Реферат: Математические модели естествознания

ББК 22.143я73 К85

Юдович В.И.

К85 Математические модели естествознания. Курс лекций / В.И. Юдович. — М.: Вузовская книга, 2009. — 288 с.

ISBN 5-9502-0176-0

Курс лекций по математическим моделям естествознания В.И. Юдовича состоит из трех частей: «Математические модели», «Механика», «Элементы статистической механики».

Для студентов и преподавателей технических и экономических вузов, математических, механико-математических и естественно-научных факультетов и факультетов компьютерных наук и информационных технологий.

ББК 22.143я73

Учебное издание

ЮдовичВикторИосифович

МАТЕМАТИЧЕСКИЕМОДЕЛИЕСТЕСТВОЗНАНИЯ

КУРСЛЕКЦИЙ

Книга издана в авторской редакции

Ответственный редактор Н.Г. Карасева

Технический редактор П.С. Корсунская Компьютерная верстка И.В. Островская

Подписано в печать 11.03.2009. Формат 60x84 1/16.

Печать офсетная. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 34,17. Тираж 300 экз.

ЗАО «Издательское предприятие «Вузовская книга»

125993, Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д.4, МАИ, Главный административный корпус, к. 301а.

Т/ф (499) 158-02-35. E-mail: vbook@mai.ru; vbook@mail.ru

c Юдович В.И., 2004

c ЗАО «Издательское предприятие

ISBN 5-9502-0176-0 «Вузовская книга», 2009

ОБАВТОРЕИЭТОЙКНИГЕ

Эта книга — курс лекций по математическим моделям естественных наук глубокого математика и механика, создателя научной школы по математической гидродинамике, профессора Виктора Иосифовича Юдовича (4.10.1934–19.04.2006).

Вся жизнь В.И. Юдовича связана с Ростовским государственным университетом (РГУ, ныне ЮФУ), куда он поступил на физмат в 1952 году и где через пять лет стал преподавать. После разделения физмата работал на механико-математическом факультете (мехмате), ведя интенсивную научную и преподавательскую работу, создавая свою научную школу и кафедру. Кандидатскую диссертацию В.И. Юдович защитил в МГУ, докторскую – в Институте проблем механики АН СССР, был членом редколлегий, ученых советов, председателем диссертационного Совета, президентом Ростовского математического общества.

Энциклопедически образованный, талантливый во всем и расположенный к людям В.И. Юдович занимался гидродинамикой, для решения сложнейших проблем которой освоил все, что могло помочь ему в исследовании проблемы турбулентности. Его понимание уравнений математической физики, теории динамических систем и многих разделов математики и механики было уникальным. Более сорока лет семинару В.И. Юдовича по математической гидродинамике, куда приезжали люди из разных мест: «доклад у Юдовича» означал высокий уровень экспертизы и зачастую самому докладчику давал лучшее понимание сделанного и прояснение перспектив работы.

На мехмате РГУ В.И. Юдович прочел множество курсов: от теории функций действительного переменного до механики сплошной среды. Это были оригинальные курсы, содержательные идейно и технически, сочетавшие научную точность и богатство русского языка. Остались конспекты прочитанных лекций, эти записи активно используются и помогают преподавателям. По ряду курсов В.И. Юдович подготовил печатные варианты. Это две книги «Лекции об уравнениях математической физики», с белой и синей обложками. К сожалению, не закончена третья часть, которая должна была выйти с красной обложкой, чтоб получился триколор. Двумя изданиями вышел «Практикум по решению дифференциальных уравнений»,

Об авторе и этой книге

написанный в соавторстве с А.А. Есиповым и Л.И. Сазоновым. В.И. Юдович говорил, что интересен новый предмет – поэтому, «поставив» тот или иной курс, передавал его ученикам.

Даже появлению первой в мире монографии по математической теории электрофореза (В.Г. Бабский, М.Ю. Жуков, В.И. Юдович, 1982 г.) предшествовал цикл лекций по моделированию задач массопереноса под действием электромагнитного поля. Помимо входивших в преподавательскую нагрузку лекций и заседаний еженедельного семинара, В.И. Юдович каждый год организовывал микросеминары, посвященные новым проблемам гидродинамики и математики. Прочитанные там лекции вводили учеников Юдовича и всех желающих в новые разделы и новые задачи, из этих лекций вырастали темы будущих исследований. Обзорные статьи В.И. Юдовича, написанные в начале 21 века, – попытка передать, сохранить свое понимание математической гидродинамики, которую он развивал до последних дней. В.И. Юдович был Учителем, ему было важно, чтобы начатые им исследования и работы продолжались трудами его сотрудников, он многое сделал для того, чтобы развивались механика и математика в Ростове, России и мире.

Курс математических моделей естественных наук (естествознания) первый раз был прочитан им в 1991 году для студентов четвертого курса специальности «прикладная математика» мехмата. С каждым годом курс развивался, пополняясь новым материалом, в планах было включение в курс разделов по термодинамике, конвекции. Подготовкой печатного варианта лекций В.И. Юдович занимался, уже борясь с болезнью, он работал над «Математическими моделями» до последних дней. Эти лекции были размещены на кафедральном сайте, и немало читателей поделилось своими замечаниями и советами. Особая благодарность студентам мехмата 20062008 гг., активно участвовавшим в устранении опечаток, уточнении ссылок и др. В интернетовском ресурсе vkontakte.ru появилась инициированная студентами «Группа любителей литературного таланта В.И. Юдовича».

В наборе и правке текстов участвовали О.А. Цывенкова, Е.В. Ширяева и И.В. Островская, взявшая на себя труд финальной редактирования и верстки. Тексты вычитывали М.Ю. Жуков, С.М. Зеньковская, Л.И. Сазонов и В.Г. Цибулин, занимавшийся подготовкой издания.

ПРЕДИСЛОВИЕАВТОРА

Цель этого курса — рассказать об основных моделях естествознания, научить подходам к исследованию явлений природы, её фундаментальных законов на основе математического анализа. Это — лекции. И хотя письменный курс не повторяет дословно то, что говорится на занятиях, я стараюсь сохранить стиль живого разговора с живой аудиторией.

До сих пор образцом для построения математических моделей служит механика, начиная с классического труда Ньютона «Математические основы натуральной философии» [32]. Дальнейшее развитие механики вплоть до XIX века, связанное с именами, пожалуй, всех великих математиков и физиков XVII–XX в.в. — Декарт, Гюйгенс, Лейбниц, Ферма, Эйлер, Лагранж, Гамильтон, Якоби, Гаусс, Герц, Максвелл, Пуанкаре — привело к построению грандиозного здания механики систем с конечным числом степеней свободы, а также и механики сплошной среды. Вся история науки ясно показывает, что каждый серьёзный новый шаг в исследовании природы бывает неразрывно связан с развитием новых математических теорий. Нужно ли напоминать, что научные открытия непосредственно влияют на развитие технологии, а тем самым и на образ жизни людей?

Время от времени возникают споры о том, какое достижение математики было самым важным и кто из математиков был самым великим. (Я не считаю такие обсуждения слишком уж серьёзными, но всё-таки...). Очень многие считают, что главным достижением было введение позиционной системы счисления, а ее автор, имя которого неизвестно (возможно, араб, а, скорее всего, индус), и был величайшим из математиков на нашей планете. С этим можно поспорить. Я склонен думать, что величайшим достижением математики является, быть может, оглавление современных книг по глобальной дифференциальной геометрии. Оно начинается с понятий топологического и метрического пространств. Затем рассматриваются многообразия, векторные поля, дифференциальные формы, тензорные поля, геодезические на многообразиях, кривизны, вариационные принципы для геодезических, группы и алгебры Ли. Это оглавление представляет собой великий план исследования, созданный и реализованный прежде всего в механике, усилиями едва ли не всех ведущих математиков трех столетий. Оказалось, что геодезические линии в геометрии в точности соответствуют движениям в механике. Далее выяснилось, что явления, с виду совершен-

Предисловие автора

но непохожие на механические движения тел, описываются по сути теми же законами, лишь с некоторыми изменениями, носящими мало принципиальный характер с точки зрения общих геометрических теорий. Например, в основе электродинамики лежат вариационные принципы, установленные впервые в механике. Теория относительности с ее головокружительными следствиями тоже оказывается с формальной стороны не более, чем одной из глав механики.

План описания природы, созданный в механике и связанный, главным образом, с дифференциальной геометрией, является неким идеальным образцом для других наук. Однако полностью он не реализован даже в физике (за исключением, может быть, некоторых её областей, скажем, термодинамики). Время покажет, насколько этот план универсален, может ли он быть реализован, скажем, в биологии или придётся создавать иные планы. Пока что мы очень далеко от ответа на этот вопрос, хотя в различных частных областях биологии, химии, экономики применение идей и методов механики и математической физики дало уже немало интересных и глубоких результатов.

Сейчас постоянно употребляются названия «математическая физика», «математическая химия», «математическая биология», «математическая экономика». Но нет никакой «физической» или «биологической» математики. Правда, в последнее время стал мелькать термин «финансовая математика», но это лингвистическое недоразумение. По-английски говорят mathematical finance, математические финансы. Это, однако, неудобопроизносимо, что и привело к появлению «финансовой математики». Некоторые недалекие люди приняли это недоразумение всерьез и предлагают учить детей складывать и вычитать не яблоки и палочки, а доллары и рубли, и дальше продолжать развивать математику в том же духе. Ну, конечно, я считаю это чушью. На самом деле, в «финансовой математике» применяются всё те же методы математического анализа, алгебры, теории вероятностей, теории меры. Решаются уравнения, по сути (а то и вовсе ничем) не отличающиеся от уравнений математической физики. Кстати, высокомерное отношение математиков к этой области не очень оправдано. Конечно, халтурщики есть во всех областях, а в новых (модных, престижных и денежных) областях их в процентном отношении бывает чуть больше, но и в финансовой математике ставятся и решаются замечательно интересные математические задачи.

Имеется довольно много книг, названия которых начинаются словами «Математические модели ...» или «Математическое моделирование в ...» Дальше поминается биология, экономика, химия,... Знакомство с этими книгами сразу показывает, что речь в них идет по сути о тех или иных част-

6 В.И. Юдович. Математические модели естествознания

ных моделях математической физики. Естественнонаучная и технологическая специфика рассматриваемых проблем зачастую отражается довольно слабо. Недавно мне довелось участвовать в конференции по математическим моделям, описывающим плавающие живые организмы (biological swimmers, биологических пловцов, как образно выражается один из авторитетов в этой области Джон Кесслер (John Kessler)). На этой конференции одни докладчики рассматривали микроорганизмы в воде, другие говорили о рыбах и дельфинах. Довольно забавным образом математические модели были при этом почти одни и те же. Специфику жизни до сих пор не удается уловить и вставить в математические формулы.

Обычно, математики, занимающиеся биологией, любят ссылаться на то, что их предмет много сложней, чем то, чем эанимаются физики. Так-то оно так, но в реальной жизни пока что задачи , которые решаются в математической физике и механике, как правило, куда сложнее и глубже, чем те, которые решают математические биологи. Может быть, когда-нибудь это положение изменится — когда математика по-настоящему глубоко проникнет в биологию. Один мой друг, математический биолог, отвечая на вопрос анкеты о недостатках исследований по математической биологии, написал: «Их всего два: слабое проникновение в биологическую сущность проблем и низкий математический уровень».

В этом курсе я пытаюсь изложить те общие принципы и подходы к построению моделей, которые явно или неявно, правильно или не совсем правильно, применяются во всех этих областях.

Возможно, главная трудность построения этого курса связана с тем, что в математическом моделировании применяется едва ли не весь математический аппарат, созданный математикой прошлого и создаваемый на наших глазах современной математикой. Между тем, в курсах, прослушанных (в обоих смыслах) студентами-математиками (и чистыми, и прикладными), многие важнейшие теории и факты даже не упоминаются. Например, наши студенты ничего не знают о дифференциальных формах, и даже когда читается курс топологии, некоторые лекторы ухитряются не упомянуть числа Бетти, когомологии, степень отображения, вращение векторного поля и т.п. В курсах алгебры зачастую даже не упоминаются унитарные, ортогональные, якобиевы трехдиагональные матрицы, не разъясняется толком понятие кратности собственного значения. Дело усугубляется тем, что книги по топологии (за редким и счастливым исключением) пишутся для топологов, книги по геометрии — соответственно, для геометров и т.д. В литературе ощущается острый дефицит учебных пособий по различным разделам математической теории, изложенным для последующего применения в прикладной науке. В итоге в ряде случаев мне приходится бегло, без детальных

Предисловие автора

доказательств, рассказывать об основных понятиях линейного и нелинейного функционального анализа, методах спектральной теории операторов, вариационного исчисления, дифференциальных формах и т.д.

Изучение математики так или иначе начинается с освоения ее терминологии, словаря, набора определений. В современной математике вообще есть тенденция загонять все более значительную часть содержания в определения. Доказательства теорем при этом зачастую становятся короткими и тривиальными и дают не слишком много пищи для ума. В этих лекциях по ходу изложения поясняются математические термины, даются краткие определения основных понятий. Иногда они будут новыми для студента, а иногда их приходится приводить ради определенности, ввиду существующего ужасного разнобоя в употреблении слов. Один пример: некоторым лекторам кажется, что у понятия «отображение», «оператор» мало синонимов, и они добавляют еще один синоним — «функция». Лучше, по-старому, понимать функцию как отображение со значениями на вещественной оси. Синонимом служит слово «функционал», которое чаще употребляется, когда область определения — бесконечномерное пространство.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕМОДЕЛИ

1. Динамические системы

Под эволюцией той или иной системы будем понимать изменение ее состояния во времени. Первый вопрос, который возникает, когда мы приступаем к построению математической модели: что такое состояние данной системы? Это может быть скаляр, точка многомерного пространства, вектор, а вообще, элемент любого множества X , которое называется фазовым пространством данной системы.

Правильный выбор фазового пространства, соответствующего изучаемой системе, отнюдь не тривиален и в значительной мере предопределяет наш конечный успех (или неуспех). Дело в том, что к выбору фазового пространства предъявляются достаточно суровые требования. Главное из них состоит в том, что задание начального состояния, т.е. точки x ₀ ∈ X , должно однозначно определять эволюцию системы. В самом сильном варианте требуется, чтобы для каждого t ∈ R было определено состояние системы x (t ) ∈ X . Это означает, что должен быть задан эволюционный оператор

N^t : X → X , отображающий фазовое пространство X в себя, и такой, что

x (t ) = N^t x ₀ (1.1)

для всех t ∈ R и любой начальной точки x ₀ ∈ X . Поскольку x (0) = x ₀ для всех x_o ∈ X , эволюционный оператор очевидным образом удовлетворяет условию

N ⁰ = I, (1.2)

где I — тождественный оператор: Ix = x для всех x ∈ X . Иногда его также обозначают id (от латинского слова idem — тот же). Как правило, необходимо еще наложить на эволюционный оператор N^t те или иные условия непрерывности по t , чтобы получалось, что N^t x ₀ → x ₀ при t → 0; понятие предельного перехода для последовательности элементов фазового пространства должно быть также определено.

Иногда эволюционный оператор удаётся задать лишь для t ≥ 0. В некоторых случаях даже приходится рассматривать эволюционные операторы,

Динамические системы

определенные на интервале (−r ₁ ,r ₂ ), где r ₁ , r ₂ — некоторые положительные числа, а то и на полуинтервале [0,r ₂ ).

Фундаментальные математические модели физики обычно приводят к эволюционным операторам, обладающим дополнительным свойством, которое называется (на мой вкус, чересчур пышно) принципом причинности :

N t +s = N t ◦ N s (1.3)

для всех t,s ∈ R . В частности, из (1.3) следует, что для каждого t эволюционный оператор обратим, и (N^t )⁻¹ = N ^−t . Ясно также, что если уже известно состояние x (s ) в момент s , то, по прошествии времени t , состояние определяется равенством x (t + s ) = N^t x (s ).

Принцип причинности, выражаемый равенствами (1.2) и (1.3), означает, что семейство операторов N^t есть однопараметрическая группа с параметром t . Эта группа очевидно коммутативна: N^t ◦ N^s = N^s ◦ N^t .

Во многих задачах (например, для уравнения теплопроводности) эволюционный оператор определен лишь для t ≥ 0. Тогда и принцип причинности (1.3) выполняется лишь для t,s ≥ 0. В этом случае семейство эволюционных операторов N^t образует однопараметрическую полугруппу , тоже коммутативную.

Замечу, что иногда и в случае полугрупп равенство (1.3) удается доказать, но, вообще говоря, не для всех, а лишь для некоторых пар t,s таких, что, например, t > 0, а s < 0. Но во всяком случае нужно предположить, что t + s ≥ 0.

Фазовые пространства, встречающиеся в приложениях, весьма разнообразны. Это может быть конечное или счетное множество, конечномерное или бесконечномерное банахово пространство, скажем, то или иное пространство функций, вектор-функций или векторных полей, конечномерное или бесконечномерное дифференцируемое многообразие . Дальше я приведу много примеров, но сразу замечу, что в целом ряде областей физики и механики сплошных сред, в гидродинамике и теории поля (уж не говоря о биологии) до сих пор неизвестно, как правильно, адекватно выбрать фазовое пространство.

Кроме того, зачастую выбор фазового пространства неоднозначен — одно и то же явление может быть описано различными наборами переменных, а если даже переменные уже выбраны, то отчасти от нашего произвола зависит, какие на них налагаются дополнительные требования. Например, если фазовое пространство состоит из функций (поле температуры в области, занятой проводником тепла), то можно еще по-разному выбирать метрики или банаховы нормы. В частности, такой выбор определяет требо-

В.И. Юдович. Математические модели естествознания

вания к начальному состоянию (скажем, каковы требования регулярности к начальному полю температур).

Обычно под пространством понимается множество вместе с определенным на нем тем или иным способом предельным переходом для последовательностей его элементов. Наиболее общее определение (при помощи задания системы окрестностей, называемой топологией ) приводит к понятию топологического пространства . В этом курсе я не буду пользоваться столь общими пространствами. Надо сказать, что до настоящего времени общие топологические пространства мало применялись в исследовании математических моделей естественных наук (впрочем, в таких случаях всегда хочется добавить, что, быть может, потому-то и не решены некоторые из проблем, десятками, а то и сотнями лет остающихся неприступными). Как правило, достаточно рассматривать метрические пространства, и даже их специальный случай — банаховы пространства . Более того, во всех или почти во всех приложениях в физике и механике бывает достаточно считать, что фазовое пространство есть евклидово пространство, скажем, Rⁿ со стандартным скалярным произведением или гильбертово пространство H . Впрочем, в целом ряде задач необходимо считать фазовое пространство дифференцируемым многообразием , которое является евклидовым или банаховым лишь локально.

Замечу, что всякое подмножество банахова пространства является метрическим пространством (метрика сохраняется, индуцируется ). На самом деле, известно даже, что каждое метрическое пространство может быть реализовано как подмножество банахова пространства. Очевидно, каждое подмножество метрического пространства есть также метрическое пространство. С этой общностью понятия метрического пространства связана, в значительной мере, его полезность.

Нередко даже в тех случаях, когда нам нужен тот или иной результат лишь для конечномерного евклидова пространства, бывает целесообразно доказывать его для произвольного банахова или метрического пространства. Дело в том, что всякий математический факт, теорема, формула становятся особенно ясными и простыми, когда они рассматриваются в естественной степени общности. Именно так — не в самой общей форме, а в естественной степени общности , которую помогает определить развитый математический вкус. Когда он изменяет, появляются тяжеловесные и мелочные рассуждения, в которых тонут главные идеи. С другой стороны, когда ведущие идеи прояснены, вполне естественно возникают и становятся довольно очевидными дальнейшие обобщения и уточнения.

Определениединамическойсистемы. Под динамическойсистемой будем понимать пару (X,N^t ) — метрическое пространство X и однопара-

Динамические системы

метрическое семейство N^t : X → X отображений пространства X в себя такое, что выполняется принцип причинности (см.(1.3))

. (1.4)

Каждый раз надо особо оговорить, является ли семейство N^t группой преобразований (t ∈ R ) или лишь полугруппой (t ∈ R ₊ ).

Конечно, при рассмотрении конкретной динамической системы нужно оговорить, какими свойствами регулярности по t и по x обладает однопараметрическая группа N^t (непрерывность, существование тех или иных производных, условие Липшица или Гельдера и т.д.). Интересно заметить, что групповое соотношение (1.4) само влечет определенную гладкость операторов N^t . Например, в случае, когда X — банахово пространство, а N^t для каждого t есть линейный непрерывный оператор, оказывается, что N^t зависит от t аналитически, то есть разложимо в сходящийся ряд Тейлора по степеням величины (t − t ₀ ) для любого t ∈ R .

Движением динамической системы (X,N^t ), определяемым начальной точкой x ₀ ∈ X , назовем отображение x : t 7→ x (t ) вещественной оси R (или, соответственно, полуоси R ₊ ) в пространство X , определяемое равенством

x (t ) = N^t x ₀ . (1.5)

Таким образом, движение есть последовательность состояний данной динамической системы. Хотя нередко мы слышим и говорим «функция x (t )», следует различать функцию или отображение x и ее значение x (t ) при заданном t . Смешение этих понятий нередко сходит с рук, но лучше приучиться к аккуратному их употреблению, так как во многих серьезных случаях путаница между отображением и его значением может приводить к ошибкам.

Траекторией (или орбитой) данного движения x : t →7 x (t ) называется множество

T = ^[ x (t ). (1.6)

t ∈R

В случае полугруппы объединение следует брать по t ∈ R ₊ , иногда употребляется термин положительная полутраектория .

Когда я произношу слово «траектория», то представляю себе лыжню, на которой не видно лыжника. Мы видим пройденный им путь, но не знаем, в какой момент времени он был в той или другой точке траектории–лыжни. Траектория — множество состояний, пройденных данной системой в ходе

В.И. Юдович. Математические модели естественных наук

движения. Если траектория известна, то достаточно задать закон движения по ней , чтобы движение системы было полностью определено.

Нередко бывает полезным понятие графика данного движения. Это — множество точек (t,x (t )) в декартовом произведении R × X оси времени R и пространства X .

Лучше уяснить связи и различия между понятиями отображения и его значения в точке, движения и мгновенного состояния динамической системы, траектории, области значений отображения и графика отображения Вам помогут упражнения к этому параграфу.

2. Автономные дифференциальные уравнения

Главным источником динамических систем можно считать автономные дифференциальные уравнения — обыкновенные и в частных производных.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

x ˙₁ = f ₁ (x ₁ ,x ₂ ,...,x_n ),

x ˙₂ = f ₂ (x ₁ ,x ₂ ,...,x_n ), (2.1)

.

Ее правые части не зависят явно от времени t , это и есть свойство автономности. Если при любых начальных данных x ₀₁ ,x ₀₂ ,...,x _0n задача Коши для системы (2.1) с начальными условиями

x ₁ (0) = x ₀₁ , x ₂ (0) = x ₀₂ , ..., x_n (0) = x _0n (2.2)

имеет, и притом единственное решение x ₁ (t ),x ₂ (t ),...,x_n (t ), определенное для всех t ∈ R (или хотя бы всех t ≥ 0), то определен эволюционный оператор N^t : Rⁿ → Rⁿ , который начальной точке x ₀ = (x ₀₁ ,x ₀₂ ,...,x _0n ) ставит в соответствие значение решения x (t ) = (x ₁ (t ),x ₂ (t ),...,x_n (t )) в момент времени t для каждого t ∈ R . Таким образом, решение x (t ) определяется равенством

x (t ) = N^t x ₀ . (2.3)

Решение дифференциального уравнения — это и есть движение определяемой им динамической системы.

Необходимо подчеркнуть, что предположение о глобальной однозначной разрешимости задачи Коши (2.1)–(2.2), которое необходимо для того,

Автономные дифференциальные уравнения

чтобы определить эволюционный оператор N^t , для каждой данной системы приходится проверять отдельно, и это зачастую оказывается нелегкой задачей. Все общие теоремы в теории дифференциальных уравнений говорят лишь о локальной разрешимости задачи Коши. Более того, можно утверждать, что глобальная разрешимость — существование решения, при любых начальных данных определенного для всех t , — является исключительным свойством системы дифференциальных уравнений. Подробнее об этом говорится в следующем разделе, здесь лишь замечу, что априорные оценки решений, которые необходимы для доказательства глобальной разрешимости, справедливы и могут быть получены лишь благодаря специальным свойствам системы. Таковыми являются основные законы физики — закон сохранения энергии, другие законы сохранения (момента, количества движения), второе начало термодинамики — закон возрастания энтропии и т.д.

Понятие эволюционного оператора весьма полезно в теории, но нам приходится с ним работать, не имея для него, как правило, никаких аналитических формул и представлений.

Заметим, что задание эволюционного оператора определяет соответствующее ему дифференциальное уравнение. Действительно, система (2.1) может быть записана как векторное дифференциальное уравнение

x ˙ = F (x ). (2.4)

Ее правая часть есть векторное поле на пространстве Rⁿ , определяемое равенством

F (x ) = (f ₁ (x ₁ ,...,x_n ),f ₂ (x ₁ ,...,x_n ),...,f_n (x ₁ ,...,x_n )). Начальное условие (2.2) записывается в виде

x (0) = x ₀ . (2.5)

Если N^t : Rⁿ → Rⁿ есть эволюционный оператор, то решение задачи Коши (2.4)–(2.5) может быть представлено в виде (2.3). Подстановка (2.3) в (2.4) дает равенство

, (2.6)

справедливое для всех x ₀ ∈ Rⁿ . Но это значит, что x ₀ можно опустить и записать равенство для операторов

. (2.7)

В.И. Юдович. Математические модели естественных наук

Справа стоит композиция операторов F и N^t :

.

Разумеется, существование производной по времени в (2.6) предполагается.

Оператор N^t обратим, и его обратный есть (N^t )⁻¹ = N ^−t . «Умножая» равенство (2.7) на N ^−t справа, выводим

. (2.8)

Это значит, что для любого x ∈ Rⁿ

(2.9)

Остается еще заметить, что левая часть здесь от t не зависит, значит, не зависит от t и правая часть. Таким образом, можно положить, например, справа t = 0. Получается выражение для векторного поля F через эволюционный оператор N^t

(2.10)

для любого x ∈ Rⁿ .

В случае линейного пространства, каковым является Rⁿ , векторы естественным образом отождествляются с точками, а векторные поля с отображениями, поэтому можно считать, что F — оператор, действующий в Rⁿ . Оператор (векторное поле) F , определяемый равенством (2.10), называется генератором или инфинитезимальным оператором однопараметрической группы {N^t }.

Мы видим, что даже гладкое векторное поле F может и не определять эволюционный оператор (если нет глобальной разрешимости), но если уж определяет, то однозначно — теорема единственности решения задачи Коши, конечно, имеет место для гладких векторных полей. С другой стороны, задание эволюционного оператора однозначно определяет его генератор — векторное поле F .

Значение дифференциальных уравнений, для которых нет единственности решения задачи Коши, в естествознании пока неясно. Иногда (как в задаче об ударных волнах в газе) неединственность просто означает, что мы пропустили некоторые условия. После того, как эти условия введены

3 О глобальной разрешимости задачи Коши и единственности решения

(в задаче об ударных волнах это условие Ренкина-Гюгонио на скачке), отбирается уже единственное решение. Встречается и такая ситуация, когда единственности решения задачи Коши нет при некоторых начальных данных, а при других она, возможно, есть.

Пожалуй, в задачах естествознания мы еще не встречались с эволюционными задачами, для которых нет единственности решения. Исключительные, и до сих пор не преодоленные, трудности в доказательстве единственности решения основных начально-краевых задач гидродинамики несжимаемой жидкости привели довольно многих исследователей к гипотезе о том, что теорема единственности здесь и не справедлива. Лично я в это не верю, и много лет выдерживаю споры по этому вопросу с другими математиками. Но допустим, что в какой-нибудь задаче естествознания такая ситуация встретится. Что бы это могло означать? Необходимость перехода к вероятностному описанию? Признание за системой некоторой свободы воли? Будущее покажет. Я думаю, действительно, покажет, потому что такие системы, наверное, еще появятся в математической физике. Так уже не раз бывало, что математические абстракции и (кажущиеся) патологии реализовывались в физике. Пример тому — канторовы множества , которые Георг Кантор ввел в своих весьма абстрактных исследованиях первоначально лишь для того, чтобы глубже понять взаимоотношение между такими понятиями, как мощность и мера множества. А в настоящее время канторовы множества появляются, например, едва ли не в каждой статье журнала “Physica D”.

3. О глобальной разрешимости задачи Коши и

единственности решения

Сейчас я собираюсь напомнить некоторые основные результаты из теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Мы особо сконцентрируем внимание на результатах, касающихся теорем единственности и существования решения задачи Коши, которые в общем Вам известны, но, возможно, оставались в тени. Замечу сразу, что положение с теоремами существования и единственности решения задачи Коши далеко не так благополучно, как это может показаться при чтении учебника.

Речь пойдет о задаче Коши для векторного дифференциального уравнения

x ˙ = F (x,t ) (3.1)

в пространстве Rⁿ с начальным условием

. (3.2)

Уравнение (3.1) можно записать в виде системы n скалярных уравнений, а начальное условие (3.2) — в виде n скалярных равенств. Когда выбран стандартный базис e ₁ = (1, 0,..., 0), e ₂ = (0, 1,..., 0),...,e_n =

где f ₁ ,f ₂ ,...,f_n — компоненты векторного поля F , зависящего от времени.

