Книга: Короткий курс теорії функції Зільберта

Министерство Образования и Науки Украины

Харьковский национальный университет

А.А. Тензор, В.В. Невязкин

Краткий курс теории функции Зильберта

(на русском и украинском языках)

ТОМ 1

Харьков 2007

DFGKJH5676

Издание первое и последнее

© 2007 А.А. Тензор, В.В. Невязкин кафедра теории функции Зильберта

ОГЛАВЛЕНИЕ :

МАТАНАЛІЗ

Теорема (Зільберта-Штольца)

Функція Зiльберта З(x ) має в околі точки x похідні до (n –1) порядку включно.

Доведення (від приємного ) . Припустимо, що З(x ) має похідні до (n +8) порядку включно. Це дурниця.

Теорема (Штрассермана)

Функція Штрассермана ШТР(x,з,ю) розкладається в ряд Тейлора з залишковим членом у вигляді функції Зільберта З(x ).

Доведення . Оскільки Функція Штрассермана досить приємна на вигляд, ми можемо записати нерівність:

ШТР(х,з,ю)

Отримали суперечність. Теорему доведено.

Зауваження 1 . Ви спитаєте, при чому у попередній теоремі функція Зільберта? Відповідаємо – просто так!

Зауваження 2 . Значення функції ШТР(π,з,ю) покладемо рівним πˆ (пі з дахом):

ШТР(π, ,з ю) ≡πˆ .

Якщо це не так, доповнимо інтеграл Пуассона порожніми брусами. Це корисна вправа.

Означення . Функція Штрассермана ШТР(x,з,ю), що діє на функцію Зільберта З(x ), називається оператором блабла ∇.

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

Твердження

Якщо ранг матриці Якобі J

дорівнює –1, та у тому випадку, коли власні вектори ортонормованого базису кореневого підпростору Зільберта

<α,β, ,γσ,...,χ₁ ,ω,ψ>

не усі нулі, можна записати тотожність:

k

k →1

j =−9

Доведення . Приймемо цю теорему на віру.

Наслідки

Згідно до цієї теорії можна потрапити до лікарні.

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ

Означення . Матрицею Петросяна називають матрицю П(x ), у якої елементи, що стоять на головній диагоналі, належать функції Зільберта З(x ).

Означення . Детермінант матриці Петросяна – петросяніан

П[З(x )].

Теорема (про замкненість петросяніана)

Якщо петросяніан задовольняє умовам теореми Зільберта-Штольца, і виконана достатня умова теореми Штрассермана, то петросяніан П[З(x )] – замкнена множина на інтервалі [, π-arctgμ], де μ – неперервна функція.

Доведення . Наш інтервал [, π-arctgμ] – компакт ⇒ за теоре-

мою Вейєрштраса-Ляпунова, він має скінченне покриття. Спрямуємо μ на +∞ \{2} та підставимо правий кінець інтервала у петросяніан. Отримали:

П,

а це означає, що петросяніан – замкнена множина, оскільки

). Теорему доведено.

ТЕОРЕТИЧНА МЕХАНІКА

Принцип локалізації в’язей до (n-8) порядку включно

Якщо спочатку подивитися наліво, а потім направо, то, використовуючи метод віртуальних ітерацій, можемо найкоротшим шляхом прийти на схід.

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

Неравенство Треугольника * .

*Треугольник И.И. – выдающийся Харьковский математик, один из основателей теории функции Зильберта.

Теорема 1

Пусть α, ,b ξ – стороны треугольника.

Тогда α+b >ξ. (1)

Замечание . “> ” – знак “больше так сказать” – это то же самое, что знак “>” в пространстве Римана, только в пространстве Штрассермана ШТРⁿ .

Теорема 2

В принятых обозначениях b +ξ>α. (8)

Теорема 3

В принятых обозначениях α+ξ>b . (9)

Доказательство теоремы 1 (от приятного). Пусть это не так, то есть α+b <ξ. (11)

Но это противоречит аксиоматике Зильберта, согласно которой все теоремы верны!

Упражнение . Теоремы 2,3 доказать самостоятельно.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ

В теории функции Зильберта существует сходимость “так сказать”, “как надо” и ”как не надо”, а именно:

Определение . Последовательность сходится “так сказать” к числу ξ∈Z (пространство Зильберта) ⇔ выполнены условия:

1. положим ξ=δ,

2. ∀ >ε 0 ∃δ: |ξ_k −δ|>ε.

3. мат. ожидание функции Зильберта M[З(x)] равно константе Бернулли.

Обозначается ξ_k ⎯^так ⎯⎯⎯⎯^{сказать} →ξ.

Определение . Последовательность сходится “как надо” к числу ξ∈Z: ξ_k ⎯⎯→^КН ⎯^{. .} ξ ⇔ дисперсия случайной величины ξ_k равна интегралу Пуассона от трансцендентной функции.

Определение . Последовательность сходится “как не надо” к числу ξ∈Z: ξ_k ⎯⎯ →^{К Н Н .} ⎯^{. .} ξ ⇔ дисперсия случайной величины ξ_k равна нулю.

Определение . Функциональная последовательность f (ξ_k ) _← ^⎯ _⎯⎯ ^⎯→ Λ

ξ λ→→

коллинеарно сходится к Λ, когда ξ равномерно сходится к λ с

1

вероятностью ⇔ f '(ξ_k ) > 0, ∀k : λ<k <Λ.

k

КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ

Теорема . Рассмотрим конформное отображение f из области D в область G :

D а б в г д е ж з и к

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

f : D → G

G а б в г д е ж з и к

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Тогда на ∀ факультете ∃ пара такая, что отображение f ∃ и не единственно, более того, таких отображений ∃ минимум два.

