| Скачать .pdf |
Курсовая работа: Аддитивные проблемы теории чисел
.
Ł
1 ˇ ƺ ß Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º. 3
1.1 ˇ ƺ ´ Ł ª . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 ˇ ƺ ˆ º Æ ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 ( Œ Łª Ł æŒŁı æ . ( ¨. . ´Ł ª -
) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 ˇ ƺ Ł - ¸Ł º . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 ´Ł ª - ` Æ Ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Ł Ł ƺ ºŁ º Ø. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 ˇ ƺ ºŁ º Ø Ł ł . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5.1 ˆŁ —Ł . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 ß ł Ł ƺ Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º. 10
2.1 Œ ŁŁ Œ Ł øŁ Œ Ł . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 ß ł . ¨ææº Ł æ Œ ß æ . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.1 º Æ ª . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.2 — ł æ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 ˜Łæ æŁ ßØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 ˛æ ß ß ß. 15
Ł Ł ß Æº ß ŁŁ Łæ º XVII - XX .
´ Ł .
Ł Ł Ł Łæ º - º ŁŁ Łæ º, Œ Ł æ Ł
º ŁŁ ºßı Łæ º æº ª ß ª Ł , Œ ºª Æ Ł æŒŁ Ł ª Ł æŒŁ º ªŁ ŒŁı , æ øŁ æ Œ º ºª Æ Ł æŒŁı Łæ º Ł Œ æ Œ ł ŒŁ. Ł Ł ß æ Ł Ł ß Ł Ł. ˛Æß æ-
æ Ł æ Ł Ł ß Ł º ŁŁ Æ º łŁı Łæ º.
1 ˇ ƺ ß Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º.
| ˚ Œº ææŁ æŒŁ |
ƺ Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º æ æ : |
| 1. ˇ ƺ |
´ Ł ª (1770) æ º ŁŁ æ Œ ª º ª Łæº Ł |
| æ ß s = s (k ) |
Ł º ßı k − ı æ Ø æ ŁŒæŁ ß k > l ; |
| 2. ˇ ƺ |
ˆ º Æ ı æ º ŁŁ ßı º ßı Łæ º, Æ º łŁı 5, |
| æ Ø ı |
æ ßı Ł ƺ غ - ˆ º Æ ı æ º ŁŁ ßı Łæ º, |
| Æ º łŁı 2, æ |
Ø ı æ ßı ( æ º ß 1742); |
| ˛æº ƺ |
ƺ ˆ º Æ ı . ˇ ƺ æ º Ł º ßı Łæ º æ - |
| Ø ª Ł |
ª Łæº æ ßı; |
| 3. ˇ ƺ |
Ł - ¸Ł º æ º ŁŁ æ Œ ª º ª Łæº , Æ º ł ª 1, |
| Ł æ ß |
æ ª Ł ı Œ (æ ºŁ 20-ı ªª. 20 .); |
| 4. Ł Ł |
ƺ ºŁ º Ø; |
| 5. ˇ ƺ |
ºŁ º Ø Ł ł ; |
| 6. ˙ Ł |
æ º ŁŁ æ ı æ Æ º łŁı ßı Łæ º æ Ł ı |
| Łæ º æ ª Ł |
ß Łæº æ ßı æ Ł º Ø; |
| 7. ˙ Ł |
æ º ŁŁ ºßı Łæ º Œ Ł ß Ł Ł æ Ł ß - |
| ß Ł Ł º ªŁ ß Ł; Œ ªŁ Ł. ˜º ł Ł Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º Ł æ ºŁ Ł æŒŁ , ºª Æ- Ł æŒŁ , º ß Ł æ ł ß ß, Œ ß, æ ß - |
|
æ ßı æ Æ Ł ı. ´ ŁæŁ æ Ł ł Ł , Ł Ł ß Ł ı
æ æ Ø æ ªŁ ºß ŁŁ Łæ º - ºŁ Ł æŒ Ł Łæ º, ºª Æ Ł æŒ Ł Łæ º, æ Ł Łæ º. ææ Ł æ ß ß Ł Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º º æ Ł.
