Книга: Оптимальное управление линейными динамическими объектами

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУВПО «Пермский государственный университет»

С.В. Лутманов

ЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ

ОПТИМИЗАЦИИ

Часть 2

Оптимальное управление линейными динамическими объектами

Учебное пособие

Рекомендовано УМС по математике и механике УМО по классическому университетскому образованию РФ в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по группе направлений и специальностей «Механика»

Пермь 2005

БК 22. 161.8

Л 86

УДК 519.9

Лутманов, С.В.

Л 86 Линейные задачи оптимизации: учеб. пособие [Электронный ресурс] /Перм. ун.-т. – Пермь, 2005.- Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. – 195 с.

ISBN 5-7944-0565-1

В учебном пособии рассматриваются задачи теории оптимального управления линейными динамическими объектами. В частности, подробно исследован случай управления с терминальным критерием качества и случай управления по критерию предельного быстродействия. Изучается возможность сведения задачи теории оптимального управления к функциональной проблеме моментов. Вывод необходимых условий оптимальности управляющих воздействий опирается на математический аппарат выпуклого анализа. Указываются эффективные достаточные условия оптимальности программных управлений. Само построение оптимальных управлений осуществляется либо аналитическим путем, либо с применением систем аналитических вычислений, реализуемых в интерактивном режиме на ЭВМ. Весь излагаемый материал поясняется на примерах, большинство из которых решено с применением пакета MATHEMATICA 4.2 Пособие предназначено для студентов, магистрантов и аспирантов математических специальностей, изучающих курсы, связанные с вопросами оптимизации.

Ил. 34. Библиогр. 32 назв.

Печатается в соответствии с решением редакционно-издательского совета Пермского государственного университета

Рецензенты: кафедра дифференциальных уравнений Удмуртского государственного университета; профессор кафедры «Математическое моделирование систем и процессов» Пермского государственного технического университета, д.т.н. В.Ю. Столбов

ISBN 5-7944-0565-1 © Лутманов С.В., 2005

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ…………………………………………………………………. 5 1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ……….8

1.1. Примеры линейных управляемых динамических объектов …………………8

1.2. Системы однородных линейных дифференциальных уравнений …………16

1.3. Фундаментальная матрица Коши ……………................................................20

1.4. Допустимые реализации вектора управляющих параметров ………………26

1.5. Формула Коши …………………………...........................................................31

1.6. Критерии качества управления динамическими объектами………………..33

1.7. Программные стратегии ……………………………………………………...36

1.8. Постановка и существование решения задачи теории оптимального управ-

ления ……………………………………………………………………………….39

1.9. Область достижимости линейного управляемого динамического объекта 45

2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАННЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА……………………………………..49

2.1. Случай закрепленного левого конца и свободного правого конца траекто-

рии ………………………………………………………………………………….49

2.2. Поведение функции Л.С. Понтрягина вдоль оптимальной пары…………..53

2.3. Частные случаи геометрических ограничений на вектор управляющих па-

раметров……………………………………………………………………………56

2.4. Минимизация расстояния до целевого множества…………………………67

2.5. Случай подвижного левого и свободного правого конца траектории……85

2.6. Минимизация расстояния до целевого множества в случае подвижного ле-

вого конца траектории…………………………………………………………….96

3. ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРЕДЕЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ…….107

3.1. Постановка задачи линейного предельного быстродействия и существова-

ние ее решения.……………………………………………………………………107

3.2. Необходимые условия оптимальности программной стратегии ………….108

4. ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ КАК ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ………………….117

4.1. Сведение задачи теории оптимального управления к функциональной про-

блеме моментов…………………………………………………………………..117

4.2. Управляемость линейной динамической системы…………………………125

4.3. Управление по критерию «минимум энергии»…………………………….128

4.4. Управление по критерию «минимум силы»……………………………….134

ПРИЛОЖЕНИЕ…………………………………………………………………142 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК …………………………………...192

ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлагаемое учебное пособие написано на основе спецкурса «Линейные задачи оптимизации», который автор читает для студентов и магистрантов (специальность «Механика») механико-математического факультета Пермского государственного университета. Оно представляет собой конспект лекций той части курса, которая посвящена задачам оптимального управления линейными динамическими системами. Линейные динамические системы с выпуклыми геометрическими ограничениями на управляющие параметры являются удобными объектами исследования в теории оптимального управления. Вывод необходимых условий оптимальности управляющих воздействий для таких систем опирается на математический аппарат выпуклого анализа и требует существенно меньших усилий, чем для нелинейных систем. В ряде случаев удается сформулировать эффективные достаточные условия оптимальности. Само построение оптимальных управлений осуществляется либо аналитическим путем, либо с применением систем аналитических вычислений, реализуемых в интерактивном режиме на ЭВМ.

Пособие состоит из четырех разделов и приложения. В первом разделе изучаются основные свойства систем линейных дифференциальных уравнений, вводится понятие фундаментальной матрицы Коши системы однородных линейных дифференциальных уравнений и доказывается формула Коши. Здесь же приводится постановка задачи теории оптимального управления в классе программных стратегий, оговаривается класс допустимых стратегий и доказывается теорема существования решения задачи теории оптимального управления.

Во втором разделе для задач управления с терминальным критерием качества и фиксированным временем выводятся необходимые условия оптимальности программного управления в форме принципа максимума Л.С. Понтрягина. В частности, когда минимизируемый функционал имеет смысл расстояния от целевого множества до фазового вектора объекта в финальный момент времени, эти условия записываются в форме прицеливания на опорный вектор к области достижимости динамического объекта. Для этого случая формулируются и доказываются эффективные достаточные условия оптимальности. Рассмотрены ситуации, когда левый конец траектории закреплен и когда он является подвижным. В последнем случае принимается, что множество начальных положений объекта описывается системой дифференцируемых неравенств.

Третий раздел посвящен задачам линейного быстродействия. Оптимальное время перехода определяется здесь как разность между первым моментом времени, для которого пересечение области достижимости управляемого объекта и целевого множества не является пустым, и начальным моментом времени. Оптимальная программная стратегия строится из условия прицеливания на соответствующий опорный вектор к области достижимости объекта.

В четвертом разделе изучается возможность сведения задачи теории оптимального управления к функциональной проблеме моментов. Приводятся необходимые и достаточные условия разрешимости проблемы моментов. На их основе доказывается критерий полной управляемости динамическим объектом и реализуется конструктивный алгоритм решения задачи теории оптимального управления по критерию «минимум энергии» и «минимум силы».

В каждом разделе пособия дается подробный алгоритм решения соответствующего класса задач теории оптимального управления. Реализация алгоритма поясняется на конкретных примерах. Большинство из них решается с применением пакета MATHEMATICA 4.2. Заголовки примеров, решение которых требует обращения к компьютеру, помечены звездочкой. Для них в приложении приводятся тексты программ, обеспечивающие решение этих примеров.

По тематике книги существует обширная библиография. Приведенный в конце книги библиографический список содержит лишь те источники, которые непосредственно использовались при написании данного учебного пособия. Пособие разбито на разделы, внутри которых принята самостоятельная нумерация задач, лемм, рисунков, примеров и теорем. В свою очередь, раздел разбит на пункты, в которых ведется независимая нумерация формул. Ссылки на материалы (за исключением формул), расположенные в пределах данного раздела, нумеруются одним числом, вне данного раздела – двумя числами. Ссылки на формулы нумеруются одним числом только в пределах данного пункта. Вне данного пункта, но в пределах данного раздела, они нумеруются двумя числами, вне данного раздела – тремя числами.

1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ

1.1. Примеры линейных управляемых динамических объектов. Рас-

смотрим управляемые объекты, состояние которых в каждый момент времени t ∈ R ¹ характеризуется набором величин x ₁ ,",x _n . Эти величины называются фазовыми координатами объекта. Управление объектом осуществляется посредством воздействий u ₁ ,",u _r , которые будем называть управляющими параметрами объекта. Принимаем, что изменение фазовых координат во времени описывается системой обыкновенных линейных дифференциальных уравнений вида

x 1 = a ₁₁ (t x ) 1 + +" a _1n (t x ) n +b ₁₁ (t u ) 1 + +" b _1r (t u ) r +c t ₁ ( ),

.......................................................................................... (1)

x n = a _{n 1} (t x ) 1 + +" a _nn (t x ) n +b _{n 1} (t u ) 1 + +" b _nr (t u ) r +c _n (t ),

где a _ij = a _ij (t ), b _ik = b _ik ( )t , c _i = c t _i ( ), t ∈ R i j ¹ , , =1,", ,n k =1,",r - известные непрерывные функции времени.

Система дифференциальных уравнений (1) допускает векторноматричную запись

x = A t x ( ) +B t u ( ) +C t ( ). (2)

Здесь обозначено

⎛⎜ x ⎞

x = ⎜⎜⎜⎜⎜⎜"x 1n ⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟, u =⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜"uu 1r ⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟, A t ( )= ⎜⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜aa 11n "1( )( )tt """ aa 1nn "n ( )( )tt ⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟, B t ( )=⎜⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜bb 11n "1( )( )tt """ bb 1nr "r ( )( )tt ⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟, C t ( )=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜cc t 1n "( )( )t ⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟.

⎝

Векторы x ∈ R ⁿ и u ∈ R ^r называются фазовым вектором и вектором управляющих параметров объекта, соответственно.

Система дифференциальных уравнений (1), или ее векторно-матричная форма (2), является математической моделью (с той или иной степенью точности) реального управляемого физического объекта. В дальнейшем эту математическую модель будем называть линейным управляемым динамическим объектом. Следуя [17], приведем примеры линейных управляемых динамических объектов.

Пример 1. Рассмотрим материальную точку массы m , движущуюся в вертикальной плоскости ξ η , в однородном поле тяжести (см. рис. 1 ). Управ-

ляющее воздействие на точку M осуществляет-

ся посредством реактивной силы f , возникающей в результате отделения от точки частиц с элементарной массой dm . Тогда масса точки M является величиной переменной, а движение точки описывается векторным дифференциальным

ξ уравнением Мещерского

Рис. 1

m dv = +mg ^dm a _r , (3) dt dt

где a _r - вектор относительной скорости отде-

ляющихся частиц. Проектируя уравнение (3) на оси выбранной системы координат, получим

mξ = ma cosα ξ , (4) mη = ma cosα _η −mg .

Здесь α α _ξ , _η - углы, которые составляет вектор относительной скорости отделяющихся частиц с соответствующими координатными осями. Запишем систему (4) в нормальной форме

x 1 = x ₃ ,

^{x 2} = ^{x 4 ,} (5) x 3 = u ₁ , x 4 = u ₂ − g ,

где

x ₁ = = = = =ξ , x ₂ η , x ₃ ξ , x ₄ η , u ₁ a m cosα _ξ , u ₂ = a _m ^m cosα _η . _m

Векторно-матричная форма системы дифференциальных уравнений (5) имеет вид

⎛⎜⎜x ⎞⎟

⎜⎜⎜x

⎜⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜_{xx 12} 43⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛0₀₀ 0 0₀₀ 0 10₀₀ 10₀₀ ⎠⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎝⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜_x x _x x ₁₂ 43⎠⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟+⎝⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜₁ 0₀ 0 ₁ 00₀ ⎠⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎜⎝⎜⎜⎛_u u ₁ 2 ⎠⎞⎟⎟⎟⎟+⎝⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜−00_0g ⎟⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎟.

Обычно физический объект можно моделировать линейными дифференциальными уравнениями лишь в дополнительных предположениях об области изменения его фазовых координат.

Пример 2. Рассмотрим упругий вал, несущий жестко насаженные маховики A B , и C (см. рис. 2 ). Система вращается вокруг оси вала с постоянной угловой скоростью ω , однако вследствие возмущений возникают крутильные колебания, которые необходимо успокоить управ-

ляющими моментами u u ₁ , ₂ , приложенными к ма-

ховикам A и C соответственно. Система имеет три степени свободы. В качестве обобщенных координат выбираются следующие величины: q ₂ - угол отклонения маховика B от заданного движения системы ψ (t )=ωt t , ≥t ₀ ; q q ₁ , ₃ - суть углы закручивания маховиков A и C соответственно относительно маховика B .

Пусть I _A ,I _B ,I _C - моменты инерции маховиков. Вычислим кинетическую энергию всей системы. Имеем

T = 1 2 I A (ω + + +q 1 q 2 )2 1 2 I B (ω + +q 2 )2 1 2 I C (ω + +q 3 q 2 )2 .

Обозначим через c c ₁ , ₂ крутильные жесткости соответствующих участков вала. Принимаем, что система работает в пределах деформаций, подчиняющихся закону Гука. Тогда потенциальная энергия системы определяется равенством

Π = 1 2 c q 1 12 + 1 2 c q 2 32 .

Из выражения для элементарной работы

δA =Q q ₁ δ 1 +Q q ₂ δ 2 +Q q ₃ δ 3 = + +u q ₁ δ 1 (u ₁ u ₂ )δq ₂ +u q ₂ δ 3

следует, что обобщенные силы Q i _i , =1,2,3 выражаются равенствами

Q ₁ = u Q ₁ , ₂ = +u ₁ u ₂ ,Q ₃ = u ₃ .

Составим уравнения Лагранжа

^d ⎛⎜⎜∂ ^T ⎞⎟

_dt ⎜⎜⎝∂_q i ⎠⎟⎟⎟−∂∂ _q ^T i =Q _i −∂Π ∂_q i , i =1,2,3.

Получаем следующие три дифференциальных уравнения второго порядка:

I q _A 1 + =I q _A 2 −c q _{1 1} +u ₁ ,

I _A q 1 + + +(I _A I _B I _C )q 2 + = +I q _C 3 u ₁ u ₂ , (6)

I q _C 2 + =I q _C 3 −c q _{2 3} +u ₂ .

