Книга: Современные методы теории функции Зильберта

Министерство Образования и Науки Украины

Харьковский национальный университет

А.А. Тензор, В.В. Невязкин

Современные методы теории функции Зильберта

ТОМ 3

Харьков 2008

DSFGIH904

ДЖ7ПИВО61

Издание третье, дополненное и недоделанное

Р е ц е н з е н т ы :

Бюншман, Треугольник, Хвилиппов, Петросян,

Штрассерман, Штольц, Коклюшкин

© 2008 А.А. Тензор, В.В. Невязкин кафедра теории функции Зильберта

ОГЛАВЛЕНИЕ :

Задачки 13

Вопросы к экзамену 13

Список использованной макулатуры 15

Теория полиномов Зильберта-Зажигалкина

Интегруй – не интегруй, Всё равно получишь …!

Народная мудрость

Определение . C a b c [ , , '] – пространство функций, непрерывных в треугольнике ABC ' .

Определение . Говорят, что, а слышится “што” !

Определение . Если ∀ε∃δ, то говорят, что выполнено условие Коши-Зильберта .

Определение . Говорят, что на C a b c [ , , '] задан полином Зажигалкина zh (x ), если ∀x x ₁ , ₂ ∈C a b c [ , , '] ∃zh x ( ) ∈C ³² (C a b c [ , , ']) :

1. ∀ε∃δ(выполнено условие Коши-Зильберта);

2. ∀ξ∃η;

3. для ∀ разбиения T многоугольника ATBCEB на треугольники, измеримые по Зильберту, supx x ₁ − <₂ ξ η≥[ ] 1+ .

T

Тогда полином Зажигалкина имеет вид.

Упражнение . Доказать, что пространство C a b c [ , , '] является банаховым пространством.

Определение . На пространстве C a b c *[ , , '] (C со снежинкой) два функционала называются квазиэквивалентными , если при действии на них полиномом Зажигалкина получается одно и то же почти всюду на C a b c [ , , '] отрицательное число. Это число называется константой Мопиталя .

Замечание . На линейные ограниченные функционалы можно подействовать ещё и вектором.

Теорема .

Полином Зажигалкина всегда и только всегда является квазиполиномом с выколотой границей, если все его коэффициенты кроме, быть может, j -ого представляют собой константы Мопиталя.

Единственное свойство полиномов Зажигалкина :

Определения полинома Зажигалкина по Коши и по Гейне квазиэквивалентны.

Теоремка (Зильберта-Зажигалкина)

∀ n -угольник конформным преобразованием можно перевести в правильный m -угольник так, что граница перейдёт во внутренность, а внутренность – в границу.

Утверждение .

Полином Зажигалкина n -ой степени сходится к n -угольнику “отнюдь не сразу” .

Леммка .

Полином Зажигалкина является -периодическим.

Доказательство . Полином Зажигалкина определён на пространстве C a b c [ , , '] и непрерывен в треугольнике ⇒ он 3πпериодичен.

Далее методом мат. дедукции доказывается -периодичность, и так далее до .

Теорема ( признак слаборавномерной полунепрерывности сверху) Полином P_n (x ) слаборавномерно полунепрерывен сверху, если он представим в виде криволинейной комбинации квазиполиномов Зажигалкина.

(Доказывается методом усилий)

Лемма .

Подграфик полинома Зажигалкина монотонно выпуклый чутьчуть влево.

координат

Картина Шмалевича “круг и треугольник”

чтобы полином Зажигалкина чувствовал себя в нём конформно. Далее методом логических догадок приходим к выводу, что теорема верна.

Очень важное замечание :

Зажигалкин ЖЖОТ!

Теорема .

В силу теоремы Зильберта-Зажигалкина (там что-то про n - и m угольники -) теорию полиномов, непрерывных в треугольнике можно обобщить до m -угольников класса гладкости, равного константе Мопиталя.