1.1 ˇ ƺ ´ Ł ª .
| ˇ ƺ ŁŁ Łæ º, æ ºŁ . ´ |
Ł ª (¯. Waring) 1770 ª. æº - |
|
| ø Ł : æ Œ º Łæº æ æ |
ß ı Œ , Ł Œ Æ , |
|
| Ł ßı æ Ø. ˜ ªŁ Ł æº |
Ł: |
º º Æ ª n > 2 æ ø æ - |
| Œ k = k (n ) , Łæ ø º Œ n , º Æ |
º Łæº æ æ A : n − |
|
| æ Ø Ł º ßı ºßı Łæ º. ˇ |
Æø |
ł Ł ƺ ß ´ Ł ª æ |
| ª Æ Ø Œ Ø ºŁ Ł ß k ŁæŁ æ Ł |
n |
1909 ª. ˜. ˆŁº Æ (D. |
| Hilbert), æ Ł æ ƺ ´ Ł ª Ł ª |
ß |
æ ƺ Ø ˆŁº Æ - ´ - |
| Ł ª . ¯æºŁ Jk,n (N ) Æ Ł Łæº ł Ł |
ŁØ |
ºßı Ł º ßı Łæº ı |
| ˆŁº Æ Ł º Æ N > 1. |
, æ ø æ K = k (n ), º Œ ª Jk,n (N ) > 1 |
|
| ´ 1928 ª. ˆ. X. |
Ł Ł ˜ |
. ¨. ¸Ł º (G. ˝. Hardy, J . ¯. Littlewood), Ł Ł |
Œ ƺ ´ Ł ª Œ ª Ø , Œ ºŁ, Ł k > (n − 2)2n −1 + 5 º Jk,n (N )
Ł æ æŁ Ł æŒ º Ł
Jk,n (N ) = AN k/n −1 + O (N k/n −1−γ )
ª A = A (N ) > c 0 > 0, c 0 Ł γ > 0 - Œ ß æ ß . º º , Ł
N > N 0 (n ) Łæı Ł Ł ł Ł . ´ æ Ł æ Ł º ŁŒºŁ
Ł ƺ ß: æ Ł Œ ı ºŁ Ł G (n ),g (n ),k 0 − Ł łŁı ºßı
Łæ º, º Œ ßı:
) Łæı Ł łŁ Ł k > G (n ) Ł N > N 0 (n );
Æ) Łæı Ł łŁ Ł k > g (n ) Ł N > 1;
) º ºŁ Ł ß Jk,n (N ) Ł k > k 0 (n ) Ł æ Ł … ßł æŁ ŁæŒ º .
) ¨ æ , G (n ) > n + 1
´ 1934 ª. ¨. . ´Ł ª Ł øŁ æ ª Ł Œ º, G (n ) 6
3n (lnn + 9)
˚ ª , Ł æ ª º æŁ º G (n ) º Æ º łŁı ŁØ n : G (4) = 16 (X. ˜ , ˝. Davenport, 1939), G (3) = 7 ( . ´. ¸Ł Œ, 1942).
Æ) ´ 1936 ª. ¸. ˜ŁŒæ . ˇŁºº (L. Dickson, S. Pillai), Ł Ł ´Ł ª -
, Œ ºŁ,
º æ ı n > 6, º Œ ßı
ˇ æº æº Ł Œ ˚. º (˚. Mahler) 1957 ª. º æ ı æ
Æ º łŁı n .
) ˝ Łº łŁØ º Ł º Ł ¨. . ´Ł ª , Œ ßØ Œ º,
k 0 6 4n 2 lnn.
º Œ º æ ƺ ß ´ Ł ª . ´. ¸Ł ŁŒ 1942 ª. ø æ ª ºŁ ßı Æ Æø ŁØ ƺ ß ´ Ł ª ( ß Æ ª
Œ æ æ º ßı Łæ º; æ º 
æ º ŁŁ Łæº n ææ Ł æ ª º ß f 1 (x 1 ),f 2 (x 2 ),...,fk (xk ); æ
Łæı ª Ł 
ææ Ł æ æ Ł Ł . .). ˛æ Æ Ł ƺ ß ´ Ł ª æ æ Ł , Ł ł ŁŁ æ ß ø ß ß ºŁ Ł æŒ Ø ŁŁ Łæ º.
1.2 ˇ ƺ ˆ º Æ ı .
˛ Ł Ł æ ßı ƺ ŁŁ Łæ º. ˙ Œº æ Œ º æ ª , æ Œ º Łæº , Æ º ł ŁºŁ ł æ Ł, Æß æ º Ł æ ß ı æ ßı Łæ º. ƺ ß Ł º 1742 ª. X. ˆ º Æ ı (Ch. Goldbach)
Łæ Œ ¸. غ (L. Euler). ´ ¸. غ Łº, º ł Ł ƺ ß æ Œ , Œ Łæº æ æ ı æ ßı. ´ Ł
ºª ª Ł º æ Ø Ł ŁŒ ŒŁı Ø Łææº Ł ƺ ß ˆ º Æ ı .
´ 1923 ª. ˆ. Ł Ł ˜ . ¸Ł º (G. Hardy, J. Littlewood) º æ Œ , æºŁ ß Œ ß ß ( Œ ß Ł ß ) æŁ º L˜Ł Łıº , æ Œ æ Æ º ł Łæº æ æ ı æ ßı Łæ º.