Разрешим систему дифференциальных уравнений (6) относительно старших производных

q 1 = − c 1(I A + I B )q 1 − c 2 q 3 + 1 u 1,

I I A B I B I A

q 2 = +^{c 1} q ₁ ^{c 2} q ₃ , (7)

I B I B q 3 = − c 1 q 1 − c 2 (I B + I C )q 3 + 1 u 2.

I B I B + I C I C

Проведя замену переменных

x ₁ = q ₁ , x ₂ = q ₂ , x ₃ = q ₃ , x ₄ = q 1, x ₅ = q 2, x ₆ = q 3 ,

запишем систему (7) в нормальной форме

x ₁ = x ₄ , x 2 = x ₅ , x ₃ = x ₆ ,

x 4 = − c 1 (I A + I B ) x 1 − c 2 x 3 + 1 u 1,

I I A B I B I A

x 5 = +c 1 x 1 c 2 x 3,

I B I B

x 6 = − c 1 x 1 − c 2 (I B + I C ) x 3 + 1 u 2. (8)

I B I B +I C I C

Векторно-матричная форма системы дифференциальных уравнений (8) имеет вид

⎜⎜⎜⎜⎛ 00 00 00 10 10 00⎞⎟⎟⎟⎟⎟ ⎜⎛ 0 0 ⎞

⎜

⎟⎟ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜ 0 0 0 0 0 1⎟⎟⎟⎟⎜⎛ x ⎞

⎜⎜⎜_xx ⎟⎟⎟⎟⎟⎟ = ⎜⎜⎜⎜⎜− c ⁽ II I + I ⁾ 0 − Ic 0 0 0⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜xx ⎟⎟⎟ ⎜⎜⎜ ⎟

⎟

⎜⎜⎜⎝⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜x _xx x ₁₂ 465₃ ⎠⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜ ₁ −_{Ic A I A B} B 1 _c B 1 _{B 00} − _c 2 _I (B _IIc B +B 2 _{B 2} +_I C _I C ) _{00 00 00} ⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜_{xxx 1} 65₂ 4₃ ⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟+⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜ _I 1₀ 00₀ A _{I 1} 000₀ C ⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎛⎜⎜⎜⎝_u u ₁ 2⎞⎠⎟⎟⎟⎟.

⎜⎜

⎜⎝⎜⎜ ⎟

Заметим, что в разобранном примере математическая модель, представленная системой дифференциальных уравнений (8), адекватна физическому объекту только в пределах деформаций, удовлетворяющих закону Гука, т.е. ес-

ли фазовые координаты x ₁ ,x ₂ ,x ₃ достаточно малы по абсолютной величине.

К дифференциальным уравнениям вида (2) можно прийти и в результате линеаризации исходных нелинейных дифференциальных уравнений движения объекта. Опишем процедуру линеаризации.

Пусть математической моделью управляемого динамического объекта служит система нелинейных дифференциальных уравнений

y =Y t y v ( , , ) , t ∈[t T ₀ , ], y ∈ R ⁿ , v ∈ R ^r . (9) Относительно функции Y :[t ₀ ,T ]× R ^{n + r} → R ⁿ предполагается существование непрерывных частных производных не ниже второго порядка включительно по каждому из аргументов.

Допустим, что некоторой функции _v ^∗ :[t T ₀ , ]→ R ^r отвечает решение y ^∗ ()⋅ = y ^∗ (⋅,t ₀ , y ₀ ,v ^∗ ()_⋅ ) дифференциального уравнения (9), удовлетворяющее начальному условию y t ( 0)= y ₀ . Предположим, что именно эта функция y ^∗ (⋅) является требуемым законом движения для управляемого объекта. Однако при физической реализации указанного управления v ^∗ (⋅) закон движения y ()⋅ реального динамического объекта вследствие ряда факторов (неадекватность математической модели, наличие неконтролируемых возмущений, невозможность в точности удовлетворить начальным условиям и др.) будет отличаться от идеального движения y ^∗ ()⋅ . Для реализаций управляющих воздействий и отвечающих им движений примем следующее представление:

y (⋅)= y ^∗ (⋅)+ x (⋅), v (⋅)= v ^∗ (⋅)+ u (⋅). (10) Здесь величины x ()⋅ , u ()⋅ полагаются малыми. Подставим выражения (10) в уравнения (9). В результате получим

y ^∗ ( )t + x ( )t = Y (t , y ^∗ (t )+ x (t ),v ^∗ (t )+ u (t )), t ∈[t ₀ ,T ]. (11) С точностью до величин второго порядка малости по отношению к x (⋅) , u (⋅) из (11) выводим

y ^∗ ( )t + x ( )t =Y ( ) ( ) [ ,T ]. y v

Обозначая

A ( )t = ^∂ Y (t , y ^∗ ( )t ,v ^∗ ( )t ), B ( )t = ^∂ Y (t , y ^∗ ( )t ,v ^∗ ( )t ), t ∈[t ₀ ,T ] (12)

∂y ∂v

и учитывая, что

y ^∗ ( )t = Y (t , y ^∗ (t ), v ^∗ (t )), t ∈ [t ₀ ,T ],

приходим к уравнениям (2), в которых C t ( )= 0, t ∈[t T ₀ , ].

Пример 3*. На горизонтальный плоскости находится двухзвенный механический манипулятор, каждое звено которого представляет собой абсолют-

но жесткий стержень длиной

l _i ,i =1,2. Первое звено соединено с неподвижным основанием манипулятора вращательной парой O ₁ , а со вторым звеном – враща-

Рис. 3 тельной парой O ₂ . Масса схвата

манипулятора – m , центр масс i -го звена находится в середине стержня – точке C _i , его масса – m _i , момент инерции i -го звена относительно своего центра масс – I _i ,i =1,2. В соединительных парах могут развиваться управляющие вращательные моменты, соответственно, v ₁ и v ₂ ,

На горизонтальной плоскости, в которой расположен манипулятор, введем прямолинейную ось O ₁ x . Обозначим через ϕ_i угол, образованный i -м звеном манипулятора, i =1,2, с осью O ₁ x . Запишем дифференциальные уравнения движения манипулятора в форме уравнений Лагранжа второго рода, в которых в качестве обобщенных координат берутся углы ϕ_i ,i =1,2 . Кинетическая энергия манипулятора определяется по формуле

T = T ₁ + T ₂ + T _c , (13)

где T _i – кинетическая энергия i -го, i =1,2, звена, а T _c – кинетическая энергия схвата манипулятора. Последовательно вычисляем

1 ( 2 2₁ )( 2 2 2 ) 4I 1 + m 1l 1² 2

T ₁ ⁼ I ₁ ϕ₁ + m ₁ v _C ⁼ 4I ₁ ϕ₁ + m ₁ l ₁ ϕ₁ = ϕ₁ ,

28

T 2 = (I 2ϕ22 + m 2 v C 22 )= [4I 2ϕ22 + 4m 2 l 12ϕ12 + m 2 l 22ϕ22 + 4m 2 l 1l 2ϕ1ϕ2 cos(ϕ1 −ϕ2 )],

T c = mv c 2 = m [l 12ϕ12 + l 22ϕ22 + 2l 1l 2ϕ1ϕ2 cos(ϕ1 −ϕ2 )].

Подставляя найденные величины энергий составных частей манипулятора в (13), находим

T = 1ϕ₁ ² [l ₁ ² (m ₁ + 4m ₂ + 4m )+ 4I ₁ ]^{+ 1} ϕ₂ ² [l ₂ ² (m ₂ + 4m )+ 4I ₂ ]+ (2m + m ₂ )l ₁ l ₂ ϕ₁ ϕ₂ cos(ϕ₁ −ϕ₂ ).

8 8

Введем обозначения

a = 1 [l ₁ ² (m ₁ + 4m ₂ + 4m )+ 4I ₁ ], b = ¹ [l ₂ ² (m ₂ + 4m )+ 4I ₂ ], c = (2m + m ₂ )l ₁ l ₂ .

4 4

Тогда выражение для кинетической энергии манипулятора принимает вид

T ⁼ [a ϕ₁ ² + 2c ϕ₁ ϕ₂ cos(ϕ₁ −ϕ₂ )+ b ϕ₂ ² ].

Справедливы равенства

∂T d ∂T

= a ϕ₁ + c ϕ₂ cos(ϕ₁ −ϕ₂ ), = a ϕ₁ + c ϕ₂ cos(ϕ₁ −ϕ₂ )− c ϕ₂ (ϕ₁ −ϕ₂ )sin(ϕ₁ −ϕ₂ ),

∂ϕ₁ dt ∂ϕ₁

∂T d ∂T

= b ϕ₂ + c ϕ₁ cos(ϕ₁ −ϕ₂ ), = b ϕ₂ + c ϕ₁ cos(ϕ₁ −ϕ₂ )− c ϕ₁ (ϕ₁ −ϕ₂ )sin(ϕ₁ −ϕ₂ ),

∂ϕ₂ dt ∂ϕ₂

∂T = −c ϕ₁ ϕ₂ sin(ϕ₁ −ϕ₂ ), ∂T = c ϕ₁ ϕ₂ sin(ϕ₁ −ϕ₂ ). (14)

∂ϕ₁ ∂ϕ₂

Обобщенной силой Q _i , отвечающей обобщенной координате ϕ_i , является управляющий вращательный момент v _i , i =1,2.

Используя формулы (14), выпишем уравнения Лагранжа

d ∂T ∂T

− = Q _i , i =1,2.

dt ∂ϕ_i ∂ϕ_i

В результате получим

^a ϕ 1 +^c ϕ 2 ^cos (ϕ ϕ 1 − 2)+^c ϕ 2^{[1] sin} (ϕ ϕ 1 − 2)= v ₁ , ^c ϕ 1 ^cos (ϕ ϕ 1 − 2)+^b ϕ 2 −^c ϕ 1^{2 sin} (ϕ ϕ 1 − 2)= v ₂ . (15)

Разрешим дифференциальные уравнения (15) относительно старших производных

2 2 ^⎡ ⎣ ^⎤ ⎦ ,

¹ 2 ab −c cos (ϕ ϕ 1 − 2 )

2 2 ^⎡ ⎣ ^⎤ ⎦ .

² 2 ab −c cos (ϕ ϕ 1 − 2 )

Полученную систему двух дифференциальных уравнений второго порядка от-

носительно переменных ϕ₁ ,ϕ₂ заменой переменных

y ₁ =ϕ 1, y ₂ =ϕ 2, y ₃ =ϕ 1, y ₄ =ϕ 2

сведем к системе четырех дифференциальных уравнений первого порядка

^y 1 = y ₃ , ^y 2 = y ₄ ,

1 2bv −2bcy sin y − y −2cv cos y − y −c y sin 2

_y 3 = ⋅ _{1 4} ² ( _{1 2} ) 2 2 2 ( _{1 2} ) ² ₃ ^{2 ⎡} _⎣ (y ₁ − y ₂ )^⎤ ⎦ _,

2 ab −c cos (y 1 − y 2 )

y 4 = 1 ⋅ 2av 2 +2acy 32 sin(y 1 − y 2 )−2cv 2 1 cos2 (y 1 − y 2 )+c y 2 42 sin 2⎡⎣ (y 1 − y 2 )⎤⎦ (16)

⎛ ⎞⎜⎜⎜⁰ ⎟⎟

⎜

v ∗( )t ≡ ⎛ ⎞⎜_{⎝ ⎠⎜} ⎜₀ ⁰ ⎟⎟⎟⎟, y ∗( )t = ⎜⎜⎜⎜⎜⎝ ⎠⎜₀ 0⁰ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟.

⎜

По формулам (10) находим

⎛_⎜⎜ ⎜^⎜ 0 0 1 0⎞⎟

^A = ^⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜0₀ ⁰ ₀ 0_{0 0} 0₀ ¹ 0₀ ⎠⎟⎟^⎟⎟ ⎟⎟⎟_⎟ ⎟⎟⎟ , B = _⎜⎜ ^⎜ ⎜⎛⎜⎜^⎜ ⎜⎜⎜⎝⎜⎜⎜ab cab c ₋ 0_{0 −−} ^b c 22 ab cab c ⁻ 0_{0 −−} a ^c 22 ⎞⎠⎟⎟^⎟ ⎟⎟⎟^⎟ ⎟⎟^⎟ ⎟^⎟ ⎟⎟.

⎜⎝⎜

Таким образом, линеаризованные уравнения здесь имеют вид

⎜⎜⎛ x ⎞

⎜⎜⎜⎜⎜xx ⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎝x 1423⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟ = ⎜⎜⎜⎜⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛0000 0000 1000 1000⎠⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎝⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜xxxx 1423⎠⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟+⎜⎜⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛ab cab c − 00−−bc 22 ab cab c − 00−−ac 22 ⎠⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎝⎜⎜⎛⎜uu 12 ⎞⎟⎟⎟⎟⎠.

1.2. Системы однородных линейных дифференциальных уравнений

Системе дифференциальных уравнений (1.1) поставим в соответствие однородную систему уравнений

x 1 = a ₁₁ (t x ) 1 + +" a _1n (t x ) n ,

.............................................. x n = a _{n 1} (t x ) 1 + +" a _nn (t x ) n .

или ее векторно-матричный аналог

x = A t x ( ) . (1)

Установим некоторые простейшие свойства дифференциального уравнения (1).

Свойство 1. Пусть x (⋅) - решение дифференциального уравнения (1) и x t ( 0)= 0 для некоторого значения t ₀ ∈ R ¹ . Тогда x ( )t ≡ 0, t ∈ R ¹ .

Доказательство. Справедливость свойства следует непосредственно из теоремы существования и единственности решения дифференциальных уравнений.

Свойство 2. Пусть _x ^{( 1 )} (⋅),",_x ^{( s )} (⋅) - система решений уравнения (1). Тогда для всех α 1,",α s ∈ R ¹ выражение

x ˆ()⋅ =∑s α i x ( )i ()⋅

i =1

будет также решением дифференциального уравнения (1).

