Реферат: Решение системы линейных уравнений методом Крамера и с помощью расширенной матрицы

1 Нелинейные уравнения

Рассматривается задача нахождения значений переменной x = x_*, для которых справедливо равенство

f(x) = 0. (1)

В этом уравнениии f(x) - некоторая нелинейная функция x.

Если такие значения существуют, то они называются корнями уравнения (1). Корень называется простым, если и кратным, если для k = 1,..., n - 1, а . Целое n назывется кратностью корня.

1.1 Отделение корней

Под отделением корней уравнения (1) понимают определение достаточно узкого интервала (a, b) , в котором лежит корень уравнения. Основой отделения корней служит Теорема ¹ (Первая теорема Больцано-Коши). Пусть функция определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a, b] , на концах которого она принимает значения разных знаков. Тогда между a и b найдется хотя бы одна точка c , в которой функция обращается в нуль: f ( c ) = 0 , a < c < b. Если функция f ( x ) монотонна в этом интервале, то внутри его лежит только один корень уравнения f ( x ) = 0 . Алгоритм отделения можно реализовать следующим образом

1.2 Метод бисекций

Метод бисекций(метод деления пополам) основан на следующем итерационном процессе: интервал a, b , на котором делится пополам - и вычисляется . Если , то Далее выполняется следующий шаг, и т.д. На i-м шаге приближенным значением корня служит полусумма (a + b)/2, оценкой погрешности - полуразность (b - a)/2. Метод бисекций можно описать следующим алгоритмом (В приводимых ниже алгоритмах используется только одна серия итераций. Нужно их модифицировать, используя структуры из файла it_gen.pdf)

1.3 Метод хорд

Метод бисекций и метод хорд нельзя использовать в многомерном случае!

1.4 Метод установления

Это уравнение должно обладать устойчивым предельным стационарным состоянием, чтобы при . Тогда приближенное решение уравнениия (2) с помощью устойчивого численного метода дает (для достаточно больших t) хорошее приближение к решению (1). Простейшим алгоритмом будет метод Эйлера, являющийся вариантом метода простой итерации

Для погрешности получается следующее уравнение Представив , получим соотношение

обеспечивает сходимость метода установления.

1.5 Метод Ньютона

Метод Ньютона для уравнения (1) записывается в виде

Определение:

говорят, что функция , если для всех .

Теорема (о сходимости метода Ньютона). Пусть где D - открытый интервал , а R - вещественная ось, и пусть . Предположим, что для некоторого при всех . Если уравнение f(x) = 0 имеет решение, то существует некоторое , такое, что если , то последовательность, задаваемая формулой

существует и сходится к x_*. Более того, для

Замечание 1. Как следует из теоремы, при сходимость квадратичная. Если же , то только линейная.

Замечание 2. Для сходимости метода Ньютона начальное приближение x⁰ должно быть достаточно близко к корню. Если же расстояние велико, то метод Ньютона может вообще не сходиться.

Метод Ньютона можно реализовать следующим алгоритмом

Рис. 1: Разбиение плоскости параметров уравнения

1.6 Тестовое уравнение

1. В качестве 1-го тестового используется уравнение

В зависимости от значений параметров a, b это уравнение может иметь m = 0,1,2,4 корня. Для исследования знака 1-й производной функции f(x) полезно находить корни уравнения

На рисунке 1 показано разбиение плоскости параметров a, b на подобласти с различным числом корней уравнения (5). 2. В качестве 2-го тестового используется уравнение

Это уравнение имеет единственный корень бесконечной кратности (). Первая производная для x < 1 и для x > 1 .

1.7 Компьютерные эксперименты

1. Для функции уравнения (5) с параметрами a = 1.15, b = 1.25 найти границы корней. Для функции уравнения (6) с параметром b = 1.25 найти границы корней и ее знаки на всей вещественной оси.

Контрольная информация:

Функция f(x): корни(приближенно)

Функция : знаки и корни

2. Описанными выше методами(бисекций, хорд, установления, Ньютона) для значений найти корни функции (5) со значениями a = 1.15, b = 1.25. Для этих корней составить таблицы зависимости числа итераций от .

3. Методом установления попытаться найти корень функции (5), беря значения параметра , для которых нет сходимости. Каким образом проявляется расходимость итерационного процесса ?

4. Метод Ньютона: в случае корня кратности 2 метод Ньютона сходится линейно,т.е.существенно медленнее, чем в случае простого корня. Проверить, будет ли модифицированный метод Ньютона

иметь для корня кратности 2 ту же скорость сходимости, что и стандартный метод для простого корня. Для проверки использовать уравнение

Для значения найти корень этого уравнения простым и модифицированным методом Ньютона. Сравнить число итераций.