´ 1937 ª. ¨. . ´Ł ª æ º ßØ º æŒ Ø ŁŁ Łæ º Œ Łª Ł æŒŁı æ æ æ ß Ł Łæº Ł, æ ø Œ ª -
| Œ º æŁ Ł æŒ º º Œ ºŁ æ æ º ŁØ ª Łæº æ Ø ı æ ßı Łæ º. ¨ Ø ºß æº , Œ æ Æ º ł Łæº æ æ ı æ ßı Łæ º. - Ł Œ ØłŁı æ Ł ŁØ æ Ø ŁŒŁ. ¨. . ´Ł ª ºŁº łŁ Ł æ ø æ Æ º ÆøŁı . ˙ ÆŁ ŁŁ ª Łæº æ ı æ ßı ø ł . 1.2.1 ( Œ Łª Ł æŒŁı æ . ( ¨. . ´Ł ª ) ˛ Ł Ł æ ßı æŁº ßı Ł ÆøŁı ºŁ Ł æŒ Ø ŁŁ Łæ º Łª Ł æŒŁı æ Æߺ æ ¨. . ´Ł ª ß . ªŁ ƺ ß ºŁ Ł æŒ Ø ŁŁ Łæ º º æ ºŁ æ ߌ Œ ßı æ æº ª ßı Ł |
|
| cosF (x 1 ,...,xn ) + i sinF (x 1 ,...xn ), |
|
| ª F (x 1 ,...,xn ) Øæ |
Ł º º Łæº Œ Ł . ŒŁ Æ , |
| æ Ł Łı ƺ |
æŁ æ Ł Ł ŒŁı æ Ł, æ æ Ł, - |
| º Ł |
Æ º Ø ŒŁ º ŒŁı æ . ¨. . ´Ł ª , |
| Łæ º ªº Æ ŒŁ Ł |
Ł æŒŁ æ Øæ ææ Ł ßı æ , º Łº ŁæŒº - |
| Ł º æŁº ß ŒŁ |
º łŁ Œ ª Œº ææ ŒŁı æ . ºŁº |
| ´Ł ª º Ł |
º ß , ƺŁ ŒŁ Œ º ß º - |
| ß º æ |
ŁŁ Łæ º ŒŁı Œº ææŁ æŒŁı ı, Œ Œ ƺ |
| ´ Ł ª , ƺ ˆŁº Æ |
˚ Œ , ƺ Œ æ ´ غ . ˜ ªŁ æº æ Ł- |
| Œ Łª |
Ł æŒŁı æ Æߺ ł Ł Ł Ł ßı ƺ |
| æ æ ß Ł Łæº Ł Ł, |
æ æ Ł, ł Ł ƺ ß ˆ º Æ ı . |
| 1.3 ˇ ƺ |
Ł - ¸Ł º . |
| ˙ ı Ł æŁ |
Ł æŒ Ø ºß º Łæº Q (n ) ł ŁØ Ł |
p + x 2 + y 2 = n,
ª p - æ , x Ł - ºß , n - º Łæº . º ª Ø Ł º æ ƺ ı Ł æŁ ŁŒŁ º Łæº ł ŁØ Ł
p − x 2 − y 2 = l,
| ª l - ŁŒæŁ |
º |
Łæº , p 6 n (n → ∞). X. -¸. |
. Æߺ |
æ º ˆ. |
- |
| Ł (G. Hardy) Ł ˜ |
. ¸Ł º |
(J. Littlewood) 1923 Ł |
ææ |
Ł Ł æ |
|
| Łæ Ł æŒŁı Ł ªŁ |
Ł |
æŒŁı æ Æ ŁØ. |
|||
| ˜Łæ æŁ ßØ |
, |
Æ ßØ . ´. ¸Ł ŁŒ , |
ºŁº |
Ø Ł æŁ |
- |
| ŁŒ º ª |
Ł : |
,
ª
| ¨ |
º ªŁ Ø ºß º ª Ł æº Æ æŒ |
æ æ |
|
| æ ßı |
Łæ º Ł = x 2 + y 2 + l . ø Łæ æŁ ª |
Ø æŁ |
- |
| ŁŒ |
º Łæº ł ŁØ Æ Æø ª Ł Ł - ¸Ł º |
p + ϕ (x,y ) ª |
p |
| - æ . |
, ϕ (x,y ) - Ł Ł Ł º Ł º º |
Œ Ł |
|
| — ææ |
Ł º ªŁ ª Ł p − ϕ (x,y ) = l Ł Ł |
Œ Œ º æ |
|
| Æ æŒ |
æ Ł æ æ ßı Łæ º Ł p = ϕ (x,y ) + l |
||
| ´Ł ª - ` Æ Ł æ º ŁŁ æ ßı Łæ º Ł Ł æŒŁı |
|||
.