Обычно предполагается, что поле F непрерывно по совокупности переменных x,t в некоторой области пространства Rⁿ ×R = R^{n +1} , для краткости будем дальше предполагать, что поле F задано на всем пространстве R^{n +1} , т.е. для всех x ∈ Rⁿ и t ∈ R .

Замечу, что определение производной x ˙ по скалярному аргументу не требует привлечения базиса. Для любого банахова пространства X производная x ˙(t ) от вектор-функции x скалярного аргумента t ∈ R по t определяется равенством:

. (3.4)

Предел в этом равенстве, вообще говоря, можно понимать по-разному — возможны различные определения производной. Если это предел по норме пространства X , получается сильная производная . В конечномерном случае все нормы эквивалентны, так что понятие сильной производной не зависит от выбора нормы, например, ее можно считать евклидовой. Если рассматривать слабую сходимость, получится понятие слабой производной ; имеется даже, вообще говоря, два типа слабой сходимости. В конечномерном случае все эти виды сходимости совпадают — имеется по существу лишь одно понятие сходимости последовательности элементов и, соответственно, лишь одно понятие производной. Замечу еще, что при выбранном базисе сходимость в конечномерном пространстве есть покоординатная сходимость (должна сходиться последовательность первых координат, последовательность вторых координат и т.д.); к тому же понятие сходимости в конечномерном пространстве не зависит и от выбора базиса.

Общие теоремы существования решения задачи Коши (3.1)–(3.2) носят локальный характер. Это означает, что гарантируется лишь существование решения, определенного на некотором интервале (r ₁ ,r ₂ ), где r ₁ < 0, r ₂ > 0, содержащем начальный момент t = 0. Никак нельзя забывать (многие все-таки забывают ...), что по самому своему определению, решение дифференциального уравнения есть вектор-функция со значениями в X , определенная на интервале (именно на интервале, а не на каком-либо ином множестве!) (r ₁ ,r ₂ ), где −∞ ≤ r ₁ < 0 и r ₁ < r ₂ ≤ +∞. Как раз случай, когда r ₁ = −∞ и r ₂ = +∞ — самый хороший, это случай глобальной разрешимости.

Теорема Пеано. Пусть X — конечномерное банахово пространство, и F — непрерывная вектор-функция со значениями в X. Тогда для любого x ₀ ∈ X существует, по крайней мере, одно решение задачи Коши ( 3.1)–( 3.2), определенное на некотором интервале

(r ₁ ,r ₂ ).

Разумеется, r ₁ и r ₂ зависят от поля F , от выбора начального момента времени (вместо t = 0 можно было бы написать t = t ₀ ) и от начального значения x ₀ .

В условиях этой теоремы единственность решения нельзя гарантировать — даже в простейшем случае одного скалярного дифференциального уравнения нетрудно привести примеры неединственности. Классический_√

пример: x ˙ = ³ x , x (0) = 0.

Интересно еще поставить вопрос о том, насколько типична неединственность. Пример автономного скалярного дифференциального уравнения x ˙ = f (x ) оказывается здесь дезориентирующим. Для этого уравнения задача

Коши в случае, когда f (x ₀ ) 6= 0, имеет единственное решение при одном лишь условии непрерывности функции f . Вместе с тем, при f (x ₀ ) = 0 определенные условия регулярности — условие Липшица или условие Осгуда (см. ниже) — оказываются по сути необходимыми. Весьма неожиданным было открытие польского математика Владислава Орлича, который установил, что и для скалярного неавтономного уравнения x ˙ = f (x,t ) с непрерывной функцией f и для векторного дифференциального уравнения (3.1) типична единственность. В пространстве всевозможных непрерывных на всей плоскости (x,t ) функций f множество тех функций, для которых имеется хотя бы одна точка неединственности (x ₀ ,t ₀ ), имеет первую категорию в пространстве непрерывных функций, заданных на плоскости. Сходимость последовательности f_n (x,t ) в этом пространстве определяется как равномерная сходимость на каждом компактном множестве плоскости R ² (x ₀ называется точкой неединственности, если задача Коши для данного уравнения с начальным условием x (t ₀ ) = x ₀ имеет более одного решения).

Напомню, что множество первой категории определяется тем условием, что оно представимо в виде счетного объединения нигде не плотных множеств. Это одно из формальных определений «пренебрежимо малого» множества. Другие определения основываются на понятиях мощности, размерности, либо меры и вероятности. Подробнее о множествах первой и второй категории можно прочитать в любой книжке по теории функций вещественного переменного, например, [38], [1] или [30]. Множество называется множеством второй категории, если его дополнение в пространстве имеет первую категорию. Таким образом, множество второй категории — это массивное, большое множество, заполняющее подавляющую часть всего пространства (боюсь говорить «почти все» пространство, потому что этот термин захвачен теорией меры).

Хотя результат Орлича показывает, что гладкость функции f имеет мало отношения к единственности решения задачи Коши (или поля F ), все известные теоремы единственности основываются на тех или иных условиях некоторой регулярности функции f по переменной x .

Теорема единственности. Пусть, в дополнение к условиям теоремы Пеано, поле F удовлетворяет условию Липшица:

|F (x ⁰ ,t ) − F (x ⁰⁰ ,t )| ≤ L |x ⁰ − x ⁰⁰ |

с некоторой константой L > 0, хотя бы в некоторой окрестности начальной точки t = 0, x = x ₀ в R × X . Тогда решение задачи Коши

( 3.1)–( 3.2) единственно.

Напомню, что решения x ⁽¹⁾ (t ) и x ⁽²⁾ (t ) не считаются различными, если они совпадают в пересечении их интервалов определения. Немного усилил эту теорему единственности американский математик Осгуд, который установил, что условие Липшица можно заменить условием Осгуда

|F (x ⁰ ,t ) − F (x ⁰⁰ ,t )| ≤ _ω (|x ⁰ − x ⁰⁰ |), (3.5)

где ω(s ) — функция одной переменной, заданная для малых положительных s , принимающая положительные значения при s > 0 и такая, что удовлетворяет условию

. (3.6)

Верхний предел здесь несущественен. Легко заметить, что при ω(s ) = Ls , условие Осгуда превращается в условие Липшица. Если же взять ω(s ) = Ls ^α при 0 < α < 1, то условие Осгуда нарушается — и в самом деле, можно указать такие уравнения, для которых единственности нет. Это отнюдь не означает, что условие Осгуда необходимо для единственности — для уравнения в упражнении 5 оно нарушено, а единственность, тем не менее, имеет место.

Интересно еще заметить, что если уж задача Коши для уравнения (3.1) имеет более одного решения, то на самом деле существует целое непрерывное семейство решений, образующее континуум (связное компактное множество), называемый интегральной воронкой . Это — теорема Кнезера, см. [49].

Глобальная разрешимость. Теорема об альтернативе глобальной разрешимости. Простейшие примеры показывают, что для многих дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений, по крайней мере, некоторые решения невозможно продолжить на всю вещественную ось времени или даже на полуось t ≥ 0. Более того, такую ситуацию следует считать типичной.

Проведите такой эксперимент. Введите в любую стандартную программу для решения систем дифференциальных уравнений «какую попало» систему, скажем 2-го или 3-го порядка или даже скалярное дифференциальное уравнение — используйте для написания правых частей полиномы, экспоненты, тригонометрические функции и т.д. Задайте начальные данные (тоже «какие попало»). Берусь предсказать результат такого эксперимента. Решение за конечное время уйдет на бесконечность, и вычисления остановятся. Ну, может быть (это очень невероятно), решение выйдет на некоторое равновесие. Тогда измените начальные данные, и решение уйдет на бесконечность.

В известной мне литературе нет строгих теорем о том, что отсутствие глобальной разрешимости, наличие взрывающихся решений является типичным. Некоторые такие теоремы, правда, довольно частного характера, мне известны, и я рассказывал о них в лекциях. Думаю, что исследование общих условий глобальной разрешимости эволюционных задач для различных классов дифференциальных уравнений в обыкновенных и частных производных (а также и интегро-дифференциальных уравнений) представляет собой актуальную и многообещающую область исследования.

Особенно интересно связать глобальную разрешимость с фундаментальными законами физики. Я даже думаю, что само по себе требование глобальной разрешимости является одним из наиболее фундаментальных физических законов. Если будет развита соответствующая математическая теория, то можно ожидать, что некоторые физические законы окажутся следствием постулата глобальной разрешимости.

Здесь ограничусь лишь одним примером для иллюстрации этой общей идеи. Рассмотрим скалярное дифференциальной уравнение с полиномиальной правой частью

x ˙ = P (x ), P (x ) = a ₁ x + a ₂ x ² + ··· + a_n xⁿ , (3.7)

здесь a ₁ , a ₂ , ...,a_n — вещественные постоянные. Тогда (докажите это!) для глобальной разрешимости необходимо и достаточно, чтобы этот полином был линейным, то есть, чтобы выполнялись равенства a ₂ = a ₃ = ··· = a_n = 0. Иными словами, когда это условие не выполнено, при некоторых начальных данных решение уходит на бесконечность (на самом деле, либо для всех начальных значений x (0), либо для значений на некотором луче). Можно сказать, что пространство параметров a ₁ ,a ₂ ,...,a_n есть Rⁿ , и каждому уравнению (3.7) отвечает точка этого пространства. Так вот, глобально разрешимым уравнениям отвечает прямая в Rⁿ — «очень тощее» множество. Его коразмерность есть n − 1.

Есть еще интересный и не слишком хорошо изученный класс дифференциальных уравнений, для которого почти все начальные данные (то есть все, за исключением множества лебеговой меры ноль) отвечают решениям, определенным на всей полуоси t ≥ 0 (или даже для всех t ). Интересные результаты о таких уравнениях имеются в работе А.Я. Повзнера [36]. В этой статье приведен довольно громоздкий пример такой системы уравнений, для которой, действительно, глобально продолжимы почти все (но не все) решения. Вот простой пример. Рассмотрим комплексное дифференциальное уравнение

z ˙ = z ² . (3.8)

Его решение с начальным условием z (0) = z ₀ есть

. (3.9)

Очевидно, что для невещественных z ₀ решение (3.9) определено для всех t . Если же z ₀ — вещественно, то при z ₀ > 0 решение (3.9) можно определить лишь на интервале, а если z ₀ < 0, то лишь на интервале. Замечу, что комплексное уравнение (3.8) эквивалентно (положим) системе второго порядка

x ˙ = x ² − y ² , y ˙ = 2xy.

Выходит, что глобально продолжимы все решения этой системы кроме тех, которые отвечают начальным точкам (x ₀ , 0), x ₀ 6= 0.

Очень интересно было бы исследовать общие классы систем уравнений с аналогичным поведением решений, для которых глобально продолжимы все решения, начинающиеся вне некоторого множества положительной коразмерности. О таких уравнениях, пожалуй, почти ничего сейчас неизвестно.

Во всех учебниках по обыкновенным дифференциальным уравнениям после доказательства классических теорем существования и единственности решения задачи Коши следует обсуждение вопроса о возможности продолжить решение на больший интервал. Обычно, однако, это обсуждение остается как-то в тени. Я сейчас сформулирую основную теорему об альтернативе глобальной разрешимости задачи Коши. Представим себе, что мы применяем метод рассуждения от противного. Мы произносим фразу: допустим, что решение невозможно продолжить на всю полуось t ≥ 0. Что делать дальше? Следующая теорема подсказывает нам план дальнейших действий.

Теорема1(обальтернативеглобальнойразрешимости). Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения в Rⁿ

x ˙ = F (x,t ), x (0) = x ₀ . (3.10)

Предположим, что выполнены условия классических теорем существования и единственности: F — непрерывная вектор-функция, заданная для всех (x,t ) ∈ Rⁿ × R , и существуют непрерывные про-

изводные .

Тогда для решения x (t ) имеется лишь две возможности: 1) решение x (t ) можно продолжить на всю полуось t ≥ 0; 2) существует t ⁺ _∗ > 0 такое, что |x (t )| → ∞ при t → t ⁺ _∗ .

Конечно, аналогичный результат справедлив и для задачи продолжения решения на отрицательную полуось: если решение x (t ) нельзя продолжить на всю полуось t ≤ 0, то найдется t ⁻ _∗ < 0 такое, что что |x (t )| → ∞ при

.

Областью определения решения x (t ) может быть либо вся ось t , либо полуось, либо интервал , либо полуинтервал. Можно объединить все эти случаи, условившись полагать в случае, когда решение продолжимо на всю положительную полуось, и, когда решение продолжимо на всю отрицательную полуось.

Явление ухода решения на бесконечность за конечное время называется коллапсом или взрывом .

Согласно теореме об альтернативе, для доказательства глобальной разрешимости достаточно исключить взрыв, коллапс. А это значит, что необходимо доказать априорную оценку : предполагая, что решение существует и определено, скажем, для всех t ≥ 0, то есть нужно установить, что для него верна оценка

|x (t )| ≤ M (t ), (3.11)

где M (t ) — некоторая непрерывная функция. Не воспрещается даже, чтобы функция M (t ) была неограниченной на луче t ≥ 0. Важно, что априорная оценка (3.11) исключает взрыв, тогда согласно теореме, решение x (t ) определено для всех t ≥ 0.

Обратите внимание на изысканную логику применяемого здесь рассуждения: мы предполагаем , что решение на [0, +∞) существует и доказываем, что тогда для него выполняется оценка (3.11). А отсюда по теореме следует, что решение и в самом деле существует. К тому же иногда функция M (t ) нам в явном виде неизвестна, но оказывается возможным доказать, что она существует. Заметим еще, что в теореме речь идет о конкретном решении x (t ), соответственно, функция M (t ) определяется для этого решения.

Возможно, Вы помните из общего курса, что есть все-таки один очень важный класс систем дифференциальных уравнений (векторных дифференциальных уравнений), для которого имеет место глобальная разрешимость задачи Коши. Это линейные дифференциальные уравнения вида

x ˙ = A (t )x, (3.12)

в Rⁿ или, вообще, в конечномерном банаховом пространстве X . Здесь A (t ) — непрерывная по t оператор-функция: A (t ) : X → X есть линейный оператор для каждого t ∈ R . В случае конечномерного пространства X все линейные операторы непрерывны. Результат о глобальной разрешимости сохраняется и в случае бесконечномерного пространства X , если A (t ) для каждого t есть линейные оператор, а оператор-функция A (t ) непрерывна по t в смысле нормы оператора (доказательство можно найти, например, в книге [11]).

На самом деле, суть не в линейности дифференциального уравнения, а в том, что векторное поле на бесконечности растет не слишком быстро — разрешается не только линейный рост, но даже и чуть-чуть более сильный. При таких условиях удается непосредственно получить нужные априорные оценки. Об этом говорят следующие две теоремы. Сразу, однако, замечу, что уже степенной рост более быстрый, чем линейный, скажем, |x |^{1+ ε} , ε > 0, может (хотя, конечно, не обязательно) привести к коллапсу решений.

Теорема2. РассмотримзадачуКошидлядифференциальногоуравнения в Rⁿ

x ˙ = F (x,t ), x (0) = x ₀ . (3.13)

Пусть снова выполнены условия классических теорем существования и единственности: F — непрерывная вектор-функция, заданная для всех (x,t ) ∈ Rⁿ × R , и существуют непрерывные производ-

ные .

Предположим, что выполнена следующая оценка

|F(x,t)| ≤ m(t)|x|, (3.14)

для всех x ∈ Rⁿ , t ≥ 0 (достаточно потребовать, чтобы неравенство ( 3.14) выполнялось для всех x вне некоторого шара, скажем, при |x | ≥ a ). Здесь m (t ) — непрерывная функция, определенная для t ≥ 0.

Тогда всякое решение задачи Коши ( 3.13) можно продолжить на всю полуось t ≥ 0.

Доказательство. Предположим, что задача Коши (3.13) имеет решение x (t ). Подставим его в уравнение (3.13). Умножая полученное равенство скалярно на x (t ), получим

. (3.15)

Дальше, ради краткости, вместо x (t ) будем писать x , а вместо |x |² — x ² . Применяя для оценки правой части неравенство Коши-Буняковского, а затем условие теоремы (3.14), получим

. (3.16)

Это известное Вам дифференциальное неравенство. Следующее рассуждение носит довольно общий характер, повторяя в нашем конкретном случае лемму Гронуолла (см. [49]).

Умножим (3.16) на. Тогда это неравенство перепишется в эквивалентной форме

. (3.17)

Интегрируя по времени, с учетом начального условия (3.13) получим

t

2^R m (s )ds

|x (t )|² ≤ |x ₀ |² e ⁰ (3.18)

или t

^R m (s )ds

def

|x (t )| ≤ |x ₀ |e ⁰ = M (t ). (3.19)

Итак, мы доказали априорную оценку (3.19). Поэтому коллапс невозможен. Осталось сослаться на теорему об альтернативе, и доказательство окончено.

Теорема 3. Пусть вместо условия ( 3.14) выполняется (хотя бы при больших |x |) неравенство

|F(x,t)| ≤ m(t)ϕ(|x|), (3.20)

где m (t )— непрерывная на луче t ≥ 0 функция, а функция ϕ(s ) определена для s ≥ 0 и удовлетворяет условию

, (3.21)

нижний предел можно поставить какой угодно.

Тогда сохраняется утверждение теоремы 2: всякое решение задачи задачи Коши ( 3.13) можно продолжить на всю полуось t ≥ 0.

Это так называемая теорема Хартмана-Уинтнера (см. книгу Ф. Хартмана [49]), достаточно тривиальная. Доказывается она в основном так же, как теорема 2, думаю, Вы справитесь с этим сами.

Можно сказать, что доказательства теорем 2 и 3 носят «силовой» характер, потому что они основываются на непосредственных и грубых оценках правых частей уравнений. Ограничения, принятые в этих теоремах, очень сильны, очень строги и не часто выполняются. Для большинства наиболее важных нелинейных систем правые части на бесконечности растут степенным образом (скажем, как |x |² или |x |³ ), а то и экспоненциально. Пожалуй, в приложениях помимо линейных уравнений, теорема 2 применяется еще к уравнениям и системам с ограниченными правыми частями. Например, из нее следует глобальная разрешимость для уравнения математического маятника x ¨ + _ω ² sinx = 0.

В упражнениях Вы найдете примеры систем уравнений, для которых априорные оценки решений и глобальную разрешимость задачи Коши можно вывести более тонкими приемами, с использованием их специфических свойств.

Упражнения

1. Докажите, что для скалярного уравнения

x ˙ = a ₁ x + a ₂ x ² + ...a_n xⁿ

(a ₁ ,...,a_n — вещественные параметры) глобальная разрешимость на всей оси времени имеет место тогда и только тогда, когда a ₂ = a ₃ = ... = a_n =

0.

Докажите также, что при n > 1 и a_n 6= 0 глобальная разрешимость для положительных времен t ≥ 0 имеет место в том и только в том случае, когда n — нечетно, и при этом a_n < 0.

2. Найдите априорную оценку решения и докажите глобальную разрешимость задачи Коши для уравнения в Rⁿ

x ˙ = F (x,t )

с ограниченной правой частью: задана оценка |F (x,t )| ≤ M (t ), где M (t ) — известная функция, определенная для всех t ∈ R , а x ∈ Rⁿ — произвольная точка.

3. Докажите, что если потенциальная энергия V (x ) ограничена снизу (так что V (x ) ≥ h для всех x ∈ Rⁿ при известной постоянной h ), то для обобщенного уравнения 2-го закона Ньютона

x ¨ = −grad V (x )

справедлива теорема о глобальной разрешимости. Сохраняется ли этот результат после введения внешней силы F (t ) — для уравнения

x ¨ = −grad V (x ) + F (t ).

4. Рассмотрите скалярное уравнение

при V (x ) = ax^m . При каких a и m возможен коллапс?

5. Приведите пример уравнения вида x ˙ = F (x ) на плоскости R² такого, что поле F (x ) непрерывно, ни в одной точке не имеет производной, не удовлетворяет условию Осгуда, но тем не менее решение задачи Коши существует и единственно.

6. Найдите и нарисуйте интегральную воронку решений задачи Коши

√ x ˙ = ³ x, x (0) = 0.

7. Возможно ли, что единственность решения имеет место для отрицательных t и ее нет для положительных t (присмотритесь к предыдущему примеру).

8. Доказать, что для скалярного уравнения

с начальным условием x (0) = x ₀ в случае коллапса при t = t _∗ > 0 решение x (t ) стремится к бесконечности определенного знака, то есть либо x (t ) → +∞, либо x (t ) → −∞ при t → t _∗ − 0.

4. Динамические системы с дискретным временем

Динамической системой с дискретным временем называется пара (X,N ), где X — метрическое пространство, N : X → X — отображение этого пространства в себя.

Движением этой системы с начальной точкой x ₀ называется последовательность

x ₀ , x ₁ = Nx ₀ , x ₂ = Nx ₁ = N ² x ₀ , ..., x_n = Nⁿ x ₀ . (4.1)

Множество {x_n }, n = 0, 1,... называется положительной полутраекторией, определенной начальной точкой x ₀ . Выполняются следующие равенства

N ⁰ = I, N^{m +n} = N^m Nⁿ . (4.2)

Первое из них — обычное определение, а второе выражает закон ассоциативности для композиции отображений.

Нетрудно видеть, что это тот же закон причинности (1.4), но записанный не для произвольных t,s ∈ R , а лишь для их неотрицательных целочисленных значений t = m , s = n . Если N — обратимое отображение, то

можно считать, что равенство (4.2) выполнено для всех целых m,n ∈ Z . В этом случае можно определить точки x_n = (N ⁻¹ )^{|n |} x ₀ . Множество {x_n }, n = 0, ±1, ±2,... называется траекторией . Очевидно, траектория определяется любой своей точкой, в частности точкой x ₀ .

Заметим, что множество операторов {I,N,N ² ,... } есть полугруппа. В случае, когда оператор N обратим, ее можно расширить до группы {Nⁿ }, n = 0, ±1, ±2,... .

Каскады и потоки. Динамическую систему с дискретным временем называют также каскадом , в отличие от динамической системы с непрерывным временем, у которой есть еще название поток . Оба названия весьма выразительны, хотя термин «каскад» не всеми принят. Если рассматривается автономное дифференциальное уравнение x ˙ = F (x ) в Rⁿ , то всегда полезно представить себе, что F есть поле скорости текущей жидкости. Это значит, что в точке x ∈ Rⁿ задана скорость течения, хотя в этой точке появляются все время новые частицы жидкости. Если хотим проследить за движением той частицы жидкости, которая в начальный момент t = 0 находилась в точке x ₀ ∈ Rⁿ , то для этого нужно решить задачу Коши с начальным условием x (0) = x ₀ . Тогда решение x (t ) = N^t x ₀ дает положение этой жидкой частицы в момент t .

Сейчас мы рассмотрим пути возникновения динамических систем с дискретным временем. Во-первых, динамические системы с дискретным временем (каскады) возникают при квантизации динамических систем с непрерывным временем (потоков). Во-вторых, в ряде случаев (в частности, в экологии) уже исходные математические модели оказываются динамическими системами с дискретным временем. В-третьих, рассматривая периодические дифференциальные уравнения, можно, а зачастую и полезно, перейти к рассмотрению решений лишь в точках np , кратных периоду p , что приводит к динамической системе с оператором монодромии . И, наконец, в-четвертых, динамические системы с дискретным временем возникают при исследовании автономных систем, для которых удается найти поверхность Пуанкаре и построить отображение Пуанкаре .

Квантизация. Случается, что, рассматривая динамическую систему с непрерывным временем, мы желаем сократить объем информации, с которой имеем дело (храним, обрабатываем, пересылаем) и фиксировать состояние системы лишь в дискретные моменты времени, скажем, только для t = nT , где T > 0 фиксировано. Так мы поступаем, например, составляя таблицы (T — шаг таблицы) решений дифференциальных уравнений. Так поступают и руководящие организации, запрашивая отчеты лишь ежегодно (T = 1 год), а не в каждый момент времени. Вместо x (t ) = N^t x ₀ мы в этом случае рассматриваем лишь последовательность x_n = x (nT ) = N^nT x ₀ . Таким путем приходим к динамической системе с дискретным временем (X,N^T ) с тем же пространством X и отображением N^T .

Математические модели с дискретным временем. Иногда исходная математическая модель для описания данного явления уже оказывается системой с дискретным временем. Таковы многие модели экологии и генетики. Ограничусь здесь одним примером. Рассмотрим изменение численности популяции бабочек. Будем характеризовать величину популяции в n -м поколении, скажем, ее биомассой x_n ; ясно, что x_n — неотрицательное число (x_n ≥ 0). Когда популяция развивается беспрепятственно, действует закон Мальтуса

x_{n +1} = bx_n . (4.3)

Здесь b > 0 — параметр, характеризующий популяцию.

Таким образом, мы приходим к рассмотрению динамической системы (R ₊ ,N ), где неотрицательная полуось R ₊ есть пространство динамической системы, а N : R ₊ → R ₊ — отображение, определяемое равенством

Nx = bx. (4.4)

Если в начальный момент n = 0 (дискретного времени n ) величина популяции есть x ₀ , то по рекуррентной формуле (4.3) непосредственно получаем

x_n = bⁿ x ₀ . (4.5)

Если b > 1, то x_n → ∞ при n → ∞. Если b = 1, то x_n = x ₀ для всех n , популяция не меняется со временем. Если b < 1, то x_m → 0, популяция вымирает. Теперь понятно, почему b называется параметром жизненной силы данной популяции.

Закон Мальтуса (4.3) достаточно хорошо описывает развитие не только популяции бабочек, но и вообще эволюцию всякой популяции в условиях практически неограниченного запаса питания и отсутствия сопротивления внешней среды (хищников, загрязнения среды, самоотравления популяции продуктами ее жизнедеятельности). Я говорю о бабочках, потому что для них характерно, что все особи n -го поколения погибают, рождая (n + 1)е поколение; рост может оказаться еще быстрее, чем экспоненциальный, если часть особей n -го поколения продолжает жить одновременно с (n + 1)–м, (n + 2)–м и последующими поколениями.

Часто говорят, что для проверки условий применимости данной математической модели нужно рассмотреть ее как частный случай более общих моделей. Это не совсем так. Иногда модель сама громко заявляет о своей неприменимости. С одним примером мы уже встретились раньше. Если решение x (t ) дифференциального уравнения испытывает коллапс, |x (t )| → ∞ при t → t _∗ , то ясно, что при t ≥ t _∗ (а на самом деле даже раньше) модель становится неприменимой для описания дальнейшей эволюции. Закон Мальтуса при b > 1 дает другой пример. Авторы популярных книг любят приводить подсчет роста популяций бабочек, или кроликов в n -м поколении и отсюда выводить, что очень скоро такая популяция заполнит всю Землю, или что ее масса станет больше массы Солнца. Такие выводы, очевидно, решительно противоречат реальности. Это означает, что для описания дальнейшего развития популяции модель должна быть изменена.

Один из простейших способов хоть как-то учесть сопротивление внешней среды развитию популяций был предложен Ферхюльстом [66] и состоял в том, что в уравнение Мальтуса добавлялось квадратичное слагаемое. После введения надлежащих масштабов измерения (максимально возможный размер популяции принимается за 1) получается динамическая система (X,N ), где X = [0, 1], а отображение N задается равенством

Nx = bx (1 − x ). (4.6)

Требование, чтобы для всякого x ∈ [0, 1] его образ Nx также принадлежал [0, 1], приводит к ограничению на параметр жизненной силы 0 ≤ b ≤ 4. Теперь получается, что

x_{n +1} = bx_n (1 − x_n ). (4.7)

С ростом n выражение для x_n (через x ₀ ) по этой рекуррентной формуле сильно усложняется. Чрезвычайно усложняется и поведение величин x_n .

Сейчас мы обсудим некоторые общие вопросы о поведении движений, а затем вернемся к нашим бабочкам.

Поведение движений динамической системы на больших временах. Вообще, когда мы изучаем динамическую систему, будь то поток или каскад, наиболее интересен вопрос: что происходит при неограниченно возрастающем времени (при t → +∞ или при n → +∞)?

Простейший вариант — когда последовательность x_n имеет предел: x_n → x _∗ . Переходя к пределу в равенстве

x_{n +1} = Nx_n (4.8)

и учитывая, что x_{n +1} → x _∗ , заключаем, что x _∗ — неподвижная точка отображения N :

Nx _∗ = x _∗ . (4.9)

Когда мы строим последовательность x_n по формуле (4.8), то по существу как будто бы пытаемся решить уравнение (4.9) методом итераций. Итерации могут, конечно, и не сходиться. Как ведет себя тогда последовательность x_n ? Бывает, что движение x_n стремится к циклу некоторого периода p . Циклом динамической системы (X,N ) или циклом отображения N : X → X называется инвариантное множество {x ¹ ,x ² ,...,x^p } (заметьте, что уже по смыслу слова «множество» все точки эти различны), для точек которого верно равенство

N p x j = x j ,

но если взять N в меньшей степени k < p , то N^k x^j 6= x^j ни для какого j . Например, если имеется три различные точки x ¹ ,x ² ,x ³ и выполняются равенства Nx ¹ = x ³ , Nx ³ = x ² , Nx ² = x ¹ , то это означает, что множество {x ¹ ,x ² ,x ³ } есть цикл периода 3. Заметьте, что определение периода цикла для отображений отличается от обычного определения периода функции скалярного аргумента — здесь в определение включается требование минимальности числа p , а в случае функций — нет. Например, правильно будет сказать, что функция sinx , наряду с периодом 2π, имеет периоды 4π, 6π,... , а у цикла отображения есть только один период.

