Книга: Нелинейная теория функции Зильберта в частных производных

Министерство Образования и Науки Украины

Харьковский национальный университет имени Н.Н. Зильберта

А.А. Тензор, В.В. Невязкин

Нелинейная теория функции Зильберта

в частных производных

ТОМ 2

Харьков 2007

XFVBGD4567

ВДОПШ26986

Издание второе

Предназначено для студентов старших курсов

© 2007 А.А. Тензор, В.В. Невязкин кафедра теории функции Зильберта

ОГЛАВЛЕНИЕ :

Дифференциальная геометрия 4

Теория вероятности 5

Теоретическая механика 5

Функциональный анализ 6

Методы оптимизации и теория управления 7

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Определение . Кривая называется кривой , если она кривая.

Определение . Кривая называется очень кривой , если она очень кривая.

Теорема

Рассмотрим кривую кривую.

∞

Она измерима по Зильберту ⇔ её радиус кривизны →.

8 Следствие . Прямая измерима по Зильберту. Её мера равна её длине.

Доказательство (теоремы) . Достаточность . Рассмотрим такую кривую γ , радиус кривизны которой R . Значит,

кривизна γ :

1 8 1 k = = = ⋅ 8 = 0 8 ⋅ = 0.

R ∞ ∞

Следовательно, γ – прямая.

Необходимость . Поскольку кривизна прямой равна k =0, мы можем записать:

1 ∞

k = 0 = 0·8 ⇒ R = = .

k 8

Теорема доказана условно.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ

В теории функции Зильберта существует сходимость “да нет, наверное”, а именно:

Определение . Последовательность { }сходится “да нет, наверное ” к числу ξ ∈ Z (пространство Зильберта): ξ _k ⎯⎯→ ^НЕТ ⎯ ^! ξ ⇔ когда она не сходится к этому числу.

Определение . Писдерсией π D x [ ] называется величина, матьожидание которой равно .

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

В случае, когда все связи идеальные и стационарные,

∂ q ^k верно, что = 0, что значительно упрощает все формулы и ∂ q _j

теоремы из этого курса!

Окончательный результат:

Если в формуле вместо y подставить y , то формула останется верной для ∀ y .

Этот факт даётся без доказательства.

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

Определение . Если последовательность имеет предел, который её удовлетворяет, то последовательность остаётся довольной .

Теорема . Если последовательность имеет предел, то и предел её тоже имеет.

(Доказательство было приведено в курсе дифференциальных уравнений)

– А что говорит Хвилиппов?

– Хвилиппов молчит!

Аксиома . Если ты разговаривал с Хвилипповым, то ты – Литрович, а если Хвилиппов тебе отвечал, – это алкоголизм!

Теорема . Если в обеих частях неравенства стоит одно и то же, то это равенство!

Доказательство . Необходимость . Обозначим через α что-то, что стоит в обеих частях неравенства:

α > α .

Положим на α и заменим его на неотрицательную константу Ц:

Ц>Ц ≥ 0.

Константы сокращаются, и мы получаем верное равенство:

0 > 0 ⇒ 0 = 0 .

Что и требовалось доказать.

Достаточность . Доказать самостоятельно или при помощи водки

.

почувствуй вкус диffуров.

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ и ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ

Минус первая и минус вторая производные

Определение . Минус первой производной функции f называется такая величина: − f ' .

Определение . Минус вторая производная функции f : − f ′′ .

Рассмотрим функционал

ы

ЖЫ ( y ) = ∫ ( f '( y y y , ', *) − f y y y ( , ', *) ) dx → inf (*)

ж

Замечание. Из курса русского языка известно:

«ЖИ–ШИ пишется с И» ,

но в данном случае «Ы» – это оператор!

Оператор «Ы»

Определение . Оператором «Ы» называется дифференциальный оператор, который функции Ж ставит в соответствие интеграл (*).

УРАВНЕНИЯ МАТ. ФИЗИКИ

Задача. Найти функцию Грея для системы:

⎧ ∞

⎪Δ u = 8 , x ₅ = 0,

⎪

⎨ 0, x ₆ = 0,

^⎪ u = З ( x y z , , ), x _i ≥ 0.

⎪

⎩

Подсказка. Если x y , ∈ M решать эту задачу, нужно извлечь корешок из u , x , y и z . З ( x,y,z ) – функция Зильберта.

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Теорема

Если вам лень делать оценку по Рунге, позовите Рунге, и он сам её сделает!

Проверить самостоятельно.

Определение . Обратным элементом к бесконечности ∞ явля-

∞

ется конечность , а обратным к является .

8

Точные значения этих величин даёт метод подгонки под ответ с двойным пересчётом.

Лабораторная работа №13

Вычисление сингулярных интегралов методом подгонки под ответ

Вычислить сингулярный интеграл

b

f x ( ) b − a

I z ( ) = ^∫ a x − z dx ; z _j = + a jh ₀ ; j = 1, n ₀ − 1; h ₀ = n 0 .

с заданной точностью ε = 10 ^{− 24} на отрезке [1;1.05] с помощью метода подгонки под ответ с двойным пересчётом. Для этого потребуется методичка с ответами и дискета с готовой программой.

На печать вывести N , π , количество итераций и невязку в виде таблицы:

ЗАДАЧИ

1. Вычислить ё. d e ²

Решение: ё = ₂ = 0, т.к. e ≈ 2,7 = const и от t не зависит, а

dt

производная от константы равна 0. Ответ: ё =0.

dx

2. Вычислить интеграл ^∫ dx .

dx 1 dx 1

Решение: ^∫ dx = d ^∫ x = d ln | x | + C .

3. Построить треугольник, у которого все углы равны 0 ⁰ . Решение:

Рис. 1. Треугольник с тремя нулевыми углами

В пространстве Лобачевского (в верхней полуплоскости) такой треугольник имеет 3 угла по 0 ⁰ .

4. Вопрос: метод Зильберта решения СЛАУ точный или приближённый? (Ответ – невязка мнимая, так что этот метод даёт результат точнее, чем есть искомая величина)

5. Найти минус третью производную функции f x ( ) = x ³ .

Решение: Минус третья производная: − f ′′′ ( ) x = − ( x ³ ) ′′′ = − 6 .

Ответ: –6.

6*. Построить конформное отображение из области «ВАСЯ» на правую полуплоскость (левую полу-ёлку):

СПИС ОК ИСПОЛЬ ЗОВА ННОЙ ЛИТЕ РА ТУРЫ :

1. Хвилиппов А. У. «Сборник задач по диффурам»

2. конспекты студентов мех-мата по:

- дифф. геометрии,

- матанализу,

- диффурам,

- теормеху,

- функану,

- теорверу,

- комплану,

- методам оптимизации, - численным методам.

Также здесь фигурируют фразы и выражения некоторых преподавателей с мех-мата, кто знает, тот поймёт.

Тираж 40 экземпляров.

Отпечатано на ксероксе в коридоре на 6-м этаже ХНУ им. В. Н.

Каразина.

Цена ксерокопии 20 коп.