Лирическое отступление

Из чего же, из чего же, из чего же Сделана формула Грина?

Из производных, из интегралов, Из градиентов и функционалов Сделана формула Грина!

***

Принцип Максима Понтрягина

Потрясающая теорема .

Рассмотрим функционал «ШЫ » (от франц. shit)

b b

< ШЫ , zh >= tg _∫∫ (lh τ+ c dc ') ' ,

a a

где lh x ( ) – гиперболический логарифм x .

Этот функционал достигает апогея (неистово стремится к max) тогда и только тогда, когда max стремится к функционалу «ШЫ ».

Определение .

В таком случае говорят, что ШЫ =XO (max) («хо большое »).

Определение .

Условием ГорЭлектроТрансверсальности называется перпендикулярность функционала ШЫ железнодорожным путям, т. е. равенство нулю скалярного произведения. Напомним, что в пространстве C a b c [ , , '] скалярное произведение – это произведение интеграла и матрицы

b ₁ ⎛a 2 −λ b 2 c 2' ⎞

⎜ ⎟

(ABC ABC 1 1 1', 2 2 2')=−(∫dc 1',⎜ b 2 c 2'−λ a 2 ⎟)

a 1 ⎜⎝ c 2' a 2 b 2 −λ⎟⎠

Теорема (без доказательства) .

В случае, когда матрица диагонализируется, скалярное произведение равно π.

Теорема (без формулировки) .

Доказательство . В силу формулировки теоремы, из (1), (2) и (3) следует (4). Значит, в силу непрерывности функции Зильберта З(х) и по условию ГорЭлектроТрансверсальности, выполняется и требуемое условие (5). Теорема доказана.

Следствие .

Если в предыдущей теореме вместо функции Зильберта З(х) везде подставить полином Зажигалкина zh , теорема останется верной при ∀t и доказывается точно так же.

Упражнение .

r r r

Доказать, что тройка векторов {ШЫ З х , ( ), zh } образует базис в пространстве C a b c [ , , '] (использовать метод ортогонализации

Грамма-Шмидта запрещается).

Обобщение принципа Максима Понтрягина

Рассмотрим замыкание пространства C a b c [ , , '], а именно

пространство C a b c [ , , '] непрерывных в криволинейном треугольнике ABC ' функций (примеры криволинейных треугольников были рассмотрены в томе 1).

r r r

На этом пространстве векторы {ШЫ З х , ( ), zh } мона интегрировать, косинусировать и брать от них невязку с двойным пересчётом.

Вопрос .

Почему нельзя тангенцировать?

Определение .

Зильбертов кирпич – это кирпич в пространстве C a b c [ , , '] со сторонами a , b , .

Вопрос .

Можно ли из зильбертовых кирпичей построить дачу? 3гономе3ческие функции

sinn x

Определение .

Функция синнус на пространстве Зильберта определяется следующим образом: sinn(x )=sin(n ⋅ x )

Эта функция названа так в честь эстонского математика Отто Синнуса.

Функция синнус похожа на обычный синус, только она гораздо медленнее стремится к , потому что ей некуда спешить!

narccos x

Определение .

Функция нарккосинус выражается через арккосинус так:

narccos(x )=n ⋅arcos(x )

gensec x

Определение .

Функция генсеконс :

⎡g = 9.8⎤

gensec(x )= g e n ⋅ ⋅ ⋅sec(x )= _{⎢ ⎥} = 26.46⋅n ⋅sec(x ).

⎣e = 2,7⎦

Основное 3гономе3ческое тождество

Теорема .

Функции нарккосинус и генсеконс связаны тождеством:

narccos² (x )+ gensec² (x )=1991.

***

Теперь, когда теоретическая основа положена и все теоремы доказаны, можно наконец дать определение функции Зильберта

З(х).

Определение (функции Зильберта)

Итак, рассмотрим конформное отображение Г матриц из пространства Зильберта Zⁿ в пространство функций, непрерывных в треугольнике C a b c [ , , '].