Вообще, подмножество Y в X называется инвариантным множеством динамической системы (X,N ) или отображения N , если оно переводится отображением N в себя, так что N (Y ) ⊂ Y . Это означает, что для любого x ∈ Y и его образ Nx ∈ Y . В этом случае можно рассмотреть сужение отображения N и ввести в рассмотрение новую динамическую систе-

му .

Движение динамической системы может стремиться и к более сложному множеству, чем цикл. Например, даже для простого квадратичного отображения (4.6) случается, что движения стремятся к канторову множеству (это было доказано моими учениками Ю. С. Барковским и Г.М. Левиным (1980) и одновременно польским математиком Мисюревичем).

Но, конечно, бывает и так, что движение x_n уходит на бесконечность.

Надо сказать, что достаточно удивительным образом движения каскадов могут быть сложнее, чем движения потоков. Например, как Вы знаете из теории дифференциальных уравнений, поведение решений скалярного автономного уравнения x ˙(t ) = f (x ) очень просто: всякое решение x (t ), скажем, при t > 0, либо 1) уходит на бесконечность за конечное время, либо 2) x (t ) → +∞ (−∞) при t → +∞, либо 3) стремится к некоторому равновесию x (t ) → x _∗ при t → +∞, причем f (x _∗ ) = 0. Между тем, одномерное отображение (4.6) демонстрирует весьма сложное поведение. Заметьте, что уравнения типа (4.6) получаются из дифференциального уравнения при дискретизации, когда мы решаем задачу Коши численно, например, методом Эйлера. Такое резкое различие в качественном поведении движений лишний раз напоминает нам, как осторожно нужно относиться к выводам, полученным в результате приближенных вычислений, в особенности, когда речь идет о решении уравнений на больших промежутках времени.

Теорема Шарковского. В 1964 году советский математик А.Н. Шарковский доказал совершенно фантастическую теорему о циклах отображения прямой [51]. Довольно долго эта теорема была мало известной, и несколько американских математиков стали знамениты, доказав на десяток лет позже некоторые, наиболее простые частные случаи этой теоремы.

А.Н. Шарковский весьма изящно изложил свою теорему, введя cпециальный порядок на множестве N натуральных чисел. Для каждой пары натуральных чисел, скажем p и q , вводится соотношение p ≺ q , которое читается как “p предшествует q ”. Будем также писать и говорить, что q следует после p (можно не читать дальнейшее пояснение, если Вам понятна нижеследующая запись (4.10)). При этом первым числом считается число 3, за ним все нечетные числа, расположенные в обычном порядке возрастания. Далее следуют числа вида (4.10) (2n − 1) · 2, тоже в обычном порядке возрастания, начиная с числа 3 · 2. Затем идут все числа вида (2n − 1) · 2² , числа вида (2n − 1) · 2³ и т. д. Кончается эта последовательность числами вида 2ⁿ , но записанными в обратном порядке, так что последними оказываются числа 2³ ≺ 2² ≺ 2 ≺ 1. Ясно, что всякое натуральное число можно представить в виде произведения некоторой степени двойки и нечетного числа. В итоге, всевозможные натуральные числа располагаются в следующем порядке

3 ≺ 5 ≺ 7 ≺ 9 ≺ 11... ≺ 3 · 2 ≺ 5 · 2 ≺ ... ≺ 3 · 2² ≺ 5 · 2² ≺ ... ≺ ≺ 3 · 2³ ≺ 5 · 2³ ≺ ... 2³ ≺ 2² ≺ 2 ≺ 1.

(4.10)

Эта упорядоченность не используется при доказательстве, но позволяет сформулировать теорему в очень изящной форме.

Теорема 1 (А.Н. Шарковский, 1964). Пусть динамическая система с дискретным временем (R,T ) определяется непрерывной скалярной функцией f (x ) для x ∈ R . Отображение T : R → R определено равенством Tx = f (x ) для любого x ∈ R .

Предположим, что данная система имеет цикл периода p, тогда она также обладает циклом любого периода .

Из этой теоремы, в частности, следует, что при условии существования цикла периода 3 существуют циклы всевозможных периодов, и, в частности, неподвижная точка отображения T (цикл периода 1)! Вы сами сможете извлечь из этой теоремы другие удивительные следствия. Например, если имеется цикл периода 8, то существуют также циклы периодов 4, 2 и 1. При этом можно построить отображение, у которого нет циклов других периодов. В этом смысле теорема Шарковского точна.

Различные авторы приложили немало усилий в попытках перенести теорему Шарковского на многомерные отображения. Известные ныне аналогичные результаты относятся, однако, лишь к некоторым очень частным классам отображений. Усилия исследователей в этом направлении продолжаются.

Периодические системы и оператор монодромии. Следующими по сложности после автономных систем идут периодические системы дифференциальных уравнений.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

x ˙ = F (x,t ) (4.11)

в банаховом пространстве X . Предположим, что векторное поле F зависит от времени периодически, с периодом p > 0

F (x,t + p ) ≡ F (x,t ). (4.12)

Поставим для этого уравнения задачу Коши с начальным условием

x (0) = a. (4.13)

Предположим, что для любого a ∈ X существует единственное решение x (t ) задачи (4.11)–(4.13), определенное для t ∈ [0,p ]. Это означает, что существует оператор монодромии M_p : X → X , определяемый равенством

M_p a = x (p ). (4.14)

Теперь понятно, что можно, и это оказывается весьма полезным, ввести в рассмотрение динамическую систему с дискретным временем (X,M_p ).

При этом фазовое пространство X остается прежним, но вместо потока мы рассматриваем отображение M_p : X → X .

Ясно, что оператор монодромии M_p получается из эволюционного оператора уравнения (4.11) при t = p , так что . (Здесь индекс 0 отвечает выбору начального момента t = 0). Очевидно также, что в моменты времени t = p, 2p,...,np , имеем. Однако переход от эволюционного оператора к оператору монодромии не есть квантизация, потому что для неавтономного уравнения (4.11) эволюционный операторне обладает групповым свойством, не удовлетворяет принципу причинности, не порождается динамической системой. Впрочем, понятие квантизации можно естественно обобщить и на неавтономные системы. Дальше при обсуждении неавтономных дифференциальных уравнений мы рассмотрим обобщенный принцип причинности и его следствия для случая периодических дифференциальных уравнений.

В теории периодических дифференциальных уравнений переход к дискретной динамической системе оказывается весьма полезным, например, при исследовании устойчивости периодических движений. На практике оператор монодромии остается неизвестным даже для линейного периодического уравнения (4.11) и не задается какими-либо явными формулами, но его вполне можно и нужно вычислять при помощи компьютера. Многие фундаментальные свойства оператора монодромии оказывается возможным исследовать, основываясь лишь на его определении посредством дифференциального уравнения — чем и гордится математика (точнее, раздел качественной теории дифференциальных уравнений).

Отображение Пуанкаре. Рассмотрим автономное дифференциальное уравнение

x ˙ = F (x ) (4.15)

в Rⁿ . Предположим, что нам известна гиперповерхность S (например, заданная скалярным уравнением Φ(x ) = 0), обладающая следующим свойством (см. Рис. 1): для любой точки x ₀ ∈ S начатое от нее движение x (t ) (то есть решение задачи Коши для уравнения (4.15) с начальным условием x (0) = x ₀ ) возвращается на эту поверхность. Иными словами, существует t _∗ = t _∗ (x ₀ ) > 0 такое, что x (t _∗ ) ∈ S .

Гиперповерхность, обладающая этим свойством, называется гиперповерхностьюПуанкаре . Чаще говорят поверхностьПуанкаре , хотя формально это правильно лишь при n = 3 (поверхность двумерна, по определению).

Понятно, что движущаяся точка x (t ) вернется на поверхность S бесконечно много раз. Пусть t _∗ = t _∗ (x ₀ ) > 0 — момент первого возвращения. Отображение Пуанкаре Π : S → S определяется равенством

Πx_o = x (t _∗ ). (4.16)

Рис. 1

Таким путем мы определим динамическую систему с дискретным временем (S, Π). При этом S — ее пространство, а Π : S → S — отображение. Исследование поведения движений системы (4.15) — во всяком случае, тех, которые пересекают поверхность S — в значительной мере сводится к исследованию итераций Πⁿ отображения Пуанкаре. Если, например, x ₀ — неподвижная точка отображения Π, так что Πx ₀ = x ₀ , то соответствующее движение x (t ) — периодическое. Его период есть p = t _∗ (x ₀ ).

К сожалению, нет общего способа найти поверхность Пуанкаре для заданной автономной системы. Известны лишь различные частные приемы такого построения. Пусть, например, мы знаем p –периодическое решение x (t ) уравнения (4.15). Его траектория есть замкнутая кривая (цикл) (см. Рис. 1), стрелка, как обычно, указывает направление движения.

Выберем какую-нибудь точку x ₀ (t ) на этой траектории и проведем через нее малую площадку S , трансверсальную к циклу Γ (то есть не касательную к Γ). Если точка x ₀ ∈ S достаточно близка к x (t ₀ ), то пользуясь теоремой о непрерывности решения задачи Коши от начальных данных, нетрудно установить, что движение x (t ), начатое с точки x ₀ , вернется на поверхность S . Тем самым для таких точек x ₀ определено отображение Пуанкаре Π : x ₀ →7 Πx ₀ . Нет гарантий, правда, что итерации Πⁿ x ₀ останутся на поверхности S . Это приходится доказывать отдельно. Данное построение входит существенной составной частью в доказательства теорем об устойчивости и неустойчивости периодических автоколебательных режимов (решений уравнения (4.15)). Существенно также, что при достаточно малом возмущении цикла, скажем, вызванного малым изменением параметров задачи, та же самая площадка остается поверхностью Пуанкаре. В ряде случаев таким путем удается обнаружить новые циклы, ответвляющиеся от известного при изменении параметров.

Проблема вложения каскада в поток. Давно и довольно естественно возник вопрос, можно ли данную динамическую систему (X,N ) с дискретным временем вложить в поток, то есть получить посредством квантизации из некоторой динамической системы с непрерывным временем. Оказывается, это возможно далеко не всегда, и условия, когда это возможно, в точности неизвестны. Я сейчас расскажу о двух препятствиях к такому вложению, ограничиваясь случаем, когда X = Rⁿ .

Необратимость . Предположим, что нам удалось построить такое автономное дифференциальное уравнение x ˙ = F (x ) с гладким векторным полем F (x ) и эволюционным оператором N^t так, что при некотором шаге квантизации h получается равенство N^h = N . Но оператор N^t для каждого t обратим, значит, и N^h обратим. Об этом говорят теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Выходит, что необратимое отображение N невозможно вложить в поток. Отображение N : x 7→ bx (1 − x ) в модели популяции бабочек как раз необратимо. Потомуто так сложна определяемая им динамика на отрезке [0, 1], а для скалярных дифференциальных уравнений x ˙ = f (x ) все очень просто. Решения либо уходят на бесконечность, либо стремятся к равновесиям.

Несохранение ориентации . Всякий эволюционный оператор N^t , наряду с обратимостью, имеет еще свойство сохранять ориентацию .

Ориентацию пространства Rⁿ можно задать, фиксируя упорядоченный базис e ₁ ,e ₂ ,...,e_n этого пространства. Его мы объявляем положительным. После этого все остальные мыслимые упорядоченные базисы разбиваются на два класса следующим образом. Определим

линейный оператор J : Rⁿ → Rⁿ его действием на элементы исходного базиса, полагая для k = 1, 2,...,n . Если определитель detJ > 0, то базисназовем положительным, а при detJ < 0

— отрицательным. Очевидно, что при малых деформациях положительного базиса получается также положительный базис. Действительно, при сохранении базиса J = I , detI = 1, а при его малом изменении элементы определителя меняются мало, и строгое неравенство detJ > 0 сохраняется. Отсюда нетрудно заключить, что при непрерывном изменении положительного базиса всегда будет получаться также положительный базис, при непрерывном изменении отрицательного базиса — отрицательный.

Вообще, если подействовать линейным обратимым оператором A : Rⁿ →

Rⁿ на данный базис e ₁ ,e ₂ ,...,e_n , то получается новый базис Ae ₁ ,Ae ₂ ,...,Ae_n . Он останется положительным, если detA > 0. В этом случае мы скажем, что оператор A сохраняет ориентацию пространства Rⁿ . Если же detA < 0, то оператор меняет ориентацию: базис Ae ₁ ,Ae ₂ , ...,Ae_n будет отрицательным. Случай detA = 0, конечно, исключен, потому что оператор предполагается обратимым.

Приведу пример. Пусть n = 3, e ₁ = (1, 0, 0), e ₂ = (0, 1, 0), e ₃ =

(0, 0, 1). Если теперь провести перестановку и положить,

, то соответствующий оператор J задается матрицей

. (4.17)

Очевидно, detJ = −1, так что базис — отрицательный.

Типичным линейным оператором, нарушающим (говорят еще, меняющим ) ориентацию, является оператор зеркального отражения, скажем, A : (x ₁ ,x ₂ ,x ₃ ) 7→ (x ₁ ,x ₂ , −x ₃ ). Его определитель detA = −1.

Мы доказали, в частности, что невозможно непрерывным движением в пространстве R ³ преобразовать правую перчатку — в левую. Этот факт очень волновал великого философа Э. Канта (не читали? почитайте!). Он даже считал, что основные законы арифметики, алгебры и геометрии являются врожденными, человек знает их от рождения. А вот для явлений, связанных с ориентацией пространства, делал исключение, считая, что они познаются лишь на опыте.

Для нелинейного гладкого отображения ϕ : Rⁿ → Rⁿ понятия сохранения и несохранения ориентации определяются лишь локально. Говорят, что отображение ϕ сохраняет ориентацию в точке x ∈ Rⁿ , если в этой точке положителен его якобиан: det _ϕ ⁰ (x ) > 0. Замечу, что производная _ϕ ⁰ (x ) — линейный оператор и в стандартном базисе e ₁ ,...,e_n задается матри-

цей Якоби.

Нетрудно доказать, что эволюционный оператор дифференциального уравнения x ˙ = F (x,t ) в Rⁿ с гладким полем F всюду сохраняет ориентацию. Действительно, чтобы установить сохранение ориентации в точке x ₀ , найдем соответствующее решение задачи Коши x (t ) = N^t x ₀ . Теперь нам нужно найти производную (N^t )⁰ (x ₀ ) и вычислить ее детерминант. Нетрудно показать, что вектор-функция u (t ) = (N^t )⁰ (x ₀ )u ₀ является решением линеаризованной на x (t ) задачи Коши

u ˙ = F_x (x (t ),t )u, u (0) = u ₀ . (4.18)

Это означает, что операции вычисления эволюционного оператора N^t и линеаризации перестановочны (Докажите это самостоятельно). Но из курса

5 Интегралы и законы сохранения

обыкновенных дифференциальных уравнений мы знаем, что для векторного линейного уравнения в Rⁿ

u ˙ = A (t )u (4.19)

справедлива формула Лиувилля. Пусть U^t — эволюционый оператор уравнения (4.19), а его определитель есть detU^t = W (t ). Это вронскиан, отвечающий фундаментальной системе решений u ₁ (t ) = U^t e ₁ , ..., u_n (t ) = U^t e_n с базисными векторами e ₁ ,...,e_n в качестве начальных данных. Тогда

t

^R spA (τ)d τ

W (t ) = W (0)e ⁰ . (4.20)

Из этой формулы Лиувилля следует, что W (t ) остается положительным для всех t , если он положителен при t = 0. Но W (t ) = 1 при t = 0, так что W (t ) > 0.

Задача (4.18) есть, конечно, частный случай задачи (4.19) при A (t ) = F_x (x (t ),t ). При этом U^t = (N^t )⁰ (x ₀ ).

Итак, мы доказали, что det(N^t )⁰ (x ₀ ) > 0 при всех t, а эволюционный оператор N^t сохраняет ориентацию.

Отсюда следует, что невозможно вложить в поток никакое отображение, которое хотя бы в одной точке меняет ориентацию пространства. Например, нельзя вложить в поток оператор зеркального отражения (см. выше).

Не удержусь от рассказа об одной проблеме, связанной с ориентацией. Вы, конечно, знаете, что современная физика еще не решила, конечна или бесконечна наша Вселенная. Ответ зависит от того, положительной или нулевой окажется средняя плотность материи во Вселенной. Между тем, точность современных измерений пока не позволяет прийти к определенному выводу. С этим связана и еще одна проблема. Если наше пространство конечно, и Вселенная представляет собой ограниченное многообразие, то встает вопрос об его ориентируемости или неориентируемости. Если оно неориентируемо, то, в принципе, это можно установить при помощи следующего эксперимента. Двигайтесь все время в одном и том же направлении, тогда рано или поздно (если Вселенная конечна) Вы вернетесь к своему начальному положению. Однако, если Вселенная неориентируема, то сердце при этом окажется у Вас справа, и нужно будет еще раз совершить тот же путь, чтобы возвратить его на положенное место. Пока такой эксперимент не проведен, вопрос об ориентируемости Вселенной остается открытым.

5. Интегралы и законы сохранения

Рассмотрим дифференциальное уравнение в Rⁿ (или вообще в банаховом пространстве X )

x ˙ = F (x,t ). (5.1)

Функции, определенные на фазовом пространстве X , называются также наблюдаемыми . Если известна наблюдаемая ϕ = ϕ(x,t ), x ∈ X , t ∈ R , зависящая от времени, то можно и интересно подставить вместо x решение x (t ) уравнения (5.1) и следить за изменением величины ϕ = ϕ(x (t ),t ).

Ограничиваясь пока случаем Rⁿ , найдем производную от этой функции по t . Дифференцируя по t и учитывая, что x (t ) = (x ₁ (t ),...,x_n (t )) — решение уравнения (5.1), получаем

. (5.2)

Здесь F_k — есть k -я компонента поля F , так что F = (F ₁ ,F ₂ ,...,F_n ).

Глядя на эту формулу, нетрудно понять, что целесообразно ввести новое определение: производной по времени от функции ϕ(x,t ) в силу заданного уравнения движения (5.1) называется функция _ϕ ˙(x,t ), определенная для всех x ∈ Rⁿ и t ∈ R ₊ равенством

. (5.3)

Подчеркну, что здесь уже x не решение дифференциального уравнения, а просто произвольная точка фазового пространства Rⁿ . Сравнивая равенства (5.2) и (5.3), приходим к важной формуле

. (5.4)

Соль в том, что в формуле (5.4) присутствует одна и та же функция ϕ˙ для всех решений x (t ). Если X — евклидово пространство, то определение (5.3) можно записать в виде

(5.5)

где ∇ϕ — градиент функции ϕ, и аргументы x,t опущены во всех слагаемых.

Теперь ограничим себя рассмотрением автономного уравнения в X

x ˙ = F (x ). (5.6)

Наблюдаемая ϕ(x ) называется интегралом (или первым интегралом , или константой движения ), если для любого решения x (t ) уравнения (5.6) ϕ(x (t )) = C , где C — константа, зависящая от выбранного решения (движения) x (t ). Если задано начальное условие x (t ₀ ) = x ₀ , то константа C определяется: C = ϕ(x (t ₀ )) = ϕ(x ₀ ).

Конечно, всегда имеются тривиальные интегралы, это постоянные наблюдаемые: ϕ(x ) ≡ C , C = const .

Найти интеграл уравнения (5.6) бывает не так уж просто. Но проверить, является ли данная гладкая функция ϕ(x ) интегралом, несложно. С учетом формулы (5.5) и определения интеграла, приходим к следующему заключению: для того, чтобы C ¹ –гладкая функция была интегралом автономного уравнения (5.6), необходимо и достаточно, чтобы для всех x выполнялось уравнение

. (5.8)

Интересно заметить, что на практике мы чаще всего находим сначала именно ∇ϕ так, чтобы выполнялось уравнение (5.7). Затем уже по данному ∇ϕ находится ϕ. Это дает повод ввести следующие определения.

Косимметрия . Векторное поле L = L (x ) на евклидовом пространстве H называется косимметрией поля F на H , если для всех x ∈ H векторы F (x ) и L (x ) ортогональны:

(F (x ),L (x )) = 0. (5.9)

Будем также говорить, что поле L = L (x ) есть косимметрия дифференциального уравнения x ˙ = F (x ).

Векторное поле L (x ) назовем голономным , если оно допускает представление в виде L (x ) = grad ϕ(x ) с некоторой функцией ϕ(x ) (приведите пример неголономного векторного поля).

Теперь предыдущее утверждение об интегралах можно сформулировать иначе.

Для того, чтобы функция ϕ была интегралом уравнения ( 5.6), необходимо и достаточно, чтобы векторное поле L (x ) = grad ϕ(x ) было (голономной) косимметрией поля F (x ).

Эта терминология была введена в 1991 году в моей заметке [55]. Оказалось (собственно, об этом и была написана заметка), что и неголономные косимметрии имеют важные приложения в теории дифференциальных уравнений и математической физике. Голономные косимметрии, конечно, постоянно мелькали в математической литературе в связи с интегралами, но обычно оставались в тени. В действительности, однако, отыскание интеграла, как правило, начинается именно с поиска соответствующей косимметрии.

Знание одного или нескольких нетривиальных интегралов уравнения (5.6) много дает для понимания динамики системы, а когда интегралов достаточно много, позволяет получить явные или почти явные формулы для решения.

Долгое время усилия математиков были направлены на поиск интегралов дифференциальных уравнений и систем в надежде найти явные решения. К успеху это привело лишь в сравнительно немногих случаях. Постепенно стало ясно, что у типичного дифференциального уравнения вообще нет ни одного нетривиального интеграла. В полном объеме эта гипотеза до сих пор не доказана, но, например, Пуанкаре (в конце XIX века) установил, что многие консервативные системы не имеют других нетривиальных интегралов, кроме интеграла энергии, о котором мы подробнее будем говорить дальше.

Кстати, одно из самых глупых высказываний, какие мне приходилось слышать в жизни (к сожалению, много раз), звучит примерно так: «Зачем мы будем возиться с интегралами, нам не нужны точные формулы, мы поставим систему на компьютер, да и вычислим то решение, которое нужно». На самом деле, никакой компьютер не позволяет вычислить решение на очень больших временах (за весьма редкими исключениями, к которым относятся такие решения, которые со временем асимптотически сходятся к равновесиям или к периодическим режимам). Кроме того, существование или несуществование интегралов во многом определяет качественное поведение данной системы. Вообще, применение компьютера к исследованию динамических систем требует не меньшей, а наоборот, более глубокой математической подготовки. Иначе не разобраться в том ворохе информации, который выдает машина, и даже не понять, имеет ли она какое-либо отношение к решениям заданного дифференциального уравнения. Не менее важно и то обстоятельство, что создавать адекватные и эффективные численные методы возможно лишь при достаточно глубоком понимании математической сущности уравнений и их решений. В частности, когда система уравнений обладает одним или несколькими интегралами, лучшие вычислительные схемы (скажем, сеточные или галеркинские) получаются при условии, что для приближенных решений интегралы сохраняются точно.

Геометрический смысл интеграла . Пусть ϕ — интеграл уравнения (5.6). Тогда уравнение

ϕ(x ) = C (5.10)

для любой постоянной C определяет множество уровня функции ϕ. Оно может быть пустым или, наоборот (если _ϕ ≡ C ), совпадать со всем пространством, но в нетривиальных случаях это — гиперповерхность . Например, непустые множества уровня функции ϕ : R ³ → R , заданной равенством , суть сферы в R ³ , за исключением лишь случая C = 0, когда это множество состоит из одной точки (0, 0, 0).

По определению интеграла, ϕ(x (t )) для любого решения x (t ) сохраняет постоянное значение. Если x (0) = x ₀ , то это постоянное значение есть, очевидно, ϕ(x ₀ ). Таким образом, движущаяся точка x (t ) все время остается на гиперповерхности

ϕ(x ) = ϕ(x ₀ ). (5.11)

Выходит, что при исследовании динамики, определяемой уравнением (5.6), мы можем ограничиться рассмотрением движений на отдельных гиперповерхностях ϕ(x ) = C . В принципе, динамика описывается в таком случае системой дифференциальных уравнений на единицу меньшего порядка.

Если имеется два интеграла ϕ₁ и ϕ₂ (обобщение на большее количество интегралов очевидно), то естественно ввести совместноемножествоуровня , определяемое для любых заданных констант C ₁ и C ₂ , равенствами

ϕ₁ (x ) = C ₁ , ϕ₂ (x ) = C ₂ . (5.12)

Теперь дело сведется к изучению динамики на инвариантных совместных множествах уровня. Их размерность (при условии функциональной независимости интегралов ϕ₁ и ϕ₂ ) уже на две единицы меньше, чем размерность фазового пространства системы. Говорят, что такие множества (подмногообразия) имеют коразмерность 2.

Условие функциональной независимости интегралов, разумеется, весьма существенно. Дело в том, что если ϕ₁ и ϕ₂ — интегралы, то также и F (ϕ₁ (x ), ϕ₂ (x )) также интеграл при произвольной функции двух переменных F . Обычным достаточным условием функциональной независимости функций ϕ₁ (x ) и ϕ₂ (x ) служит, как вы знаете из курса анализа, требование, чтобы их матрица Якоби имела максимальный ранг. Когда количество функций совпадает с числом независимых переменных, матрица Якоби — квадратная, и это условие сводится к неравенству нулю ее определителя — якобиана.

Замечу, что вполне возможно было бы по аналогии ввести интегралы ϕ(x,t ), зависящие от времени — как для автономного уравнения (5.6), так и для неавтономного уравнения (5.1). К сожалению, они редко встречаются. Приведу несколько примеров систем, допускающих интегралы.

Пример 1. Гармонический осциллятор. Рассмотрим уравнение 2-го порядка

x ¨ + x = 0. (5.13)

Для любого решения x (t ), умножая (5.13) на x ˙, получим

. (5.14)

Таким образом, есть интеграл. Это полная энергия.

Если решить уравнение (5.13) с начальным условием x (0) = 0, x ˙(0) = 1, то получим x (t ) = sint . Таким образом, закон сохранения энергии для гармонического осциллятора выражается равенством sin² t + cos² t = 1.

Пример2.УравненияЭйлеравращениятвердоготелавокругнеподвижной точки. Эти уравнения, возможно, самые красивые во всей механике, имеют вид

(5.15)

Неизвестные p , q , r суть компоненты абсолютной угловой скорости ω тела в системе координат, жестко связанной с телом. Параметры A , B , C суть главные моменты инерции тела. Мы теперь хотим умножить каждое из трех уравнений на надлежащие функции, потом сложить, да так, чтобы справа получился 0. Давайте умножим их соответственно на p , q , r . В результате получим

. (5.16)

Это, очевидно, означает, что система (5.16) имеет интеграл

. (5.17)

T — кинетическая энергия тела. А нет ли еще одного интеграла? Если умножить уравнения (5.15) соответственно на Ap , Bq , Cr , то аналогично получим интеграл момента:

. (5.18)

Очевидно, он независим с интегралом T . Нельзя ли найти еще один интеграл? Нет, получился бы перебор. Система x ˙ = F (x ) в Rⁿ (за исключением лишь не очень интересного случая уравнения x ˙ = 0) может иметь не более, чем n − 1 интеграл, наличие n независимых интегралов воспрещает всякое движение системы.

Итак, мы по существу уже пришли к точному решению уравнений Эйлера! Пользуясь двумя найденными интегралами (например, исключая p и q ), мы сведем эту систему третьего порядка к одному автономному уравнению. Мы знаем, как такие уравнения решать — методом разделения переменных. Конечно, это давно проделано, и решение уравнений Эйлера выражено через эллиптические функции (см. [20]).

Замечу, что фактически мы, разыскивая интегралы системы (5.15), нашли сначала две нетривиальные косимметрии этой системы:

. (5.19)

Пример 3 . На сей раз рассмотрим уравнение в частных производных — волновое уравнение

u_tt − c ² ∆u = 0, (5.20)

для неизвестной функции u (x,t ), x ∈ D , где D — ограниченная область в Rⁿ , ее границу ∂D будем считать гладкой. Предположим, что на границе ∂D выполняется краевое условие первого рода

. (5.21)

Возможны и условия третьего или второго рода (рассмотрите сами эти случаи). Для волнового уравнения следует ставить два начальных условия

, (5.22)

где u ₀ , v ₀ — известные функции, заданные в области D . Нужно, конечно, решить вопрос о том, каким функциональным пространствам принадлежат эти функции. Например, можно считать, что v ₀ ∈ L ₂ , а функция

— пространству функций, имеющих первые производные, интегрируемые с квадратом; нолик сверху означает, что эти функции в определенном смысле удовлетворяют краевому условию (5.21). — это энергетическое пространство оператора −∆ с краевым условием (5.21) (см. [29]). При таких условиях можно доказать существование и единственность обобщенного решения начально-краевой задачи (5.20)–(5.22).