Доказательство. Действительно,

dx t ˆ( ) ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

.

dt dt ⎝ i ₌ 1 ⎠ i ₌ 1 _{i =} 1 ⎝ i ₌ 1 ⎠

Определение 1. Система решений _x ^{( 1 )} (⋅),",_x ^{( s )} (⋅) уравнения (1) называется линейно зависимой, если существуют такие константы α 1,",α s ∈ R ¹ , не обращающиеся одновременно в нуль, что

∑^s α i _x ^{( ) i} ( )t ≡ 0, t ∈ R ¹ .

i =1

В противном случае система решений _x ^{( 1 )} (⋅),",_x ^{( s )} (⋅) называется линейно независимой.

Заметим, что для зависимой системы решений _x ^{( 1 )} (⋅),",_x ^{( s )} (⋅) набор векторов _x ^{( 1 )} (t ),",_x ^{( s )} (t ) является линейно зависимым при всех t ∈ R ¹ . Это утверждение может быть обращено следующим образом.

Лемма 1. Пусть для некоторого значения t ₀ ∈ R ¹ набор векторов

_x ^{( 1 )} (t ₀ ),",_x ^{( s )} (t ₀ ) линейно зависим. Тогда система решений _x ^{( 1 )} (⋅),",_x ^{( s )} (⋅) уравнения (1) является линейно зависимой.

Доказательство. Из линейной зависимости векторов _x ^{( 1 )} (t ₀ ),",_x ^{( s )} (t ₀ ) следует существование ненулевого набора констант α 1,",α s ∈ R ¹ , для которого

∑^s α i x ^{( ) i} ( )t ₀ = 0 . (2)

i =1

Полагаем

x ˆ()⋅ =∑s α i x ( )i ()⋅ .

i =1

По свойству 2 функция x ˆ()⋅ является решением уравнения (1), при этом в силу

(2) справедливо равенство x t ˆ( 0)= 0. Тогда по свойству 1 должно выполняться

s

x ˆ( )t =∑α i x ^{( ) i} ( )t ≡ 0, t ∈ R ¹ ,

i =1

что и означает искомую линейную зависимость системы решений

_x ^{( 1 )} (⋅),",_x ^{( s )} (⋅). Лемма доказана.

Следствие. Пусть система решений _x ^{( 1 )} (⋅),",_x ^{( s )} (⋅) линейно независима.

Тогда набор векторов _x ^{( 1 )} ( )t ,",_x ^{( s )} ( )t является линейно независимым при всех t ∈ R ¹ .

Доказательство. От противного приходим к существованию некоторого значения t R , для которого набор векторов _x ^{( 1 )} ( )t ,",_x ^{( s )} ( )t является линейно зависимым. Тогда по лемме 1 система решений _x ^{( 1 )} (⋅),",_x ^{( s )} (⋅) должна быть зависимой, что противоречит исходным предположениям.

Установим критерий линейной зависимости и независимости системы

решений _x ^{( 1 )} (⋅),",_x ^{( s )} (⋅) уравнения (1).

Теорема 1. Система решений _x ^{( 1 )} (⋅),",_x ^{( s )} (⋅) уравнения (1) является линейно зависимой или линейно независимой, тогда и только тогда когда соответственно линейно зависим или линейно независим набор векторов _x ^{( 1 )} (t ₀ ),",_x ^{( s )} (t ₀ ) хотя бы при одном значении t ₀ ∈ R ¹ .

Доказательство. Необходимость теоремы вытекает непосредственно из определения 1 и следствия из леммы 1 . Достаточность в части линейной зависимости системы решений _x ^{( 1 )} (⋅),",_x ^{( s )} (⋅) доказана в лемме 1 . Наконец, если набор векторов _x ^{( 1 )} (t ₀ ),",_x ^{( s )} (t ₀ ) является линейно независимым при некотором значении t R , то для системы решений _x ^{( 1 )} (⋅),",_x ^{( s )} (⋅)равенство

∑^s α i x ( )ⁱ ( )t ₀ = 0

i =1

невозможно ни при каких ненулевых наборах констант α 1,",α s ∈ R ¹ . Это означает, что система решений _x ^{( 1 )} (⋅),",_x ^{( s )} (⋅) не является линейно зависимой, и поэтому она линейно независима. Теорема доказана.

Определение 2. Линейно независимая система решений

_x ^{( 1 )} (⋅),",_x ^{( n )} (⋅) (3)

дифференциального уравнения (1), где n - размерность вектора x , называется фундаментальной системой решений дифференциального уравнения (1). Теорема 2. Для уравнения (1) существует фундаментальная система решений, и любое решение этого уравнения может быть представлено как линейная комбинация решений, составляющих фундаментальную систему. Доказательство. Пусть набор векторов

e 1,",e n ∈ R n

образует базис в R ⁿ . Определим систему решений (3) условиями

x ^{( i )} (t ₀ )= =e i _i , 1,",n .

По теореме 1 из линейной независимости векторов _x ^{( 1 )} (t ₀ ),",_x ^{( n )} (t ₀ ) вытекает линейная независимость системы решений (3). Таким образом, существование фундаментальной системы решений для уравнения (1) установлено.

Покажем, что каждое решение x ()⋅ уравнения (1) можно представить в виде

x ( )t =∑ⁿ α i x ^{( ) i} ( )t , t ∈ R ¹ .

i =1

Набор векторов _x ^{( 1 )} (t ₀ ),",_x ^{( n )} (t ₀ ) является базисом в R ⁿ . Тогда для любого решения x (⋅) уравнения (1) найдется набор констант α 1,",α n ∈ R ¹ такой, что

n x ( )t ₀ =∑α i ^x ( )ⁱ ( )t ₀ .

i =1

Решения x ()⋅ и ∑ⁿ α i _x ^{( ) i} ()⋅ имеют общее начальное условие и потому совпадают.

i =1

Теорема доказана.

Пример 4*. Рассмотрим однородную линейную систему дифференциальных уравнений третьего порядка

^x 1 = + +x ₁ 4x ₂ x ₃ ,

x 2 = + +x ₁ x ₂ x ₃ , (4) ^x 3 = 2x ₁ −4x ₂ + x ₃ .

Приведем векторно-матричную форму записи этой системы

⎜⎝⎛⎜⎜⎜xx 123⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜112 −144 111⎠⎝⎞⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜xxx 123⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟.

⎜⎜x ⎠

⎜⎜

Покажем, что следующая система решений этого уравнения

⎜⎛2e ⎞

x ( )1 ( )t =⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ e 033tt ⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟, x ( )2 ( )t =⎜⎜⎜⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝7coscos−10t −t +cos2sinsint tt ⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟, x ( )3 ( )t =⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜−43coscos−t sint −+sint 2sint t ⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟, t ∈ R 1

⎜

образует фундаментальную систему решений.

Сначала непосредственно проверяем, что каждый член системы

_x ^{( 1 )} (⋅),_x ^{( 2 )} (⋅),_x ^{( 3 )} (⋅) является решением уравнений (2). Далее составим определитель

Вычислим его значение при t = 0. Имеем

2 7 3

D ( )0 =1 1 0= −10 ≠ 0.

0 −10 −4

Таким образом, D ( )0 ≠ 0 и набор векторов _x ^{( 1 )} (0), _x ^{( 2 )} (0), _x ^{( 3 )} (0) является линейно независимым. Тогда по теореме 1 система решений _x ^{( 1 )} (⋅),_x ^{( 2 )} (⋅),_x ^{( 3 )} (⋅) уравнений

(2) является фундаментальной системой решений.

1.3. Фундаментальная матрица Коши. Пусть

x ( )1 ()⋅ =⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛x 1n ( )( )"11 ((⋅⋅))⎠⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,",x ( )n ()⋅ =⎝⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜xx 1n ( )( )"nn ((⋅⋅))⎠⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟ ⎝⎜⎜⎜x

фундаментальная система решений однородного дифференциального уравнения (2.1). Для всех t ∈ R ¹ построим квадратную матрицу Z (t ) следующего вида

⎜

⎝⎜⎜⎜x n ( )1 (t ) " x n ( )n (t )⎠⎟⎟⎟

Из теоремы 1 следует, что матрица Z (t ) является невырожденной при всех t ∈ R ¹ и, следовательно, для всех t ∈ R ¹ существует обратная матрица

Определение 3 . Матрица X [t ,τ ] , t ,τ ∈ R ¹ называется фундаментальной матрицей Коши для однородного дифференциального уравнения (2.1).

Установим ряд свойств фундаментальной матрицы Коши.

Теорема 3. Для всех t , ,τ s ∈ R ¹ имеют место равенства

⎛_⎜ ⎜⎜" " "1 " 0 ⎞⎟

X s s [ , ]= =E ⎜⎝⎜⎜^⎜ ⎜ ₀ " ₁ ⎠⎟⎟⎟⎟^⎟⎟⎟ , . (1)

(X [t ,τ ])⁻¹ = X [τ , ,t ] (2)

d

^X [t ^, τ ]= A t X t ^{( )} [ ^, τ ], (3)

_dt

d

dτ X t [ ,τ ]=−X t [ ,τ ] ( )A τ . ( 4)

Доказательство. Равенство (1) является простым следствием определения 3 . Докажем равенство (2). Имеем

(X [t ,τ ])−1 =(Z t ( ) Z −1 ( )τ )−1 =(Z −1 ( )τ )−1 Z −1 ( )τ = Z ( )τ Z −1 ( )t = X [τ ,t ] .

Для вывода равенства (3) замечаем, что

n x _i ^{( ) j} [t ,τ ]= x _i ^{( ) s} ( )t ζ s ^{( ) j} ( )τ , ,i j =1,",n .

s =1

Тогда

⎜⎜⎛x ( )[t ,τ ]⎞

x ( )j [t ,τ ]=⎜⎜⎜⎜ 1n ( )jj "[t ,τ ]⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟= s =n 1 ζ j τ ⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜xx i ( )"ss ( )tt ⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟.

⎜⎜⎜x

⎝

Таким образом, столбцы матрицы X [t ,τ], t ,τ∈[t ₀ ,T ] являются линейными комбинациями столбцов матрицы Z (t ) и поэтому представляют собой решения уравнения (2.1). Последнее означает, что

^d x ^{( ) i} [t ,τ ]= A t x ( ) ^{( ) i} [t ,τ ] , i =1,",n ⇒ ^d X t [ ,τ ]= A t X t ( ) [ ,τ ]. (5) dt dt

Для вывода равенства (4) продифференцируем по переменной τ очевидное тождество X [t ,τ] [X τ,t ]= E . Имеем

^⎛ ⎜ ^d X [t ,τ]^⎞ _⎟ X [τ,t ]+ X [t ,τ] ^d X [τ,t ]= 0 .

⎝d τ ⎠ d τ

Перепишем последнее равенство с учетом (5):

^⎛ ⎜ ^d X [t ,τ^{] ⎞} ⎟ X [τ,t ]= −X [t ,τ]A ( )τ X [τ,t ]. (6)

⎝ d τ ⎠

Умножим равенство (6) на матрицу X ^{− 1} [τ,t ] справа. В результате получим искомое равенство (4) Теорема доказана.

Равенству (4) в доказанной теореме можно дать следующую трактовку: d X t [ ,τ ]=−X t [ ,τ ] ( ) d −1[τ ,t ]=−X −1[τ ,t A ] ( )τ ⇒

A τ ⇒ X dτ dτ

d { −1[τ ,t ]}Tр =−A Tр ( )τ {X −1[τ ,t ]}Tр .

X

dτ

Таким образом, матрица {_X ⁻¹ [t ,τ ]}^T является фундаментальной матрицей Коши для линейной однородной системы дифференциальных уравнений

d ψ Tр

= −A ( )t ψ. (7)

dt

В дальнейшем систему (7) будем называть сопряженной системой дифференциальных уравнений по отношению к системе (2.1).

Укажем один способ построения фундаментальной матрицы Коши для случая, когда известна фундаментальная система решений _x ^{( 1 )} ( )⋅ , ,_x ^{( n )} (⋅) дифференциального уравнения (2.1), не связанный с вычислением обратной матрицы для матрицы

Z ( )⋅ = (_x ^{( ) 1} ( )⋅ , ,_x ^{( ) n} ( )⋅ ).

Для каждого номера i ∈{1, ,n } составим систему линейных алгебраических уравнений

c x 1 1(1) (τ)+ +c x n 1(n ) (τ) = 0,

…………………………..

c x 1 i (1) (τ)+ +c x n i (n ) (τ) =1,

………………………….

c x 1 n (1) (τ)+ +c x n n (n ) (τ) = 0,

τ∈[t ₀ ,T ] (8)

относительно переменных c ₁ , ,c _n . Эта система имеет решение при всех τ∈[t ₀ ,T ], т. к. ее определитель отличен от нуля при всех τ∈[t ₀ ,T ]. Пусть c _k ^{( i )} ( )τ , k i , =1, , ,n τ∈[t ₀ ,T ] – решение системы (8). Положим

⎛c 1( )i ( )τ x 1( )1 ( )t + +c n ( )i ( )τ x 1( )n ( )t ⎞

( )i ⎜ ⎟ x [t ,τ] = ⎜ ................................ ⎟ , t ,τ∈[t T ₀ , ] , i =1, ,n .

⎜⎜⎝c x t c x t ⎟⎟⎠

Вектор x ^{( ) i} [t ,τ] представляет собой i -й, i =1, ,n , столбец фундаментальной матрицы Коши.

В случае, когда матрица A постоянна в алгоритме построения фундаментальной матрицы Коши система алгебраических уравнений (8) заменяется на следующую систему:

c x 1 1(1) (0)+ +c x n 1(n ) (0) = 0,

…………………………..

c x 1 i (1) (0)+ +c x n i (n ) (0) =1,

………………………….

c x 1 n (1) (0)+ +c x n n (n ) (0) = 0.