ª ææŁ ı æ Œ æ º ł Ł ƺ Ł - ¸Ł º , Œ Ł æŒŁ æłŁ ªŁ —Ł Ł Ł Æ º ł ª ł .
1.3.1 ´Ł ª - ` Æ Ł.
ˇ æ Ł Łæ º æ Œ Ł :
,
ª
ψ (y,k,l ) = X = X λ (n ).
n 6yn ≡lmodk
, æ ø æ æ ß c 1 > 0 Ł c 2 > 0 ŒŁ ,
,
√4
logx
ª k 0 < e = z 1 − º , º Œ ª æ ø æ Ł æ ßØ Ł Ł Ł ßØ
Øæ Ł º ßØ Ł Ł Ł ßØ ı Œ χk 0 Œ Ø, L (s,χk 0 ) Ł º Ł s =
| √ 11/ 18 −A ∆(Q,x ) 6 c (A )( xQ logx + x logx ) |
|||||||
| Ł º Æ A . 1.4 Ł Ł ƺ ºŁ º Ø. |
|||||||
| Ł Ł ƺ ºŁ ª Ł æ Ł : , |
º Ø - ƺ , Œº ø æ X τ k 1τ k 2(m + a ) m 6n X τk 1 τk 2 (n − m ), m<n |
ŁæŒ |
æŁ Ł |
æŒ - |
|||
| ª τk (m )− Œ ºŁ æ |
ºŁ ßı º ŁØ º ª Łæº |
k |
Ł |
º Ø, æ Ł |
Ł |
||
| Œ k 1 , Ł k 2 > 2− - |
º ß Łæº , a - ŁŒæŁ |
º |
Łæº , |
ºŁ - |
|||
| º , n - æ |
Æ º ł º Łæº . ´ |
æ |
æ Ł, τ 2 (m ) = τ (m ) - |
||||
| Łæº ºŁ º Ø º Łæº ŁØ |
m . ß ß , æ æ x 1 x 2 ...xk 2 − y 1 y 2 ...yk 1 = a, x 1 x 2 ...xk 1 − y 1 y 2 ...yk 2 = n. |
, Œ ºŁ æ |
ł ŁØ |
||||
| Ł Ł ƺ |
ºŁ º Ø Ł k 1 = 2 Ł º Æ |
º |
k 2 Æߺ |
ł æ |
|||
| ø Łæ æŁ ª |
. ´. ¸Ł ŁŒ . |
Æ |
ææ |
º . |
|||
| 1.5 ˇ ƺ ºŁ |
º Ø Ł ł . |
||||||
| ˇ ƺ ºŁ º Ø Ł |
ł : ?= - æ , ? = xy, x, y |
º ß ; |
|||||
| ˇ ƺ ßæŒ Ł æŁ Ł æŒ Ø ºß º Łæº ßı ŁØ Ł : p − xy = a,p < N, p + xy = N,p < N,x,y ∈ N ª p − æ Łæº a − ŁŒæŁ º . Æø - ŁæŒ æŁ ŁŒŁ º æ Ł : |
ł ŁØ |
º… - |
|||||
.
˛ æ Ł Ł ß ˙Łª º ß Œ ,
X
τ (p − 1), p<N
ª τ (p )− Łæº ºŁ º Ø n .
ˇ ƺ ºŁ º Ø Ł ł Æߺ æ º . Ł ł (¯. Titchmarsh, 1930) Ł ł Ł æº º ŁŁ æ ºŁ æ Ł æłŁ Ø ªŁ ß —Ł ( … ææ Ł Ł ) . ˜Łæ æŁ ßØ , Æ ßØ . ´. ¸Ł ŁŒ , º Ø Ł æŁ ŁŒ Łæº ł ŁØ º º… ª Ł :
| p −xy = a,p < N, Ł a = 1, `. . ` ŁıŁ |
łŁº |
º º Æ ª ŁŒæŁ - |
||
| ª a 6= 0. ` ª ε > 0. |
ŁıŁ Œ º æŁ |
Ł |
æŒ |
º æ æ Œ O (N/ (ln1+ε N )), |
| ´Ł |
ª - ` Æ Ł |
æ |
º ŁŁ |
æ ßı Łæ º Ł Ł æŒŁı |
| ª ææŁ ı |
æ Œ Ł Ł |
Π|
ł Ł |
ƺ ß ºŁ º Ø Ł ł . |
| ˇ Ł |
º Ł æ ºŁ |
æ Ł |
æłŁ |
Ø ªŁ ß —Ł æ |
| Œ Ł æŒŁ ). |
Ł Ł Æ º ł ª |
ł |
( Ł |
ß Æ ææ ß Ł |
| 1.5.1 ˆŁ |
—Ł . |
|||
| ˜º º |
æ Ł º Ł |
- Œ ŁŁ. ˜ - Œ Ł ζ (s )− - |
||
| ºŁ Ł æŒ |
Œ Ł Œ º Œæ ª |
ª s = σ + it, Ł σ > 1 º æ |
||
| Ææ º Ł |
æı øŁ æ |
˜Ł Łıº : |
||
| ˙ Ł |
- Œ ŁŁ |
, |
º |
Łæº |
ºŁ ßı ª ª |
||
| æ Łæº . |
: μ |
æ |
æ ß |
Łæº , |
ª Œº |
Ł ª æ ª |
|
| —Ł |
1859 ª. ßæŒ |
º |
º |
Ł |
æ |
Ł æ ßı |
Łæ º æ Re = 1/ 2 - |
| Œ ŁŁ, |
Œ º |
Łº, |
æ |
Øæ |
Ł |
º ß ºŁ |
- Œ ŁŁ æ º - |
| ß |
Ø Re = 1/ 2. |
||||||
| ¨ Œ, |
Œ Ł ζ (s ) |
º |
º æ ı Œ |
º Œæ ßı s 6= 1, Ł Ł ºŁ º Ł- |
|||
º ßı ºßı s
= −2,
−4,
−6...