Мы, однако, в следующем рассуждении предположим, что имеется гладкое решение. Для любого такого решения u (x,t ) запишем уравнение (5.20), умножим его на u_t и проинтегрируем по области D . Тогда получится равенство

(5.23)

Интегрируя по частям, преобразуем последний интеграл:

(5.24)

Поверхностный интеграл исчезает в силу краевого условия (5.21), из которого следует, что; равенство (5.24) переписывается в виде

(5.25)

Из равенств (5.23) и (5.25) выводим

. (5.26)

Таким образом, функционал E (u,u_t ), определенный равенством

(5.27)

на всем фазовом пространстве, является интегралом рассматриваемой динамической системы. Это снова интеграл энергии, теперь для

6 Неавтономные дифференциальные уравнения

волнового уравнения, которое является одним из наиболее естественных бесконечномерных аналогов уравнения второго закона Ньютона. Обратите внимание на довольно неприятное столкновение слов — «интеграл» фигурирует здесь в двух смыслах: E — интеграл волнового уравнения, и сам он выражается посредством интеграла по области D . Такая трудность характерна для прикладной математики, когда приходится применять результаты разных областей, а в каждой из них имеется своя установившаяся терминология. Что тут поделаешь? Будем хотя бы избегать выражений типа «интеграл E равен интегралу», в котором одно и то же слово имеет более одного смысла.

6. Неавтономные дифференциальные уравнения

Наиболее фундаментальные законы природы инвариантны относительно сдвигов времени, а потому приводят к автономным дифференциальным уравнениям. Однако и неавтономные дифференциальные уравнения постоянно возникают в качестве математических моделей различных природных и технологических процессов. Так получается уже потому, что исключение неизвестных функций из системы автономных дифференциальных уравнений приводит к системам меньшего порядка, но неавтономным. Я покажу это на простом примере, хотя идея носит вполне общий характер.

Рассмотрим автономную систему дифференциальных уравнений

x ˙ = xyz,

y ˙ = x + y + z, (6.1) z ˙ = z.

Последнее уравнение легко решить: z (t ) = z ₀ e^t , где z ₀ — начальное значение функции z (t ). Подставляя функцию z (t ) в остальные два уравнения, приходим к неавтономной системе второго порядка

x ˙ = z ₀ e^t xy,

y ˙ = x + y + z 0e t. (6.2)

Мы видим, что класс всевозможных автономных дифференциальных уравнений не замкнут относительно операции исключения некоторых из неизвестных функций . А вот, например, класс систем линейных алгебраических уравнений относительно такой операции замкнут: исключение неизвестной приводит к системе линейных алгебраических уравнений на единицу меньшего порядка. Менее очевидно, что и класс полиномиальных уравнений замкнут относительно исключения неизвестных. Это устанавливается в теории результантов , в которую значительный вклад внес многолетний чемпион мира по шахматам Э. Ласкер (см. [7]).

Ситуация, которую мы наблюдаем в приведенном примере, возникает всякий раз, когда рассматриваемая система разбивается на две или более подсистем, причем некоторые подсистемы эволюционируют независимо от других. Философия говорит нам, что все в мире взаимосвязано и взаимозависимо, но если это положение понимать слишком буквально, то получится, что ничего нельзя изучить, так как каждый раз мы в состоянии учитывать лишь конечное число факторов. Помогает то обстоятельство, что во многих случаях «большие системы» влияют на малые, а обратным воздействием малых систем на большие вполне допустимо пренебречь. Например, изучая динамику трамвая или космического корабля, разумно оставлять без внимания влияние их движения на движение Земли вокруг Солнца.

Обобщенный закон причинности. В случае неавтономного дифференциального уравнения

x ˙ = F (x,t ) (6.3)

эволюционный оператор зависит от выбора начального момента. Решение задачи Коши для уравнения (6.3) с начальным условием

(6.4)

представляется в виде

. (6.5)

Эволюционный операторзависит теперь от двух параметров — начального момента τ и конечного момента t . Его называют также оператором сдвига по траектории уравнения ( 6.3) за время от τ до t . Разумеется, само существование эволюционного оператора является следствием теорем существования и единственности решения задачи Коши (6.3), (6.4). Эти теоремы и указывают, при каких τ и t определен оператордля данного уравнения. Вы уже знаете, с какими трудностями приходится сталкиваться, когда мы хотим определить оператордля всех t , τ или хотя бы при всех t > τ.

Рассмотрим три момента времени τ, s , t (см. Рис. 2). Наряду с выражением (6.5) для x (t ), можно получить и другое выражение. Сначала найдем , а затем еще раз решим задачу Коши с начальным условием

Неавтономные дифференциальные уравнения

Рис. 2

. Тогда для x (t ) получим

. (6.6)

Так как это равенство верно для любых x ₀ , получим равенство для операторов

. (6.7)

Это и есть обобщенный принцип причинности . Отметим очевидные равенства

. (6.8)

В случае автономного уравнения F = F (x ) нетрудно доказать (докажите!) равенство

(6.9)

для любого h ∈ R . Полагая здесь h = −τ, получим, что

. (6.10)

Если теперь в обобщенном принципе причинности (6.7) положить τ = 0, а затем заменить t на s + τ (это уже новое τ) и воспользоваться равенством (6.10), то получится

, (6.11)

то есть принцип причинности для автономного уравнения.

Посмотрим еще, какие специальные свойства имеет эволюционный оператор в случае периодического дифференциального уравнения с периодом p > 0. Если правая часть уравнения (6.3) p -периодична, то есть F (x,t + p ) = F (x,t ), то эволюционный оператор этого уравнения удовлетворяет очевидному равенству (докажите его!)

. (6.12)

Операторсдвига по траекториям дифференциального уравнения (6.3) на период p называется оператором монодромии , отвечающим начальному моменту τ. Воспользуемся равенством (6.12) и обобщенным законом причинности (6.7). Положим τ = −p , s = p . Тогда получим сначала, что, а затем:

. (6.13)

Это равенство часто применяется в теории линейных периодических дифференциальных уравнений. Оно похоже на принцип причинности для автономных уравнений, но выполняется лишь в случае, когда один из моментов времени есть период p . Из (6.13) следует, что можно также в качестве второго момента выбрать np , где n — любое целое число:

. (6.14)

7. Интегро-дифференциальные уравнения

Этот термин крайне неудачен. Он говорит лишь о том, что в уравнении присутствуют операции дифференцирования и интегрирования, но такие уравнения могут иметь совершенно разную природу. Объясню это на примерах.

Рассмотрим уравнение для неизвестной функции f (x,t ) с областью определения x ∈ Rⁿ , t ∈ R

(7.1)

Здесь ∆ — оператор Лапласа, G — известное ядро интегрального оператора. Такого рода интегро-дифференциальные уравнения весьма интересны, регулярно возникают в приложениях, в частности, основные уравнения

Интегро-дифференциальные уравнения

статистической механики (уравнения Больцмана, Ландау, Власова) принадлежат этому типу. Характерно, что интегрирование в (7.1) производится

не по времени t , а по пространственной переменной x . Поэтому — скорость изменения функции f в момент времени t — выражается согласно (7.1), посредством операций над функцией f в тот же момент времени t . Это и есть основная общая идея дифференциального уравнения. Если трактовать функцию f как вектор-функцию времени t со значением в некотором банаховом пространстве функций от x (например, или X = C (Rⁿ )), то уравнение (7.1) может быть представлено как дифференциальное уравнение в банаховом пространстве X

(7.2)

Производная здесь не частная, а прямая, потому что f = f (·,t ) мыслится теперь как элемент функционального пространства. Оператор A (t ) определяется правой частью уравнения (7.1), он зависит от t потому (лишь потому), что от t зависит ядро G .

Уравнения, подобные (7.1), в которых присутствует интегрирование не по t , а, скажем, по пространственным переменным, собственно говоря, не требуют особой общей теории, а являются объектом теории обыкновенных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве (см., например,

[11]).

Более специфичны эволюционныеинтегро-дифференциальныеуравнения , содержащие интегрирование по времени. Именно уравнения этого типа лежат, например, в основе наследственной теории упругости , описывающей поведение полимерных материалов. Находят они существенные применения и в ряде задач экологии. В этих областях уже исходные уравнения являются не дифференциальными, а интегро-дифференциальными.

Я сейчас покажу, что даже если бы все исходные модели были автономными дифференциальными уравнениями, то очень скоро мы пришли бы и к интегро-дифференциальным уравнениям. Сказывается тот же недостаток класса дифференциальных уравнений — его незамкнутость относительно операции исключения части неизвестных. В благополучных случаях после операции исключения может получиться неавтономное дифференциальное уравнение (такой вариант мы с вами уже рассматривали). В более сложных ситуациях получается интегро-дифференциальное уравнение. И это я объясню на простом примере.

Рассмотрим систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений

x ˙ = x + y,

y ˙ = −y + x. ^(7.3)

Потребуем, чтобы выполнялись начальные условия

. (7.4)

Исключим из этой системы неизвестную функцию y , пользуясь вторым уравнением. Если временно считать x (t ) известной функцией, то для y (t ) получается линейное неоднородное дифференциальное уравнение. С использованием начального условия находим (проще всего использовать интегрирующий множитель e^t )

t

Z

−t −(t −_τ )

y (t ) = y ₀ e + e x (τ)d τ. (7.5)

0

Подстановка в первое уравнение системы (7.3) дает интегро-дифференциальное уравнение для неизвестной функции x (t )

t

Z

−t −(t −_τ )

x ˙ = x + y ₀ e + e x (τ)d τ. (7.6)

0

Конечно, это чисто иллюстративный пример. Однако случается,что посредством исключения переменных удается весьма существенно упростить задачу. Бывает даже, что удается свести к скалярному интегро-дифференциальному уравнению бесконечномерную систему уравнений [13]. Весьма возможно, что интегро-дифференциальные уравнения наследственной теории упругости и экологии тоже можно получить посредством исключения некоторых скрытых переменных из более общей системы дифференциальных уравнений . Я думаю, что так оно и есть, хотя этого еще никто не проделал.

Замечу еще, что бывают, конечно, сложные ситуации, в которых неизвестные исключить не удается, и не только потому, что мы не располагаем явными формулами, но и по существу, из-за того, что такое исключение, скажем, неизвестной y , возможно не для всех функций x . Такие ситуации могут быть очень интересны и до сих пор никем как следует не рассмотрены.

8 Декартово произведение динамических систем и разбиение системы на

независимые подсистемы 51

И еще одно замечание. Мы говорим об исключении неизвестных в задаче Коши. Для систем дифференциальных уравнений ставятся и другие задачи, например, задача Пуанкаре о периодических решениях. Для них тоже представляет интерес проблема исключения неизвестных. Все это до сих пор мало исследовано. Очень интересно выяснить, при каких условиях такое исключение возможно, какого рода уравнения при этом получаются, а главное — что это может дать для понимания исходной системы.

8. Декартово произведение динамических систем и

разбиение системы на независимые подсистемы

Обычные теоретико-множественные операции — взятие объединения, пересечения, разности, симметрической разности, скажем, над двумя множествами X , Y , хотя и всегда определенные формально, пожалуй, оказываются содержательными лишь в том случае, когда эти множества состоят из элементов одной и той же природы (впрочем, объединение самых разнородных элементов может появиться в списке товаров, продаваемых некоей фирмой). Операция декартова умножения бывает интересна и без этого ограничения. Напомню, что декартово произведение X × Y есть множество всевозможных пар (x,y ), где x ∈ X , y ∈ Y . Когда множества X и Y снабжены (или, как часто говорят, оснащены ) теми или иными дополнительными структурами, бывает интересно определить соответствующие структуры и на их декартовом произведении. Так оказывается возможным определить декартово произведение групп, метрических пространств, линейных пространств, гильбертовых пространств и т. д. таким образом, что и декартово произведение оказывается, соответственно, группой, метрическим пространством, линейным пространством и т. д.

Декартовым произведением динамических систем и называется динамическая система . Пространство этой динамической системы есть декартово произведение метрических пространств X ₁ и X ₂ . Расстояние в этом новом метрическом пространстве для любых двух его элементов

) определяется как сумма расстояний

. Здесь ρ₁ — расстояние в X ₁ , а ρ₂ — расстояние в X ₂ . Что касается декартова произведения отображений, то его действие на элемент (x ₁ ,x ₂ ) определяется равенством

. (8.1)

Говоря короче, сама идея декартова произведения состоит в том, что операции производятся отдельно в каждом пространстве X ₁ и X ₂ . Легко проверить, что для определенного таким образом отображения: X ₁ × X ₂ → X ₁ × X ₂ выполняется принцип причинности. Таким образом, данное определение действительно приводит к новой динамической системе

.

Вполне аналогично можно определить декартово произведение трех, четырех и вообще любого набора динамических систем. Имеются и определения декартова произведения бесконечного набора динамических систем, даже не обязательно счетного.

Великая операция декартова произведения множеств и отображений позволяет нам любую систему уравнений трактовать как одно уравнение. Выходит, что общая теория систем уравнений просто не нужна. Это хороший пример пользы, которую может принести концептуальный подход, удачное введение общих абстрактных понятий.

Если имеются два дифференциальных уравнения, скажем, x ˙ = F (x,t ) в банаховом пространстве X и y ˙ = G (y,t ) в банаховом пространстве Y , то операция декартова произведения этих уравнений сводится к тому, что мы записываем их вяясте и ряясмяяриваем как одно уравнение. Форяяльяя эяя означает,яято мы вводим вектор z = (x,y ) ∈ X × Y и записываем полученную систему как одно уравнение

z ˙ = Q (z,t ), (8.2)

причем поле Q определяется равенствами

Q (z,t ) = (F (x,t ),G (y,t )). (8.3)

Я бы хотел, чтобы Вы почувствовали, как тривиально все то, что до сих пор здесь сказано о декартовом произведении. А выигрыш состоит в том, что, например, не нужны новые теоремы существования решения задачи Коши для систем уравнений. Проведенная операция не вывела из класса дифференциальных уравнений на банаховом пространстве.

Если уравнение (8.2) можно представить в виде системы

x ˙ = F (x,t ),

(8.4) y ˙ = G (y,t ),

то, как говорят физики, исходная система (8.2) представлена в виде объединения двух невзаимодействующих или независимых подсистем. Когда все эти уравнения автономны, получается и соответствующее разбиение динамической системы на невзаимодействующие подсистемы.

9 Производные и градиенты

Задача разбиения заданной системы на невзаимодействующие подсистемы, в известном смысле обратная декартову умножению, отнюдь не тривиальна и далеко не всегда разрешима. Приведу пример, когда эта задача особенно хорошо решается.

Рассмотрим линейное уравнение в пространстве Rⁿ

x ˙ = Ax (8.5)

с самосопряженным оператором A (задаваемым симметричной вещественной матрицей). Известно, что у такого оператора существует ортонормальный базис векторов ϕ₁ ,..., ϕ_n , так что A ϕ_k = λ_k ϕ_k для k = 1,...,n . Если разыскивать решение векторного уравнения (8.5) в виде

(8.6)

с неизвестными коэффициентами ξ_k , то подстановка (8.6) в (8.5) дает для определения ξ_k уравнения

ξ˙_k = λ_k ξ_k , k = 1,...,n. (8.7)

Исходная система (8.5) разбилась таким образом, на n невзаимодействующих подсистем. Нетривиальность этого разбиения проявляется хотя бы в том, что оно изменяется при изменении оператора A .

Если теперь мы рассмотрим уравнение (8.5) с несимметричным оператором A , то увидим, что разбиение не всегда возможно. Например, если n = 2, то в случае жордановой клетки соответствующая система

x ˙ = λx + y,

(8.8)

y ˙ = λy

не может быть разбита на невзаимодействующие подсистемы, хотя независимое уравнение для y выделяется. Невозможно также разбиение на невзаимодействующие подсистемы для системы второго порядка, соответствующей гармоническому осциллятору

x ˙ = y,

y ˙ = −x. ^(8.9)

Припомнив нормальную жорданову форму матрицы, Вы легко решите вопрос о том, когда возможно, а когда невозможно разбить заданную линейную систему (8.5) на невзаимодействующие подсистемы.

9. Производные и градиенты

Производная по скалярному аргументу. Скорость как дифференциальный оператор . Начнем с определения производной по скалярному аргументу вектор-функции x (τ) со значениями в банаховом пространстве X . Естественно положить

. (9.1)

Здесь имеется два основных варианта: предел можно понимать в смысле сильной сходимости , то есть по норме пространства X , либо в смысле слабой сходимости . Соответственно, получаются понятия сильной и слабой производной . Когда речь будет идти о произведении, я буду в дальнейших приложениях иметь в виду, как правило, сильную производную.

Вообще, когда речь идет о дифференцировании по скалярному аргументу, определения стандартны. Вполне аналогично предыдущему определяются производные от оператор-функции, матричных или тензорных функций. Важно, конечно, чтобы это были элементы линейных пространств, чтобы имело смысл выражение (9.1).

Когда приходится дифференцировать вектор-функцию скалярного аргумента, принимающую значения на некотором многообразии, необходимы дополнительные ухищрения. Обойтись без этого нельзя, потому что необходимо выяснить, что такое скорость точки, движущейся по поверхности. Так как же все-таки обобщить столь привычное нам определение производной (9.1) с тем, чтобы обойтись без операции вычитания? Разумеется, когда поверхность вложена в линейное пространство, или вообще, когда рассматриваемое движение происходит на гладком подмногообразии линейного пространства, можно сохранить определение (9.1), не смущаясь тем, что разность x (τ + ε) − x (τ) не будет лежать на этой поверхности. В действительности, даже оказывается, что всякое конечномерное многообразие можно вложить в конечномерное линейное пространство достаточно высокой размерности, и притом, конечно, многими способами (это теорема Уитни). Тут, однако, получается, что определение зависит от вложения поверхности. Математику вполне понятно, что использование лишних объектов в определении может лишь усложнить рассмотрения. Если в начале такого дела, как развитие новой теории, полениться серьезно поработать над определениями, поддаться впечатлению от кажущейся простоты, то последствия будут весьма неприятными. Современная абстрактная математика очень действенна, предпочитает определения, которые кажутся, может быть, сложными на вид, но в дальнейшем обеспечивают простоту в

обращении и бесперебойность работы построенного математического аппарата. Очень важно, что при этом не нужно (даже вредно) слишком глубоко задумываться на каждом шаге выкладок, а достаточно автоматически следовать формальным правилам. Подобные выкладки легко перепоручить компьютеру. К слову сказать, такую формальную систему и называют исчислением , таковы (в идеале) дифференциальное и интегральное исчисления.

Я привел это лирическое вступление для того, чтобы Вы не поленились освоить следующее определение и применяли его в дальнейшем. Лишь поначалу оно может показаться вычурным.

Итак, рассмотрим отображение x : R → M вещественной прямой в гладкую поверхность (и вообще, многообразие) M , то есть точку, движущуюся вдоль многообразия M по известному закону x = x (t ). Возьмем произвольную гладкую функцию f : M → R . Теперь рассмотрим f (x (t )) — это уже скалярная функция скалярного переменного t . Мы хорошо знаем, как такие функции дифференцировать. Не буду приводить здесь точных определений гладкого многообразия M и гладкой функции f на M . Скажу лишь, что отображение x : t 7→ x (t ) называется гладким, если f (x (t )) для любых гладких f имеет производную по t . Она, конечно, зависит от f , так что можно написать

. (9.2)

Если x (t ₀ ) = a , и в окрестности точки a введены координаты x ₁ , x ₂ ,...,x_n , то это равенство можно переписать в виде

Здесь v_k (x (t )) есть k -я компонента скорости x ˙(t ) движущейся точки x (t ). А что такое скорость x ˙(t )? Теперь ясно, что ее следует определить как дифференциальный оператор первого порядка V в формуле (9.2). В выбранных координатах в момент времени t = t ₀ мы можем написать

. (9.4)

Итак, скорость x ˙(t ₀ ) оказалась линейным дифференциальным оператором! Первая практическая выгода такого определения состоит в том, что для вычисления компонент скорости в любой другой системе координат y ₁ ,...,y_n достаточно в равенстве (9.4) проделать замену x ₁ = x ₁ (y ₁ ,...,y_n ), ..., x_n = x_n (y ₁ ,...,y_n ). В качестве упражнения выразите компоненты вектора v в цилиндрических и сферических координатах, если он первоначально задан в декартовых координатах, так что v = (v ₁ ,v ₂ ,v ₃ ). Я надеюсь, что чтение предыдущих абзацев побудит Вас изучить многообразия, векторы и векторные поля на многообразиях, например, по книгам [2, 3, 10].

Производные операторов и функционалов . Пусть задан оператор F : X → Y , действующий из вещественного банахова пространства X в вещественное банахово пространство Y . В частности, когда Y = R , оператор F есть функционал или функция на пространстве X . Сейчас мы рассмотрим основные определения и простейшие результаты, относящиеся к дифференцированию операторов.

Производная по Гато. Для любого h ∈ X рассмотрим F (x + sh ), где s ∈ R . Согласно определению, производная Гато оператора F в точке x есть

(9.5)

Таким образом, есть оператор, зависящий от x , и для каждого x действующий из X в Y . Легко проверить, что он однороден:

. Однако, как показывают примеры, он не всегда

линеен. Предел в (9.5) можно понимать по разному, для определенности будем считать, что речь идет о сходимости по норме пространства Y . Замечу, что обрисованная вкратце идея дифференцирования скалярных функций на многообразиях позволяет перенести определение Гато и на операторы, заданные на банаховом многообразии .

Гато — талантливый французский математик, офицер французской армии, пропавший без вести во время I-й мировой войны.

Производная по Фреше. Производной Фреше в точке x ∈ X от оператора F : X → Y называется линейный оператор A : X → Y , обозначаемый через F ⁰ (x ), такой, что для любого h ∈ X выполняется равенство

F (x + h ) − F (x ) = Ah + ω(x,h ), (9.6)

причем для остаточного члена ω(x,h ) справедливо предельное соотношение

, (9.7)

при h → 0, то есть при kh k_X → 0.

Это означает, что ω(x,h ) — слагаемое порядка выше первого относительно h . соответственно Ah есть главная линейная часть приращения оператора F . Ее называют дифференциалом Фреше. Легко видеть, что производная Фреше, когда она существует, совпадает с производной Гато. (Доказывается это непосредственно: заменим в (9.6) h на sh , разделим на s и устремим s к 0).

На практике производная всегда вычисляется при помощи определения Гато, а в приложениях, как правило, нужна производная Фреше. Поэтому, найдя производную по Гато, приходится проверять условие (9.7) для остаточного члена.

А вообще, производная есть производная, ее вычисление для явно заданного оператора F не вызывает серьезных трудностей, лишь бы она существовала. Пусть, например, X = Rⁿ , Y = R^m , а оператор F задан своим координатным представлением: для любого x = (x ₁ ,...,x_n )

Fx = (F ₁ (x ₁ ,...,x_n ),...,F_m (x ₁ ,...,x_n )). (9.8)

Если функции F ₁ ,...,F_m — компоненты вектора F — непрерывно дифференцируемы, то производная F ⁰ (x ) задается матрицей Якоби:

. (9.9)

В частности, когда m = 1, получается производная функции (функционала).

Градиент. Согласно теореме Ф. Рисса, всякий линейный функционал ϕ : H → R на евклидовом или гильбертовом пространстве H может быть реализован в виде скалярного произведения. Точнее, для любого ϕ найдется элемент h ∈ H , и притом только один, такой что

ϕ(x ) = (x,h ) (9.10)

для всех x ∈ H . Более того, отображение J : H ^∗ → H , J ϕ = h есть изометрический изоморфизм, то есть J — линейный обратимый оператор, и kh k = kJ _ϕ k = k_ϕ k для всех _ϕ ∈ H ^∗ . В этом смысле иногда говорят, что сопряженное пространство H ^∗ (пространство линейных функционалов) совпадает с самим пространством H . Необходимо однако помнить, что такое отождествление законно лишь до тех пор, пока фиксирован изоморфизм J . Как мы увидим дальше, это очень существенно для приложений, в частности, в механике.

Пусть теперь f : H → R — функционал, заданный на H и имеющий при всех x производную f ⁰ (x ). Согласно теореме Рисса, существует такой элемент (вектор) g (x ) ∈ H , что линейный функционал f ⁰ (x ) представится в виде

f ⁰ (x )u = (u,g (x )). (9.11)

Элемент g (x ) называется градиентом функционала f в точке x и обозначается через grad f (x ). Согласно этому определению,

f ⁰ (x )u = (u, grad f (x )). (9.12)

Вектор grad f (x ) для каждого x определяет линейный функционал, который от x зависит, вообще говоря, нелинейно. Оператор grad f действует из H в H , или в символах grad f : x 7→ grad f (x ) : H → H .

В отличие от производной f ⁰ (x ), градиент определяется заданием скалярного произведения. Он изменится, если поменять скалярное произведение. Пусть A : H → H — самосопряженный положительно определенный оператор, заданный на всем пространстве H . Это означает, что оператор A линеен, и для любых ξ, _η ∈ H справедливо равенство (A ξ, η) = (ξ,A η), и (A ξ, ξ) ≥ γ² (ξ, ξ) при некотором γ > 0. Давайте еще предположим, что оператор A ограничен и обратим, имеет ограниченный обратный A ⁻¹ . На самом деле, и то и другое можно вывести, соответственно, из предположений, что оператор A задан всюду и что он положительно определен. В математической физике чрезвычайно интересны неограниченные самосопряженные операторы, которые определены не всюду, а лишь на некоторых всюду плотных в H линейных многообразиях, см. [28]. В случае конечномерного H все эти проблемы просто не возникают. Всякий положительно определенный оператор A в H определяет новое скалярное произведение

(ξ, η)_A = (A ξ, η) (9.13)

для любых ξ, _η ∈ H . Проверьте, что все аксиомы скалярного произведения действительно выполняются. Когда оператор A имеет ограниченный обратный, это скалярное произведение эквивалентно прежнему — в том смысле, что сходимость по соответствующим нормам одна и та же.

Найдем связь между градиентами, порождаемыми этими скалярным произведениями. Согласно определению (9.12), имеем равенства

f ⁰ (x )u = (u, grad f (x )) = (u, grad_A f (x ))_A . (9.14)

Учитывая определение (9.13), из (9.14) выводим равенства

(u, grad f (x )) = (u, grad_A f (x ))_A = (Au, grad_A f (x )) = _(9.15) = (u,A grad_A f (x )).

Так как равенство

(u, grad f (x )) = (u,A grad_A f (x )) (9.16)

выполнено при любых u ∈ H , заключаем, что grad и ^grad _A связаны соотношениями

grad f (x ) =A grad_A f (x ),

grad_A f (x ) =A ⁻¹ grad f (x ). ^(9.17)

Замечу, что подобные соотношения выполняются и в тех случаях, когда оператор A задан не на всем пространстве H , а лишь на некотором плотном в H линейном многообразии D_A (это область определения оператора A ). В такой ситуации, однако, приходится проделывать еще немалую дополнительную работу. Ее первая часть — пополнение линейного многообразия D_A по норме, порожденной скалярным произведением (9.13) (см. [28]). Потом еще приходится разбираться в необходимых ограничениях на функционал f и находить область определения градиентов. Сами градиенты могут и не быть непрерывными операторами — даже в случае, когда они линейны (по x ), что получается, когда f — квадратичный функционал.

МЕХАНИКА

Одним из главных источников фундаментальных математических моделей являются вариационные принципы механики. Современная механика началась с классической работы И.Ньютона «Математические принципы натуральной философии» (1687) [32]. Конечно, у механики была долгая и богатая предыстория (вспомним, например, Архимеда), а Галилея можно уже считать современным физиком, потому что он понял, что природу необходимо познавать при помощи экспериментов, строить теории путем обобщения полученных данных, а не искать ответы в трудах авторитетных древних авторов. До него считалось, что ответы на все вопросы можно найти у Аристотеля.

Дальнейшее развитие механики привело к широким обобщениям, к определенному слиянию теоретической (аналитической) механики с дифференциальной геометрией на многообразиях. Между прочим, оказалось, что уравнения движения механической системы можно представить в очень многих различных, зачастую разительно отличающихся друг от друга, формах. Ричард Фейнман заметил, что таким свойством обладают все фундаментальные модели физики (механика, квантовая физика и квантовая теория поля). Он поставил вопрос, почему это так. Я думаю, что разные формы эволюционных уравнений простейших (они-то и являются наиболее фундаментальными) математических моделей в физике наиболее приспособлены для различных обобщений. Так, вариационные принципы Гамильтона и Мопертюи (точнее, Мопертюи-Эйлера-Лагранжа-Якоби), уравнение первого порядка в частных производных, называемое уравнением ГамильтонаЯкоби, в классической механике (почти) эквивалентны. Но принцип Гамильтона непосредственно обобщается на механику теории относительности (релятивистскую механику), за исключением механики фотонов (света, электромагнитных волн), принцип Мопертюи сохраняется и в динамике фотонов. А вот квантовая физика использует обобщение уравнения ГамильтонаЯкоби.

Подходы и результаты механики находят себе применение далеко за ее пределами. Например, мы увидим дальше, что электродинамика может считаться в определённом смысле частным случаем механики.

Механика

Второй закон Ньютона. Несомненно, начало современной механики — это второй закон Ньютона для материальной частицы:

mx ¨ = F.