Пусть c _k ^{( i )} , ,i k =1, ,n – ее решение. Столбцы фундаментальной матрицы Коши строятся по формуле

⎛c x 1( )i 1( ) t c x i 1n t ⎞

⎜⎟

( )i

x [t ,τ] = ⎜ ................................ ⎟ , t ,τ∈[t T ₀ , ] , i =1, ,n . (9) ⎜⎜⎝c x 1( )i 1( ) t c x i 1n t ⎟⎟⎠

Пример 5*. Требуется построить фундаментальную матрицу Коши для однородного дифференциального уравнения из примера 4 и проверить для нее выполнение равенств (1)-(4).

Выше было показано, что система решений

⎜⎛2e ⎞

x ( )1 ( )t =⎜⎜⎜⎜ e 33tt ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟, x ( )2 ( )t =⎜⎜⎜⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝7coscos−10t −t +cos2sinsint tt ⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟, x ( )3 ( )t =⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜−43coscos−t sint −+sint 2sint t ⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟, t ∈ R 1

⎜⎜⎜⎝ 0 ⎠⎟⎟

этого уравнения является фундаментальной. Построим фундаментальную матрицу Коши непосредственно следуя ее определению. Имеем

X t [ ,τ ]=⎛⎜⎜2e 33tt 7cost +sint 3cost −sint ⎞ ⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎟⋅⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜2ee 033ττ 7coscos−τ 10τ −cos+2sinsinτ ττ −34coscos−ττ sin−+τ sin2sinττ ⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟−1 = ⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎜⎜ e 0 cos−10t −cos2sint t −4cos−sint +t 2sint ⎠ ⎝⎟⎟⎟⎟

⎛⎜⎜⎜ 54 e 3(t −τ ) + 1 5 cos(t −τ )− 52 e 3(t −τ ) − 52 cos(t −τ )+ 53 e 3(t −τ ) − 53 cos(t −τ )− ⎟⎟⎟⎟⎞⎟

⎜⎜⎜

⎜⎜⎜⎜⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜−52 e 1 53(sint −τ )(−t −52 τ cos) (t −τ )− +1 5 e 52 3 sint −τ (+t −54 cosτ ) (t −τ )+ 103 e ₁₀ ¹ 3^sin t −τ (−^t 103 τ cos⁾ (t −τ )+⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟^⎟ ⎟. (10)

=

Осуществим построение фундаментальной матрицы Коши, не прибегая к обращению матрицы Z ( )⋅ . Для этого последовательно решаем три системы линейных алгебраических уравнений

2c 11−+ + =+107c ^c 222 −34c ^c 33==10., ⎜⎝⎜⎛⎜⎜⎜cc 132( )(111)⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟=⎜⎜⎛⎜⎝⎜⎜⎜⎜−152 52 ⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟, 2cc 11−+ + =+107ccc 222 −34cc 33 ==010,, ⇒ ⎜⎜⎛⎜⎜⎜⎝⎜⎜⎜⎜ccc 132( )(( )222)⎠⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟=⎜⎛⎜⎝⎜⎜⎜⎜⎜−1 554 2⎠⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟. c c 0, ⇒ ⎜⎜

⎜⎜c ( )⎠⎟⎟

2c 11−+ + =107cc 222 34cc 33 01, ⎜⎛⎜⎜c 132( )(333)⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟=⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎜−101 23 103 ⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟. c + c = 0, ⇒ ⎜⎜⎜⎜c

− = ⎜⎝⎜c ( )⎠

По формуле (9) определяем столбцы фундаментальной матрицы Коши

( )1 ^⎛ ⎜2e 3³ t ⁽ −^t τ^{− τ) ⎞} ⎟ 2 ⎛⎜7cos(t −τ)+sin(t −τ)⎞⎟ ⎜⎛ 3cos(t −τ)−sin(t −τ) ⎟⎞

2 ( )

x [t ,τ] = ⋅⎜ e ⎟− (t −τ)⋅⎜cos(t −τ)− 2sin(t −τ)⎟+⎜ −sin(t −τ) ⎟ =

5 ⎜⎜ 0 ⎟^⎟ 5 ⎜⎝ −10cos ⎟⎠ ⎜⎝−4cos(t −τ)+ 2sin(t −τ)⎟⎠

⎝ ⎠

⎛ 54 e 3(t −τ) + 1 5 cos(t −τ)− 7 5 sin(t −τ)⎞

⎜ ⎟

= ⎜ ₅ ² e ^{3 ( t − τ)} − ₅ ² cos(t −τ)− ¹ ₅ sin(t −τ)⎟,

⎜ ⎟ ⎜ 2sin(t −τ) ⎟

⎝ ⎠

( )2 ⎜^⎛ 2e 3³ t ⁽ −^t τ^{− τ)} ⎟^⎞ 4 ⎜⎛7cos(t −τ)+sin(t −τ)⎟⎞ ⎛⎜ 3cos(t −τ)−sin(t −τ) ⎟⎞

1 ( )

x [t ,τ] = ⋅⎜ e ⎟+ ⋅⎜cos(t −τ)−2sin(t −τ)⎟− 2⋅⎜ −sin(t −τ) ⎟ =

5 ⎜⎜ 0 ^⎟ ⎟ 5 ⎜⎝ −10cos(t −τ) ⎠⎟ ⎜⎝−4cos(t −τ)+ 2sin(t −τ)⎟⎠

⎝ ⎠

⎛ 52 e 3(t −τ) − 52 cos(t −τ)+ 14 5 sin(t −τ)⎞

⎜ ⎟

= ⎜ ¹ ₅ e ^{3 ( t − τ)} + ₅ ⁴ cos(t −τ)+ ₅ ² sin(t −τ) ⎟,

⎜ ⎟ ⎜ −4sin(t −τ) ⎟

⎝ ⎠

( )3 ^⎛ ⎜2e 3³ t ⁽ −^t τ^{− τ) ⎞} ⎟ 3 ⎛⎜7cos(t −τ)+sin(t −τ)⎟⎞ 1 ⎛⎜ 3cos(t −τ)−sin(t −τ) ⎞⎟

3 ( )

x [t ,τ] = ⋅⎜ e ⎟−⎟ ⋅⎜⎝cos(t −τ)−2sin(t −τ)⎟+ 2 ⋅⎜⎜−4cos(−t −sinτ)(+t −2τsin) (t −τ)⎟⎠⎟ =

10 ⎜ ⎟ 10 ⎜ −10cos(t −τ) ⎠⎟ ⎝

⎜ 0

⎝ ⎠

⎛ 53 e 3(t −τ) − 53 cos(t −τ)− 54 sin(t −τ) ⎞

⎜ ⎟

= ⎜ 103 e 3(t −τ) − 103 cos(t −τ)+ 101 sin(t −τ)⎟ . ⎜ ⎟ ⎜ cos(t −τ)+sin(t −τ) ⎟

⎝ ⎠

Получили совпадение с формулой (10). Непосредственно убеждаемся, что равенства (1)-(4) выполняются (см. приложение).

В случае A = const дадим другую интерпретацию для фундаментальной матрицы Коши.

Определение 4. Квадратная матрица e ^tA , определенная степенным рядом

e tA = + + + + + +E 1!A t A 2!2 t 2 A 3!3 t 3 " A k k ! t k " , (11)

где E - единичная матрица размера n ×n , называется экспоненциалом матрицы A .

Покажем, что ряд (11) сходится абсолютно для любого фиксированного t ∈ R ¹ . Действительно, с одной стороны,

A k k ! t k ≤ Ak !k t k , k = 0,1,2,",

а с другой стороны, степенной ряд

1+ + + + + +1!A t A 2!2 t 2 A 3!3 t 3 " Ak !k t k "

сходится абсолютно при всех t ∈ R ¹ .

Из абсолютной сходимости ряда (11) следует, что его можно почленно дифференцировать. Вычисляем

d tA d A A 2 2 A 3 3 A k k A 2 A 3 2 A k k

e = (E + + + + + + = + + + + + =1! t _2! t _3! t " k _! t ") A _1! t _2! t " k _! t "

dt dt

= + + + + +A (E 1!A t A 2!2 t 2 A 3!3 t 3 " (kA −k −1 !1) t k −1 + =") Ae At . (12)

Из (12) вытекает справедливость матричного равенства

d tA At

e = Ae , dt

которое означает, что столбцы экспоненциала матрицы A являются решениями однородного дифференциального уравнения

x = Ax . (13)

В силу очевидного равенства e ^At t 0 = E эти столбцы образуют фундаменталь-

₌

ную систему решений дифференциального уравнения (13). Таким образом,

X [t ,τ ]= e (t −τ )A , t ,τ ∈ R 1 .

1.4. Допустимые реализации вектора управляющих параметров.

Пусть управление динамическим объектом осуществляется на промежутке времени [t T ₀ , ]. Начальную точку траектории x ₀ называют левым концом траектории, а конечную x _T – правым концом траектории. Начальный t ₀ и конечный

T моменты времени в общем случае не являются фиксированными. Предполагается, что t ₀ ∈θ 0 ⊂ R ¹ , T R t t . На левый и правый концы траектории обычно накладываются ограничение в форме включений

x ₀ ∈S ₀ ( )t ₀ ⊂ R ⁿ , t ₀ ∈θ₀ , x _T ∈S T ₁ ( ) ⊂ R ⁿ , T ∈θ₁ .

В задачах теории оптимального управления принята следующая терминология: если множество S ₀ (множество S ₁ ) состоит из одной точки и не зависит от t ₀ ∈θ₀ (T ∈θ₁ ), то говорят, что левый (правый) конец траектории закреплен; если S ₀ (t ₀ ) = R ⁿ , t ₀ ∈θ₀ , (S ₁ (T ) = R ⁿ ,T ∈θ₁ ), то левый (правый) конец траектории называют свободным.

Реализация вектора управляющих параметров не является произвольной функцией времени. Эта функция должна быть достаточно «гладкой» и в любой момент времени удовлетворять геометрическим ограничениям

u t ( )∈ P ⊂ R ^r , t ∈[t T ₀ , ].

Оба приведенных требования обусловливаются техническими возможностями механизмов, осуществляющих управляющие воздействия на объект.

С другой стороны, слишком «бедное» множество возможных реализаций вектора управляющих воздействий может не обеспечить достижение поставленной цели управления. В частности, таковым является класс непрерывных на отрезке времени [t T ₀ , ] функций. Покажем это на примере.

Пример 6. Рассмотрим поезд, движущийся от станции A к станции B в соответствии с уравнениями

x 1 = x ₂ , x 2 =u ,

где x ₁ - расстояние от станции A до поезда; u - тяга поезда, которой можно управлять. На величину тяги наложено ограничение u ≤1. Требуется так выбрать управление, чтобы поезд преодолел путь между станциями за наименьшее время. При этом скорость в начальный и конечный моменты времени должна быть нулевой.

x 1

Рис. 4

Нетрудно сообразить, что время перехода будет минимальным, когда поезд до половины пути разгоняется с максимальным ускорением u t ( )=+1, а вторую половину максимально затормаживается, т.е. u t ( )=−1. Таким образом, реализация оптимального управления в данном случае имеет вид

₀ 1, , , u t

1, , ,

Функция u ⁰ (t ), t ∈[t T ₀ , ] терпит разрыв в точке T .

Из опыта решения прикладных задач следует, что реализации вектора управляющих воздействий принадлежат классу C ⁰ [t T ₀ , ] – кусочно-непрерывных функций, то есть таких функций u :[t ₀ ,T ]→ R ^r , которые непрерывны в каждой точке t ∈[t ₀ ,T ], за исключением, быть может, конечного числа точек τ₁ , ,τ_m ∈[t ₀ ,T ], в которых функция u ()⋅ терпит разрывы первого рода. В этих точках существуют конечные пределы

t →limτi −0 u (t ) = u (τ_i − 0), t →limτi +0 u (t ) = u (τ_i + 0),

но u (τ_i − 0)≠ u (τ_i + 0),i =1, ,m . В теории оптимального управления принимается, что в точках разрыва реализации вектора управляющих воздействий непрерывны справа. Таким образом,

t →limτi +0 u (t ) = u (τ_i ),i =1, ,m .

Определение 5. Реализация u ()⋅ вектора управляющих воздействий называется допустимой, если u ()⋅ ∈C t T ⁰ [ 0, ], функция u ()⋅ непрерывна справа в точках разрыва и выполнено условие u t ( )∈ P ⊂ R ^r , t ∈[t T ₀ , ].

Определение 6. Движением линейного динамического объекта, отвечающим допустимой реализации вектора управляющих воздействий u ()⋅ и выходящим из начального положения x ₀ ∈ S ₀ (t ₀ ), называется решение следующей задачи Коши для векторного дифференциального уравнения

x = A t x ( ) +B t u t ( ) ( )+C t ( ), x t ( 0)= x ₀ . (1)

Это движение будем обозначать символом x (⋅, ,t ₀ x u ₀ , ()^⋅ ).

Кусочно-непрерывная реализация вектора управляющих воздействий не гарантирует непрерывность по переменной t правой части дифференциального уравнения (1), поэтому условия классической теоремы существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения здесь не выполняются. В связи с этим предлагается следующая процедура построения движения динамического объекта, отвечающего реализации вектора управляющих воздействий u ( )⋅ ∈C ⁰ [t T ₀ , ] и выходящего из начального положения x ₀ ∈ S ₀ ( )t ₀ . Пусть τ₁ , ,τ_m ∈[t ₀ ,T ] - точки разрыва функции u (⋅). Движение объекта на полуинтервале [t ₀ ,τ₁ ) отождествим с решением задачи Коши

x = A t x ( ) +B t u t ( ) ( )+C t ( ), x t ( )₀ = x ₀ , t ∈[t ₀ ,τ 1).

В силу непрерывности управления u (⋅) на полуинтервале [t ₀ ,τ₁ ) сформулированная задача Коши имеет решение и притом единственное. Доопределим фазовый вектор в момент времени τ₁ по непрерывности, положив

x ₁ = x (τ₁ )= lim x (t ) .

t →^τ ₁ −0

Движение объекта на полуинтервале [τ₁ ,τ₂ ) отождествим с решением задачи Коши x = =x A t x ( ) +B t u t ( ) ( )+C t ( ) , x (τ 1) = x ₁ , t ∈[τ τ 1, ₂ ),

которое также существует и единственно. Фазовый вектор в момент времени τ₂ снова доопределим по непрерывности

x ₂ = x ( )τ₂ = lim x (t ).

t →τ2 −0

Аналогичные построения производятся на каждом полуинтервале времени

[τ_{i − 1} ,τ_i ),i =1, ,m .