Проверить самостоятельно.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

N-угольники в пространстве Зильберта

1. Регулярный одноугольник

Определение . Регулярный одноугольник – геометрическая фигура, (

состоящая из вершины (точки A ) и дуги (AA ):

Теорема (о длине дуги регулярного одноугольника)

Пусть γ – регулярный одноугольник с вершиной в точке A . Возь(

мём точку B ∈γ, B ≠ A . Тогда длина дуги AB равна

( B

l AB ( ) =∫d ξ.

A

Замечание . Если A =B , то длина дуги неопределена и условно

∞

считается равной .

8

Упражнение . Доказать эту теорему самостоятельно.

2. Пространство двуугольников, измеримых по Зильберту

Определение . Двуугольник называется измеримым по Зильберту , если у него 2 угла, причём один угол – первый, а другой – второй.

Примеры

1. Простой двуугольник

2. Прямой равноугольный двуугольник

3. Прямоугольный двуугольник

Замечание . Двуугольники бывают выпуклые и впуклые, например

Теорема

Впуклые двуугольники измеримыми по Зильберту не являются. Это следует из основной предельной теоремы Зильберта-Остроградского.

Теорема

В пространстве Зильберта Zⁿ двуугольники, измеримые по Зильберту, можно дифференцировать, интегрировать и брать от них невязку ⇔ мат. ожидание косого геликоида, содержащего этот двуугольник, имеет предел, который сходится к константе Бернулли.

Доказательство . Клянусь Демидовичем!

3. Пространство треугольников, измеримых по Зильберту

Определение . Треугольник называется измеримым по Зильберту , если сумма его углов больше 180⁰ .

Примеры

1. Треугольник Зильберта

2. Треугольник Штрассермана (штреугольник) – имеет 3 прямых угла

3. А этот треугольник не измерим по Зильберту

4. Классификация одноугольников

Одноугольники могут иметь 1, 2 или 3 вершины, если дуга незамкнута и имеет самопересечения.

Примеры

Замечание . Если число вершин >3, одноугольник называется вырожденным . Точка тоже вырожденный случай. Такие одноугольники мы рассматривать не будем.

Пример

5. Шестиугольник ATBCEB

Теорема . Рассмотрим шестиугольник ATBCEB и расположим его стороны в порядке возрастания. Тогда сумма длин его сторон в пространстве Лобачевского, умноженная на cosecτ, где

τ∈ −( 4.7,18] – дискретная функция, которая принимает 2 значе-

ния: {1, 15} в зависимости от знака cosecτ.

Замечание . Эта теорема будет доказана на старших курсах.

ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ

Определение 1 . Последовательность очень слабо сходится к элементу ξ∈Z (пространство Зильберта) ⇔ мы этого хотим слабо.

Определение 2 . Последовательность очень сильно сходится к элементу ξ∈Z ⇔ мы этого хотим сильно.

Теорема (Коклюшкина)

Определения 1 и 2 неэквивалентны.

Доказательство . Действительно, мы же не можем одновременно хотеть одного и того же слабо и сильно! Теорема доказана.

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Рассмотрим сумму с коэффициентами c _k , где

k −1

x n − x i

∏(x _k − x _l ) j =0

i =0 i

и, пожалуй, хватит.

ЗАДАЧИ

1. Как доопределить остаточный член функции Зильберта в выколотой окрестности ∞, в точке {–6} так, чтобы относительно винтовой линии (n –3) порядка cosϕ и sinϕ были параллельны?

(Ответ – молча)

2. (Прикладная задача мат. статистики) Берём константу Бернулли и устремляем её на . Вопрос: как будет вести себя на беско-

нечности трансцендентная функция, умноженная на константу Бернулли? (Ответ – вызывающе)

3. Доказать, что в пространстве Зильберта Zⁿ числитель и знаменатель ортогональны, а их нормы и невязки скрещиваются.

4. Попробуйте на досуге проаппроксимировать функцию Зильберта З(x ) константами Бернулли.

5. Введём в рассмотрение функцию Бюншмана Б (x )

n

Б ( )x = −|| f ∑c y _{k k} ||

k =1

Вопрос: как теперь вывести её из рассмотрения?

6. Доказать, что у всех девушек волосы одного цвета. Решение (методом мат. индукции) .

1⁰ . При n =1 утверждение верно: у одной девушки волосы одного цвета.

678^k 678^k

000...0014243 000...0014243

k +1 k +1

Рис. 1.

2⁰ . Пусть утверждение верно при n =k . Докажем его для n =k +1. Внимательно рассмотрим k +1 девушку. У первых k девушек волосы одного цвета (по предположению), и у последних k девушек волосы одного цвета, значит, у k +1 девушки волосы одного цвета.

Утверждение доказано.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ :

1. В учебнике по теории функции Зильберта использованы конспекты студентов мех-мата по:

- матанализу,

- линейной алгебре,

- диффурам,

- теормеху,

- функану,

- теорверу,

- комплану,

- дифф. геометрии,

- теории управления, - численным методам, где все имена и теоремы вымышленные, любое сходство с уже существующими случайно.

2. Демидович Б. П. “Сборник задач и упражнений по математическому анализу”.

Также здесь фигурируют фразы и выражения некоторых преподавателей с мех-мата, кто знает, тот поймёт.

Тираж 600 экземпляров.

Цена 20 коп.