Здесь m — масса частицы, x (t ) = (x ₁ (t ),x ₂ (t ),x ₃ (t )) — ее положение в момент времени t . Частица движется в пространстве R ³ , и x ₁ (t ), x ₂ (t ), x ₃ (t ) — ее координаты, а F — действующая на частицу сила. В самом простом случае F = F (t ), то есть сила задана как функция времени. В этом случае решение уравнения легко находится двумя интегрированиями по t . Обычно сила F бывает задана как вектор-функция от аргументов x ∈ R ³ , x ˙ ∈ R ³ и времени t . Тогда уравнение второго закона Ньютона есть векторное дифференциальное уравнение второго порядка

mx ¨ = F (x,x,t ˙ ).

...

Случается, что F зависит от x ¨ и даже от x , а может быть, и от высших производных. Однако, такое происходит не в фундаментальных моделях, а скорее, в результате исключения переменных в более широких системах. Например, уравнение движения электронов в электромагнитном поле — третьего порядка, но это получается потому, что из общей системы исключается поле.

Физики обычно говорят, что материальная точка — это тело «столь малых размеров», что ими при данных условиях можно пренебречь. Например, размеры планет столь малы по сравнению с их расстояниями до Солнца, что при изучении их движения планеты можно считать материальными точками. В астрономии так и делается, и теоретические результаты великолепно подтверждаются наблюдениями. Вместе с тем, при изучении вращения Земли или, скажем, движения самолетов и ракет необходимо учитывать размеры и форму нашей планеты.

Для того, чтобы описать движение материальной точки , конечно, недостаточно задать ее положение. Правильные начальные условия включают также задание скорости:

x (0) = x ₀ , x ˙(0) = v ₀ .

Здесь x ₀ = (x ₀₁ ,x ₀₂ ,x ₀₃ ) ∈ R ³ — начальное положение точки, а v ₀ = (v ₀₁ ,v ₀₂ ,v ₀₃ ) ∈ R ³ — ее начальная скорость. Таким образом, фазовое пространство данной системы есть R ³ × R ³ , а состояние системы есть пара (x,v ), где x — положение материальной точки, а v — ее скорость. Это было грандиозным открытием Ньютона — пространство, в котором мы живем, как бы удваивается. Аристотель, конечно, не знал дифференциальных уравнений, но если прочитать внимательно его рассуждения о движении камня, то видно, что он, пожалуй, пытался описать мир, который управляется дифференциальным уравнением первого порядка.

И. Ньютон на основе уравнения своего второго закона построил механику системы частиц и применил ее прежде всего к проблеме движения планет. Пожалуй, среди всех открытий Ньютона самым потрясающим было доказательство того факта, что одна и та же сила (всемирного тяготения) заставляет падать камень на Земле и удерживает планеты на их орбитах. Сначала он установил, что Луна на своей околоземной орбите действительно удерживается силой, обратно пропорциональной ее расстоянию до Земли. Забавно вспомнить, что Ньютона избрали действительным членом английской Академии наук (Royal Society) не за это открытие, и вообще не за научное открытие, а за то, что он изобрел прекрасный способ шлифовки стекла и изготовления зеркал для телескопов-рефлекторов. Сама идея телескопа-рефлектора, вместе с ее реализацией, тоже принадлежала И. Ньютону.

10. Принцип Гамильтона и уравнения Лагранжа II рода

В основу построения современной механики полагают обычно принцип Гамильтона, не вполне точно называемый также принципом наименьшего действия.

Конфигурационное и фазовое пространства

Положение механической системы есть, по определению, точка области D в пространстве Rⁿ . Область D называется конфигурационным пространством или пространством положений данной системы. Размерность dimD конфигурационного пространства называется числом степеней свободы системы. Например, материальная точка в R ³ имеет три степени свободы, а система, состоящая из двух материальных точек, имеет шесть степеней свободы. Таким образом, число степеней свободы — это количество скалярных параметров, которые необходимо задать, чтобы однозначно определить положение системы.

Сейчас мы рассматриваем системы с конечным числом степеней свободы. Однако в механике и физике сплошной среды необходимо изучать и системы с бесконечным числом степеней свободы — жидкость или газ, деформируемое упругое тело, электромагнитное поле. Соответствующие тео-

рии развиваются во многом по образцу классической механики систем с конечным числом степеней свободы. Во всяком случае, формальный аппарат механики сплошной среды строится по аналогии — конечные суммы заменяются интегралами или бесконечными суммами, вместо разностей возникают производные и так далее. Конечно, переход от конечного числу степеней свободы к бесконечному — дело серьезное, и возникают многие новые проблемы. Далеко не со всеми из них в настоящее время справляется современная наука, такие проблемы сейчас составляют один из важнейших стимулов к развитию математики.

Точка области D обычно обозначается через q = (q ₁ ,q ₂ ,...,q_n ), а величины q ₁ ,...,q_n называются ее обобщенными или лагранжевыми координатами. Это обозначение идет от самого Лагранжа, который научился и научил механиков использовать при исследовании различных систем криволинейные координаты (и многому другому).

• Надо признаться, что я с некоторым содроганием говорю, что D есть область пространства Rⁿ . Правильно было бы сказать, что конфигурационное пространство механической системы есть дифференцируемое многообразие. Это такое пространство, для которого в окрестности каждой точки можно ввести систему координат q ₁ ,q ₂ , ...,q_n . Такая система координат (взаимно-однозначное отображение данного подмножества на некоторый шар в Rⁿ ) называется картой многообразия в данной координатной окрестности. Дальше мы будем работать в одной координатной окрестности, так что наши рассмотрения будут локальными. Однако, вообще говоря, нельзя ввести единой системы декартовых координат даже на таких простых многообразиях как окружность S ¹ на плоскости или сфера S ² в R ³ . Приходится разбивать многообразия на части, в каждой из которых координаты ввести можно. Эти подмножества могут (даже должны) пересекаться, в пересечениях мы имеем сразу две системы координат, и надо установить между ними соответствие. Для полного описания многообразия нужен, таким образом, целый набор локальных карт вместе с правилами их согласования в общих частях. Такой набор карт называется атласом — образец прекрасной математической терминологии (вызывает правильные и ясные аналогии). Когда все это аккуратно проделывается, то и получается теория дифференцируемого многообразия (см. [2, 3, 10, 15]).

Состояние механической системы задается парой (q,v ), где q ∈ D — положение системы, а v ∈ Rⁿ — ее обобщенная скорость. Если положение системы меняется по закону q = q (t ), то ее (обобщенная) скорость есть v = q ˙(t ), т.е. производная по времени от q (t ). Предполагается, что система, находясь в положении q , может иметь любую мгновенную скорость v . Таким образом, фазовое пространство данной механической системы есть

D × Rⁿ .

• В общей ситуации конфигурационное пространство есть гладкое многообразие M, но фазовое пространство есть не просто декартово произведение, а новое многообразие, называемое касательным расслоением и обозначаемое T M. Оно лишь локально (над одной картой) является декартовым произведением.

Оказывается, чтобы определить механическую систему, достаточно задать одну функцию L (q,q,t ˙ ), которая называется функцией Лагранжа или лагранжианом . Ее область определения есть расширенноефазовоепространство — декартово произведение фазового пространства и оси времени: D × Rⁿ × R . Итак, функция L задана для любой тройки (q,q,t ˙ ), q ∈ D , q ˙ = v ∈ Rⁿ , t ∈ R .

Действие по Гамильтону . Теперь определим действие (по Гамильтону), полагая

t 2

Z

S = L (q (t ),q ˙(t ),t )dt. (10.1)

t 1

Предполагается, что t ₂ > t ₁ , а в остальном моменты времени t ₁ и t ₂ произвольны. Заметьте еще, что здесь q ˙(t ) — на самом деле, производная по времени от вектор-функции q (t ) со значениями в Rⁿ , а точнее, в области D . В то же время, когда мы пишем функцию Лагранжа L (q,q,t ˙ ), то q ˙ означает просто независимую переменную.

Как видно, действие есть функционал, который каждой вектор-функции q (t ) со значениями в D ставит в соответствие число.

Деформация и вариация

Теперь определим (гладкую) деформацию данной вектор-функции q (t ), заданной для t ∈ [t ₁ ,t ₂ ] (а еще лучше на всей вещественной оси). Гладкой деформацией вектор-функции q (t ) со значениями в D называется гладкая вектор-функция q ˜(t, ε) со значениями в D , определенная для t ∈ [t ₁ ,t ₂ ], _ε ∈ (−ε₀ , ε₀ ) (величина ε₀ > 0 не имеет значения, дальше будет видно почему), и удовлетворяющая условию

q ˜(t, 0) = q (t ). (10.2)

• К сожалению, во многих книгах геометры деформацию называют вариацией, отступая и от наглядности, и от прекрасной терминологии классиков (Л.Эйлера, И.Бернулли, Ж.Лагранжа).

Вариацией вектор-функции q (t ), отвечающей заданной деформации q ˜(t, ε), называется

. (10.3)

• И.Бернулли и Л.Эйлер первыми стали рассматривать функционалы типа нашего действия S (правда, в связи с совсем другими задачами — о брахистохроне и т.п.). Если мы имеем дело с обычной функцией y = f (x ), то, как Вы хорошо знаете, очень полезно бывает посмотреть, какое приращение получает эта функция f (x ), когда ее аргумент x получает приращение δx . Так вот, Бернулли и Эйлер ввели вариацию сначала интуитивно, как аналог приращения аргумента ∆x . Тем, кто думает, что гениальным ученым все дается легко, я бы посоветовал почитать переписку Эйлера и Бернулли о том, как же строго определить вариацию (см. книгу [37]).

Определение вариации (10.3) дал впервые Лагранж, и всем все стало ясно. Теперь даже трудно понять, что все-таки затрудняло таких людей, как Бернулли и Эйлер. В следующем определении вводится аналог приращения функции ∆y и ее дифференциала dy = f ⁰ (x )dx .

Определим вариацию функционала S (для данного значения аргумента — вектор-функции q (t )), отвечающую данной деформации q ˜(t, ε), полагая

(10.4)

Предполагая, что L гладко зависит от q и q ˙, и пользуясь равенством (10.2), из этого определения выводим формулу

t 2

Z

δS = (L_q · δq + L_{q ˙} · δq˙) dt. (10.5)

t 1

Мы здесь и далее применяем следующие обозначения

.

При этом δq ˙ определяется равенством

. (10.6)

Если теперь предположить, что q ˜(t, ε), скажем, C ² -гладкая вектор-функция от t , ε, то дифференцирования по ε и по t коммутируют (их можно поменять местами). Тогда из (10.6) выведем

Получилась основная формула вариационного исчисления

(10.8)

• Для вывода этой формулы достаточно предположить существование непрерывной смешанной производной в некоторой окрестности точки (t, 0). С другой стороны, хорошо известно, что в случае недостаточной гладкости функции двух переменных ее смешан-

∂ 2 ∂ 2

ные производные и могут и не совпадать (см. примеры

∂t∂ ε ∂ ε∂t

в учебнике Г.М.Фихтенгольца по математическому анализу, том 1, [44]). Я верю и уже говорил об этом раньше, что все математические «патологии» должны реализовываться в физике и соответствовать тем или иным природным явлениям. Неизвестно (пока!), где в физике могут возникнуть такие функции, у которых смешанные производные зависят от порядка дифференцирования. Может оказаться, что появление таких функций приведет к новым, неизвестным сейчас явлениям.

Теперь мы можем заняться дальнейшим преобразованием вариации δS . Подставляя δq ˙ из (10.8) в (10.5) и проводя интегрирование по частям, придем к формуле

. (10.9)

Деформация q ˜(t, ε) данной вектор-функции q (t ) называется деформацией с закрепленными концами , если для всех ε выполнены равенства

q ˜(t ₁ , ε) = q (t ₁ ), q ˜(t ₂ , ε) = q (t ₂ ).

Варьируя эти равенства, то есть дифференцируя по ε при ε = 0, получим соотношения для вариации

δq (t ₁ ) = 0, δq (t ₂ ) = 0. (10.10)

Принцип Гамильтона

Для истинного движения q (t ) механической системы между любыми моментами времени t ₁ и t ₂ , t ₁ < t ₂ , действие имеет экстремальное значение по сравнению со всевозможными деформациями q ˜(t, ε) с закрепленными концами. Это означает, что выполняется равенство

δS = 0, (10.11)

В случае достаточно близких моментов t ₁ и t ₂ действие минимально.

• Исторически принцип Гамильтона не был первым среди вариационных принципов механики. Таковым был принцип наименьшего действия Мопертюи (1747), который в то время был ректором Берлинского университета. Свой принцип наименьшего действия он формулировал достаточно туманно, связывая его с различными философскими и богословскими соображениями (он утверждал, что природа выбирает такие пути, которые требуют наименьшего действия и т.п.). На его счастье, однако, среди сотрудников Берлинского университета был Леонард Эйлер, который и объяснил, в чем на самом деле состоит этот принцип, и что такое действие «по Мопертюи» (оно определяется не так, как действие по Гамильтону). К дальнейшему уточнению и развитию принципа серьезно приложили руку Лагранж и Якоби. Тем не менее, В.И.Арнольд [3] цитирует Якоби, который писал, что принцип Мопертюи даже в лучших учебниках представлен так, что его нельзя понять, а потом замечает: «Не решаюсь нарушать традицию».

Принцип Мопертюи вызвал насмешливую критику Вольтера. Он написал философскую повесть «Кандид», герой которой, попадая в разные мрачные и смешные передряги, каждый раз повторяет ту философскую формулировку Мопертюи, которая в пародийной форме Вольтера звучит так: «Все к лучшему в этом лучшем из миров». Вы, конечно, слыхали эту фразу. (А знаете ли Вы, что именно Вольтер сыграл решающую роль в распространении идей Ньютона на континенте?)

И в принципе Мопертюи, и в принципе Гамильтона есть одна (кажущаяся) странность — условия налагаются на систему в будущие моменты времени. Это может навести на мысль, что данные принципы имеют телеологический смысл, т.е. говорят о том, что механическая система как будто стремится к некоторой высшей цели в своем движении. Конечно, это не так. Мы увидим, что из вариационного принципа Гамильтона следуют дифференциальные уравнения движения, так что на самом деле будущая эволюция механической системы определяется попросту начальными условиями. Что касается принципа Мопертюи, то, как мы увидим далее, здесь дела обстоят иначе — конечное положение системы, действительно, задается, но задаем его мы сами. Строго говоря, принцип Мопертюи относится не к задаче с начальными данными, а к краевой задаче и определяет не эволюцию, а лишь траекторию, соединяющую два положения системы. Замечу, что в литературе по этому вопросу много путаницы, некоторые авторы, обороняя этот принцип от обвинения в «телеологичности», заявляют, что и принцип Мопертюи определяет начальные данные. На самом деле, принцип Мопертюи при заданном положении системы определяет ее начальную скорость, потребную для достижения заданного конечного положения. Таким образом, цель все-таки присутствует в этом принципе, но мы сами ее выбираем.

Существенное различие между двумя принципами проявляется и в том, что принцип Гамильтона определяет эволюцию (решение уравнений движения) однозначно (во всяком случае, при естественных условиях гладкости и невырожденности), тогда как принципу Мопертюи может удовлетворять много, даже бесконечно много, различных траекторий .

Замечу еще, что принцип Гамильтона, являясь мощным средством вывода дифференциальных уравнений движения (а в механике сплошной среды — еще и так называемых естественных краевых условий), вместе с тем, мало пригоден для построения приближенных методов. Так получается именно потому, что условия приходится накладывать на положение системы в будущем, которое нам заранее неизвестно. Правда, в задаче о периодических движениях, когда требуется, чтобы не просто положение, а начальное состояние системы (q,q ˙) повторилось спустя период времени T , принцип Гамильтона оказывается весьма полезным и для теории (существование, единственность и неединственность периодических режимов), и для приближенного вычисления.

Уравнения Лагранжа второго рода

Поскольку в принципе Гамильтона допустимы лишь деформации с закрепленными концами, их вариации обращаются в ноль в начальный и конечный моменты t ₁ и t ₂ соответственно, см. (10.10). Формула для вариации упрощается, и принцип Гамильтона приводит к равенству

. (10.12)

Это равенство должно выполняться для произвольной вектор-функции δq = δq (t ), удовлетворяющей краевым условиям (10.10). Если бы этих

краевых условий не было, то мы попросту положили , вышло бы, что интеграл от квадрата последней вектор-функции равняется нулю, а значит, и сама она равна нулю почти для всех t ∈ [t ₁ ,t ₂ ], а так как она непрерывна, то и для всех t ∈ [t ₁ ,t ₂ ]. Краевые условия, однако, не позволяют нам действовать таким образом. Тем не менее, полученный вывод верен: выполняется уравнение Лагранжа (второго рода)

, (10.13)

или подробнее, в координатах

(10.14)

Имеется два основных способа это доказать. Способ первый состоит в том, чтобы установить, что множество вектор-функций, удовлетворяющих краевому условию ( 10.10), всюду плотно в пространстве L ₂ (точнее, L ₂ ([t ₁ ,t ₂ ],Rⁿ )) . Следующие рассуждения носят достаточно общий характер.

Обозначим, дальше будет неважно, откуда взялась вектор-функция f , интегрируемая с квадратом (скалярным). По свойству плотности для заданной вектор-функции f можно найти такую последовательность вектор-функций η_k (t ), удовлетворяющих краевым условиям η(t ₁ ) = η(t ₂ ) = 0, которая сходится в L ₂ к f . Это означает, что kf − η_k k → 0 или

t 2

Z

(f (t ) − η_k (t ))² dt → 0. (10.15)

t 1

Далее, согласно (10.12) имеем

t 2

Z

f(t) · η_k (t)dt = 0, k = 1,2,... (10.16)

t 1

Переходя в этом равенстве к пределу, с учетом (10.15) получаем

t 2

Z

f ² dt = 0. (10.17)

t 1

Отсюда и вытекает, что f (t ) ≡ 0. Вышло, что мы все-таки смогли, преодолев сопротивление краевых условий, положить δq равным f в (10.12). Я опустил здесь доказательство свойства плотности, надеюсь, что оно Вам известно из функционального анализа и вариационного исчисления.

• На самом деле, справедливо более сильное утверждение, которое применяется не только в случае функций и вектор-функций, заданных на отрезке, но и для функций, заданных в произвольной области (см., например, [28]).

Лемма. Множествофункций C ^∞ –гладкихиисчезающихвокрестности границы области D, а если область не ограничена, то также в окрестности бесконечно удаленной точки (то есть вне некоторого шара) — всюду плотно в L ₂ (D ).

Разумеется, окрестность, о которой идет речь в лемме, у каждой функции своя.

Эта лемма распространяется и на вектор-функции со значениями в евклидовом пространстве.

Замечу еще, что окончание нашего предыдущего рассуждения по сути повторяет доказательство известной — простой и важной — леммы функционального анализа.

Лемма. Пусть f ∈ H — элемент гильбертова пространства H, и пусть L ⊂ H — всюду плотное в H множество. Тогда из равенства

(f, η) = 0, (10.18)

выполняющегося для всех _η ∈ L , следует, что f = 0.

Второй способ вывода уравнений Лагранжа (10.13) из равенства (10.12) связан с использованием δ–функции. Мы теперь предполагаем, что векторфункция f = L_q ⁻ _dt ^d L_{q ˙} непрерывна, и для нее выполняется равенство

t 2

Z

f (t ) · η(t )dt = 0 (10.19)

t 1

для всех вектор-функций η, непрерывных и таких, что η(t ₁ ) = η(t ₂ ) = 0. Пусть t ₀ ∈ (t ₁ ,t ₂ ) — произвольный момент времени. На сей раз построим последовательность η_k (t ) вектор-функций, которая стремится (слабо) к δ-функции δ(t − t ₀ ). Тогда, полагая в (10.19) η = η_k (здесь мы должны предположить, что η_k удовлетворяет краевым условиям) и переходя к пределу, найдем, что f (t ₀ ) = 0, что и требовалось (t ₀ — произвольно).

• Оба примененных приема являются частными случаями более общего подхода, основанного на теореме Хана-Банаха. Пусть для данного элемента f банахова пространства X выполняется равенство η(f ) = 0, где η есть произвольный линейный функционал из множества M ⊂ X ^∗ , причем M плотно (или хотя бы полно) в X ^∗ . Тогда f = 0.

Еще раз запишем теперь уже полностью выведенные уравнения Лагранжа второго рода

.

Конечно, Вас не смутит присутствие здесь частных производных, они лишь участвуют в выражениях для слагаемых этого уравнения. В нормальной ситуации уравнение Лагранжа представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Действительно, производя дифференцирование по t , можно придать уравнению (10.13) форму

L q ˙q ˙q ¨+ L qq ˙ q ˙ + L qt ˙ − L q = 0. (10.20)

Эта система не разрешена относительно вторых, старших производных. Ее можно разрешить (это и есть нормальная для задач механики ситуация), если выполнено условие

. (10.21)

Матрица в этом равенстве называется матрицей Гесса , а ее определитель — гессианом функции L (по переменным q ˙₁ , q ˙₂ , ... , q ˙_n ). Когда условие (10.21) выполнено для всех (q,q,t ˙ ) ∈ D ×Rⁿ ×R , уравнение (10.20) и в самом деле представляет собой систему n дифференциальных уравнений второго порядка с областью задания D × Rⁿ × R .

Вырожденные лагранжианы

Случается, что условие невырожденности (10.21) нарушается лишь в отдельных точках или на некоторых подмногообразиях фазового пространства. Мы сейчас рассмотрим вырожденные лагранжианы , для которых уравнение Лагранжа на всем фазовом пространстве «теряет порядок». Итак, назовем лагранжиан L вырожденным , если всюду (тождественно) выполнено равенство

L_{q ˙q ˙} (q,q,t ˙ ) = 0. (10.22)

В этом случае уравнение Лагранжа (10.20) — первого порядка или вообще не является дифференциальным (становится конечным ).

Из равенства (10.22) следует, что L зависит от q ˙ линейно:

L = A (q,t ) · q ˙ + B (q,t ), (10.23)

где A (q,t ) — вектор-функция, B (q,t ) — функция. В координатах равенство (10.23) записывается в виде

L = A_i (q,t )q ˙_i + B (q,t ), (10.24)

Как обычно, подразумевается суммирование по i от 1 до n . Отсюда выводим

L_{q ˙ i} = A_i , L_{q ˙} = A, (10.25)

. (10.26)

Заметим, во-первых, что при выводе первого равенства (10.26) нам пришлось изменить название немого индекса i на j . А во-вторых, обратите внимание, что во второй формуле (10.26) появилась не сама матрица , а ее транспонированная . Тут есть о

чем задуматься, а не то легко допустить ошибку. Давайте для функционала M (q,q ˙) = A (q ) · q ˙ = (A (q ),q ˙) вычислим производную M_q , не переходя к координатам. Воспользуемся определением Гато. Для любого _η ∈ Rⁿ имеем

Здесь A ⁰ (q ) = A_q . Таким образом,

M_q = A ^0∗ (q )q. ˙ (10.28)

Теперь пойдем дальше. Согласно (10.25), (10.26), уравнение Лагранжа (10.20) принимает вид

. (10.29)

Это дифференциальное уравнение (формально) первого порядка в Rⁿ . Его можно разрешить относительно q ˙, если операторный коэффициент K = есть обратимый оператор. Но оператор K кососимметричен: K ^∗ = −K . Только в четномерном пространстве Rⁿ кососимметрический оператор может быть обратим. В интересном случае n = 3, как мы уже видели, действие кососимметрического оператора может быть реализовано как векторное умножение на некоторый вектор (точнее, на псевдовектор). Поэтому в случае n = 3 уравнение (10.29) может быть также записано в виде

ω(q,t ) ∧ q ˙ + A_t − B_q = 0, (10.30)

где ω — тот самый псевдовектор, который определяется оператором K .

Уравнение Лагранжа зависит от лагранжиана L линейно. Если, например, к некоторому известному лагранжиану добавить лагранжиан (10.23), то в уравнение Лагранжа добавится левая часть уравнения (10.29). Это соображение позволяет включить в гамильтонов–лагранжев формализм различные уравнения механики с гироскопическими силами. Такие системы возникают, например, когда мы рассматриваем движение во вращающейся системе координат. Примером служит сила Кориолиса, которая появляется в системе отсчета, связанной с вращающейся Землей.

Дальнейшее вырождение уравнения Лагранжа (10.29) возникает, когда

, то есть в случае, когда векторное поле A потенциально. В координатах это условие имеет вид

. (10.31)

Из курса анализа Вам известно (известно?), что в этом случае существует такая функция ϕ(q,t ), что

A = grad ϕ = ϕ_q . (10.32)

Вообще говоря, функцию ϕ можно определить лишь локально. Но если область D ⊂ Rⁿ , где изменяется точка q , односвязна (например, если D = Rⁿ ), то потенциал ϕ можно определить всюду в D . При условии (10.32) уравнение (10.29) становится конечным , недифференциальным:

A_t − B_q = 0. (10.33)

С учетом условия (10.32), это уравнение приводится к скалярному

ϕ_t = B. (10.34)

Здесь опущено слагаемое C (t ), потому что его можно убрать, включив в функцию ϕ — она ведь, согласно (10.32), определена с точностью до произвольного слагаемого, зависящего от t .

Тривиальные лагранжианы

Мы видим, что задание лагранжиана, согласно принципу Гамильтона, однозначно определяет уравнение движения Лагранжа (10.13). Однако обратное неверно — одному и тому же уравнению (10.13) соответствует не один, а много лагранжианов. Так получается потому, что имеется целый набор тривиальных лагранжианов .

Лагранжиан L ⁰ называется тривиальным , если отвечающее ему «уравнение Лагранжа» сводится к равенству 0 = 0. Из предыдущего следует, что тривиальный лагранжиан должен быть линеен по q ˙ (см. (10.23)), причем поле A должно быть потенциальным (см. (10.32)). Кроме того, должно выполняться равенство (10.34). В итоге приходим к выводу, что тривиальный лагранжиан должен иметь вид

L ⁰ = Aq ˙ + B = grad . (10.35)

11 Лагранжианы материальных частиц

О представлении (10.35) нетрудно было догадаться. Действительно, для лагранжиана L ⁰ действие S ⁰ при заданном q (t ) выразится в виде

, (10.36)

где q ¹ = q (t ₁ ), q ² = q (t ₂ ). Выходит, что S ⁰ вообще не изменяется при варьировании (концы q ¹ и q ² закреплены) и приводит к тривиальному тождеству.

Окончательный вывод: лагранжиан L ⁰ тривиален тогда и только тогда,когдаондопускаетпредставление( 10.35)скакой-либогладкой функцией ϕ(q,t ).

Понятно, что если к лагранжиану L прибавить тривиальный лагранжиан L ⁰ , то полученный лагранжиан L + L ⁰ приведет к тем же уравнениям Лагранжа. Если лагранжианы L ¹ и L ² дают одни и те же уравнения Лагранжа, то их разность L ² − L ¹ — тривиальный лагранжиан.

11. Лагранжианы материальных частиц

Лагранжиан свободной частицы

В физике материальной частицей или материальной точкой называется тело, размерами которого в условиях данной задачи, можно пренебречь. Сейчас мы, исходя из постулатов общего характера, касающихся свойств симметрии пространства и времени, выведем выражение для лагранжиана свободной, то есть не взаимодействующей с другими телами частицы и получим уравнение ее движения.

Разумеется, принятые постулаты не подлежат доказательству — они получаются обобщением всего имеющегося у нас опыта общения с природой.

Предположим, во-первых, что частица двигается в пространстве R ³ . Ее положение есть точка x = (x ₁ ,x ₂ ,x ₃ ) ∈ R ³ , так что ее конфигурационное пространство есть R ³ .

Далее предположим, что пространство однородно и изотропно , а время однородно.

Однородность времени означает, что законы природы не меняются при сдвиге времени, то есть при замене t → t + τ для любого τ. Это означает, что лагранжиан свободной частицы не зависит от времени:

L = L (x,x ˙). (11.1)

Физики еще говорят, что не существует выделенного начала отсчета времени, так что его можно выбрать произвольно, и законы природы не изменят не только своего существа, но и формы.

Однородность пространства означает инвариантность законов природы относительно произвольных сдвигов пространства: x → x +h , h ∈ R ³ . Физически это означает также, что не существует избранного начала отсчета координат. Требование, чтобы лагранжиан был инвариантен относительно всевозможных сдвигов пространства (то есть не изменялся при сдвигах), означает, конечно, что он не зависит от x . Таким образом, мы можем написать, что L = L (v ).

Изотропность пространства означает инвариантность законов природы относительно произвольных вращений пространства. Иначе говоря, не существует в пространстве избранных направлений для осей координат декартовой системы отсчета. Соответственно, лагранжиан L должен сохранять значение, когда вектор v подвергается произвольному повороту, который его переводит в v ⁰ . Но понятно, что вектор v поворотом можно перевести в вектор v ⁰ в том, и только том случае, когда их длины одинаковы. Выходит, что лагранжиан L (v ), чтобы быть инвариантным относительно вращений, должен зависеть лишь от длины вектора v . Тогда он имеет вид

L = ` (v ² ), (11.2)

где v ² = v · v — квадрат длины, а ` — некоторая функция одной переменной, которую без особых разговоров физики предполагают гладкой (имеющей столько производных, сколько понадобится).