В результате получим искомое движение динамиче-

^x ₂ ского объекта (см. рис 5 ). В Рис. 5 книге [7] приводится теорема существования и единственности такого движения. Заметим, что для любого момента времени t ∈[t ₀ ,T ] имеет место равенство

τ τ τ x ( )t = +x ₀ ∫ A ( ) ( )τ x τ τd +∫ B ( ) ( )τ u τ τd +∫ C ( )τ τd . (2)

t 0 t 0 t 0

Равенство (2) может служить и непосредственным определением движения x (⋅, ,t ₀ x u ₀ , ()^⋅ ). Таким образом, движение объекта принадлежит классу D t T ⁰ [ 0, ]- классу кусочно-дифференцируемых на промежутке [t T ₀ , ] функций и удовлетворяет дифференциальному уравнению (1) во всех точках промежутка [t T ₀ , ] за исключением тех, где реализация вектора управляющих воздействий терпит разрыв. Пример 7*. Рассмотрим линейный управляемый динамический объект

x =u x , ∈ R ¹ , u ∈ R ¹ , [t T ₀ , ]=[0,4 ,] x ₀ = 0.

Пусть реализация управляющего воздействия имеет вид

⎧ 1, t ∈[0,1),

^⎪ ⎪ t , t ∈[1,2),

u (t ) = _⎨

_⎪ − t , t ∈[2,3), ⎪_⎩ −1, t ∈[3,4].

Построим движение, отвечающее данной реализации управляющего воздействия и выходящее из начального положения x ₀ = 0. Полагаем

τ₀ = 0,τ₁ =1,τ₂ = 2,τ₃ = 3 и проводим необходимые построения на каждом полуинтервале [τ_i ,τ_{i + 1} ),i = 0,1,2,3. Последовательно определяем

i = 0, x ₀ = 0, x (t ) = t , t ∈[0,1),

i ,

i = 2, x ₂ = , x ,

i = 3, x ₃ = 0, x (t ) = 3−t , t ∈[3,4].

Рис 6.

Итоговая конструкция изображена на рис. 6 .

1.5. Формула Коши. Рассмотрим линейный управляемый динамический объект, динамика которого описывается дифференциальным уравнением (1.2).

Пусть t s , ∈ R ¹ ,x _∗ ∈ R ⁿ , u (⋅ ∈) C ^{0 ⎡} ⎢⎣R ¹ ⎥⎦^⎤ . Для движения x ( )⋅ = x (⋅, ,s x u _∗ , (⋅)) этого объекта справедливо следующее утверждение.

Теорема 4 (Формула Коши). Для всех t ∈R ¹ , в которых реализация вектора управляющих воздействий u ( )⋅ непрерывна, имеет место равенство

t t

x ( )t = X t s x [ , ] ∗ +∫ X t [ ,τ ] ( ) ( )B τ u τ τd +∫ X t [ ,τ ] ( )C τ τd , t ∈ R ¹ . (1)

s s

Доказательство. Требуется доказать следующие два равенства:

x (s ) = x _∗ ,

d ₁ dt x ( )t = A t x t ( ) ( )+B t u t ( ) ( )+C t ( ), t ∈ R .

Первое из них следует непосредственно из теоремы 3 (равенство (3.1)), а второе доказывается путем дифференцирования по аргументу t правой части равенства (1). Действительно,

d d d ^t d ^t

dt x t ( )⁼ _dt X t s x [ , ] ∗ ⁺ _dt ∫s X t [ ,τ ] ( ) ( )B τ u τ τd ⁺ _dt ∫s X t [ ,τ ] C ( )τ τd =

t

= A ( )t X t s x [ , ] ∗ + X t t B t u t [ , ] ( ) ( )+∫ A t X t ( ) [ ,τ ] ( ) ( )B τ u τ τd + X t t [ , ] C t ( )+

s

t

+∫ A t X t ( ) [ ,τ ] C ( )τ τd =

s

⎡

= A ( )t ⎢⎢⎢⎣X t s x [ , ] ∗ +∫st X t [ ,τ τ ] ( ) ( )B u τ τd +∫st X t [ ,τ ] C ( )τ τd ⎤⎥⎥⎦⎥ +B t u t ( ) ( )+ =W t ( )

= A t x t ( ) ( )+B t u t ( ) ( )+C t ( ), t ∈ R ¹ .

Теорема доказана.

Для однородной системы дифференциальных уравнений (т.е., если B t ( ) ≡ 0, C t ( ) ≡ 0) формула Коши принимает вид

x ( )t = X t s x [ , ] ∗, t ∈ R ¹ .

Тогда решение ψ(⋅) сопряженной системы дифференциальных уравнений (3.7), удовлетворяющее условию ψ(s ) =ψ_∗ , можно записать в виде

ψ( )t ={X ^{− 1} [t s , ]}^T ψ_∗ , t ∈R ¹ . (2)

Пример 8*. Рассмотрим линейную управляемую систему

x ₁ = x ₂ +u ₁ , x ₂ = u ₂ , t ∈R ¹ (3)

с начальными условиями

x ₁ (0)=1, x ₂ (0)=1. (4)

В качестве реализации вектора управляющих воздействий выберем вектор-

функцию u R : ¹ → R ² , определенную формулой

⎛u t ₁ ( )⎞ ⎛ ⎞t ₁ u t ( )=⎜ ⎟=⎜ ⎟ , t ∈R .

⎝u ₂ ( )t ⎠ ⎝ ⎠2t

Нетрудно видеть, что после подстановки этой функции в (1) и интегрирования полученной системы дифференциальных уравнений с начальными условиями (4) получим

x . (5)

Покажем, что движение x (⋅), определенное формулой Коши (1), совпадает с выражением (5). Действительно, для данного примера имеем

C t ( ) = 0, B t ( ) = ⎛⎜⎜⎝⎜10 10⎞⎠⎟⎟⎟⎟ , X t [ ,τ ]=⎛⎝⎜⎜⎜10 t −1τ ⎞⎠⎟⎟⎟⎟ , t ,τ ∈ R 1 .

Подставляя последние выражения в формулу (1), получим

⎛ x ₁ ( )t ⎞ ⎛1 t ⎞⎛1⎞ ^t ⎛1 t −τ⎞⎛1 0⎞⎛ τ ⎞

⎜⎜x 2 ( )t ⎟⎟⎠ = ⎜⎜⎝0 1⎟⎠⎟⎜⎝⎜1⎟⎠⎟ + ∫0 ⎝⎜⎜0 1 ⎟⎠⎟⎜⎜⎝0 1⎟⎠⎟⎜⎜⎝2τ⎟⎟⎠d τ= ⎝

⎛1+ t ⎞ ^t ⎛1 t −τ⎞ ⎛ τ ⎞ ⎛1+ t ⎞ ^t ⎛τ+ 2t τ− 2τ² ⎞

=⎜⎜⎝ 1 ⎟⎠⎟ + ^∫ 0 ⎝⎜⎜0 1 ⎟⎟⎠ ⎜⎝⎜2_τ ⎟⎠⎟d τ= ⎜⎝⎜ 1 ⎠⎟⎟ + ^∫ 0 ⎜⎜⎝ 2_τ ⎟⎠⎟ d τ=

⎛ 1 2 3 2 3 ⎞ ⎛1 3 1 2 ⎞

^{= ⎜} ⎛1+t ^⎟ ⎞⁺ ⎜⎜⎜⎝ 2t +_t t 2 − 3t ⎟⎟⎟⎠ = ⎜⎜⎜⎝ 3t +_t 22 +t 1+ +t 1⎟⎟⎟⎠, t ∈R 1 .

⎝ 1 ⎠

Искомое совпадение установлено.

1.6. Критерии качества управления динамическими объектами. Цель управления динамическим объектом состоит в оптимизации некоторого критерия качества, который формализуется в виде функционала, определенного на множестве реализаций вектора управляющих параметров и отвечающих им движений объекта. Обычно функционал представляет собой следующее выражение:

T

∫ f ₀ (τ,x ( ) ( )τ ,u τ )d τ+ Φ(t ₀ ,x ₀ ,T ,x ( ))T , (1)

t ₀

где f ₀ : R ^{n + r + 1} → R ¹ , Φ : R ^{2 ( n + 1 )} → R ¹ - заданные функции, непрерывные по совокупности своих аргументов. Первое слагаемое в (1) называется интегральным, а второе – терминальным.

Определение 7. Функционал (1) называется функционалом Больца. В частности, если f ₀ ≡ 0, то функционал (1) называют функционалом Майера, а если Φ≡ 0 , то - функционалом Лагранжа.

Задача управления, в которой критерий качества имеет вид функционала Лагранжа с подынтегральной функцией f ₀ ≡1, называется задачей на предельное быстродействие.

Пусть задан критерий (1). Уточним схему, в соответствии с которой, можно оценить качество управления динамическим объектом в случае, когда известно дифференциальное уравнение движения объекта (1.2), промежуток времени процесса управления [t T ₀ , ], начальное положение объекта x ₀ ∈ S ₀ ( )t ₀ и реализация вектора управляющих параметров

u (⋅ ∈) D t T ⁰ [ 0, ], u t ( )∈ P ⊂ R ^r , t ∈[t T ₀ , ].

Сначала определяется движение x (⋅)= x (⋅, ,t ₀ x u ₀ , (⋅)) динамического объекта, отвечающее реализации вектора управляющих воздействий u (⋅ ∈) D t T ⁰ [ 0, ], u t ( )∈ P , t ∈[t T ₀ , ] и выходящее из начального положения x ₀ ∈ S ₀ ( )t ₀ . Оно находится в результате решения задачи Коши (4.1), например, с помощью формулы Коши (5.1). В конечный момент времени T это движение должно удовлетворять граничному условию x (T )∈ S T ₁ ( ). В противном случае оценивать качество управления динамическим объектом не имеет смысла. Далее для пары (u () ()⋅ ,x ^⋅ ) вычисляется значение функционала (1). Полученное число и является количественной оценкой качества управления динамическим объектом.

Пример 9*. Рассмотрим линейный управляемый динамический объект

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

.

⎜⎜⎜⎝2 −4 1⎠^⎟ ⎟ ⎝⎜⎜⎜0 0 1⎠⎟⎟ ⎝ ⎠⎜⎜⎜0⎟⎟

Полагаем

⎧⎪

θ 0 = ={^t ₀ } {⁰ }^, θ 1 = ={^T } {¹ }^, ,S 0 = ={x 0} ⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎝ ⎠⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛ ⎞⎜111⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎪⎭⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎫⎪∈ R 3, S 1 ={x T ∈ R n ≤ 50},

^T I ⎡_⎣ u ()⋅ ,x ()⋅ ⎤_⎦ =_∫ t u t ( ),x t ( ) dt + x t ( )0 ² + x T ( ) ² ,

0

⎛

P ={u ∈ R 3 u ≤ 2}, u t ˆ( )=⎜⎜⎜⎜⎜⎜cossint tt ⎠⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟, t ∈[0,1].

⎜⎝

Реализуем описанную выше схему оценки качества управления динамическим объектом для рассматриваемого случая. В примере 5 для однородной системы дифференциальных уравнений

⎛⎜⎜⎜⎜⎜xx 123⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜112 −144 111⎞⎛⎠⎝⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜xxx 123⎠⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎝⎜x ⎠

была построена фундаментальная матрица Коши

⎛⎞

⎜_⎟ ⎛ ⎞1

= ⎜ 2 −2cos −sin 2 + 4cos + 2sin 3 −3cos +sin ^{⎟⎜ ⎟} ⎜ ⎟1 +

⎛ 54 e 3(t −τ) + 1 5 cos(t −τ)− ⎜

⎜− ⁷ ₅ sin(t −τ)

⎜

⎜

⎜ 2 e 3(t −τ) − 2 cos(t −τ)− t ⎜ 5 5

+∫⎜− ¹ ₅ sin(t −τ)

0 ⎜

⎜

^⎜ ⎜ 2sin(t −τ)

⎜

⎜

⎜

⎝

52 e 3(t −τ) − 52 cos(t −τ)+ + ¹⁴ ₅ sin(t −τ)

1 5 e 3(t −τ) + 54 cos(t −τ)+

+ ₅ ² sin(t −τ)

−4sin(t −τ)

3 e 3(t −τ) − 3 cos(t −τ)− ⎞

5 5

⎟

− ₅ ⁴ sin(t −τ) ⎟

⎟

⎟

103 e 3(t −τ) − 103 cos(t −τ)+⎟⎟ ⎛ sinτ⎞

+ 101 sin(t −τ) ⎟ ⎜⎜cosτ⎟⎟ d τ= .

⎟⎟ ⎜⎝ τ ⎟⎠ cos(t −τ)+sin(t −τ^{) ⎟} _⎟

⎟

⎟ ⎟ ⎠

⎛ 30¹ ⎡⎣−20+62e ^3t +3(− +4 5t )cost +9 1( +5t )sint ⎦⎤⎞⎟ ⎜

= ⎜ ⎡⎣−10+31e +3 3+5t cost +12sint ⎦⎤ ⎟⎟, t ∈[0,1]

⎜

⎜ 1+ −t t cost −(1+ 2t )sint ⎟

⎝ ⎠

Далее полагаем

⎛ 41.4121 ⎞ x ^ˆ ( )1 = ^⎜ _⎜ 21.1906 ^⎟ _⎟ , x ˆ(1) = 46.531...< 50.