¨ Œ Ł º ª Ł 
s
)ζ
(1 − s
), Ł ª ß Ł 
Ł s >
1 æº , æ æ º ß
ºŁ, ß ß Ł Ł º ß Ł¿, æ º ß º æ 0 6 s
6 1 æŁ Ł æŁ º Œ ß Ø "Œ Ł Ł æŒ Ø ºŁ ŁŁ"
R. ˆŁ —Ł , :
´æ Ł Ł º ß ºŁ - Œ ŁŁ Ł Øæ Ł º æ ,
.
| ˛Æ Æø… |
ªŁ —Ł |
æ æ |
Ł Ł ª æ ª |
Ł |
º Æ Æø - |
| ŁØ - |
Œ ŁØ, ß |
ßı L- |
Œ Ł Ł ˜Ł Łıº . |
||
| 2 æ º. |
ß ł |
Ł |
ƺ Ł Ł |
Ø |
ŁŁ Ł- |
| ˇ ß æŁæ |
Ł æŒŁ |
º ß |
Ł Ł Ø ŁŁ |
Łæ º ÆߺŁ |
º ß ¸ - |
| غ |
(1748), Π|
ßØ Łææº |
º æ ø æ |
ßı |
º Ł |
| ºßı Łæ º |
º Ł º |
ß æº ª |
ß , æ æ Ł, Ł Æߺ ææ |
||
| º ŁŁ |
Łæº |
Œ ºŁ |
æ æº ª ßı. |
||
2.1 Œ ŁŁ Œ Ł øŁ Œ Ł .
ªŁ Œº ææŁ æŒŁ Ł Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º ł æ Œ ŁŁ Œ Ł øŁ Œ Ł . æı Ł Œ ¸. غ Ł º Ł æ -
ºŁ Ł æŒŁı , Ł ßı ˆ. X. Ł (G. H. Hardy), ˜ . ¨. ¸Ł º (J. ¯.
Littlewood) Ł ¨. . ´Ł ª ß . ¨æı Ø º æ Ł æ æ º Ł ß æº º æ :
Ai
= {ai
},ai
> 0,a
∈ Z,i
= 1,
2,
3,...
æ ßı : æ Ł ø Ø Œ Ł Ø
,
ª r (n ) = rk ,A (n ) − Œ ºŁ æ æ º ŁØ Łæº Ł :
n = a 1 + a 2 + ... + ak ,ai ∈ Ai ,A = {A 1 A 2 ,... }.
ˇ Ł r (n ) ß Łæº æ Ł øŁ Ł ª º ˚ łŁ. ´ ´Ł ª æ ß ß æ Łª Ł æŒŁ Ł æ Ł:
| ¨ r (n ) ß º æ ªº |
æ , æ æ ø |
Ł Ł º , æ æ ßı |
| Œ æ æ Ł Œ ßı Ł |
º ßı Œ. ´ |
æ ºŁ Ł æŒŁı æ Øæ F (z ), - |
| Æ øŁı Ł Ł |
Ø ŁŁ Łæ º |
Ł º Ł ªŁ , º ªŁ ßı ªŁ- |
| —Ł , º |
º Ł ß Łæº |
ŁŁ r(n) Łª Łæ Ł Ł æŒŁ |
| ŒŁ Łª Ł . æ |
´Ł ª |
Ł Œ ß æ º Ł æ ßı |
| Łæ º Ł Ł æŒŁı ª |
ææŁ ı, º |
ß æ ß Ł Ł - |
| ŁŁ L- Œ ŁØ ˜Ł Łıº . æ |
ºŁ æ , |
ŁæŁ æ Ł k ºŁÆ r (n ) 6= 0 º |
| æ ı n > 1, ºŁÆ r (n ) 6= 0 º |
æ Æ º łŁı n n > n 0 (A ), ºŁÆ Ł º æ ı |
|
ß º æ æ ł Ł r (n ) 6= 0, . .