Указанные выше свойства однородности физического пространства и времени и изотропности пространства, строго говоря, имеют место лишь при специальном выборе системы отсчета — декартовых координат в R ³ и координаты на оси времени.

Система отсчета с этими свойствами называется инерциальной . В такой системе координат свободное тело, покоящееся в некоторый момент времени (а точнее, на некотором интервале времени), остается в покое неограниченно долго. Фактически, мы постулировали существование одной такой системы отсчета. На самом деле, их оказывается много.

Для того, чтобы сделать последний шаг, нужен еще один важный постулат.

ПринципотносительностиГалилея . Всякаясистемаотсчета,движущаяся по отношению к инерциальной системе поступательно, с постоянной скоростью, остается инерциальной. Иными словами, законы природы инвариантны относительно преобразований Галилея

x ⁰ = x − V t, t ⁰ = t, (11.3)

где V — произвольный вектор.

Заметим, что время в новой системе остается прежним. Постулат об абсолютности времени лежит в основе всей классической механики. Однако в теории относительности он был ревизован. Подчеркну еще, что в принципе относительности речь идет фактически о равномерном поступательном движении системы отсчета. Не только ускоренное поступательное движение, но и вращение с постоянной угловой скоростью нарушает инерциальность.

• На самом деле, такая формулировка принципа относительности Галилея принадлежит Эйнштейну, хотя, конечно, содержание принципа было замечательным открытием Галилео Галилея. В общем принципе относительности Эйнштейна вместо преобразований Галилея (11.3) фигурируют преобразования Лоренца. Время перестает быть абсолютным и теперь уже зависит от движения системы отсчета.

В физике системы отсчета жестко связываются с теми или иными телами. При этом каждый раз получается, что свойство инерциальности выполняется лишь приближенно. Так, система отсчета, связанная с нашей Землей, во многих случаях может считаться приближенно инерциальной, но ее неинерциальность обнаруживается, например, при помощи опыта с маятником Фуко. Причина неинерциальности — вращение Земли вокруг своей оси, более слабое отклонение возникает из-за ее вращения вокруг Солнца. Когда изучается движение Земли вокруг Солнца, система отсчета связывается с Солнцем, эта система является инерциальной с гораздо лучшим приближением. В астрономии, однако, применяется система отсчета, «связанная с неподвижными звездами», которая еще лучше приближает инерциальную — настолько, что удается заметить вращение Солнца вокруг центра Галактики.

Посмотрим, каков должен быть лагранжиан (11.2) согласно принципу относительности Галилея. Оказывается, нельзя требовать, чтобы лагранжиан оставался неизменным при преобразованиях Галилея (11.3) вместе с соответствующим преобразованием скорости

v ⁰ = v − V. (11.4)

Приходится вспомнить, что добавление тривиального лагранжиана (10.35) не меняет уравнения движения. Таким образом, требование инвариантности законов движения свободной частицы относительно преобразований Галилея (11.3) дает лишь равенство

, (11.5)

где v ⁰ определяется формулой (11.4), а f — некоторая функция, которая может зависеть от векторного параметра V .

Для дальнейшего вывода достаточно рассмотреть преобразования Галилея с малой скоростью εV , где ε — малый параметр:

x ⁰ = x − _ε V t, v ⁰ = v − _ε V, t ⁰ = t. (11.6)

Теперь подставим эти выражения в (11.5) и разложим ` (v ⁰² ) в ряд по степеням ε. В результате получим асимптотическую формулу с точностью до слагаемых порядка _ε ² :

` (v <sup>02</sup> ) = ` ((v − εV )² ) = ` (v <sup>2</sup> − 2εv · V + <sub>ε</sub> <sup>2</sup> V <sup>2</sup> ) = = ` (v ² ) − 2` ⁰ (v ² )εv · V + O (_ε ² ), ε → 0.

Функцию f тоже представим в виде

f (x,t ) = f ₀ (x,t ) + εf ₁ (x,t ) + _ε ² f ₂ (x,t ) + ....

Подставляя эти разложения в (11.5) и приравнивая члены порядка ε слева и справа, получаем

, (11.7)

где.

Это равенство должно выполняться для любых x,v,t . Функция g может зависеть от вектора V . Полагая в (11.7) v = 0, получаем равенство

, так что g = g (x ), не зависит от t . Равенство (11.7) приобретает

v · h`⁰ (v² )V − g_x (x)ⁱ = 0. (11.8)

Но лишь нулевой вектор может быть ортогонален к произвольному вектору v , поэтому

` ⁰ (v ² )V = g_x (x ). (11.9)

Правая часть этого равенства не зависит от v , значит, не зависит и левая. Отсюда следует, что ` ⁰ (v ² ) — постоянная. Ее принято обозначать через.

2

Таким образом,. Отбрасывая несущественную постоянную, получаем окончательно лагранжиан свободной частицы

. (11.10)

Соответственно, действие есть

(11.11)

Из условия минимальности действия при t ₂ , близких к t ₁ , следует, что m > 0 (докажите это!).

Соответствующее уравнение движения, согласно принципу Гамильтона, получается в виде

mx ¨ = 0. (11.12)

Выходит, что свободная частица в инерциальной системе отсчета двигается с постоянной скоростью v = v ₀ , где v ₀ — ее скорость в начальный момент времени, соответственно, x (t ) = x ₀ + tv ₀ .

Системы частиц. Обобщенный II-й закон Ньютона

Пусть имеются две механические системы A и B , и их положения определяются соответственно обобщенными координатами q_A ∈ D_A ⊂ R^{n A} и q_B ∈ D_B ⊂ R^{n B} . Пусть их лагранжианы суть L_A (q_A ,q ˙_A ,t ) и L_B (q_B ,q ˙_B ,t ). Лагранжиан L = L (q_A ,q_B ,q ˙_A ,q ˙_B ,t ) объединенной системы в классической механике считается равным

L = L_A + L_B + L_AB (q_A ,q_B ,t). (11.13)

Добавочное слагаемое L_AB называется лагранжианом взаимодействия или потенциалом взаимодействия , поскольку оно не зависит от скоростей q ˙_A , q ˙_B . Потенциал лишь знаком отличается от потенциальной энергии. Когда системы A и B не взаимодействуют, это слагаемое отсутствует.

Например, лагранжиан системы n взаимодействующих частиц представляется в виде

. (11.14)

Здесь x ¹ ,x ² ,...,xⁿ — положения частиц в R ³ , а v ₁ ,v ₂ ,...,v_n — их скорости. Заметьте, что получилась система с 3n степенями свободы и фазовым пространством (R ³ )ⁿ ×(R ³ )ⁿ = R ⁶ⁿ . Потенциальная энергия взаимодействия V должна быть задана. Особенно интересен и важен тот случай, когда ее можно представить в виде

V = ^X v_jk (|x^j − x^k |). (11.15)

1≤j<k ≤n

Здесь v_jk — потенциальная энергия взаимодействия j -й и k -й частиц, которая зависит лишь от расстояния между ними. В этой сумме отсутствуют слагаемые, отвечающие j = k — это означает, что частица сама с собою не взаимодействует. Условие j < k принято потому, что слагаемые с j > k можно объединить с теми, для которых j < k ; предполагается, что это уже сделано. Как видно, каждая пара частиц взаимодействует независимо от других — это так называемое парное взаимодействие , в принципе, возможны, конечно, и более сложные варианты. К рассматриваемому классу систем принадлежит, например, простейшая модель Солнечной системы, построенная впервые И.Ньютоном. Для нее потенциальная энергия взаимодействия пары частиц v_jk имеет вид

. (11.16)

Это потенциальная энергия, соответствующая закону всемирного тяготения Ньютона, f — постоянная тяготения. Замечу, что при r_jk = 0 потенциальная энергия тяготения не определена, имеет сингулярность. Поэтому следует несколько изменить определение конфигурационного пространства, исключив из него все такие точки. Это становится существенным лишь в тех случаях, когда происходит столкновение частиц.

Натуральные механические системы и уравнение обобщенного II-го закона Ньютона . Рассмотрим механическую систему, положение которой есть точка евклидова пространства H — конечномерного или гильбертова. Ее конфигурационное пространство есть H , а фазовое пространство есть H ² = H × H . Предположим, что лагранжиан системы имеет вид

. (11.17)

Здесь M : H → H — линейный симметричный и положительно определенный оператор. Это означает, что для любых ξ, _η ∈ H выполняется равенство (M ξ, η) = (ξ,M η) и (M ξ, ξ) > 0 для всех _ξ 6= 0. В бесконечномерном случае это требование нужно усилить, требуя, чтобы существовал обратный оператор M ⁻¹ , обычно для этого достаточно, чтобы оператор M был положительно определенным , то есть выполнялось неравенство (M ξ, ξ) > γ(ξ, ξ) при некотором γ > 0. Оператор M называется оператором масс или оператором инерции . Первое слагаемое в (11.17) называется кинетической энергией , а функция V — потенциальной энергией . Системы, у которых лагранжиан может быть представлен в виде такой разности, называются натуральными . Из (11.17) получаем L_{x ˙} = Mx ˙, L_x = −gradV (x ). Подстановка в уравнение Лагранжа

дает уравнение обобщенного II-го закона Ньютона

Mx ¨ = −gradV (x ). (11.18)

Интересно заметить, что можно всегда считать оператор M тождественным: M = I . Для этого нужно изменить метрику, определив скалярное произведение. Введем новое скалярное произведение в H , полагая для любых ξ, η ∈ H

(ξ, η)_M = (M ξ, η). (11.19)

Легко проверить, что эта билинейная форма удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения (так как оператор M симметричен и положительно определен). Вместе с новым скалярным произведением (11.19), которое называется энергетическим , возникает и новый градиент, обозначим его grad_M . Как мы видели ранее (см. (9.17)), для любой функции V на H справедливо соотношение

gradV (x ) = M grad_M V (x ). (11.20)

Подставляя это выражение в (11.18) и «сокращая» на M (точнее, применяя к полученному равенству обратный оператор M ⁻¹ ), перепишем (11.18) в эквивалентной форме

x ¨ = −grad_M V (x ). (11.21)

Я предполагаю, что именно рассмотрения такого рода, особенно в динамике сжимаемого газа, привели А.Эйнштейна к выводу, что метрика мира определяется распределением масс.

Замечу еще, что оператор M мог бы зависеть от x . Тогда получилось бы, что кинетическая энергия есть квадратичная форма от скоростей с коэффициентами, зависящими от положений частиц. В обобщенных координатах q ₁ , q ₂ ,... , q_n она приняла бы вид

. (11.22)

Такие системы также называются натуральными. Вообще, если даже коэффициенты не зависят от координат, то такая зависимость, как правило, немедленно появится, когда мы перейдем к другим (криволинейным) координатам.

12. Законы сохранения в механике

Закон сохранения энергии

Предположим, что лагранжиан L = L (q,q ˙) не зависит от времени. Сейчас мы покажем, что в этом случае система обладает интегралом. Это интеграл энергии. Его проще всего получить — для различных форм уравнения движения — если запомнить, что соответствующая ему косимметрия есть скорость q ˙. Остальное — выкладки.

Итак, умножая уравнение Лагранжа, записанное для некоторого решения q (t ), скалярно на q ˙(t ), получаем

(12.1)

Таким образом, функция

E (q,q ˙) = qL ˙ _{q ˙} − L, (12.2)

называемая энергией , есть интеграл данной механической системы. Это утверждение есть закон сохранения энергии в механике.

Легкость этого вывода может нас вдохновить на поиск новых интегралов. Увы, известно, что типичная механическая система других интегралов не имеет. Дальше мы увидим, что существование дополнительных интегралов или законов сохранения связано со специальными свойствами симметрии данной механической системы.

Закон сохранения энергии для натуральной механической системы (11.18) можно вывести из общего результата (12.2). Может быть, проще получить его непосредственно, опять-таки умножая уравнение (11.18) скалярно на x ˙. Надо только заметить, что справедлива формула

grad V (x )). (12.3)

В итоге приходим к выводу, что уравнение (11.18) допускает интеграл энергии

(12.4)

Сравните выражения L = T − V и E = T + V , где T — кинетическая энергия

. (12.5)

Замечу, что в случае, когда лагранжиан L зависит от времени, для энергии, по прежнему определяемой формулой (12.2), получается равенство

. (12.6)

Связь законов сохранения с симметриями. Теорема Эмми Нетер

Когда нужно объяснить то или иное явление природы, цепочка ответов на вопросы «почему» заканчивается ссылкой на тот или иной закон сохранения. Но почему выполняются сами законы сохранения? Причиной является симметрия, инвариантность нашего мира относительно тех или иных групп преобразований. Р. Фейнман поставил вопрос о причинах симметрии Вселенной. Никто не может в настоящее время ответить внятно на этот вопрос. Таким образом, сейчас знание о симметрии мира составляет наиболее глубокий уровень понимания законов природы. Физики, работающие на переднем крае своей науки, изучающие природу элементарных частиц (существующих и еще не открытых) и полей, когда нет еще ясных математических моделей, делают свои предсказания, основываясь на гипотезах о тех или иных симметриях.

Идея связи законов сохранения с симметриями пространства, времени и с симметриями рассматриваемых систем возникла уже у классиков механики в XIX веке (Лагранж, Якоби), но в наиболее ясной и общей форме была развита немецким математиком Эмми Нетер. Многие считают ее самым крупным математиком всех времен среди женщин. Теорема, которую мы сейчас с вами будем изучать, — лишь один из ее важных результатов в этом направлении. Вообще-то вся эта работа для Э. Нетер была, возможно, неким исключением. В основном, она известна как основатель новой области математики, которая долго называлась современной алгеброй. Сейчас ее предпочитают называть абстрактной алгеброй. Это теория групп, колец, алгебр, модулей и т.д. (см. книгу ее ученика Ван дер Вардена [7]).

• Мой знакомый, руководитель фирмы по производству системного обеспечения компьютеров, процветающей уже лет 25, предпочитает брать на работу математиков, которые прослушали курс абстрактной алгебры. Ни группы, ни модули, на самом деле, не используются в системном программировании. Но, по-видимому, изучение абстрактной алгебры нужным образом настраивает мозги.

Инвариантность и симметрия . Сначала поговорим немного о симметрии вообще. Что такое симметрия? И кстати, что такое красота? Ответ на второй вопрос — может быть, к счастью, — неизвестен. Но ясно, что симметрия является существенным элементом красоты, хотя многие считают, что для красоты необходимо некоторое, умеренное отклонение от строгой симметрии. Как говорил Френсис Бэкон (1561–1626 гг.), «не существует истинно прекрасного без некоторой доли странности». (Это тот самый Бэкон, который сказал, что “Knowledge itself is power”, дав тем название журналу «Знание – сила»).

Всмотримся в слово «симметрия». Симметрия означает соразмерность, это слово появилось еще у Аристотеля. В современном формально-математическом понимании симметрия означает инвариантность того или иного объекта — множества, функции, векторного поля, и т.д. относительно того или иного преобразования .

Рассмотрим, например, область Ω в Rⁿ или даже просто произвольное множество Ω и пусть задано некоторое преобразование ϕ : Ω → Ω множества Ω в себя. Вы помните, что преобразование — это взаимно однозначное отображение. Подмножество Ω₀ ⊂ Ω назовем инвариантным относительно преобразования ϕ, если ϕ(Ω₀ ) = Ω₀ , так что Ω₀ переходит в себя при преобразовании ϕ. В этом случае можно рассмотреть сужение . Говорят также, что множество Ω₀ симметрично относительно преобразования ϕ.

Пусть теперь задана вещественная функция f : Ω → R на Ω. Скажем, что она инвариантна относительно преобразования ϕ, если для всех x ∈ Ω

f (ϕ(x )) = f (x ). (12.7)

Часто удобно бывает записывать это равенство с использованием обратного отображения _ϕ ⁻¹ в виде

Дальше уже существенно, что Ω — область в Rⁿ , а отображение ϕ будем считать гладким, хотя бы класса C ¹ . При этих условиях отображение ϕ определяет не только преобразование функций на Ω, но и отображение векторов, скажем, приложенных в некоторой точке a ∈ Ω. Такой вектор v можно мыслить как мгновенную скорость точки, которая в данный момент находится в положении a . Если при этом точка двигается по закону x = x (t ), и x (t ₀ ) = a , то x ˙(t ₀ ) = v .

Посмотрим теперь, как двигается преобразованная точка ϕ(x (t )). Ее скорость есть

(12.10)

или в координатах

. (12.11)

Здесь _ϕ ⁰ (x ) означает производную отображения ϕ в точке x . Эта производная в координатах задается матрицей Якоби

. (12.12)

Не совсем точно было бы написать здесь просто знак равенства, потому что матрица Якоби зависит от выбора координат, а производная — не зависит. Нетрудно дать ей инвариантное (относительно выбора координат) определение.

Формулы (12.10) и (12.11) показывают, что разумно определить индуцированное преобразованием ϕ : Ω → Ω отображение векторов в произвольной точке x ∈ Ω при помощи производной отображения ϕ. Это индуцированное отображение часто обозначают ϕ_∗ (x ), согласно определению ϕ_∗ (x )v = _ϕ ⁰ (x )v или в координатах

. (12.13)

Кратко то, что мы сейчас проделали, выражают словами: гладкое преобразование ϕ действует на функции посредством замены переменных, а на векторы — посредством его производной.

Инвариантные лагранжианы. Лагранжиан L (q,q ˙), не зависящий от времени, задается в декартовом произведении D × Rⁿ , где D — область в R n .

Предположим теперь, что задана однопараметрическая группа преобразований области D g _τ : D → D . Это означает, что g ₀ = id , g _{τ +s} = g _τ g_s для всех τ,s ∈ R . Это отображение переводит точку q ∈ D в точку g _τ q ∈ D . При этом вектор q ˙, приложенный в точке q , подвергается индуцированному преобразованию и переходит в . Скажем, что лагранжиан L инвариантен относительно однопараметрической группы g _τ , если выполняется равенство

L(g_τ q,g_τ ⁰ (q)q˙) = L(q,q˙) (12.14)

для всех _τ ∈ R , q ∈ D , q ˙ ∈ Rⁿ .

Мы уже знаем, что однопараметрическая группа преобразований области D определяется векторным полем Q на D , так что g _τ есть эволюционный оператор автономного дифференциального уравнения

, (12.15)

при этом q (τ) = g _τ q ₀ есть решение задачи Коши для этого уравнения с начальным условием q (0) = q ₀ .

Теорема Э.Нетер . Пусть лагранжиан L = L (q,q ˙) не зависит от времени и инвариантен относительно однопараметрической группы преобразований g _τ , так что выполняется ( 12.14). Тогда соответствующая механическая система имеет интеграл

I (q,q ˙) = L_{q ˙} q ⁰ , (12.16)

где q ⁰ = Q (q ).

Доказательство : Ввиду условия инвариантности (12.14) действие S инвариантно относительно преобразований g _τ :

t 2 t 2

Z Z

S = L(q,q˙)dt = L(g_τ q,g_τ ⁰ (q)q˙)dt. (12.17)

t 1 t 1

Левая часть от τ не зависит. Поэтому производная от правой части по τ равна нулю.

Введем вариацию δq , соответствующую деформации g _τ : q 7→ g _τ q

. (12.18)

Дифференцируя это равенство по t и меняя местами производные по t и по τ, получим

(12.19)

Теперь варьирование равенства (12.17) (то есть дифференцирование по параметру деформации τ при τ = 0) с учетом соотношений (12.18) и (12.19) дает равенство

t 2 Z

Пользуясь основной формулой вариационного исчисления δq ˙ = (δq )^· и интегрируя по частям (см. формулы (10.9)), преобразуем (12.20) к виду

. (12.21)

Согласно уравнению Лагранжа, интегральное слагаемое исчезает, и мы получаем

. (12.22)

Поскольку это верно для любых t ₁ , t ₂ , функция L_{q ˙} δq = L_{q ˙} q ⁰ есть интеграл. Теорема доказана.

Конечно, можно провести доказательство непосредственно, подставляя выражение (12.16) в уравнение Лагранжа. Но я ненавижу такие доказательства, которые скрывают путь, которым можно прийти к результату. Проведенное доказательство показывает, что условие инвариантности лагранжиана расширяет класс допустимых деформаций по сравнению с принципом Гамильтона, что и приводит к закону сохранения.

Замечу, что изложенная теорема в действительности является частным случаем значительно более общих и глубоких результатов Э. Нетер (см. книгу П. Олвера [33]).

Теперь рассмотрим приложения теоремы Нетер. Мы увидим, что основные законы сохранения имеют своей причиной свойства симметрии пространства. Замечу, что закон сохранения энергии был выведен выше в случае лагранжиана L (q,q ˙), не зависящего от времени. А это означает, что он является следствием однородности времени — инвариантности законов природы относительно сдвигов времени. Этот закон не следует непосредственно из доказанной нами теоремы, но может быть получен из более общих результатов Э. Нетер.

Трансляционная инвариантность и интеграл импульса

Рассмотрим натуральную механическую систему с лагранжианом

(12.23)

и уравнениями движения

Mx¨ = −gradV (x). (12.24)

Здесь x — вектор-функция со значениями в H . Каждый вектор a ∈ H определяет преобразование сдвига (трансляции) T_a : H → H , T_a : x 7→ x + a . Предположим, что потенциальная энергия V (x ) инвариантна относительно сдвигов вдоль некоторого направления (заданного вектором a ). Это означает, что для любого s ∈ R и любого x ∈ H выполнено равенство V (T_sa x ) = V (x ) или V (x + sa ) = V (x ).

Преобразование T_sa действует на векторы скорости тривиально, как тождественное:

. (12.25)

Поэтому лагранжиан (12.23) инвариантен относительно преобразований T_sa . Имеем

(12.26)

Согласно теореме Нетер, заключаем, что уравнение (12.24), при условии инвариантности потенциальной энергии V (x ) относительно сдвигов вдоль направления вектора a , имеет интеграл

I (x,x ˙) = (Mx,a ˙ ). (12.27)

Вектор Mx ˙ есть импульс (количество движения), а интеграл I лишь несущественным множителем |a | отличается от проекции импульса на направление вектора a . Важный частный случай уравнения (12.24) — система n материальных точек в R ³ . В этом случае конфигурационное пространство H = R ³ⁿ , а оператор M задается диагональной матрицей

Здесь масса j -й частицы m_j повторяется трижды на главной диагонали этой матрицы, потому что масса не зависит от направления движения (это следствие изотропности пространства).

Предположим, что потенциальная энергия не меняется при любом сдвиге всей системы частиц в направлении вектора e ∈ R ³ . Не ограничивая общности, можно считать, что e — единичный вектор: |e | = 1. Если V = V (x ¹ ,...,xⁿ ), где x^j ∈ R ³ — положение j -й частицы, то это условие инвариантности запишется в виде

V (x¹ + se,...,xⁿ + se) = V (x¹ ,...,xⁿ ). (12.29)

Импульс системы частиц в R ³ имеет вид

n

I_M = ^X m_j x ˙^j . (12.30)

j =1

Из предыдущего видно, что условие (12.29) влечет существование интеграла

. (12.31)

Это — закон сохранения компоненты импульса I вдоль направления e . В случае, например, потенциальной энергии

V = ^X w_ij (|xⁱ − x^j |)

1≤i<j ≤n

условие инвариантности (12.29) выполнено, очевидно, при любом векторе e . Таким образом, в этом случае имеет место закон сохранения вектора импульса .

Примечательно и практически очень важно, что форма интегралов импульса не зависит от потенциальной энергии. Поэтому законом сохранения импульса можно пользоваться, не зная явно законов взаимодействия частиц, будучи лишь уверенными в трансляционной инвариантности потенциальной энергии.

В условиях, когда сохраняется вектор импульса, центр масс системы двигается с постоянной скоростью, по инерции. Напомню, что положение центра масс, согласно определению, есть

. (12.32)

Прежде, чем перейти к выводу закона сохранения момента импульса, рассмотрим некоторые общие результаты об изометриях банаховых и гильбертовых пространств.

Изометрии и вращения банаховых и гильбертовых пространств

Оператор A : X → X , где X есть вещественное банахово пространство, называется изометрическим оператором или изометрией , если он сохраняет расстояния (Рис. 3) для любых точек x и y пространства X

kAx − Ay k = kx − y k. (12.33)

_x Ax

Ay _y

Рис. 3

Разумеется, это определение можно распространить и на метрические пространства.

Очевидно, оператор сдвига T_a : X → X : x 7→ x + a является изометрией для любого a ∈ X . У этого оператора при любом a 6= 0 нет неподвижных точек. Изометрическое отображение, которое обратимо и имеет неподвижную точку, называется вращением . Дальше будем считать, что эта неподвижная точка есть 0 (ноль) пространства X . Итак, оператор A будем называть вращением, если он удовлетворяет условию (12.33) и A (0) = 0.

Справедлива замечательная теорема С. Мазура и С. Улама: всякоевращениебанаховапространстваестьлинейныйоператор . Доказательство этой глубокой теоремы можно найти в книге С. Банаха [5], а также в Приложении 2 в этом курсе лекций. В случае евклидова или гильбертова пространства Вы, если постараетесь, сможете, я думаю, провести доказательство самостоятельно.

• С. Мазур и С. Улам — польские математики. Улам известен своей замечательной фантазией — среди многих его результатов вспоминается, например, идея записать ряд натуральных чисел по спирали — тогда на диагонали вдруг возникают ряды простых чисел (как он сам рассказывал, такую картинку он нарисовал на каком-то заседании, стараясь не заснуть). Ему также принадлежит идея термоядерной бомбы.

Нам дальше будут нужны лишь изометрические операторы в евклидовом или в гильбертовом вещественном пространстве H . Пусть оператор U : H → H является вращением (чаще такие операторы называются ортогональными или, особенно в случае комплексного гильбертова пространства H , унитарными ). Условие изометричности (12.33) можно записать в виде

(Ux,Ux) = (x,x). (12.34)

Мы учли, что U — линейный оператор, и заменили x −y в (12.33) на x . Это равенство можно также записать в виде

((U ^∗ U − I )x,x ) = 0. (12.35)

оператор U ^∗ U −I (U ^∗ — сопряженный оператор) самосопряжен и порождает нулевую квадратичную форму. Поэтому

U ^∗ U = I. (12.36)

В конечномерном случае отсюда следует, что ортогональный оператор обратим. Действительно det I = 1, det(U ^∗ U ) = detU ^∗ detU = (detU )² .

Поэтому согласно (12.36), detU = ±1, так что U — обратимый оператор.

Мы видим также, что ортогональные операторы бывают двух типов. Те, для которых detU = 1, называются собственными вращениями , а те, для которых detU = −1, — несобственными вращениями .

Всевозможные вращения пространства Rⁿ — собственные и несобственные — образуют ортогональную группу O (n ). Собственные вращения также образуют группу (проверьте!) SO (n ). Это подгруппа группы O (n ), хотя ее часто нужно бывает рассматривать как самостоятельный объект. Несобственные вращения, конечно, группы не образуют (почему?).

В бесконечномерном гильбертовом пространстве всевозможные вращения не образуют группы — существуют необратимые вращения. Рассмотрим, например оператор U : ` <sub>2</sub> → ` ₂ , действующий на произвольный вектор x = (ξ₁ , ξ₂ ,... ) ∈ ` ₂ по правилу

Ux = (0,ξ₁ ,ξ₂ ,...). (12.37)

такой оператор называется оператором правогосдвига . Он, очевидно, необратим: уравнение Ux = y для y = (η₁ , η₂ ,... ) ∈ ` ₂ имеет решение только в случае, когда η₁ = 0 (это условие, конечно, необходимо и достаточно). Мы видим, что существование необратимых вращений связано с существованием у гильбертова пространства изометричных ему собственных (то есть не совпадающих со всем пространством) подпространств. Разумеется, можно и очень интересно рассматривать группу вращений гильбертова пространства, которая состоит из тех и только тех вращений, которые обратимы.

Замечу, что изометрии банаховых пространств также очень интересны и соответствующие группы изометрий и группы вращений довольно разнообразны. Видимо, можно сказать, что в случае евклидовых пространств группы вращений наиболее богаты. А вот среди банаховых пространств есть такие, у которых имеется лишь конечное число вращений. Встречаются даже случаи, когда группа вращений состоит из одного тождественного оператора.

Вращение и кососимметричные операторы. Предположим, что заданное однопараметрическое семейство U (s ) : H → H вращений образует группу. Дифференцируя равенство (12.36) по s , получаем

U ^∗0 (s )U (s ) + U ^∗ (s )U ⁰ (s ) = 0, (12.38)

а затем полагая s = 0, для A = U ⁰ (0) выводим равенство

A ^∗ + A = 0. (12.39)

Мы учли, что U (0) = I и U ^∗ (0) = I . Таким образом, генератор A = U ⁰ (0) однопараметрической группы вращений есть кососимметрический оператор. Это означает (2.10), что группа операторов U (s ) есть эволюционный оператор уравнения

x ⁰ = Ax (12.40)

с кососимметрическим оператором A .

Обратное тоже верно. Рассмотрим уравнение (12.40) в H , и пусть оператор A кососимметричен: A ^∗ = −A . Тогда эволюционный оператор этого уравнения U (s ) для любого s ∈ R есть вращение. Действительно, пусть x (s ) — любое решение уравнения (12.40). Умножая это уравнение на x (s ), получим

. (12.41)

Второе равенство следует из кососимметричности:

(Ax,x ) = (x,A ^∗ x ) = −(x,Ax ),

так что (Ax,x ) = 0 для всех x , если A — кососимметрический оператор. Из (12.41) следует равенство

(U (s )a,U (s )a ) = (a,a ), (12.42)

где a = x (0). Поскольку a — произвольный элемент пространства H , отсюда следует, что U (s ) есть вращение. Даже в случае бесконечномерного пространства H нетрудно доказать, что U (s ) — обратимый оператор для любого s , лишь бы оператор A был ограничен.