^⎜ ⎝−1.06472^⎟ _⎠

Последнее неравенство означает, что для движения x ˆ(⋅) выполнены граничные условия на правом конце. Величина критерия качества процесса вычисляется по формуле

1

I u ⎣⎡ ˆ()⋅ , x ˆ()⋅ ⎦⎤ =∫0 u t ˆ( ), x t dt ˆ( ) + x ˆ( )0 ² + x ˆ( )1 ² = 49.7931.

1.7. Программные стратегии. Различают два типа стратегий управления динамическим объектом: позиционный и программный. Первый из них предполагает, что при назначении вектора управляющих параметров используется информация о текущем времени и о значении фазового вектора объекта; второй - только информация о текущем времени. В математическом плане программные стратегии можно отождествить с функциями одного переменного (текущего времени), а позиционные стратегии с функциями n +1 переменного, где n - размерность фазового вектора. Таким образом, множество программных стратегий формально включено в множество позиционных стратегий. Вместе с тем задача программного управления представляет и самостоятельный интерес. Это объясняется тем, что в ряде случаев результат управления, достигаемый в классе позиционных стратегий, может быть получен и в классе программных стратегий. В то же время техническая реализация программного управления значительно проще позиционного. Кроме того, решение задачи программного управления может быть использовано как вспомогательное средство решения задачи позиционного управления. Сами позиционные стратегии обычно применяются в тех случаях, когда дифференциальные уравнения движения объекта с недостаточной степенью точности описывают динамику управляемого процесса.

Другой сферой применения позиционных стратегий являются конфликтноуправляемые динамические объекты, математическими моделями которых служат дифференциальные игры. Позиционные стратегии управления не являются предметом изучения данного пособия.

Пусть P ⊂ R ^r - область изменения вектора управляющих параметров.

Определение 8. Программной стратегией управления динамическим объектом на промежутке времени [t T ₀ , ]⊂ R ¹ называется функция вида

U :[t T ₀ , ]→ P ⊂ R ^r .

Обычно оговаривается класс допустимых программных стратегий. В частности, если им является класс кусочно-непрерывных (в точках разрыва непрерывных справа) функций, то допустимые программные управления можно отождествить с допустимыми реализациями вектора управляющих параметров. В этом случае программные стратегии будем также называть программными управлениями и обозначать строчными буквами.

В теоретических исследованиях программные стратегии обычно принадлежат более широким, классам функций, таким, как например, пространство L t T ^r _p [ 0, ], p ∈[1,∞]. Здесь символом L ^r _p [t T ₀ , ], p ∈[1,∞) обозначено пространство измеримых вектор функций u t T :[ 0, ]→ P ⊂ R ^r , для которых функция u ()⋅ ^p суммируема на промежутке [t T ₀ , ] в смысле Лебега, с нормой

1

⎛

u L p = ⎜⎜⎜⎜⎜⎝∫tT 0 u t ( ) p dt ⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟p .

При p = ∞ под символом L ^r _∞ [t T ₀ , ] понимается пространство ограниченных измеримых функций, u :[t T ₀ , ]→ P ⊂ R ^r с нормой

u _L ∞ = ess t ∈sup[t T 0, ] U t ( ) = inf supv _{() ⋅} t _{∈ [} t T 0, _] v t ( ) ,

где v (⋅) пробегает множество всех измеримых функций, совпадающих с функцией u ()⋅ почти всюду на отрезке [t T ₀ , ].

Класс допустимых программных стратегий должен удовлетворять следующему свойству: любую допустимую программную стратегию U ()⋅ можно сколь угодно точно приблизить (в смысле сходимости в среднем

T ∫u _s ( )t −U t dt ( ) → 0, s → ∞ ) реализацией вектора управляющих параметров

t ₀

u _s (t ), s =1,2, , t ∈[t T ₀ , ].

В частности, пусть класс допустимых программных стратегий принадлежит пространству L t T ^r _p [ 0, ], p ∈[1,∞]. Тогда указанное свойство следует из того, что множество непрерывных функций всюду плотно в L t T ₁ ^r [ 0, ] [16 ].

В дальнейшем, если не оговорено противное, множество допустимых программных стратегий будем считать принадлежащим пространству суммируемых по Лебегу функций.

Определение 9. Движением динамического объекта на интервале времени [t T ₀ , ], выходящим из начального положения {t x ₀ , ₀ }и порожденным допустимой программной стратегией U (⋅), называется функция x :[t T ₀ , ]→ R ⁿ , определенная равенством

t t

x ( )t = X t t x [ , ₀ ] 0 +∫ X t [ ,τ ] ( )B τ U ( )τ τd +∫ X t [ ,τ ] ( )C τ τd , t ∈[t T ₀ , ]. (1)

t 0 t 0

В общем случае интегралы в формуле (1) следует понимать в смысле Лебега. Движение объекта, определенное формулой (1), обозначим символом

x (⋅) = x (⋅,t x U ₀ , ₀ , (⋅)).

Пусть {u _s ( )⋅ } - последовательность реализаций вектора управляющих воздействий, аппроксимирующая программное управление U ( )⋅ , и x _s ( )⋅ движение объекта, отвечающее реализации u _s (⋅), s =1,2, . Тогда справедлива оценка

tT

x ( )t − x _s ( )t ∫ X t [ ,τ]B ( )τ τ_⎣ ⎡U ( )−u _s ( )τ τ⎤_⎦ d ≤ M ∫ U ( )τ −u _s ( )τ τd ,

t 0t 0

t ∈[t T ₀ , ], M = const .

Из нее следует, что последовательность функций ϕ_s (⋅), определенных формулой

ϕ_s ( )t =x t ( )− x _s (t ) , t ∈[t T ₀ , ], s =1,2,

равномерно сходится к нулю на отрезке времени [t T ₀ , ].

Таким образом, любое движение динамического объекта можно рассматривать как равномерный предел движений объекта, порожденных соответствующими допустимыми реализациями вектора управляющих воздействий. При этом оно принадлежит классу абсолютно непрерывных на промежутке [t T ₀ , ] функций и удовлетворяет на нем дифференциальному уравнению x = A t x ( ) +B t U t ( ) ( )+C t ( )

почти всюду.

1.8. Постановка и существование решения задачи теории оптимального управления. Пусть заданы дифференциальные уравнения (1.2) движения динамического объекта, критерий качества (6.1), множество начальных и конечных моментов времени θ₀ ⊂ R ¹ , θ₁ ⊂ R ¹ , infθ₀ ≤ sup, θ₁ , область изменения вектора управляющих параметров P ⊂ R ^r , ограничения на левый конец S ₀ ( )t ₀ ⊂ R ⁿ , t ₀ ∈θ₀ и правый конец S T ₁ ( ), T ∈θ₁ фазовой траектории динамического объекта, и допустимая программная стратегия U (⋅).

Определение 10. Набор (t T x U ₀ , , ₀ , ( )⋅ ,x ( )⋅ ) назовем допустимым, если t ₀ ∈θ₀ , T ∈θ₁ , t ₀ <T , x ( )⋅ = x (⋅,t x U ₀ , ₀ , ( )⋅ ), x ₀ ∈S ₀ (t ₀ ), x (T )∈S ₁ (T ) .

На множестве допустимых наборов посредством формулы (6.1) определим функционал I :(t T x U ₀ , , ₀ , ( )⋅ , x ( )⋅ ) → I t T x U [ ₀ , , ₀ , ( )⋅ , x ( )⋅ ] и поставим следующую задачу.

Задача 1. Определить допустимый набор такой, что для

любого другого допустимого набора (t T x U ₀ , , ₀ , ( )⋅ ,x ( )⋅ ) выполнялось бы неравенство

I ⎡_⎣ t T x U x ⎤_⎦ I t T x U x .

Допустимый набор назовем решением задачи оптимального

управления, U ⁰ ( )⋅ – оптимальной программной стратегией, x ⁰ ()⋅ – оптимальной траекторией. В задаче 1 требуется минимизировать функционал I . Случай максимизации функционала сводится к эквивалентной задаче минимизации функ-

ционала − I .

Сформулированная задача 1 оптимального управления динамическим объектом не всегда имеет решение. Покажем это на примере.

Пример 10. Рассмотрим управляемый динамический объект

¹ ⎧⎫

x = u , x ∈R , u ∈ −[ 1,1 ,] θ₀ ={ }0 , θ₁ = (0,+∞) , S ₀ ={ }0 , S ₁ ( )T = ⎨x = 0, T ∈θ₁ ⎬,

⎩⎭

Траектория движения, отвечающая программному управле-

нию u _T ˆ (⋅), изображена на рис. 7 .

Момент времени T окончания процесса в данном случае удов-

летворяет неравенству T >T ˆ , и

Рис. 7 1 1 поэтому < . Выбирая вели-

T T ˆ

чину T ^ˆ достаточно большой, значение функционала I T u ⎡_⎣ ^ˆ , _T ˆ ( )⋅ _⎦ ⎤ = _T ¹ _ˆ можно сделать сколь угодно малым. Однако программной стратегии U ( )⋅ , для которой I T U ⎡_⎣ , ( )⋅ ⎤_⎦ = 0, не существует в классе L t T ^r _p [ 0, ], p ∈[1,∞]. Отсюда заключаем, что рассматриваемая задача оптимального управления решения не имеет. Для задачи теории оптимального управления

x = A t x ( ) + B t u ( ) +C t ( ),

t t T t t t T T T t T ,

x ∈R ⁿ , u ∈P ⊂ R ^r , x ₀ ∈S ₀ (t ₀ ) , t ₀ ∈θ₀ , x T ( )∈S T ₁ ( ) , T ∈θ₁ ,

I [t ₀ ,T , x ₀ ,u (⋅), x (⋅)]= Φ(t ₀ ,T , x ₀ , x (T ))

выведем достаточные условия существования ее решения в классе интегрируемых по Лебегу программных стратегий.

Теорема 5 (существование решения задачи теории оптимального управления).

Пусть выполнены следующие предположения:

1) множество P ⊂ R ^r компактно и выпукло;

2) множество Ξ = {e = (t ₀ ,T , x ₀ ,x _T )x ₀ ∈ S ₀ (t ₀ ), x _T ∈ S ₁ (T ), t ₀ ∈θ₀ , T ∈θ₁ }⊂ R ^{2 ( n + 1 )} компактно;

3) множество допустимых наборов G ={(t T x U ₀ , , ₀ , ( )⋅ , x ( )⋅ )} содержит хотя бы один элемент;

4) множество допустимых программных стратегий принадлежит пространству функций, интегрируемых по Лебегу на интервале управления.

Тогда существует допустимый набор t T x U x G , на котором

функционал I достигает минимума.

Доказательству теоремы предпошлем лемму.

Лемма 2. Пусть R :[t ₀ ,t ]→ K ⊂ R ⁿ – интегрируемая по Лебегу функция и множество K - выпуклый компакт. Тогда

1 t

^∫ R ( )τ d τ∈K . (1)

_{t − t} 0 t 0

Доказательство. Известно [16], что для всякой интегрируемой по Лебегу функции R , определенной на интервале [t ₀ ,t ], найдется последовательность ступенчатых функций { }R _s , определенных и равномерно сходящихся на этом интервале к функции R , причем справедливо равенство

t t ( ) R ( )τ d τ. (2)

t 0 t 0

Покажем, что включение (1) справедливо для всякой ступенчатой функции

R :[t ₀ ,T ]→ K . Напомним, что функция называется ступенчатой, если она принимает конечное число значений R ^{( 1 )} , ,R ^{( k )} ∈K . Обозначим

T _j = {τ∈[t ₀ ,t ]R (τ) = R ^{( j )} }, j =1, ,k .

Тогда

1 t ^∫ R ( )τ d τ= . (3)

_{t − t} 0 t 0 _{t − t} 0 j =1

Здесь _µ (T _j ) – мера множества T _j , j =1, ,k . Заметим, что

. t

Выражение (3) представляет собой выпуклую комбинацию векторов R ^{( j )} ∈K , j =1, ,k . Отсюда следует справедливость включения (1) для случая, когда функция R ступенчатая. Доказательство общего случая использует предельный переход в (2) и условие компактности множества K .

Доказательство теоремы. B силу компактности множества Ξ функционал I ограничен на множестве допустимых наборов G . Из условия G ≠∅ следует существование для функционала I минимизирующей последовательности {(t ₀ ^s ,T ^s ,x U ₀ ^s , ^s ( )⋅ ,x ^s ( )⋅ )}, (t ₀ ^s ,T ^s ,x U ₀ ^s , ^s ( )⋅ ,x ^s (⋅))∈G , s =1,2, , т.е. такой последовательности, что

lims →∞ I t T ^⎡ ⎣ 0^s , ^s ,x U ₀ ^s , ^s ( )⋅ ,x ^s ( )⋅ _⎦ ^{⎤ =} ₍ t T x U 0, , 0^inf , ( )⋅ ,x _{( )} ⋅ ∈₎ G ^{I t T x U} _⎣ ⎡ ₀ , , ₀ , ( )⋅ ,x (⋅⁾ _⎦ ⎤ = I _∗ , I _∗ < ∞ .

В силу 2) из последовательности {(t T ₀ ^s , ^s , x x ₀ ^s , ^s (T ^s ))}, s =1,2, можно извлечь сходящуюся. Не теряя общности, считаем, что

{(t T ₀ ^s , ^s , x x ₀ ^s , ^s (T ^s ))} → (t T ₀ ⁰ , ⁰ , x ₀ ⁰ ,x ^{T 0} )∈Ξ .

Рассмотрим последовательность движений

{x ^{( ) s} ( )⋅ }, x ^{( ) s} ( )⋅ = x (⋅,t ₀ ^s , x U ₀ ^s , ^s ( )⋅ ), s =1,2,

Для всех номеров s =1,2, справедливо равенство

t t

^{x ( ) s} ( )t = ^{X t t ⎡} ⎢⎣ , ₀ ^s ⎦^⎤ ⎥ x ₀ ^s +∫t X t [ ,τ ] ( )B τ U ^s ( )τ τd +∫t X t [ ,τ ] ( )C τ τd , t ∈^⎡ _⎣ t ₀ ^s ,T ^s _⎦ ⎤ . (4)

0 0

Полагаем

⎧⎪ x 0s , t ∈⎡⎣t 0∗,t 0s ) , x ^{( ) s ∗} ( )t = _⎨ ^⎪ x ^{( ) s} ( )t , t ∈⎡_⎣ t ₀ ^s ,T ^s ⎤_⎦ , (5)

⎪ ( )s s s ∗

⎪_⎩ x (T ), t ∈(T ,T ⎤_⎦ .