,
| ŁºŁ, Œ , º r (n ) Ł æ æŁ Ł |
æŒ |
º . ˝ Ł |
ł Łæº k, º - |
| ø Ł Łæº ßı æº |
ŁØ, Æ |
æ æ |
æ g (A ), G (A ), |
| G 0 (A ), k 0 (A ). ´ æº {ai } = {p }, ª {p }− |
æº |
º æ |
æ ßı Łæ º, Ł k = |
| 3 º æ ´Ł ª : æ Œ |
æ |
Æ º ł |
Łæº |
Æß æ º Ł æ ß ı æ ßı Łæ º; Ł k = 2 - Œ : Ł æ ß Łæº ª Æß æ º ß Ł æ ß ı æ ßı Łæ º.
2.2 ß ł . ¨ææº Ł æ Œ ß æ .
˝ Œ ß Ł Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º ł æ Ł øŁ Łææº Ł æ Œß æ , º øŁıæ º æ Ł Ł æº º æ Ø Ai ai ,
ßı ºŁł Łı º æ Ł
,
ª Ai
(n
) = P
16
ai
6
n
1.
¨ º Ł º æ Ł dn
(Ai
) Ł A
1
= A
2
= ...
= Ak
= A
æº , g
(A
) <
∞. ˇ Ł Ł ª
Œ Œ Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º, Œ ßı æ Ł æ æº º æ Ł º Ø º æ Ł, æ ø æ º æ Œ æ Ł Ł Ł ßı æº -
º æ Ø ßı æº º æ Ø æ º Ł º Ø º æ . ´ ø º
Ł Łª ß ł , æ ø Œ ßı Œ ß æ º Ł º æ
d (Ai ). ŒŁ æ æ Æ ¸. ˆ. Ł º Œ æ Ł æ Ł -
º ßı Łæ º Ł æ ß ª Ł ª Łæº æ ßı æº ª ßı, . ´. ¸Ł ŁŒ
Ø º ł Ł ƺ ß ´ Ł ª .
º ß ß ł , Ł º øŁ ´. ´ Ł . º Æ ª , Ł
Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º Œ º , æ ß Œ æ ß
ºŁ Ł æŒŁ æ æ . ˛ Œ ŁÆ º Œ ß ł Ł Œ ßı Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º º æ Œ ÆŁ Ł Ł ºŁ Ł æŒŁı Ł º ßı . ´ ı ł Ł Ł ßæ Ł Ł æ ßı Łæ º Ł º ª
( ł æ ) æ æ æ æ Œ æ Ł æº º æ Ø. Œ, ßæ Ł Ł æ º Ø æ Ł æº º æ Ø {m} Ł
{2n - m} æ ßı Łæ º, 6 nθ 1 Ł, æ æ 6 nθ 2 ª (θ 1 < 1 Ł θ 2 < 1 º øŁ
Æ ßÆ ß º Ł º ß Œ æ ß), Ł Ł Œ ł Ł Œ ß Ø
Œ Ł ƺ ß ˆ º Æ ı - غ æ º ŁŁ ª Łæº æ Ø ı Łæ º, Ł Œ ßı Ł Æ º k 1 , ª - Æ º k 2 æ ßı Ł º Ø.
2.2.1 º Æ ª .
º Æ ª - æ Ł º ßØ Ł æ Ł æ º ßØ ł -
, æ ßØ º º Æ ª . — ł º Æ ª º ı ł Ł æ ı æ Ł ø Œ Ł S (;,z ), Æ ø Œ ºŁ æ º Œ ª -
æ A ºßı Łæ º, Œ ß º æ æ ß Łæº p < z Ł Ł º Œ æ P æ ßı Łæ º.
ˇ æ P (z ) = Qp<z,p ∈P p. º Æ ª æ Ł æ
,
Œ Ł l 1 = 1 º Ł º ßı Øæ Ł º ßı Łæ º. ¨ º Æ -
ª æ æ Ł , Æß, º Ł ld = 0 º d > z , Ł Ł Ł Ł æ æ º ø ª ßÆ æ łŁıæ Łæ º λd (2 6 d < z ).
´ Œ ÆŁ ŁŁ æ ªŁ Ł Ł ł ł º Æ ª º º
ŒŁ æ Ł , æ Æ æŁº ß Ł Łæ º ŁŁ æ ßı Œ ŁØ.