Интересно отметить, что эволюционный оператор U (s ) неавтономного уравнения

x ⁰ = A (s )x (12.43)

с кососимметрическим операторным коэффициентом (A ^∗ (s ) = −A (s ) для всех s ) тоже является вращением. Доказательство, данное выше для автономного случая, полностью сохраняется.

Размерность линейного пространства кососимметрических операторов

в Rⁿ (кососимметричных n ×n матриц) есть, очевидно,. Эта размерность совпадает с n только при n = 3.

В пространстве R ³ кососимметрический линейный оператор действует как векторное умножение на постоянный вектор. Действительно, в этом случае для векторного произведения _ω ∧ x имеем

(12.44)

для любых x = (x ₁ ,x ₂ ,x ₃ ) и ω = (ω₁ , ω₂ , ω₃ ). С другой стороны, если

 αx 2 + βx 3 

Ax = _ −αx ₁ + γx _{3 } .

−βx ₁ − γx ₂

Чтобы выражения Ax и _ω ∧ x совпадали, нужно положить α = −ω₃ , β = ω₂ , γ = −ω₁ . Таким образом, векторному произведению (12.44) соответствует кососимметрическая матрица

. (12.45)

Интеграл момента количества движения

Интегралы момента количества движения возникают, когда лагранжиан L инвариантен относительно некоторой однопараметрической подгруппы группы вращений пространства H . Такая подгруппа состоит из операторов вида e^sA , где ее генератор A есть кососимметрический оператор. Условие инвариантности имеет вид

L(e^sA x,e^sA x˙) = L(x,x˙). (12.46)

Согласно теореме Э. Нетер, из условия (12.46) следует, что система имеет интеграл

M_A = (L_{x ˙} ,Ax ) (12.47)

для всех x, x ˙ ∈ H , s ∈ R . Мы учли, что.

Рассмотрим механическую систему, у которой конфигурационное пространство есть евклидово пространство H , а лагранжиан L = L (x,x ˙) не зависит от времени. Важнейшим примером служит натуральная механическая система. Ее уравнение движения дается обобщенным вторым законом Ньютона

Mx ¨ = −gradV (x ), (12.48)

а лагранжиан определяется равенством

. (12.49)

В случае натуральной системы интегралы типа момента количества движения чаще всего получаются, когда потенциальная энергия инвариантна относительно той или иной (тех или иных) подгруппы (подгрупп) группы вращений, то есть, когда выполняется условие

V (e^sA x ) = V (x ). (12.50)

Для инвариантности лагранжиана (12.49) нужно дополнительно потребовать, чтобы и кинетическая энергия была инвариантна, то есть, чтобы выполнялось равенство

(Me^sA x,e ˙ ^sA x ˙) = (Mx, ˙ x ˙) (12.51)

для любых x ˙ ∈ H , s ∈ R . Учитывая, что (e^sA )^∗ = e^{sA ∗} = e ^−sA , это равенство можно записать в виде

(e ^−sA Me^sA x, ˙ x ˙) = (Mx, ˙ x ˙). (12.52)

Слева и справа стоят квадратичные формы, записанные в стандартном виде, с самосопряженными операторами M и e ^−sA Me^sA , поэтому из (12.52) следует операторное равенство

e ^−sA Me^sA = M. (12.53)

Это условие зачастую довольно сложно проверить. Ему, однако, можно придать более простую форму. Дифференцируя равенство (12.53) по s , получим

− Ae^−sA Me^sA + e^−sA Me^sA A = 0. (12.54)

Если учесть (12.53), то это равенство принимает вид

− AM + MA = 0. (12.55)

Таким образом, из (12.53) следует, что операторы A и M коммутируют: MA = AM . Верно и обратное: если выполняется (12.55), то выполнено и условие (12.53). Действительно, вводя обозначение N (s ) = e ^−sA Me^sA , для оператор-функции N (s ) получаем дифференциальное уравнение

(12.56)

Согласно определению N (s ) имеем также начальное условие

(12.57)

Задача Коши (12.56), (12.57) для операторного уравнения (12.56) однозначно разрешима при любом линейном операторе M . Это доказывается точно так же, как для обычных векторных уравнений, более того, уравнение (12.56) есть частный случай векторного дифференциального уравнения. Но одно решение данной задачи Коши очевидно: N (s ) = M для всех s ∈ R . Это и означает, что равенство (12.53) является следствием равенства (12.55).

Итак, мы установили, что приинвариантностипотенциальнойэнергии ( 12.50) дополнительное условие ( 12.55) обеспечивает инвариантностьлагранжиана( 12.49)относительногруппывращений e^sA , где A — кососимметрический оператор.

Из теоремы Нетер теперь следует, что при выполнении условий (12.50) и (12.55) уравнение обобщенного второго закона Ньютона (12.48) допускает интеграл момента

M_A = (Mx,Ax ˙ ). (12.58)

Это, конечно, частный случай интеграла (12.47).

Для механики и физики очень важен класс систем типа (12.48), возникающий при рассмотрении систем n частиц, двигающихся в R ³ (или R ² ) при наличии парного взаимодействия между ними. Для такой системы потенциальная энергия имеет вид

V (x ) = ^X w_ij (|xⁱ − x^j |). (12.59)

1≤i<j ≤n

Оператор масс M действует в пространстве R ³ⁿ (или R ²ⁿ ) и задается, как мы уже видели, диагональной матрицей (12.28).

Как было уже отмечено раньше, в случае потенциальной энергии (12.59)

n

сохраняется вектор импульса (см. (12.30)) I_M = ^P m_j x ˙^j . Теперь мы по-

j =1

кажем, что сохраняется также вектор момента импульса.

Группа U _τ : R ³ → R ³ вращений трехмерного пространства (конфигурационного пространства одной частицы) порождает группу вращений U _{b τ} : R ³ⁿ → R ³ⁿ конфигурационного пространства системы n частиц согласно равенству

U_{b τ} ξ = (U_{τ ξ} ¹ ,...,U_{τ ξ} ⁿ ) (12.60)

для любого ξ = (_ξ ¹ ,..., _ξ ⁿ ), где положение j той частицы. Это, конечно означает, что преобразование U _τ поворачивает всю систему частиц как целое, не меняя их взаимного расположения. Потенциальная энергия (12.59) инвариантна относительно любого вращения U _τ :

V (U _{b τ} x ) = ^X w_ij (|U _τ xⁱ −U _τ x^j |) = ^X w_ij (|xⁱ −x^j |) = V (x ),

1≤i<j ≤n 1≤i<j ≤n

(12.61)

так как U _τ — линейный оператор, сохраняющий расстояния. Кинетическая энергия имеет вид

(12.62)

и также, очевидно, сохраняется при вращении U _τ , более того, сохраняется каждое слагаемое в (12.62). Поскольку U _τ — линейный оператор, его производная совпадает с ним самим, а значит x ˙^j перейдет при вращении U _τ в U _τ x ˙^j . При этом |U _τ x ˙^j | = |x ˙^j | — опять-таки по свойству изометричности.

Генератор A _b группы U _{b τ} выражается через генератор A группы U _τ :

. (12.63)

Заметим, что оператору A соответствует блочно-диагональная матрица, каждый блок есть матрица A . Интеграл (12.58) принимает вид

. (12.64)

Но мы уже видели, что всякий кососимметрический оператор A в R ³ реализуется как векторное умножение, так что A ξ = ω∧ξ, где ω — известный постоянный вектор (точнее, псевдовектор), _ξ ∈ R ³ . Подстановка в (12.64) дает равенство

n

M_A = ^X (m_j x ˙^j , ω ∧ x^j ). (12.65)

j =1

Пользуясь тем, что смешанное произведение трех векторов не меняется при циклической перестановке, запишем последнее равенство в виде

. (12.66)

Поскольку ω здесь произвольный вектор, получается, что имеется целых три интеграла (положим, например, в (12.66) ω = e ₁ , ω = e ₂ и ω = e ₃ , где e ₁ , e ₂ , e ₃ — координатные орты в R ³ ). Иными словами, для уравнения ( 12.48) с потенциальной энергией ( 12.59) и кинетической энергией ( 12.62) выполнен закон сохранения вектора момента количества движения M , определяемого равенством

M . (12.67)

Примечательное свойство интегралов количества движения и момента количества движения состоит в том, что они не зависят от конкретного вида потенциальной энергии и существуют всякий раз, когда потенциальная энергия обладает должными свойствами инвариантности. В определенной мере поэтому предсказания, которые мы делаем на основе законов сохранения количества движения и момента количества движения, наиболее надежны. В частности, закон сохранения момента играет значительную роль в

13 Принцип Гамильтона для систем со связями

космогонии — теории происхождения солнечной системы. Из-за большой удаленности планет от солнца момент количества движения солнечной системы огромен, и всякая космогоническая гипотеза должна этот факт объяснить. Многие космогонические гипотезы, и самая первая из них — гипотеза Лапласа, не справились с этой задачей, а потому были отвегнуты. По Лапласу, солнечная система произошла от некой быстро вращающейся жидкой массы, от экватора которой из-за центробежных сил отрывались огромные «капли», которые, застывая, превратились потом в планеты. Но ввиду закона сохранения момента, эта жидкая масса должна была бы вращаться с совершенно невероятной угловой скоростью, так что вступили бы в силу запреты теории относительности.

Другим важным свойством интегралов количества движения, момента количества движения, а также энергии, является их аддитивность . Все они получаются суммированием соответствующих величин для отдельных частиц. У механической системы нет других аддитивных интегралов. Замечу также, что в условиях общего положения, то есть для подавляющего большинства всех мыслимых механических систем вообще нет других интегралов.

13. Принцип Гамильтона для систем со связями

Во многих важных для механики случаях допустимые положения системы не могут быть произвольными точками данного многообразия, скажем, пространства Rⁿ , а обязаны удовлетворять тем или иным соотношениям, которые называются связями .

Пусть, например, положение системы определяется как точка x ∈ Rⁿ , удовлетворяющая уравнению

Φ(x ) = 0, (13.1)

где Φ — заданная функция. Скажем тогда, что система подчинена голономной связи (13.1). Встречаются и случаи, когда связь зависит от времени и имеет вид

Φ(x,t ) = 0. (13.2)

Связи, зависящие от времени, называются реономными (текущими). Связь вида (13.1), от времени не зависящая, называется склерономной (жесткой) или стационарной .

Уравнение (13.1) означает, что точка x (t ) пространства Rⁿ , изображающая положение данной системы в момент t , остается все время на гиперповерхности, определяемой уравнением (13.1), в случае n = 3 — это просто поверхность. Когда связь реономна и имеет вид (13.2), движение происходит по гиперповерхности, изменяющейся по заданному закону со временем.

Нередко встречаются и более сложные связи вида

Φ(x,x,t ˙ ) = 0, (13.3)

зависящие от скорости x ˙. Такие связи называются неголономными . Впрочем, иногда уравнение вида (13.3) удается проинтегрировать по времени и привести задачу к случаю голономной связи вида (13.1) или (13.2). Дальше мы будем рассматривать лишь голономные связи, опуская иногда прилагательное «голономная».

Что может заставить частицу, движущуюся, скажем, в пространстве R ³ , оставаться все время на поверхности (13.1)? Очевидно, для этого нужно, чтобы на неё действовала некоторая сила, развиваемая связью. Эта сила, заранее неизвестная, называется реакцией связи .

Связь (13.1) называется идеальной , если её реакция направлена по нормали к гиперповерхности (13.1). В случае, когда уравнение (13.1) регулярно , то есть grad Φ(x ) 6= 0 всюду на поверхности Φ(x ) = 0, реакцию идеальной связи (13.1) можно представить в виде: −λgrad Φ, где λ — множитель Лагранжа; знак минус, конечно, не имеет серьезного значения и поставлен ради будущих удобств.

Если на частицу, движущуюся в пространстве R ³ , наложена идеальная связь вида (13.1), и кроме реакции связи, на нее не действуют иные силы, то согласно 2-му закону Ньютона, уравнение движения можно записать в виде

mx ¨ = −λgrad Φ(x ). (13.4)

Здесь m — масса частицы, x (t ) — положение частицы в момент t , λ(t ) — множитель Лагранжа, зависящий от времени t . Из-за присутствия новой неизвестной функции λ(t ) мы должны к векторному уравнению (13.4) добавить уравнение связи (13.1). В результате получается своеобразная система уравнений, в которую входят 3 скалярных дифференциальных уравнения для компонент x ₁ (t ), x ₂ (t ), x ₃ (t ), а четвертое уравнение (13.1) не содержит производных.

Наличие в системе (13.4), (13.1) уравнения связи заметно осложняет отыскание её решений. Иногда удается избавиться от связи путем введения специальных координат на поверхности (13.1). Например, если Φ(x ) = , то целесообразно ввести полярные координаты, полагая для точек данной поверхности

x ₁ = a cosθ, x ₂ = a sinθ. (13.5)

Тогда уравнение связи (13.1) будет удовлетворено тождественно, и мы сможем составить уравнение Лагранжа 2-го рода, в котором вместо неизвестных x ₁ , x ₂ , будет фигурировать одна переменная θ. Обычно так и поступают, когда это возможно. Но далеко не всегда удается ввести подходящую криволинейную систему координат с тем, чтобы исключить уравнение связи. Собственно говоря, список таких удобных координат известен и не слишком длинен — наряду с полярными, это сферические, гиперболические, эллиптические, биполярные и немногие другие координаты. Более того, даже когда нужные криволинейные координаты известны, не всегда разумно их использовать. Например, уже в случае полярных координат появляются синусы и косинусы, которые являются трансцендентными функциями. Они, конечно, хороши для аналитических выкладок, но могут существенно увеличить время вычисления на компьютере. По моему заданию одна студентка на простейшем примере кругового маятника проверила, как влияет на процесс вычисления использование тригонометрических функций. Оказалось, что время вычисления может вырасти на порядок (в 3–5–10 раз) по сравнению с иным методом, требующим лишь вычисления рациональных функций.

Вывод состоит в том, что нельзя избежать исследования систем со связями. Ситуация, понятно, еще осложняется, когда на систему наложено много связей, а то и бесконечно много. Как раз такой случай возникает при исследовании несжимаемой жидкости или гибкой нерастяжимой нити.

В случае неидеальной связи на частицу в ходе её движения действует и некоторая продольная, касательная к гиперповерхности (13.1) сила, скажем, сила трения. Строго говоря, силы трения уже и не относятся к механике, они имеют немеханическое происхождение. Впрочем, в курсах механики (если они написаны не физиками-теоретиками или примкнувшими к ним математиками) обычно имеется раздел, посвященный трению. Силы трения в природе чрезвычайно разнообразны и ещё недостаточно изучены. В курсах механики рассматриваются лишь самые простые виды трения. Исключением является курс механики И.И. Воровича [8], который опубликован уже после кончины (в 2001 г.) его автора. В этом курсе дан обширный обзор современных представлений и экспериментальных результатов по силам трения соприкасающихся твердых тел. Теория внутреннего трения в жидких телах строится в гидродинамике, а для твердых тел — в теории вязкоупругости. Более общий взгляд на процессы трения в сплошных средах развивает сравнительно новая (возникшая в середине XX века) наука реология .

Дальше будем рассматривать идеальные голономные и, ради краткости, стационарные связи вида (13.1). Вполне возможно, что рассматриваемая система подчинена целому набору связей:

Φ₁ (x ) = 0, ..., Φ_r (x ) = 0. (13.6)

Все эти связи будем считать идеальными. Каждая связь Φ_j (x ) = 0 развивает реакцию вида: −λ_j grad Φ_j (x ). В итоге обобщенное уравнение 2-го закона Ньютона (когда на систему не действуют никакие другие силы, кроме реакции связи) примет вид

r

Mx ¨ = −^X _λj grad Φ_j (x ), (13.7)

j =1

где M — оператор масс. Наряду с x (t ), множители Лагранжа λ_j также неизвестны и должны быть определены совместно с x (t ) из системы (13.6),

(13.7).

Исключение связей

Будем считать, что положение системы есть точка q ∈ Rⁿ , удовлетворяющая r (скалярным) голономным, стационарным, идеальным связям

Φ₁ (q ) = 0, ..., Φ_r (q ) = 0. (13.8)

Конфигурационное пространство X данной системы есть подмногообразие в Rⁿ , определяемое уравнениями (13.8). Конечно, нужно наложить на заданные функции Φ₁ ,..., Φ_r некоторые ограничения. Будем считать их достаточно гладкими (по крайней мере, класса C ² ), и предположим, что уравнения (13.8) совместны (так что данное подмногообразие не пусто), а функции Φ₁ ,..., Φ_r в каждой точке q ∈ X независимы. Последнее условие обеспечивается требованием, чтобы матрица Якоби в каж-

дой точке q ∈ X имела максимальный ранг, равный r . Обычно это условие записывается в виде требования, чтобы один из миноров r -го порядка был отличен от нуля, например,

(13.9)

Не нужно, однако, торопиться выписывать определители. Зачастую невырожденность, обратимость матрицы лучше устанавливать непосредственно. А в случае, когда связей бесконечно много, и вовсе определители, как правило, теряют смысл (хотя и не всегда!).

Если условие (13.9) выполнено, то мы можем применить теорему о неявной функции и установить, что в некоторой окрестности каждой точки q ⁰ ∈ X можно ввести новые координаты q ¯₁ ,q ¯₂ ,...,q ¯_n , так что они взаимно однозначно выражаются через прежние:

q¯_j = Q^¯ _j (q₁ ,...,q_n ), j = 1,...,n. (13.10)

Здесь ^{Q ¯} _j — гладкие функции. При этом часть многообразия X в окрестности точки q ⁰ определяется r уравнениями

q ¯_n −_{r +1} = 0, q ¯_n −_{r +2} = 0, ..., q ¯_n = 0. (13.11)

Грубо говоря, можно просто положить q ¯_n −_{r +1} = Φ₁ (q ₁ ,...,q_n ), ..., q ¯_n = Φ_r (q ₁ ,...,q_n ). (13.12)

При этом, сдвигая начало координат, можно считать, что точке q ⁰ соответствует точка q ¯⁰ = 0.

Для точек на конфигурационном пространстве X мы будем иметь выражения q ₁ = Q ₁ (¯q ₁ ,...,q ¯_n −_r ), ..., q_n = Q_n (¯q ₁ ,...,q ¯_n −_r ). (13.13)

Теперь ясно, что положение системы полностью определяется заданием точки q ¯= (¯q ₁ ,...,q ¯_{n −r} ) в некоторой окрестности нуля пространства R^{n −r} . Если лагранжиан системы L = L (q,q,t ˙ ) задан, то его можно теперь выразить через переменные q ¯₁ ,...,q ¯_n −_r , q ¯˙₁ ,...,q ¯˙_n −_r . Таким образом, мы избавляемся от связей и можем теперь описывать движение системы обычными уравнениями Лагранжа 2-го рода. К сожалению, это верно до тех пор, пока система не выйдет из координатной окрестности точки q ⁰ . Если же это произойдет, то придется вводить новую систему координат в окрестности иной точки, скажем, q ¹ ∈ X . Лишь в редких случаях удается определить глобально, на всем пространстве X , такие координаты, что уравнения связей выполняются тождественно. Поэтому в общей теории мы вынуждены рассматривать локальные системы координат и переходить от одной локальной системы координат к другой, опять-таки локальной системе координат.

Конечно, такой общий метод при решении конкретных задач больше подходит для компьютера, чем для человека. Вместе с тем, должен заметить, что на сегодня соответствующие вычислительные процедуры очень слабо развиты. Создание алгоритмов и программ для решения уравнений со связями остается одной из весьма актуальных проблем вычислительной математики и математической физики.

Так или иначе, исследование и общих, и конкретных систем со связями можно и следует проводить сначала (и настолько далеко, насколько это возможно), не вводя координат и не исключая связей.

Принцип Гамильтона для систем со связями

Рассмотрим механическую систему, заданную лагранжианом L = L (q,q,t ˙ ), где q ∈ D ⊂ Rⁿ , q ˙ ∈ Rⁿ , и подчиненную идеальным голономным связям

Φ₁ (q,t ) = 0, ..., Φ_r (q,t ) = 0. (13.14)

Здесь мы разрешаем функциям Φ_j зависеть от времени. Для произвольных моментов времени t ₁ < t ₂ определим, как и раньше, действие S , полагая

t 2

Z

однако на деформации и вариации необходимо наложить дополнительные условия согласованности со связями. Объясню это подробнее.

Пусть q (t ) — истинное движение системы. Определим его деформацию q ˜ = q ˜(t, ε), сохраняя прежние условия и добавляя к ним лишь требование совместности со связями (13.14):

Φ₁ (q ˜(t, ε),t ) = 0, ..., Φ_r (q ˜(t, ε),t ) = 0 (13.17)

для всех t и малых ε. Напомню прежние требования к деформации q ˜(t, ε). Это должна быть гладкая вектор-функция от времени t (скажем, на некотором интервале, содержащем (t ₁ ,t ₂ )) и от ε в некоторой окрестности точки ε = 0 в R . При ε = 0 должно получаться истинное движение: q ˜(t, 0) = q (t ). Как обычно, в принципе Гамильтона начальное и конечное положения системы должны сохраняться:

q ˜(t ₁ , ε) = q (t ₁ ), q ˜(t ₂ , ε) = q (t ₂ ) (13.18)

для всех малых ε. Варьирование, вычисление вариации по-прежнему означает применение операции

(13.19)

Равенство (13.16), так же, как и раньше, приводит к соотношению

. (13.20)

Теперь, однако, оно выполняется не для всех вариаций δq , удовлетворяющих условиям , а лишь для вариаций δq , удовлетворяющих дополнительным условиям, получаемым варьированием связей (13.14). Дифференцируя равенства (13.17) по ε при ε = 0, получаем эти условия в виде

grad Φ_j (q,t ) · δq = 0, j = 1,...,r. (13.21)

Поскольку t ₁ и t ₂ произвольны, из (13.20) следует равенство

(13.22)

в каждый момент времени t . Равенства (13.21) говорят нам, что вариация δq ортогональна к подпространству Y , порождаемому векторами grad Φ_j ,

j = 1,...,r , а равенство (13.22) означает, что ортогонально к δq , а значит, лежит в подпространстве Y . Поскольку векторы grad Φ_j образуют базис в Y , имеем

grad Φ_j . (13.23)

Здесь скалярные функции λ_j (t ), называемые множителями Лагранжа, суть коэффициенты в разложении по базису левой части уравнения (13.23). Мы получили уравнение движения в форме уравнений Лагранжа 1-го рода. Их нужно решать совместно с уравнениями связей (13.14).

Задача Коши для уравнений Лагранжа 1-го рода состоит в том, чтобы найти решение системы (13.14), (13.23) с начальными условиями

. (13.24)

Здесь следует иметь в виду, что начальная скорость q ˙⁰ должна быть подчинена условиям, налагаемым связями (13.14). Эти условия мы получим, подставляя q (t ) в (13.14) и дифференцируя по t при t = t ₀ . Они имеют вид

. (13.25)

В частном случае натуральной системы с нулевой потенциальной энергией и кинетической энергией уравнения (13.23) совпадают с уравнениями (13.7). Уравнения 2-го рода, которые мы рассматривали раньше, получаются, когда нет связей. Сила принципа Гамильтона и вытекающих из него уравнений Лагранжа 2-го рода как раз в том и состоит, что их форма инвариантна, не зависит, по существу, от выбора координат. На практике, при переходе к новой системе координат, нужно лишь сделать соответствующую замену переменных в лагранжиане.

Замечу еще, что нередко нам удается исключить лишь часть наложенных на систему связей, так что может существовать много различных форм уравнений Лагранжа 1-го рода для движений одной и той же системы.

В заключение сформулируем принцип Гамильтона для систем со связями.

Для механической системы с лагранжианом L = L (q,q,t ˙ ), подчиненной идеальным голономным связям ( 13.14), действие по Гамильтону, определенное равенством ( 13.15), принимает экстремальное (при малых t ₂ − t ₁ — минимальное) значение для истинного движения, по сравнению с виртуальными движениями, подчиненными связям( 13.14)исохраняющиминачальноеиконечноеположениясистемы.

14. Принцип наименьшего действия Мопертюи

(Мопертюи–Эйлера–Лагранжа–Якоби)

Принцип Мопертюи, усовершенствованный Эйлером и Лагранжем и представленный в наиболее удобной форме Якоби, исторически был пер-

вым вариационным принципом механики. Как и принцип Гамильтона, он относится к классу интегральных вариационных принципов. Как и в случае принципа Гамильтона, речь в нем следует скорее вести об экстремуме, а минимум достигается лишь локально. Как и принцип Гамильтона, принцип Мопертюи благополучно пережил революцию в физике начала XX века. Пожалуй, он применяется реже, чем принцип Гамильтона. Вообще, скорее принцип Гамильтона, а не принцип Мопертюи, как полагал его автор, является всеобщим принципом физики. Оказалось, однако, что в теории относительности принцип Мопертюи, в отличие от принципа Гамильтона, способен описать движение фотонов — частиц нулевой массы покоя, движущихся со скоростью света. Хочется все же нарушить традицию, о которой писал Якоби (см. 10 с.), и попытаться дать ясное изложение этого принципа, который особенно тесно связывает классическую механику с дифференциальной геометрией и оптикой.

Здесь я ограничусь случаем натуральных механических систем. Будем рассматривать такую систему как материальную точку, движущуюся в евклидовом пространстве H = Rⁿ ; фактически последующие рассмотрения, по крайней мере, на формальном уровне переносятся и на системы с бесконечным числом степеней свободы. Кинетическая энергия натуральной системы выражается в виде

. (14.1)

Здесь M — положительно определенный оператор, оператор инерции данной системы. Если в H = Rⁿ зафиксировать естественный базис, то можно отождествлять линейные операторы с их матрицами и считать, что M = (m_ik )ⁿ _{i,k =1} . Тогда кинетическая энергия записывается в виде

. (14.2)

Вообще говоря, оператор M мог бы зависеть от x , как и матричные элементы m_ik . Нетрудно провести обобщение на случай M = M (x ), m_ik = m_ik (x ). Я, однако, предоставлю это читателю.

Будем также считать заданной потенциальную энергию V (x ). Тогда лагранжиан есть L = T − V , а H = T + V — полная энергия системы.

Поскольку в данном случае лагранжиан не зависит от времени, энергия H есть интеграл. Кажется естественным поэтому написать, что L = 2T −H , и ввести «укороченное действие» или действие по Мопертюи, полагая

t 2

Z

A = 2Tdt. (14.3)

t 1

Множитель 2, понятно, не существенен, но удобно его сохранить. Нужно еще уточнить выбор моментов времени t ₁ и t ₂ , что будет сделано ниже.

Пусть заданы точки x ¹ и x ² конфигурационного пространства H. Нас будут интересовать такие движения, то есть решения обобщенного уравнения второго закона Ньютона

Mx ¨ = −grad V (x ), (14.4)

которые начинаются в некоторый момент времени из положения x ¹ (с не определенной заранее скоростью) и в некоторый момент времени (тоже заранее не определенный) приводят систему в положение x ² . Объектом исследования являются однако, не движения сами по себе, а их траектории в конфигурационном пространстве H. Точнее говоря, это проекции фазовых траекторий в H² на конфигурационное пространство H. Может быть, нелишне напомнить, что фазовая траектория в H² есть “след движущейся точки” (x (t ),x ˙(t )) ∈ H² , а соответствующая траектория в конфигурационном пространстве — след движущейся точки x (t ) ∈ H.

Будем предполагать еще, что значение интеграла энергии h фиксировано:

T + V = h (14.5)

Далее будем рассматривать гладкие кривые в конфигурационном пространстве H, соединяющие точки x ¹ и x ² . Такая кривая есть отображение x : [θ₁ , θ₂ ] → H : _θ 7→ x (θ). Параметр θ изменяется на отрезке [θ₁ , θ₂ ], и при этом x (θ₁ ) = x ¹ и x (θ₂ ) = x ² .

Представим себе, что вдоль этой кривой происходит (виртуальное) движение, причем выполняется закон сохранения энергии (14.5). Кинетическая энергия виртуального движения принимает вид

. (14.6)

Из уравнений (14.5)–(14.6) выводим равенство

. (14.7)

Рис. 4

В знаменателе стоит x ⁰ = x ⁰ (θ(t )), штрих означает производную по θ.

