим группу 
. Так как подгруппа -субнормальна в , то 
. Тогда по индукции
Рассмотрим пересечение 
. Если
то
Отсюда и из того факта, что 
– нормальная подгруппа 
и 
следует, что 
.
Пусть 
. Так как 
– нормальная подгруппа из 
, то 
– нормальная подгруппа из . А это значит, что
Из наследственности формации и 
получаем, что 
. Но тогда .
Из строения и
для любых 
, следует, что 
для некоторого 
. Так как
то нетрудно видеть, что группа имеeт 
-холловскую подгруппу 
.
Так как , то – -субнормальная подгруппа группы . Так как 
, 
и 
, – -субнормальные подгруппы, то по индукции имеем, что
Отсюда и из 
ввиду 
получаем 
. Аналогично доказывается, что 
. Таким образом,
Отсюда и из -субнормальности и в нетрудно заметить, что , 
– -субнормальные подгруппы группы . Из 
и ввиду наследственности 
следует, что 
и 
. Так как по условию формация 
обладает решеточным свойством для 
- субнормальных подгрупп, то ввиду леммы 3.1
Итак, содержит некоторую группу 
, где , 
– -субнормальные -подгруппы группы . Следовательно, ввиду леммы 3.1 формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп. Лемма доказана.
Лемма [1].
Пусть – нормально наследственная разрешимая формация. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) если в каждой разрешимой группе все -субнормальные подгруппы образуют решетку, то имеет вид
где 
для любых 
из ;
2) если – формация из пункта 1), то она обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп.
1) Покажем, что 
является либо группой Шмидта, либо группой простого порядка. Очевидно, что 
и .
Пусть 
– максимальный внутренний локальный экран формации . Согласно лемме 2.3
где 
– единственная минимальная нормальная подгруппа группы , 
( – простое число), а 
– максимальная подгруппа группы , являющейся минимальной не 
-группой.
Докажем, что 
– циклическая 
-группа для некоторого простого числа 
. Допустим противное. Тогда в 
найдутся по крайней мере две несопряженные максимальные подгруппы 
и 
. Рассмотрим в подгруппу 
, 
. Ясно, что 
-субнормальна в , 
. Из 
, и 
по лемме 3.1 получаем, что 
. Получили противоречие с выбором .
Следовательно, – циклическая группа порядка 
, где 
– некоторое простое число, 
, 
– натуральное число. Допустим, что 
. Обозначим через 
– регулярное сплетение циклических групп 
и соответственно порядков 
и 
.
По теореме 6.2.8 из [2] изоморфна некоторой подгруппе группы . Так как 
и 
, то ввиду теоремы 2.4 из [5] 
.
Рассмотрим регулярное сплетение 
, где 
. Тогда 
, где – элементарная абелева -группа. Так как 
, то 
. Из
следует что 
.
Рассмотрим в 
подгруппы 
и 
, где 
– база сплетения 
. Ясно, что 
-субнормальна в , . Кроме того, 
. Отсюда
Так как 
, то 
по лемме 3.1. Получили противоречие.
Следовательно, 
и – группа Шмидта. Если 
и 
, то по лемме 1.1.6 также является группой Шмидта. Таким образом, любая разрешимая минимальная не -группа является либо группой Шмидта, либо имеет простой порядок. Тогда по лемме 3.1.12 является наследственной формацией.
Покажем, что формация имеет такой локальный экран 
, что
p(F)
p'(F)
p(F)
Действительно. Пусть – локальный экран формации 
. Так как 
для любого простого числа 
из 
, то 
. Покажем обратное.
Пусть – группа минимального порядка из 
. Так как 
– наследственная формация и – насыщенная формация, то – минимальная не -группа и . Теперь, согласно лемме 2.3
где 
– единственная минимальная нормальная подгруппа группы , причем 
– -группа, 
, а 
– минимальная не 
-группа. Как показано выше является либо группой простого порядка, либо группой Шмидта.
Пусть – группа простого порядка. Так как 
, то очевидно, что 
. Противоречие.
Пусть 
– группа Шмидта. Тогда – группа простого порядка, причем 
, 
. Так как 
, то очевидно, что
Отсюда следует, что 
. Получили противоречие. Следовательно 
.
Итак, 
и 
– полный локальный экран формации .