Из компактности множеств Ξ, P и формул (4) (5) следует, что функции, образующие последовательность {_x ^{( ) s ∗} ( )⋅ }, равномерно ограничены и равностепенно непрерывны на отрезке ⎡_⎣ t _{0 ∗} ,T ^∗ ⎤_⎦ . По теореме Арцела (при необходимости следует перейти к подпоследовательности) эта последовательность равномерно сходится на отрезке ⎡_⎣ t _{0 ∗} ,T ^∗ ⎤_⎦ к некоторой абсолютно непрерывной функции x ^{0 ∗} ( )⋅ . Очевидно, что

x .

Обозначим через x ⁰ ( )⋅ сужение функции x ^{0 ∗} (⋅) на отрезке _⎣ ⎡t ₀ ⁰ ,T ⁰ _⎦ ⎤ и докажем существование допустимой программной стратегии U ⁰ ( )⋅ , для которой почти всюду на отрезке ⎡_⎣ t ₀ ⁰ ,T ⁰ ⎤_⎦ выполняется равенство

x ⁰ ( )t = A t x ( ) ⁰ (t )+ B t U ( ) ⁰ (t )+C t ( ). (6)

Пусть t ∈(t T ₀ , ⁰ ) – точка, где функция x ⁰ (⋅) имеет производную. Для достаточно больших номеров s =1,2, и малых положительных чисел h будет

выполнено вложение [t t , + h ]⊂ ⎡_⎣ t ₀ ^s ,T ^s ⎤_⎦ . Из равенства

t t t

x ( )

t 0∗ t 0∗ t 0∗

следует

x (s ) (t + hh )− x (s ) (t ) = 1h t h +_t ⎡A ( )τ x ( )s ( )τ + B ( )τ U s ( )τ +C ( )τ ⎤⎦d τ. (7) ∫ ⎣

В силу равномерной сходимости последовательности функций {x ^{( ) s} ( )⋅ } к функции x ⁰ ( )⋅ , для любого ε> 0 и достаточно малого h > 0 , начиная с некоторого номера s , будет выполняться включение

A ( )τ x ^{( s )} ( )τ + B ( )τ U ^s (τ)+C (τ)∈K x ( ⁰ (t ),ε),τ∈[t t , + h ],

где

K x ( ⁰ ( )t ,ε) = A t x ( ) ⁰ (t )+ B t P ( ) +C t ( )+O (0,ε).

Множество K x ( ⁰ (t ),ε) является выпуклым компактом. Тогда по лемме 2 следует, что

1 t h + s s 0

_h t _⎣ A ( )τ x ( )τ τ τ τ τ+ B ( )U ( )+C ( )⎤_⎦ d ∈^{K x} ( ( )t ,ε). ^∫ ⎡

Отсюда и из равенства (7) выводим

x (s ) (t + h )− x (s ) (t ) 0

∈ A t x ( ) ( )t + B t P ( ) +C t ( )+O (0,ε). h

Переходя в нем к пределу при s → ∞, получим

x ⁰ (t + h )− x ⁰ (t ) ₀

∈ A t x ( ) ( )t + B t P ( ) +C t ( )+O (0,ε). (8)

h

Из существования производной функции x ⁰ (⋅) в точке t вытекает возможность предельного перехода в левой части равенства (8) при h → 0. В результате такого перехода получим

x ⁰ ( )t ∈ A t x ( ) ⁰ (t )+ B t P ( ) +C t ( )+O (0,ε).

Отсюда в силу произвольности ε> 0 выводим

x ⁰ ( )t ∈ A t x ( ) ⁰ (t )+ B t P ( ) +C t ( ).

Итак, установлено, что для каждого момента времени t ∈⎡_⎣ t ₀ ⁰ ,T ⁰ ⎤_⎦ , в который существует производная функции x ⁰ (⋅), найдется вектор u ⁰ ( )t ∈P , удовлетворяющий равенству (6). По лемме об измеримом выборе [31] функция u ⁰ (⋅) может быть выбрана интегрируемой по Лебегу. Допустимую программную стратегию U ⁰ ( )⋅ отождествим с функцией u ⁰ (⋅).

Очевидно, что набор является допустимым, и при этом

I _∗ = lims →∞ I t T ⎡_⎣ 0^s , ^s , x U ₀ ^s , ^s ( )⋅ , x ^s ( )⋅ _⎦ ⎤ = lims →∞ Φ( t T ₀ ^s , ^s ,x x ₀ ^s , ^s (T ^s ))) = Φ( t T ₀ ⁰ , ⁰ ,x ₀ ⁰ , x ⁰ (T ⁰ )) =

.

Теорема доказана.

1.9. Область достижимости линейного управляемого динамического объекта. Важной характеристикой управляемого объекта является его область достижимости. Пусть t ₀ ∈θ₀ , x ₀ ∈S ₀ (t ₀ ),T ∈θ₁ . Символом Π[t T ₀ , ] обозначим множество всех допустимых программных стратегий вида U :[t T ₀ , ]→ P .

Определение 11. Множество

G t ( ₀ ,x T ₀ , ) ={q = x T t ( , ₀ ,x U ₀ , ( )⋅)U ( )⋅ ∈Π[t T ₀ , ]} ⊂ R ⁿ

называется областью достижимости управляемого динамического объекта в момент времени T для начального положения {t ₀ , x ₀ }.

Теорема 6. Пусть множество P ⊂ R ^r выпукло и компактно. Тогда область достижимости является выпуклым компактным множеством в пространст-

ве R ⁿ .

Доказательство. Из определения области достижимости для всякого q ∈G t x T ( ₀ , ₀ , ) следует существование программной стратегии U ( )⋅ ∈Π[t T ₀ , ] такой, что

T T

q = X T t [ , ₀ ]x ₀ + ∫ X T [ ,τ]B ( )τ τ τU ( )d + ∫ X T [ ,τ τ τ]C ( )d , (1)

t 0 t 0

где X [s ,t ], s ,t ∈[t ₀ ,T ]– фундаментальная матрица Коши, отвечающая однородному дифференциальному уравнению x = A (t )x , t ∈[t ₀ ,T ]. Оценим по норме вектор q . Имеем

T T

q ≤ X T t [ , ₀ ] x ₀ + ∫ X T [ ,τ] B ( )τ τ τU ( ) d + ∫X T [ ,τ τ τ] C ( ) d .

t 0 t 0

В силу ограниченности множества P ⊂ R ⁿ из последнего неравенства вытекает ограниченность области достижимости. Пусть _q ^~ – предельная точка области достижимости и {_q ^{( ) s} } → q q _, ^{( ) s} ∈G t ( ₀ ,x T ₀ , ). Из равенства (1) следует, что для всех s =1,2, будет справедливо

T T

q ^{( ) s} = X T t [ , ₀ ]x ₀ + ∫ X T [ ,τ]B ( )τ U ^{( ) s} ( )τ τd + ∫ X T [ ,τ τ τ]C ( )d , (2)

t 0 t 0

где _U ^{( s )} ( )⋅ ∈Π[t T ₀ , ]. В силу слабой компактности множества Π[t T ₀ , ] [16 ] из последовательности функций {U ^{( ) s} ( )⋅ } можно извлечь подпоследовательность, слабо сходящуюся к функции U (⋅ ∈Π) [t T ₀ , ]. Переходя к пределу по подходящей подпоследовательности индексов в (2), получаем равенство

T T

q _∗ = X T t [ , ₀ ]x ₀ + ∫ X T [ ,τ]B ( )τ τ τU ( )d + ∫ X [T ,τ]C ( )τ τd . (3)

t 0 t 0

Равенство (3) означает, что q _∗ ∈G t x T ( ₀ , ₀ , ). Отсюда следует замкнутость области достижимости. Докажем ее выпуклость. Пусть q ^{( ) 1} ,q ^{( ) 2} ∈ ∈G t x T ( ₀ , ₀ , ). Это означает, что существуют функции _U ^{( 1 )} (⋅),_U ^{( 2 )} (⋅ ∈Π) [t T ₀ , ], для которых справедливы равенства

T T

q ^{( ) i} = X T t [ , ₀ ]x ₀ + ∫ X T [ ,τ]B ( )τ τ τU ^{( ) i} ( )d +∫ X T [ ,τ τ τ]C ( )d , i =1,2. (4)

t 0 t 0

Для любого α∈[0,1] положим q _α =α_q ^{( 1 )} + (1−α)_q ^{( 2 )} . В силу (1) имеем

T T

_{α 0 0} ∫ X [T ,τ] B ( )τ α τ_⎣ ⎡ U ^{( ) 1} ( ) (+ 1−α)U ^{( ) 2} ( )τ τ⎤_⎦ d + ∫ X T [ ,τ τ τ]C ( )d . (5)

q = X T t [ , ]x +

t 0 t 0

Из выпуклости множества P следует, что α τ_U ^{( 1 )} ( )+(1−α)_U ^{( 2 )} ( )τ ∈P для всех

τ∈[t T ₀ , ] . Это означает справедливость включения

αU ^{( 1 )} ( ) (⋅ + 1−α)U ^{( 2 )} (⋅ ∈Π) [t T ₀ , ]. Тогда в силу (5) заключаем, что q _α ∈G t x T ( ₀ , ₀ , ). Таким образом, область достижимости выпукла. Теорема доказана.

Упражнения для самостоятельной работы

Даны дифференциальные уравнения движения управляемых линейных динамических объектов

x ₁ = −3x ₁ + 4x ₂ − 6x ₃ + u ₁ , x ₁ = −2x ₁ − 4x ₂ − 60x ₃ + u ₁ ,

а) x ₂ = x ₁ − 2x ₂ + 2x ₃ + u ₂ , б) x ₂ = −4x ₁ − x ₂ −51x ₃ + u ₂ , x ₃ = 2x ₁ − x ₂ + 3x ₃ + u ₃ , x ₃ = 2x ₁ − 2x ₂ + x ₃ + u ₃ ,

x ₁ = 2x ₁ + 4x ₂ −16x ₃ + u ₁ , x ₁ = −3x ₁ − x ₂ −5x ₃ +u ₁ ,

в) x ₂ = 2x ₁ − x ₂ + 21x ₃ + u ₂ , г) x ₂ = x ₁ − x ₂ +u ₂ , x ₃ = −2x ₁ − 2x ₂ + x ₃ + u ₃ , x ₃ = x ₁ + x ₂ + 2x ₃ +u ₃ .

1. Записать дифференциальные уравнения движения в матричной форме.

2. Для однородных систем линейных дифференциальных уравнений, соответствующих заданным неоднородным системам, построить фундаментальную матрицу Коши двумя способами: с использованием операции обращения матрицы и без использования. Убедиться в том, что оба метода строят одну и ту же матрицу. Проверить выполнение свойств (3.1)-(3.4) фундаментальной матрицы Коши.

3. Проверить справедливость формулы Коши (5.1) при следующих дополнительных данных:

⎛ ⎞1 ⎛−1⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

x =

а) 0 ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠11 , t 0 = 0,T =1, б) x 0 = ⎜⎝⎜−11⎟⎠⎟, t 0 = 0,T =1,

u ₁ ( )t = sin ,t u ₂ ( )t = cos ,t u ₃ ( )t = e ^t , u ₁ ( )t = t u , ₂ ( )t = e ^{− t} , u ₃ ( )t = cos ,t

⎛ 1 ⎞ ⎛−1⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

в) x 0 = −⎜⎜⎝ 11⎟⎠, t 0 = 0,T =1, г) x 0 = −⎜⎜⎝ 11⎠⎟⎟, t 0 = 0,T =1,

⎟

u ₁ ( )t = sin ,t u ₂ ( )t = t ² , u ₃ ( )t = e ^t , u ₁ ( )t = e u ^t , ₂ ( )t = sin ,t u ₃ ( )t = −cos .t

4. Вычислить критерии оптимальности для движений, отвечающих указанным в пункте 3 задания управлениям и выходящих из приведенных там же начальных положений

I u ⎡⎣ ( )⋅ ⎤⎦ = I u ⎡⎣ (⋅)⎤⎦ =

а) б)

I u ⎡⎣ ( )⋅ ⎤⎦ = I u ⎡⎣ (⋅)⎤⎦ =

в) г)

2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ

ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАННЫМ

ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА

2.1. Случай закрепленного левого конца и свободного правого конца траектории. Рассматривается следующая задача теории оптимального управления.

Задача 1. Найти допустимую программную стратегию U ⁰ ( )⋅ ∈Π[t T ₀ , ], доставляющую минимум функционалу

I ⎡_⎣ U (⋅)⎤_⎦ = Φ(x T ( )), Φ∈C ¹ (R ¹ )

при ограничениях

x = A t x ( ) + B t u ( ) +C t ( ), x ∈R ⁿ , u ∈P ⊂ R ^r , θ₀ ={t ₀ },θ₁ ={T }, S ₀ ={x ₀ }, S ₁ = R ⁿ ,

где множество P ⊂ R ⁿ является выпуклым компактом.

По теореме 1.6 область достижимости G t ( ₀ ,x T ₀ , ) является компактом в пространстве R ⁿ . Тогда в силу непрерывности функции Φ решение задачи 1 существует.

Пусть U ⁰ ( )⋅ - оптимальная программная стратегия. Обозначим через x ⁰ ( )⋅ = x (⋅,t ₀ ,x U ₀ , ⁰ ( )⋅ ) оптимальное движение объекта, а через ψ⁰ ( )⋅ - решение сопряженной системы дифференциальных уравнений (1.3.7), удовлетворяющее условию

.