Перед тем как извлекать квадратный корень, предположим, что параметр θ в виртуальном движении монотонно возрастает, так что _θ ˙(t ) > 0 для всех t . Тогда из (14.7) следует скалярное дифференциальное уравнение

_θ ˙ = Θ(θ), . (14.8)

Теперь перейдем в действии по Мопертюи (14.3) от интегрирования по t к интегрированию по θ. Будем считать, что θ(t ₁ ) = θ₁ , а θ(t ₂ ) = θ₂ . Заметим, что момент t ₁ можно выбирать произвольно, а момент t ₂ должен быть определен из условия θ(t ₂ ) = θ₂ , или x (θ(t ₂ )) = x ² . В результате интеграл (14.3) принимает вид

. (14.9)

Подведем первые итоги. Равенство (14.9) определяет функционал, заданный на кривых x : _θ 7→ x (θ) в конфигурационном пространстве H. Каждая такая кривая задана на сегменте [θ₁ , θ₂ ]. Можно было бы даже фиксировать этот отрезок и полагать, скажем, θ₁ = 0, θ₂ = 1. Функционал A называется действием по Мопертюи в форме Якоби . При переходе от выражения (14.3) к выражению (14.9) мы еще предполагали, что параметр θ в виртуальном движении изменяется со временем монотонно. Об этом предположении пока можно забыть, как и о самих виртуальных движениях. Мы о них еще вспомним, когда пойдет речь о восстановлении полной динамики в H² (решения уравнения (14.4)) по найденной траектории в конфигурационном пространстве H.

Очевидно, для того чтобы выражение (14.9) имело смысл, на всей кривой _θ 7→ x (θ) должно быть выполнено неравенство h − V (x (θ)) ≥ 0. Отсюда, в частности, следует, что в том случае, когда x ¹ — точка строгого, хотя бы локального, минимума потенциальной энергии V (x ) (в этом случае x ¹ — равновесие), должно быть выполнено условие h > V (x ¹ ). Если h < V (x ¹ ), то не существует кривых, на которых должен быть определен функционал A . Если же V (x ¹ ) = h , то виртуальное движение не сможет выйти из точки x ¹ . Аналогичное условие, конечно, должно выполняться и для точки x ² , когда x ² — равновесие: h > V (x ² ). Вообще же возникает довольно тонкая проблема достижимости точки x ² из точки x ¹ при заданной энергии h . Обсуждение этой проблемы пока что отложим; замечу лишь, что она тесно связана с теорией запаса устойчивости равновесия, развитой А.Д. Мышкисом (см. книгу [4] и имеющиеся там ссылки, а также статью [59]).

Теперь мы, наконец, готовы сформулировать принцип Мопертюи.

Принцип стационарного действия Мопертюи–Эйлера–Лагранжа–Якоби

В конфигурационном пространстве H среди всех возможных (виртуальных) траекторий с фиксированной энергией h, соединяющих две точки x ¹ и x ² из H, истинная траектория доставляет действию A экстремальное значение. Когда точки x ¹ и x ² достаточно близки, этот экстремум есть минимум.

Принцип есть принцип, и его, говоря формально, не нужно доказывать. Убедимся, однако, в том, что он вполне согласуется с принципом Гамильтона и вытекающим из него уравнением Лагранжа (14.4).

Изменим обозначение вариации с δ на ∆, чтобы подчеркнуть, что на сей раз деформация и вариация неизохронны — одним и тем же значениям параметра θ отвечают различные, вообще говоря, моменты времени в виртуальных движениях. Впрочем, в данном принципе вообще нет речи о времени. Определяется вариация ∆x как обычно. Сначала вводим деформацию x e(θ, ε) истинной траектории x (θ), причем считаем выполненными условие x (θ, 0) = x (θ) для всех θ и граничные условия x _e (θ₁ , ε) = x ¹ , _e

x e(θ₂ , ε) = x ² . Тогда ∆x (θ) есть, по определению,

. (14.10)

Вычисляя вариацию A , получаем

. (14.11)

Разумеется, в принципе Мопертюи неявно предполагается существование виртуальных траекторий с заданной энергией h , соединяющих точки x ¹ и x ² . Интегрирование по частям во втором слагаемом приводит к равенству

Варьирование краевых условий x e(θ₁ , ε) = x ¹ , x _e (θ₂ , ε) = x ² дает равенства ∆x (θ₁ ) = 0, ∆x (θ₂ ) = 0. Поэтому внеинтегральный член в (14.12) исчезает. Согласно принципу Мопертюи, для истинной траектории ∆A = 0 и поэтому выполняется равенство

. (14.13)

Стандартное для вариационного исчисления рассуждение, которое мы уже применяли при выводе уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона, дает теперь уравнение истинной траектории в виде

grad V (x ) = 0. (14.14)

Согласно терминологии вариационного исчисления, это уравнение называется уравнением Эйлера, отвечающим функционалу A . Пусть теперь x — решение уравнения движения (14.4). Предположим, что x = x (θ), θ₁ ≤ θ ≤ θ₂ — отвечающая ему траектория в конфигурационном пространстве.

Чтобы по известной траектории x (θ) восстановить движение x (t ), достаточно знать закон движения θ = θ(t ) вдоль траектории. Тогда x (t ) определяется равенством: x (t ) = x (θ(t )). Если энергия h , отвечающая данному движению x (t ) задана, то θ(t ) можно определить при помощи интеграла энергии (14.5). Если предположить, что параметр θ при движении возрастает, так что _θ ˙(t ) > 0, то для определения θ получается дифференциальное уравнение (14.8). Если в дифференциальном уравнении (14.4) сделать замену аргумента t на θ, положив x (t ) = x (θ(t )), то для x (θ) получим дифференциальное уравнение

+ grad V (x ) = 0. (14.15)

Мы использовали здесь очевидное соотношение . Уравнение (14.15) эквивалентно уравнению (14.14) при сделанном предположении, что Θ(θ) > 0 при всех _θ ∈ [θ₁ , θ₁ ].

Принцип Мопертюи и геодезические на многообразии

Кинетическая энергия, а точнее, оператор масс M , как мы уже видели, определяет новую евклидову метрику на пространстве H: скалярное произведение (ξ, η)_M = (M ξ, η). С точки зрения геометрии новое скалярное произведение определяет новый элемент длины ds по формуле

ds² = (Mdx,dx) = (dx,dx)_M . (14.16)

В геометрии правая часть носит название первойдифференциальнойформы . Форма (14.16) называется еще римановой метрикой , ее задание превращает H в риманово многообразие .

С использованием формулы (14.16), действие (14.9) можно записать в виде

(14.17)

Параметр s имеет смысл длины дуги траектории x = x (s ). Конечно, эта длина связывается с определением (14.16). Снова, как мы видим, геометрия определяется распределением масс. Значения s ₁ и s ₂ задаются условиями x (s ₁ ) = x ¹ , x (s ₂ ) = x ² .

Действие в общей форме (14.17) также приобретает смысл длины траектории, если ввести еще одну риманову метрику, полагая

dS² = 2(h − V (x))ds² . (14.18)

Правда, эта метрика может иметь особые точки.

Самый простой случай представится, когда V (x ) = 0. Действие A принимает тогда вид

(14.19)

√

и лишьнесущественныммножителем 2h отличаетсяотдлинытраектории, соединяющей точки x ¹ и x ² и вычисленной в соответствии с M-метрикой.

Требование, чтобы эта длина была минимальна, или хотя бы экстремальна (стационарна), вытекающее из принципа Мопертюи ∆A = 0, принимает форму

∆(s ₂ − s ₁ ) = 0. (14.20)

В геометрии это равенство служит определением геодезической (линии). Это важный результат. Оказывается, классическая механика консервативных систем тождественна римановой дифференциальной геометрии.

Замечу, что и в общем случае действие по Мопертюи имеет смысл длины траектории, но вычисляемой согласно метрике (14.18).

Вернемся к исходному определению (14.3) действия по Мопертюи. В рассматриваемом сейчас случае, когда V = 0, кинетическая энергия T есть интеграл, так что T = h = const . Действие приобретает вид

t 2

Z

Это принцип Ферма: среди виртуальных траекторий, соединяющих точки x ¹ и x ² , так что x (t ₁ ) = x ¹ , x (t ₂ ) = x ² , истинная траектория выделяется требованием, чтобы время достижения конечной точки было минимально.

Пьер Ферма (1601–1665) сформулировал его в оптике в более общем случае неоднородной среды.

• П. Ферма — юрист и по совместительству великий математик, знал интегрирование и дифференцирование до Ньютона и Лейбница, а декартовы координаты и уравнения прямых, плоскостей и поверхностей второго порядка — до Декарта. Он научился находить максимумы и минимумы функций (помните теорему Ферма?). Весьма значительный вклад внес Ферма в физику, а также в теорию чисел. Многие открытые и доказанные им теоремы являются классическими. Знаменитая великая теорема Ферма (до сих пор неизвестно, доказал ли ее он сам) была предметом упорной и безрезультатной работы многих математиков в течение трех столетий, пока ее, наконец, завершая усилия многих ученых, не доказал английский математик Эндрью Уайлс (1995).

Преломление света. Закон Снеллиуса

Хотя еще Птолемей в II в. н. э. сделал довольно точные измерения углов падения и преломления луча света, проходящего через поверхность раздела между водой и воздухом, закон преломления света был открыт лишь в XVII веке Снеллиусом (1615) и носит его имя.

Голландский профессор Виллеброрд Снелл (1580–1626) не публиковал своих работ. Их разыскал Рене Декарт и опубликовал в 1637 году. Декарт предложил качественное и довольно туманное объяснение закона. Сейчас мы увидим, что закон Снеллиуса следует из принципа Ферма, который его впервые обосновал.

Предположим, что луч света выходит из точки A , преломляется в поверхности раздела двух сред и попадает в точку B , см. Рис. 5. Предположим, что в среде I скорость света есть v ₁ , а v ₂ — скорость света в среде II. Задача состоит в том, чтобы найти угол преломления β, если задан угол падения α.

Применим принцип наименьшего времени Ферма. Если путь, пройденный лучом от A до точки преломления O есть ` <sub>1</sub> , а его путь от точки O до B есть ` ₂ , то время t , за которое луч проходит весь путь от A до B , определяется равенством

. (14.23)

Примем границу раздела за ось x , а точку преломления за начало декартовых координат. Пусть координаты точки A суть (−a, −h ), а точки B — (b,k ). Тогда справедливы соотношения:

r B

I

A

Точки A и B фиксированы, так что величины h и k заданы. Имеем равенства:

. (14.25)

С другой стороны, точка O не определена, как и величины a и b , лишь сумма a + b известна заранее. Справедливо равенство

` <sub>1</sub> sinα + ` ₂ sinβ = a + b. (14.26)

Подстановка выражений (14.25) в это равенство дает соотношение

h tgα + k tgβ = a + b. (14.27)

Подстановка (14.25) в (14.23) дает выражение времени прохождения луча через углы α и β:

. (14.28)

Теперь нам нужно решить задачу об условном минимуме функции t = t (α, β) с условием связи (14.27). Варьирование дает соотношение:

. (14.29)

Варьирование уравнения связи (14.27) приводит к равенству

. (14.30)

Согласно принципу Ферма, δt = 0. С учетом формул (14.29), (14.30) отсюда выводим

. (14.31)

Это и есть закон Снеллиуса с конкретизацией правой части; сам Снеллиус нашел это соотношение экспериментально.

15. Применение принципа Гамильтона в механике сплошной среды

Принцип Гамильтона применим и к системам с бесконечным числом степеней свободы, каковыми являются сплошные среды — жидкости, газы, деформируемые твердые тела. Он также применим к различным физическим полям, например, к электромагнитному полю, в некотором формальном смысле это превращает электродинамику , а точнее — некоторую ее существенную часть, в раздел механики. Замечу, что уже при рассмотрении уравнения обобщенного второго закона Ньютона (11.18) размерность конфигурационного пространства не играла сколько-нибудь серьезной роли, наш вывод был по сути «безразмерным». Для физических теорий, однако, характерно, что лагранжианы, потенциальная энергия, кинетическая энергия, работа внешних сил и т.д. выражаются в виде интегралов по области, занятой сплошной средой. Введенные ранее понятия производной функционала и градиента функционала приобретают новые специфические черты, возникает интересное и важное понятие функциональной производной , которое ввел впервые Вито Вольтерра.

В этом разделе мы сначала в качестве примера выведем волновое уравнение из принципа Гамильтона. Уже в этом случае мы увидим дополнительную выгоду использования принципа Гамильтона в механике и физике сплошных сред: он не только приводит к уравнениям движения, но дает также вывод некоторых краевых условий. Такие краевые условия называются естественными. Обычно они возникают на разного рода свободных границах — свободных от внешних воздействий. Затем мы рассмотрим некоторые обобщения вместе с понятием функциональной производной. Завершается этот раздел рассмотрением конечномерных аппроксимаций бесконечномерных систем и важной роли принципа Гамильтона в построении таких аппроксимаций.

Волновое уравнение

Волновое уравнение является, пожалуй, наиболее непосредственным обобщением уравнения второго закона Ньютона на сплошную среду. С формальной стороны оно даже является частным случаем этого уравнения в гильбертовом пространстве. Самый существенный новый момент состоит в появлении неограниченных операторов. Именно по этой причине в теории нелинейных волновых уравнений остается немало белых пятен. Здесь я ограничу изложение формальным выводом.

Рассмотрим нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных

, (15.1)

которое должно выполняться при x ∈ D , t ∈ R. Область D ⊂ R^m будем считать ограниченной, а ее границу ∂D — гладкой. Здесь c — положительная постоянная, а γ — неотрицательная, при γ = 0 уравнение становится линейным. Функция f (x,t ) считается заданной и достаточно регулярной.

Предположим, что граница ∂D состоит из двух поверхностей S ₁ и S ₂ , причем на S ₁ поставлено краевое условие первого рода, а на S ₂ — условие второго рода:

, . (15.2)

Здесь выбран довольно частный случай уравнения и краевых условий, чтобы на нем объяснить основные идеи. На самом деле, можно рассматривать гораздо более общие волновые уравнения и граничные условия, в частности, условия третьего рода, притом неоднородные.

Как известно, чтобы определить эволюцию, для уравнения второго порядка по времени нужно поставить пару начальных условий:

. (15.3)

Назовем u (x,t ) перемещением, а — скоростью, хотя в приложениях

∂t

u (x,t ) может иметь совсем другой физический смысл, в частности, электродинамический: например, напряженности электрического и магнитного полей удовлетворяют волновому уравнению, обычно линейному, но, возможно, и нелинейному.

Руководствуясь аналогией с уравнением второго закона Ньютона, введем следующие функционалы, которые будем называть соответственно кинетической и потенциальной энергиями:

(15.4)

(15.5)

Первое слагаемое в (15.5) есть внутренняя потенциальная энергия среды. Второе слагаемое описывает своего рода нелинейно-упругое взаимодействие данной сплошной среды с внешней средой, такого рода слагаемые возникают, например, когда рассматривается упругое тело на упругом основании, γ — соответствующий коэффициент жесткости. Наконец, последнее слагаемое в (15.5) есть потенциальная энергия, связанная с заданной внешней силой f .

Лагранжиан L определим равенством L = T − V , а действие по Гамильтону S — равенством (t ₂ > t ₁ , а в остальном t ₁ и t ₂ произвольны)

t 2

Z

S = Ldt. (15.6)

t 1

В более подробной записи

(15.7)

Давно пора уточнить определения конфигурационного и фазового пространств данной системы. Вопрос этот не очень прост. Ясно, конечно, что конфигурационное пространство должно состоять из функций, заданных в области D с некоторыми условиями регулярности внутри области, а также и при подходе к границе ∂D . Однако выяснение правильных ограничений на дифференциальные свойства функций u (x,t ) и в данном случае, и вообще всякий раз, когда мы имеем дело с уравнениями в частных производных, — достаточно деликатное дело, и, во всяком случае, здесь нет однозначного ответа.

Для одного и того же уравнения в частных производных можно поразному выбирать конфигурационное и фазовое пространства. Первую ориентировку в этом вопросе дают нам выражения (15.4) и (15.5) для кинетической и потенциальной энергий, а также выражение (15.7) для действия S. Разумеется, нужно потребовать, чтобы все интегралы в этих выражениях сходились. Кроме того, нужно подчинить функцию u , принадлежащую конфигурационному пространству, по крайней мере, некоторым из краевых условий. На первый взгляд кажется естественным потребовать, чтобы функция u (x,t ) имела все производные, входящие в дифференциальное уравнение, то есть была C ² -гладкой по x , t , а кроме того, удовлетворяла краевым условиям (15.2) в классическом смысле. Оказывается, однако, что такие классические решения начально-краевой задачи (15.1) – (15.3) далеко не всегда существуют, и далеко не всегда для них можно доказать единственность.

Будем пока считать, что конфигурационное пространство есть пространство С.Л.Соболева, состоящее из функций, имеющих первые обобщенные производные, интегрируемые с квадратом, то есть. Кроме того, предполагается, что эти функции удовлетворяют первому из краевых условий (15.2):

. (15.8)

Говоря точнее, пространство есть замыкание множества гладких (если угодно, C ^∞ -гладких) функций, определенных в области D и удовлетворяющих условию (15.8) по норме, порождаемой скалярным произведением

Z

(u ₁ ,u ₂ ) = ∇u ₁ (x ) · ∇u ₂ (x )dx. (15.9)

D

◦

Если функция непрерывна вплоть до границы, то она удовлетворяет условию (15.8) в обычном смысле. Вообще говоря, функции из

непрерывными не являются и краевое условие (15.8) удовлетворяется лишь в некотором обобщенном смысле [40].

Функцию u (x,t ) мы теперь представляем себе как вектор-функцию u (t )(x ) времени t со значениями в пространстве. Определение скалярного произведения (15.9) говорит нам, что есть гильбертово пространство. Нужно еще потребовать, чтобы функция u (x,t ) для каждого фиксированного t принадлежала L ₄ (D ); правда, при m ≤ 4 существование интеграла Z

u^m dx (15.10)

D

следует из существования интеграла ^R (∇u )² dx , согласно теореме вложе-

D

ния С.Л.Соболева.

Фазовым пространством будем считать декартово произведение

L ₂ (D ). Элементом этого пространства является пара функций (u (x ),v (x )), причем, последнее соответствует требованию, чтобы кинетическая энергия T была конечна.

Приходится сразу признать, что дальнейший вывод волнового уравнения из принципа Гамильтона невозможно провести, строго придерживаясь сформулированных минимальных предположений о регулярности функции u . В ходе этого вывода мы будем считать ее, скажем, C ^∞ -гладкой, хотя достаточно C ² -гладкости по x и t .

Возникающий здесь логический разлад носит принципиальный характер. Дальше я постараюсь объяснить, каким образом здесь наводится порядок. Оказывается, нужно уточнить и изменить само понятие решения уравнений в частных производных.

Внимательный читатель заметил, по-видимому, что мы «забыли» о втором краевом условии (15.2). Далее будет показано, что это условие не надо вводить заранее — оно является следствием принципа Гамильтона.

Итак, принцип Гамильтона требует, чтобы действие, определенное равенством (15.7), на истинном движении было экстремально:

δS = 0. (15.11)

Как обычно, вариация δu определяется как производная от деформации

, (15.12)

при этом деформация u ˜(x,t, ε) зависит от параметра деформации ε гладко, ε изменяется в некоторой окрестности нуля. Для всех малых ε и для любого t деформация есть достаточно гладкая функция от x, t , удовлетворяющая краевому условию первого рода

. (15.13)

Кроме того, должно выполняться равенство u ˜(x,t, 0) = u (x,t ) и, как обычно в принципе Гамильтона, должно быть выполнено «условие неподвижности концов»:

u ˜(x,t ₁ , ε) = u (x,t ₁ ), u ˜(x,t ₂ , ε) = u (x,t ₂ ) (15.14) при любом малом ε. Соответственно для вариации получаем

δu (x,t ₁ ) = 0, δu (x,t ₂ ) = 0. (15.15)

Замечу, что именно требование гладкости деформации как раз и вносит тот логический разлад, о котором я упоминал.

Дальше — формальные выкладки. Вычисляя вариацию, находим

t 2

Z Z

δS = (u_t δu_t − c ² ∇u · ∇δu − γu ³ δu + f δu )dxdt. (15.16) t 1 D

Посредством интегрирования по частям перебросим производные по t и по x_i с δu на соответствующие множители. Учитывая равенства (15.15) и краевое условие , следующее из (15.13), преобразуем (15.16), и, подставляя полученное выражение в (15.11), придем к равенству

Вариация δu исчезает при t = t ₁ и t = t ₂ . Можно, однако, считать, что она исчезает и в полуокрестностях этих точек на [t ₁ ,t ₂ ]. Тогда она теряет зависимость от t ₂ , и дифференцирование по t ₂ дает равенство

, (15.18)

которое должно выполняться в любой момент t (непосредственно получается в момент t ₂ , но он произволен).

На поверхности S ₂ вариация δu не обязана удовлетворять каким-либо краевым условиям. Если, однако, рассмотреть такие вариации, которые исчезают в окрестности границы ∂D , то мы избавимся от поверхностного интеграла в (15.18):

Z

Согласно лемме на стр. 71, из этого равенства следует, что для всех x ∈ D и t ∈ R выполняется уравнение

u_tt = c² ∆u − γu³ + f(x,t). (15.20)

Теперь вернемся к равенству (15.18) для произвольных допустимых вариаций δu . В силу (15.20) объемный интеграл исчезает, и получается равенство

. (15.21)

Еще раз повторю: δu на S ₂ можно выбирать произвольно, лишь бы существовала гладкая функция η(x ) такая, что . В предположении достаточной гладкости поверхности S ₂ и функции , такую функцию η, называемую продолжением функции δu на границе, построить можно. Теоремы о возможности таких продолжений известны [44, 27], хотя, к сожалению, не излагаются в курсе анализа.

Если положить в (15.21) , то получим

. (15.22)

а значит,. Мы вывели из принципа Гамильтона краевое условие на S ₂ . Такие краевые условия, которые первоначально не постулируются, но получаются из условия экстремума функционала, называются в вариационном исчислении естественными .

Обобщенные решения

При выводе волнового уравнения из принципа Гамильтона мы были вынуждены наложить на (неизвестное!) решение дополнительные и ниоткуда не вытекающие ограничения гладкости. Когда речь идет о динамических системах с конечным числом степеней свободы, тоже приходится налагать подобные условия. Однако там это не носит принципиального характера, поскольку, получив решение, удается доказать, что оно и в самом деле обладает нужной гладкостью (это делается с помощью известной леммы Дюбуа–Реймона в вариационном исчислении). Когда же речь идет об уравнениях в частных производных, вопрос о гладкости решения всегда принципиален. Классическое решение — такое, для которого и уравнение, и краевые и начальные условия выполняются в обычном смысле, — далеко не всегда существует. Для уравнений гиперболического типа, каковым является волновое уравнение, проблема существования классического решения сложна в принципе, поскольку возможно, что в условиях очень гладких данных (коэффициентов уравнения, границы области, граничных и начальных функций) решение оказывается нерегулярным — его производные, а то и оно само, претерпевают разного рода разрывы.

В современной математической физике само понятие решения начальнокраевой задачи существенно изменено по сравнению с классическим. Рассматриваются различного рода обобщенные решения . Один из наиболее оправданных физических подходов к определению обобщенного решения основывается на принципе Гамильтона. Принцип Гамильтона не менее, а даже более фундаментален, чем уравнения Лагранжа второго рода. Вместе с тем, формулировка принципа Гамильтона не требует дополнительных предположений о гладкости решения, нужны лишь такие предположения о регулярности, которые обеспечивают существование интегралов, входящих в определение действия.

В рассматриваемом случае начально-краевой задачи (15.1)–(15.3) определение обобщенного решения основывается фактически на равенстве (15.11): δS = 0, причем δS выражается формулой (15.16) посредством интегрирования по частям.

По своему существу принцип Гамильтона не связан с конкретными начальными условиями и в регулярном случае является эквивалентом уравнения движения. Примем и здесь такую точку зрения, сделаем лишь некоторые непринципиальные упрощения. Во-первых, договоримся всегда выбирать t ₁ = 0. Далее будем полагать t ₂ = τ > 0 и интересоваться решением на отрезке времени [0, τ]. При этом мы ничего не теряем, так как τ — произвольно фиксировано, а если отрезок [t ₁ ,t ₂ ] содержится в [0, τ], мы получим прежнее определение, попросту выбирая δu так, чтобы δu (x,t ) = 0 для всех t вне [t ₁ ,t ₂ ]. Наконец, вместо δu (x,t ) будем для краткости писать η(x,t ).

Теперь перейдем к строгому определению обобщенного решения.

Определение. Обобщенным решением начально-краевой задачи (15.1)– (15.3) на отрезке времени [0, τ] при любом положительном τ называется функция u (x,t ) такая, что выполнены следующие условия:

1) Для любого t ∈ [0, τ] существуют и равномерно ограничены интегралы

Z

, (∇u (x,t ))² dx ≤ C ₂ ,

^D (15.23)

где C ₁ , C ₂ , C ₃ — положительные константы.

2) Для любого t ∈ [0, τ] функция u (x,t ) удовлетворяет в обобщенном смысле краевому условию , а именно

3) (принцип Гамильтона) Выполняется интегральное равенство (тождество):

(15.24)

для любой гладкой функции η(x,t ) такой, что η(x, 0) = 0, η(x, τ) = 0, и выполнено краевое условие .

4) Функция u (x,t ) удовлетворяет начальным условиям в обобщенном смысле (в среднем) при t → +0

,

(15.25)

Несколько комментариев к этому определению. При выводе волнового уравнения из принципа Гамильтона мы фактически установили, что если обобщенное решение имеет непрерывные вторые производные по x и по t , то оно удовлетворяет волновому уравнению в обычном смысле. Если к тому же сама функция и ее нормальная производная допускают определение на границе ∂D посредством предельного перехода («по непрерыввности»), то и краевые условия выполняются в обычном смысле. Выходит, что функция, удовлетворяющая условиям данного определения, оказывается классическим решением начально-краевой задачи при одном лишь дополнительном условии достаточной гладкости. Именно это и дает нам право называть ее обобщенным решением .

Мы рассматривали решение u (x,t ) для положительных времен. В случае t < 0 все аналогично. Более того, замена t → −t приводит этот случай к предыдущему.

Нетрудно проверить, что из предположения о конечности интегралов (15.23) следует, что все интегралы в интегральном тождестве (15.24) сходятся. Относительно заданной функции f достаточно предположить, что она «не чересчур разрывна», например, интегрируема с квадратом по x, t .

В определении мы предположили, что функция η гладкая. При помощи предельного перехода можно убедиться, что это тождество остается в силе и для широкого класса разрывных функций η. Например достаточно, чтобы

∂ η ∂ η

производные и имели интегрируемые по x, t квадраты.

∂t ∂x_i

Важность применения обобщенных решений уравнений в частных производных была осознана лишь в середине прошлого века. Даже когда классическое решение существует, естественным этапом исследования оказывается доказательство существования обобщенного решения. Долгая и упорная работа математиков в этой области привела к наиболее глубоким результата в теории функций и функциональном анализе. К сожалению, здесь нет места остановиться на этом более подробно. Замечу, что одна из первых работ по обобщенным решениям волновых уравнений была выполнена И.И. Воровичем [8], который рассматривал сложные задачи о колебаниях упругих оболочек.

Функциональные производные

В том случае, когда функционалы заданы на гильбертовом пространстве функций, скажем, на пространстве L ₂ (D ), понятие градиента grad ϕ может быть существенным образом конкретизировано. Соответствующее определение строится по аналогии с понятиями дифференциала и частных производных гладкой функции f (x ), x ∈ Rⁿ . Как Вам хорошо известно, главная линейная часть приращения функции, когда ее аргумент x = (x ₁ ,...,x_n ) получает приращение (dx ₁ ,...,dx_n ), есть

. (15.26)

Это равенство может служить определением частной производной.

Пусть теперь Φ : L ₂ (D ) → R — функционал на гильбертовом пространстве L ₂ (D ), где D — область в Rⁿ . Допустимо рассматривать функционалы, заданные не на всем пространстве L ₂ , а лишь на некотором всюду плотном линейном многообразии, дальше будем считать, что вводимые нами функции принадлежат области определения D(Φ) функционала Φ. Пусть теперь u ∈ D(Φ), и εδu — приращение функции u . Рассмотрим приращение Φ(u +εδu )−Φ(u ) функционала Φ. Мы рассматриваем частный случай деформации — линейной по параметру ε. Тогда производная по ε при ε = 0 дает нам вариацию функционала Φ в точке u

. (15.27)

Предположим, что эта вариация может быть представлена в виде

Z

δΦ(u ) = A (x )δu (x )dx. (15.28)

D

Разумеется, функция A (x ) вполне может довольно сложным образом зависеть от функции u — от всех ее значений, а не только от значения в точке x . В этом случае скажем, что A (x ) есть функциональная производная функционала Φ по аргументу u (x ), и введем обозначение:

. (15.29)

Обычно это обозначение сокращают и пишут

. (15.30)

Чтобы лучше пояснить аналогию между формулой (15.26) для df (x ) и формулой (15.28) для δΦ(u ), замечу, что вектор x = (x ₁ ,...,x_n ) можно рассматривать как функцию x (k ), определенную для k ∈ {1,...,n }, при этом попросту x (k ) = x_k . С другой стороны, функцию u , заданную на D , можно трактовать как вектор, с бесконечным числом компонент, каждая из которых есть u_x = u (x ), точка x ∈ D играет роль индекса. Формула (15.28) получается из формулы (15.26) в результате замен: f → Φ, x → u ,

n

f (x ) → Φ(u ), и далее:. Кроме того, ко-

нечно, нужно сделать замены: df (x ) → δΦ(u ), dx_k → δu (x ). Проделайте все эти замены в формуле (15.26). Получится формула (15.28).