Покажем, что 
либо 
для любых простых 
, 
.
Вначале докажем, что из 
следует 
. Допустим противное. Пусть 
. Рассмотрим точный неприводимый 
-модуль 
над полем 
, который существует по лемме 18.8 из [6].
Возьмем группу 
. Так как 
и 
имеет единственную минимальную нормальную подгруппу, то ввиду леммы 18.8 из [6] существует точный неприводимый 
-модуль 
над полем 
. Рассмотрим группу
Так как
то 
. Ясно, что 
. Так как 
, то найдется 
такой, что 
. Заметим, что 
. Тогда
Так как 
, то 
-субнормальна в 
и 
-субнормальна в 
. По лемме 3.1 
. Получили противоречие. Таким образом, если 
, то 
.
Пусть теперь 
. Тогда 
. Предположим, что найдется такое простое число 
, которое не принадлежит 
. Рассмотрим точный неприводимый 
-модуль 
над полем 
.
Группа 
принадлежит ввиду 
и 
. Теперь рассмотрим точный неприводимый 
-модуль 
. Группа 
формации не принадлежит, так как 
. Ясно, что 
. Рассуждая как и выше, можно показать, что 
для некоторого 
, причем подгруппы 
, 
-субнормальны в 
, причем 
, принадлежат . Отсюда по лемме 3.1 
. Получили противоречие.
Следовательно, если 
, то 
, а значит 
. Более того, если
где 
и 
, то 
и 
, а значит, 
.
Таким образом, множество 
можно разбить в объединение непересекающихся подмножеств, т.е. представить в виде 
, где 
для любых 
из 
и 
для 
. Покажем, что
Обозначим
Так как для любого 
имеет место 
, то включение 
очевидно.
Допустим, что множество 
непусто, и выберем в нем группу наименьшего порядка. Так как – наследственная формация, то 
. Группа непримарна в силу равенства 
и локальности формации 
. Из строения
и 
нетрудно показать, что – группа Шмидта. Ясно, что 
. Тогда по теореме 26.1 из [5] 
, где – элементарная абелева 
-группа, 
– некоторые простые числа. Так как 
, то
Как показано выше, 
для некоторого номера . Но тогда 
. Получили противоречие с выбором . Следовательно,
где 
для всех .
Утверждение 2) следует из лемм 3.2 и 3.3. Лемма доказана.
Из доказанной леммы следует, что разрешимая наследственная локальная формация тогда и только тогда обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп, когда
Заключение
В курсовой работе рассмотрены решетки субнормальных и -субнормальных подгрупп. Для построения теории решеток -субнормальных подгруп, аналогичной теории решеток субнормальных подгрупп, разработанной Виландтом, используются свойства минимальных не -групп.
В работе рассматриваются условия, при выполнении которых формация будет обладать решеточным свойством.
Список использованных источников
1. Васильев А.Ф., Каморников С.Ф., Семенчук В.Н. О решетках подгрупп конечных групп // Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры: Тр./ Институт математики АН Украины. – Киев, 1993. – С. 27–54.
2. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп). Новосибирск: Институт математики СО АН СССР, 1984. – 144 с.
3. Семенчук В.Н. Минимальные не -группы // Алгебра и логика. – 1979. – Т.18, №3. – С. 348–382.
4. Семенчук В.Н. Конечные группы с системой минимальных не -подгрупп // Подгрупповое строение конечных групп: Тр./ Ин-т математики АН БССР. – Минск: Наука и техника, 1981. – С. 138–149.
5. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. М.: Наука. – 1978. – 267 с.
6. Шеметков Л.А., Скиба А.Н. Формации алгебраических систем. М.: Наука. – 1989. – 256 с.
7. Bryce R.A., Cossey J. Fitting formations of finite solubla groups // Math.Z. – 1972. – V.127, №3. – P.217–233.
8. Gaschьtz W. Zur Theorie der endlichen auflцsbaren Gruppen. – Math. Z., 1963, 80, №4, С. 300–305.
9. Kegel O.H. Untergruppenverbande endlicher Gruppen, die Subnormalteilorverband echt enthalten // Arch. Math. – 1978. – V.30. – P.225–228.
10. Wielandt H. Eine Verallgemeinerung der invarianten Untegruppen // Math.Z. – 1939.-V.45. – P.209–244.