2.2.2 — ł æ .
— ł æ - , Æ ßØ æ (3 . . .) Ł º øŁØ æ Ł æ æ ß Łæº Ł º ª . ø æ æ
Œº æ æº ø . ˙ ŒŁ æ Ł Ł . Łæº 2 - æ . ˙ ŒŁ æ æ º ß Łæº , º øŁ æ 2. Łæº 3 - Œ Łæº - Æ æ ß . ˜ º ŒŁ æ æ º ß Łæº , Œ- ß º æ Ł
2 Ł 3. Łæº 5 - Œ Łæº - Æ æ ß . ˇ º º -
ªŁ ß ß Łæº Ł , Ø Ł æŒ º ª Æ º ł Ø Œ æº º æ Ł æ ßı Łæ º. — ł æ łº Ł Ł ªŁı Æ º æŁº ßı ı ł ( Ł ł ´ ).
2.3 ˜Łæ æŁ ßØ .
´ 1959 . ´. ¸Ł ŁŒ Æߺ Æ ˜Łæ æŁ ßØ . ˛ Ł Ł ŁŁ Łæ º º ł Ł Œ ßı ÆŁ ßı ŁØ (ÆŁ ßı Ł Ł ßı ƺ
) Ł
α + β = n,
ª α Ł β Ł º Œ æ ª æ ß Ł ı ł æ º ß Ł Ł æŒŁı ª ææŁ ı æº º æ º ßı Łæ º. ˜Łæ æŁ ßØ , æ Ł æ Æ º ß ŁŒ - æ ß Ł ( æ æ Ł, -
Ł Łæ æŁŁ Ł æ Ł Æßł ) æ ºŁ Ł æŒŁ Ł Ł ºª Æ Ł æŒŁ Ł
Ł Ł ¨. . ´Ł ª Ł . ´ غ (A. Weil). ø æ æ æ Ł æº -
ø . ¨æı ÆŁ Ł æ Ł æ Œ Ł Ł :
υD 0 + β = n ;
æ υ,D ŁæŁ Æ ª Œ ß Ł Ł ª º Ø Æº æ Ł ª υ Ł D - Œ ß Ł ºß; Ł Łæº υ - æ ß , D ª Æß º ß ºŁ ß º Ł º ß æº Ł . ˇ æ F Æ Łæº ł ŁØ ª Ł . ª º Ł Ł :
υD + β = n
Ł Ł º D ∈ (D ), Ł (n,D ) Æ Łæº ª ł ŁØ, Ø ßı
Ł Œ ŒŁı-ºŁÆ Łæ Ł æŒŁı æ Æ ŁØ. ª ªŁ Ł æŒŁ Łæº Ł ßı ł ŁØ Ł Łæß æ Ł :
.
˛ Œ æ Ł F − S = V Ł Ł :
V = X ( X 1 − A (n,D 0 )).
D 0 ∈(D ) υD 0 +β =n
ˇ Ł Ł æ ˚ łŁ Ł Ł Œ æ :
V 2 6 D 0V 0,
ª D 0 - ºŁ Ł º (D ),
V 0 = X ( X 1 − A (n,D 0 ))2 −
D 0 ∈(D ) υD 0 +β =n
æ Łæ æŁ Łæº ł ŁØ Ł υD 0 + β = n
| ¯æºŁ |
æ æ |
Ł |
æ |
Ł |
Ł |
æº |
ŁŁ |
æ ı D ∈ (D ), |
|
| Æ æ |
ß æ |
º Ł |
º |
ß |
æº Ł , |
º |
ß |
D 0 . ´ |
ºŁ Ł |
Łæ æŁŁ º Œ æ Ł. ˇ
ß Σ1 , Σ2 Ł Σ3 Œ ßı æº ı æ ß ŁæºŁ æŁ Ł æŒŁ. ˆº -
| æ æ º ß Łæº Ł Σ1 - æ Ø æ ß ˜Łæ æŁ ª . æŁ Ł æŒŁØ æ æ ß Σ1 æ ø æ º æ Ł øŁ ´Ł ª æ º Œ ßı Œ ŁØ Œ ºŁ æ Łı Æ ßı æ Ø, øŁı ßØ æ ª , Œ æ Łæ º Ł ØłŁı Œ Łª Ł æŒŁı æ , º ßı æ æ Ł ºª Æ Ł æŒ Ø ª ŁŁ. æŁ ŁŒ º æ Σ2 Ł Σ3 ı Ł æ º ª æ Ł Ł . ¯æºŁ, º , Łæ æŁ Œ ßæ æºŁłŒ Æ º ł Ø, º æ æŁ ŁŒ º Łæº ł ŁØ Ł |
||||
| υD 0 +β = n . ˛Æœ Ł Ł Łæº ł ŁØ æ ı |
ŁØ Ł υD 0 +β = n Ł Ł Œ |