Подействуем полиномом Зажигалкина на вектор нормали к пространству LC a b c ₂ [ , , ']. По теореме Зильберта-Лиувилля, получим оператор Ы , умноженный на константу Ц . Эта константа является кусочно-непрерывной на кривоугольном отрезке [a b c , , '] , поэтому её можно, и, более того, желательно разделить на 0, особенно если 0 попадёт в тот кусочек, где она разрывна.

Далее интегрируем оператор Ы от А до Я . Применяя метод Симпсона к полученному выражению, найдём значение sinnΘ(η) в точках излома.

Таким образом, наша задача сводится к полноценной задаче Гольца с тремя закреплёнными концами и одним ослабленным. Эта задача записывается в виде:

J < Θ >ds →minn (1)

Условия ГорЭлектроТрансверсальности:

⎧J (0) =^π ,

⎪ 2

^⎪ ⎨⎪J (^π 2) =^∞ 8 , (2)

⎪J (Ц Ц ) = !

⎩

Решение этой задачи называется функцией Зильберта З(х).

Это конец!

Замечательно .

Теория функции Зильберта является фундаментальной . Это означает, что любая последовательность теорем сходится к любой доказанной теореме, значит, и все теоремы из этой последовательности также верны. Эта теория такG полная , т. к. любая её подтеория является сходящейся, и очень сепарабельная (хрен его знает, что это такое!).

Задачки

1. Найти максимум минимума супремума инфинума функции

Зильберта в точке .е.

p{inf{ ( )}}}}| ?

Решение. Начнём с конца. Рассмотрим разбиение T пространства Зильберта Zⁿ . Тогда sup{inf{ ( )}}З х =З х ( ) .

T T

Согласно теореме об экстремуме,

max{min{ ( )}}З х = min{max{ ( )}}З х =З х ( ) .

Z Z Z Z

⎛∞⎞

Остаётся посчитать З ⎜ ⎟ . Воспользуемся таблицами мат. стати-

⎝ 8 ⎠

⎛∞⎞ π

стики: З ⎜ ⎟= .

⎝ 8 ⎠ 2

Ответ: .

2. Доказать очевидное неравенство:

Минус вторая производная функции f не равна минус первой производной от её минус первой производной.

− f "( )x ≠−(− f '( ))'x .

Вопросы к экзамену

1. Минус первая и минус вторая производные. Теорема Зильберта-Штольца.

2. Матьожидание и писдерсия.

3. Сходимость “так сказать”, “как надо” и “как не надо”, “да нет, наверное”, “отнюдь не сразу”, “из ряда вон”.

4. Очень сильная и очень слабая сходимость.

5. Одно-, дву- и треугольники, измеримые по Зильберту.

6. Шестиугольник ATBCEB. Теорема существования и единственности.

7. Определение кривой и очень кривой.

8. Понятие кусочно-гадкой функции. Её свойства.

9. Оператор «Ы». Операторы GSM и SDMA.

10. Условия Коши-Зильберта.

11. Пространство C a b c [ , , '], пространство C a b c [ , , '].

12. Пространство LC a b c ₂ [ , , '].

13. Пространство Зильберта Zⁿ .

14. Полином Зажигалкина. Теорема Зильберта-Зажигалкина.

15. Признак слаборавномерной полунепрерывности полинома Зажигалкина сверху.

16. Принцип Максима Понтрягина. Обобщение.

17. Определение функции Зильберта.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ МАКУЛАТУРЫ :

1. В методичке по теории функции Зильберта использован конспект студентов 4-го курса мех-мата (один по всем предметам), где все имена и теоремы вымышленные, любое сходство с уже существующими случайно.

2. Немного фантазии на лекции, и не такое можно придумать!

Также здесь фигурируют фразы и выражения некоторых преподавателей с мех-мата, большой им привет!

Тираж 76 экземпляров.

Цена – бесплатно, то есть даром!