Теорема 1 ( принцип максимума Л.С. Понтрягина). Оптимальная программная стратегия U ⁰ ( )⋅ удовлетворяет следующему условию максимума:

B ( )t U ⁰ (t ),ψ⁰ (t ) = max B t u ( ) ,ψ⁰ (t ) (1)

u P ∈

для почти всех t ∈[t T ₀ , ].

Доказательство. Из выпуклости области достижимости G t ( ₀ ,x T ₀ , ) в силу [7 ] следует, что для всех q ∈G t ( ₀ ,x T ₀ , ) имеет место неравенство

∂Φ ^{0 00 00 00}

0 ≤(x ( )T ),q − x ( )T = − ψ ( )T ,q − x ( )T = ψ ( )T ,x ( )T − ψ ( )T ,q . (2)

∂x

Тогда для всех u ( )⋅ ∈Π[t T ₀ , ] должно выполняться

T T

ψ⁰ ( )T , X T t [ , ₀ ]x ₀ + ∫ X T [ ,τ τ τ τ]B ( )U ⁰ ( )d + ∫ X T [ ,τ τ τ]C ( )d −

t 0 t 0

T T

− ψ⁰ ( )T , X T t [ , ₀ ]x ₀ + ∫ X T [ ,τ τ τ τ]B ( ) ( )u d + ∫ X T [ ,τ τ τ]C ( )d =

t 0 t 0

TT

= ψ ( )T ,∫ X T [ ,τ τ τ τ ψ]B ( )U ⁰ ( )d − ⁰ ( )T ,∫ X T [ ,τ τ τ τ]B ( ) ( )u d ≥ 0.

t 0t 0

Последнее возможно, только если

TT

ψ⁰ ( )T ,∫ X T [ ,τ τ τ τ]B ( )U ⁰ ( )d ⁼ u _{( )} ⋅ ∈Πmax_[ t T 0, _] ψ⁰ ( )T ,∫ X T [ ,τ τ τ τ]B ( ) ( )u d . (3)

t 0t 0

Последовательно преобразуем левую и правую части равенства (3). Имеем

T

ψ⁰ ( )T , X T [ ,τ τ τ τ]B ( )U ⁰ ( ) d = u ⋅ ∈Πmaxt T 0, ∫ ψ⁰ ( )T , X T [ ,τ τ τ τ]B ( ) ( )u d ⇒

_{( ) [ ]}

t ₀

T

ψ⁰ ( )T , X ^{− 1} [τ,T B ] ( )τ τ τU ⁰ ( ) d = u ⋅ ∈Πmaxt T 0, ∫ ψ⁰ ( )T , X ^{− 1} [τ,T B ] ( ) ( )τ τ τud ⇒

_{( ) [ ]}

t ₀

T ∫ X [τ,T ]}Tр ψ⁰ ( )T , B ( )τ τ τU ⁰ ( ) d = u _{( )} ⋅ ∈Πmax_[ t T 0, _] {X ^{− 1} [τ ψ,T ]}Tр ⁰ ( )T , B ( ) ( )τ τ τud .

t 0 0

Отсюда в силу (1.5.2) выводим

T T

∫ψ⁰ ( )τ τ τ τ, B ( )U ⁰ ( )d = u _{( )} ⋅ ∈Πmax_[ t T 0, _] ∫ψ τ τ τ τ⁰ ( ), B ( ) ( )ud

t 0 t 0

В книге [18 ] показано, что

T T max ∫ψ⁰ ( )τ τ τ τ,B ( ) ( )ud = ∫maxψ τ τ τ⁰ ( ), B ( )u d .

u _{( )} ⋅ ∈Π_[ t T 0, _] u P ∈ t 0 t 0

Тогда

T

_∫ ⎡_⎣ ψ τ τ τ⁰ ( ), B ( )U ⁰ ( )−maxu P ∈ ψ τ τ τ⁰ ( ), B ( )u ⎤_⎦ d = 0,

t ₀

что и означает выполнение условия (1). Теорема доказана.

Функция

H t x u ( , , ,ψ) =A t x ( ) + B t u ( ) +C t ( ),ψ

представляет собой функцию Л.С. Понтрягина [25] для рассматриваемого управляемого динамического объекта. Таким образом, доказанная теорема утверждает, что на оптимальном управлении функция Л.С. Понтрягина достигает максимального значения.

Заметим, что для выпуклых функций Φ неравенство (2) является доста-

точным условием минимума функции Φ на множестве G t ( ₀ ,x T ₀ , ). Тогда усло-

вие (1) будет не только необходимым, но и достаточным для оптимальности программной стратегии

U ⁰ (⋅).

Пример 1. Рассмотрим линейный управляемый динамический объект

x ₁ ⎛u ₁ ⎞ ⎧⎪⎛u ₁ ⎞ x ₁ = u ₁ , x ₂ = u ₂ , u = ⎜ ⎟∈P = ⎨⎜ ⎟

⎝u 2 ⎠ ⎩⎪⎝u 2 ⎠

⎛ x ₁₀ ⎞ ⎛ ⎞0

⎜ ⎟ = ⎜ ⎟, t ₀ = 0,T =1, Φ( )x =

⎝ x ₂₀ ⎠ ⎝ ⎠0

Рис. 1

Оптимальное управление объектом, как вид-

но из рис. 1 , здесь состоит в том, чтобы перевести управляемую точку из на-

⎛ x ¹⁰ (1)⎞ ⎛ ⎞1

чала координат в положение M _∗ ÷⎜_⎜ ⎝ _x 20 ( )_{1 ⎠} ⎟_⎟ = ⎜ ⎟_{⎝ ⎠ 0} . Это можно осуществить только программной стратегией вида

U t u d t . (4)

⎝ 1 ⎠ 0

Проверим выполнение условий теоремы 1 для таких стратегий. Сопряженная система дифференциальных уравнений и граничные условия для нее здесь имеют вид

ψ₁ = 0,ψ₂ = 0,

x ¹⁰ (1)

ψ₁ ( )1 = −= 0,

(x ₁ ⁰ ( )1 )² +(x ₂ ⁰ ( )1 −2)²

x ₂ ⁰ ( )1 −2 ψ₂ ( )1 = −=1.

(x ₁ ⁰ ( )1 )² +(x ₂ ⁰ ( )1 −2)²

Интегрируя, находим, что

.

Выпишем функцию Л.С. Понтрягина, вычисленную вдоль оптимальной пары

(x ⁰ ( )⋅ ,ψ⁰ ( )⋅ ). Имеем

H t x t u t t u t u u t .

Отсюда следует, что

maxu P ∈ H t x ( , ⁰ ( )t , ,u ψ⁰ (t )) = u 1max≤1,u 2 ≤1(ψ₁ ⁰ (t u ) ₁ +ψ₁ ⁰ (t u ) ₂ ) = maxu 2 ≤1 u ₂ =1, t ∈[0,1]. (5)

Очевидно, что программное управление (4) доставляет максимум в (5) и, следовательно, удовлетворяет условию (1).

Практическое применение теоремы 1 для поиска решения задачи управления осуществляется следующим образом.

Для каждого фиксированной пары (t ,ψ)∈[t T ₀ , ]×R ⁿ решается задача математического программирования

B ^Tр (t )ψ, u → max, u ∈P . (6)

Распишем подробнее левую часть условия (6). Имеем

Тогда задача математического программирования принимает вид

n n ⎛u 1 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟

u ₁ ⎜∑b _{k 1} ( )t ψ_{k ⎟} + +u _r ⎜∑b _kr ( )t ψ_{k ⎟} → max, _{⎜ ⎟} ∈P . (7)

⎝ k =1 ⎠ ⎝ k =1 ^{⎠ ⎜} ⎝u _r ^⎟ ⎠

По теореме Вейерштрасса максимум в условии (7) существует для любой пары (t ,ψ)∈[t T ₀ , ]×R ⁿ . Следовательно, можно определить вектор-функцию

U ^ˆ :[t T ₀ , ]×R ⁿ → P , (8)

которая каждой паре (t ,ψ)∈[t T ₀ , ]×R ⁿ ставит в соответствие вектор U t ^ˆ ( ,ψ)∈P , доставляющий максимум в условии (7).

Пусть функция U ^ˆ уже построена. Рассмотрим систему из 2n обыкновенных дифференциальных уравнений

⎧⎪⎨x = A t x ( ) + B t U t ( ) ˆTр ( ,ψ)+C t ( ), (10)

⎪⎩ ψ= −A ψ.

относительно 2n неизвестных x ,ψ с 2n граничными условиями

x ( ) ( ) . (11) x

Заметим, что в общем случае эта система нелинейная. Более того, функция U ^ˆ может оказаться разрывной по переменной ψ, и тогда для системы дифференциальных уравнений (10) не будут выполняться условия существования решения. В случае, когда все же для задачи (10), (11) получено решение x ⁰ (⋅),ψ⁰ (⋅), программная стратегия U ⁰ ( )⋅ =U ^ˆ (⋅,ψ⁰ (⋅)) будет удовлетворять условиям теоремы 1 , т.е. являться стратегией подозрительной на оптимальную стратегию.

2.2. Поведение функции Л.С. Понтрягина вдоль оптимальной пары

В предыдущем пункте (теорема 1 ) было доказано, что функция Понтрягина на оптимальном управлении принимает максимальное значение. Установим ниже некоторые общие свойства функции максимума (минимума).

Пусть F : X ×Y → R ¹ , X ⊂ R ⁿ ,Y ⊂ R ^m – некоторая функция, непрерывная по совокупности своих переменных в каждой точке области определения. При этом множество Y компактное, а множество X – открытое. Положим

F ⁰ (x )= max F (x , y ), x ∈ X , (1)

y ∈Y

Y ⁰ ( )x ₌ {y ⁰ (x )F (x , y ⁰ (x ))= F ⁰ (x ⁾ }, x ∈ X .

Лемма 1. Функция F ⁰ : X → R ¹ , определенная равенством (1), является непрерывной в каждой точке x ∈X .

Доказательство. Пусть x ∈ X . Для всякого ∆x ∈R ⁿ , x + ∆x ∈ X положим

∆F ⁰ (x ) = F ⁰ (x + ∆x )− F ⁰ (x )= F (x + ∆x , y ⁰ (x + ∆x ))− F (x , y ⁰ ( )x ).

Справедливо двойное неравенство

F (x + ∆x , y ⁰ (x ))− F (x , y ⁰ ( )x )≤ ∆F ⁰ (x ) ≤ F (x + ∆x , y ⁰ (x + ∆x ))− F (x , y ⁰ (x + ∆x )), (2) из которого следует, что ∆F ⁰ (x ) → 0 при ∆x → 0. Лемма доказана.

Определение 1. Будем говорить, что многозначное отображение χ: X → 2^Y , где через 2^Y обозначено множество всех подмножеств множества Y , называется полунепрерывным сверху по включению в точке x _∗ ∈ X , если для всякой последовательности {_x ^{( ) s} } → x _∗ и {_y ^{( ) s} } → y _∗ , _y ^{( ) s} ∈χ(_x ^{( ) s} ), s =1,2, имеет место включение y _∗ ∈χ(x _∗ ).

Заметим, что если отображение χ однозначно, т.е. множество χ(x ) состоит ровно из одного элемента при всех x ∈ X , то из полунепрерывности сверху по включению этого отображения следует его непрерывность в обычном смысле.

Лемма 2. Многозначное отображение Y ⁰ : X → 2^Y полунепрерывно сверху по включению в каждой точке x ∈X .

Доказательство. От противного приходим к существованию точки x _∗ ∈ X и таких последовательностей

{ }x _s → x _∗ , x _s Y , y _s ⁰ ∈Y ⁰ (x _s ), s =1,2 ,

что y _∗ ∉Y ⁰ ( )x _∗ . Тогда найдется число ε> 0, для которого

F ⁰ (x _∗ )− F (x _∗ , y _∗ )=ε. (3)

Из непрерывности функций F ,F ⁰ и сходимости последовательностей {x _s },{y _s } к точкам x _∗ , y _∗ , соответственно, для достаточно больших номеров s будут справедливы неравенства

F ⁰ ( )x _∗ − F ⁰ ( )x _s F (x _∗ , y _∗ )− F (x _s , y _s ⁰ ) _< ^ε . (4)

3

Учитывая, что F , , из соотношений (3),(4) выводим

ε= F ⁰ ( )x _∗ − F (x _∗ , y _∗ )=F ⁰ (x _∗ )− F (x _∗ , y _∗ ) ≤

≤F 0 ( )x ∗ − F 0 (x s ) + F (x s , y s 0 )− F (x ∗, y ∗) < ε + ε = 2ε<ε.

3 3 3

Получили противоречие, которое и доказывает лемму.

Дополнительно предположим, что функция F непрерывно дифференцируема по переменной x в области X , а множество Y ⁰ (x ) состоит ровно из одного элемента y ⁰ (x ) при всех x ∈ X . Тогда, как отмечалось выше, функция y ⁰ : X → R ^m будет непрерывной в каждой точке x ∈ X .

Теорема 2. В принятых предположениях функция F ⁰ : X → R ¹ непрерывно дифференцируема в каждой точке области определения и при этом имеет место равенство

∂ 0 ∂∗ 0

F ( )x = _∗ F (x , y ( )x ), x ∈ X , (5) ∂x ∂ x

где индекс « ∗» в обозначении производной по векторному аргументу x в правой части (5) означает, что эта производная вычисляется без учета зависимости y ⁰ от x ∈ X .

Доказательство. По формуле конечных приращений [7] из двойного неравенства (2) находим

F (x , y ⁰ (x + ∆x )), ∆x + o ∆x ≤ ∆F ⁰ ( )x ≤ F (x , y ⁰ ( )x ), ∆x + o ∆x . (6)

Из соотношений (6) с учетом непрерывности функции y ⁰ следует, что