|||
| æŁ Ł æŒ Ø º º Łæº ł ŁØ |
Ł α + β = n . |
|||
| — ææ ßØ Ł Ł Ł º ł Ł º Łæº , ºŁ º . |
ŁØ Ł α − β = l, ª l - |
|||
| ˇ Ł øŁ Łæ æŁ ª Æߺ ł |
Œº ææŁ æŒŁı ÆŁ ßı Ł- |
|||
| Ł ßı ƺ , Œ ß æ Ł Łæ æŁ ª |
ªºŁ Æß ł ß º - |
|||
| Œ æ Łæ Ł æŒŁı ŁºŁ ªŁ Ł æŒŁı æ Æ |
ŁØ. ˚ Łæº ƺ , ł… - |
|||
| ßı æ ø ª , æ æ : Ł Ł ºŁ º Ø Ł ł , ƺ Ł-¸Ł º . |
ƺ ºŁ º Ø, ƺ |
|||
| ˛Æº æ Ł Ł Łæ æŁ ª Æ º ł ª ł . ´. ¸Ł ŁŒ . |
æ Œ æ æ ƺ æ Ł Ł |
|||
| 3 ˛æ ß ß ß. |
||||
| ˜º ł Ł Ł Ł ßı ƺ Ł æ ºŁ Ł æŒŁ , |
ºª Æ Ł |
æŒŁ , º - |
||
| ß Ł æ ł ß ß. ˙ Ł º æ Ł Ł ßı æ Œ Œº ææ : ) ß Ł Ł ß Æº ß Ł n = α + β + γ |
ƺ |
Æß |
||
| Ł º Œ æ ª æ ß Ł ı ł æ º ß |
Ł Ł |
æŒŁı |
- |
|
| ª ææŁ ı æº º æ ºßı Łæ º, γ Ł º Ł æº |
º |
æ Ł, |
||
| Æß Ł Œ Ø, æ ı łŁ Ł Œ ßı, æ æ Ł æŒŁı æ . Æ) `Ł ß Ł Ł ß Æº ß Ł n = α + β æ Ł æº Ł Ł º α Ł β Ł Œ ). |
øŁı Ø, |
Łª |
- |
|
| Ł æ º ß æ æ ł Ł ßı Ł Ł ßı |
ƺ º |
æ |
- |
|
| Æ º łŁı n º æ ÆøŁØ ºŁ Ł æŒŁØ Ł - ¸Ł º |
- ´Ł |
ª |
||
| Łª Ł æŒŁı æ ( Œ 1.2.1 æŒŁı æ ). |
Œ Łª |
Ł |
- |
|
| `Ł ß Ł Ł ß Æº ß Æß ª Æß ł |
ß Ł Ł Ł. |
|||
| ˜º ł Ł ŒŁı Ł Ł ßı ƺ Ł æ ºŁ ß Ł ß º - ª ł ( Œ 2.2 ß ł . ¨ææº Ł æ Œ ß æ ). ˛æ - Æ æŁº ß º ß º æ Ł øŁ Æ º ł ª ł Ł Łæ æŁ ª |
||||
. ´. ¸Ł ŁŒ .
Ł Ł ß Æº ß Ł æ º Ł ºßı Łæ º Œ Ł ß Ł Ł æ Ł ß ß Ł Œ º æ ÆŁ ß Ł. ˛ Ł Łææº æ æ Æ ß Ł Ł ŁŒ - ª Ł æŒŁ Ł Ł ŁŁ Œ Ł ßı .
¸Ł
1. http://dic.academic.ru - Ł æŒ ŁŒº Ł .
2. www.mathnet.ru/rus - æ Ø " Ł æŒŁ ŒŁ".
3. ˝. . Ł , "˛ ´Ł ª ` Æ Ł", Ł æŒŁ ŒŁ, .38,
6 (1985).
4. . . ˙ ŒŁ , "ˇ ƺ ´ Ł ª º æ Œ º Ł º ßı Łæ º", -
Ł æŒŁ ŒŁ, .54, 5 (1993).
| 5. . ˚. ˚ łŁ , . ´. Œ º æŒŁØ "˛Æ Æø… Ł æŒŁ ŒŁ, .3, 2 (1968). 6. http://mirslovarei.com - æ Ø " Ł æº Ø". |
ƺ |
ºŁ º Ø Ł |
ł ", |
| 7. ˝. . Ł , . `. Ł "ˇ ƺ |
Ł ł |
æ Łæº Ł, Ł |
øŁ Ł |
| Łæº ºŁ º Ø", Ł æŒŁ |
ŒŁ, .59, |
4 (1996). |