Реферат: Синергетика

Ю.А. Данилов

1. Предыстория

На стыке XIX и XX веков научное сообщество пребывало в радужном настроении — и не без основания: казалось, ещё несколько штрихов, и картина мира будет построена. Классическая наука к концу XIX века по праву могла гордиться своими достижениями. Со времён Ньютона мир, который древние разделяли на подлунную и надлунную сферы, стал единым, в нём действовали единые познаваемые (и, как полагали представители естественнонаучных и философских кругов, в значительной мере познанные) законы.

Подведение итогов превратилось в гордую демонстрацию блестящих достижений классического естествознания и точных наук и стало удобным поводом для определения перспектив. Так, на II Международном конгрессе математиков в августе 1900 года в Париже Давид Гильберт в своём докладе сформулировал 23 проблемы, которые, по его мнению, математика XIX века завещала решить математике XX века. Как показали последующие события, Гильберт не ошибся в определении «точек роста» математики: решение каждой из 23 проблем Гильберта становилось заметным шагом в развитии математической науки и было заметным продвижением. Не менее проницательным оказался и патриарх физики XIX века Уильям Томсон (с 1802 г. лорд Кельвин). В своих «Балтиморских лекциях» он прозорливо указал на два «тёмных облачка» на блистающем небосводе классической физики. Из одного «тёмного облачка» вскоре выросла специальная теория относительности Эйнштейна, из другого — квантовая механика. Но существовало ещё одно «тёмное облачко», укрывшееся от проницательного взгляда лорда Кельвина за горизонтом — нелинейная динамика. В 1884 г. Анри Пуанкаре опубликовал серию работ под общим названием «О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями», заложив математические основы ещё одного направления в неклассическом естествознании — нелинейной динамики.

Благостные иллюзии о познанности мира средствами классического естествознания развеялись довольно скоро: в декабре 1900 г. в своём докладе на Берлинском заседании Немецкого физического союза Макс Планк выдвинул дерзкую гипотезу квантов, согласно которой электромагнитная энергия могла поглощаться и излучаться не сколь угодно малыми, а конечными порциями — квантами, величина которых пропорциональна частоте излучения. Гипотеза квантов позволила Планку решить давно стоявшую в физике острую проблему получения единой кривой распространения энергии в спектре излучения чёрного тела. (Об остроте проблемы можно судить хотя бы потому, что она получила название «ультрафиолетовой катастрофы».) И хотя у самого Планка квант ещё не был физической сущностью, а гипотеза квантов носила характер чисто математического приёма, позволившего проинтерполировать две известные ранее ветви кривой распределения энергии в спектре электромагнитного излучения, введение гипотезы квантов позволило Планку устранить ультрафиолетовую катастрофу. Физической сущностью квант стал в 1905 г., когда Эйнштейн понял, что электромагнитное излучение не только поглощается и испускается, но и распространяется квантами. На представлении о физически реальном кванте Эйнштейн построил свою знаменитую теорию фотоэлектрического эффекта, за которую в 1921 г. был удостоен Нобелевской премии по физике. «Полнокровная» квантовая теория была создана в конце 1920-х годов усилиями Зоммерфельда, Гейзенберга, Паули, Шрёдингера, Борна и других исследователей.

Свою неклассическую специальную теорию относительности Эйнштейн опубликовал в 1905 г. в работе «К электродинамике движущихся сред».

Если квантовая теория порывала с неявно содержавшейся в классической физике гипотезой о безграничной делимости энергии, то специальная теория относительности заставила отказаться от ньютоновского абсолютного пространства и абсолютного времени, влила новое содержание в понятие синхронизма событий и слила существовавшие ранее в отрыве одно от другого понятия пространства и времени в единый четырёхмерный континуум «пространство — время».

Третья, скрытая за горизонтом «тучка» в полной мере проявила себя в 1930-е годы, когда насущные потребности развития техники, в частности радиофизики, вынудили физиков перейти от линейного приближения к нелинейным моделям. Первое время казалось, что такой переход не сопряжён со столь коренной ломкой классических представлений, как создание квантовой теории или специальной теории относительности. Область линейных явлений была столь привычна, столь хорошо «обжита», оборудована хорошо разработанным математическим аппаратом, над созданием которого не одно столетие трудились самые блестящие умы, что покидать её без особой надобности физикам очень не хотелось. Высказывались робкие надежды, что нелинейность, возможно, удастся преодолеть с помощью введения в линейные модели (в основном дифференциальные уравнения) небольших добавочных членов. Высказывались также опасения (вызванные трудностью решения малоизвестных тогда нелинейных дифференциальных уравнений), что создать нелинейную теорию, сравнимую по широте охвата явлений и универсальности с линейными теориями, вряд ли удастся, и нелинейные теории сведутся к коллекционированию того или иного набора частных решаемых случаев моделей нелинейных явлений. Много позднее эти опасения были наголову разбиты (вспомним хотя бы «солитонистику», универсальности Фейгенбаума, цепочки Тоды и многие другие нелинейные модели, не уступающие по ширине охвата явлений линейным моделям и к тому же точно решаемые). Первым, кто понял бесперспективность «линейного подхода» к нелинейным явлениям и правильно оценил необходимость изучения нелинейных явлений как таковых, без сведения их к линейному приближению, слегка «подпорченному» малым дополнительным членом, стал академик Леонид Исаакович Мандельштам, сформулировавший программу воспитания (или выработки) у физиков нелинейной интуиции — «нелинейного мышления» — на основе арсенала идей и образов первично нелинейных не сводимых к малым добавочным членам в линейных математических моделях. Л.И. Мандельштам, его коллега академик Николай Дмитриевич Папалекси, ученики и последователи А.А. Андронов, А.А. Витт, С.Э. Хайкин, С.М. Рытов и другие во многом осуществили программу создания «нелинейного мышления». Разработанная ими теория нелинейных колебаний стала предтечей синергетики и позволила понять и проанализировать многие явления различной природы, объяснение и тем более предсказание которых было не по силам линейной теории.

2. История

В истории культуры термин «синергия» — совместное, согласованное действие нескольких начал — встречалось и раньше. Так, у средневековых теологов можно встретить упоминание о «синергии» — единении или слиянии человека и Бога в молитве. У физиолога Шеррингтона мы встречаем термин «синергия», означающий слаженную работу сгибающих и разгибающих мышц.

Термин «синергетика» как название нового междисциплинарного направления научных исследований был введён Германом Хакеном в курсе лекций, прочитанных им в 1969 г. в университете Штутгарта. Научное сообщество встретило появление синергетики без особого энтузиазма, более того, градом незаслуженных упрёков, необоснованных обвинений. В чём только ни упрекали новое направление научных исследований его противники и (не всегда добросовестные) критики: они утверждали, будто синергетика — денотат пустого понятия и не имеет ни собственного предмета исследования, ни присущего только ей метода исследования, будто она излишне математизирована и представляет собой одну из разновидностей физикализма, будто синергетика лишена непременного отличительного атрибута науки — прогностической силы, и развивается не интенсивно, а экстенсивно.

Но вот минули три десятилетия, наполненные неустанными трудами проф. Г. Хакена, его сотрудников, учеников, единомышленников и даже, как ни парадоксально, некоторых противников, упорно не желающих признавать синергетику, но обогативших её новыми идеями, понятиями и методами, и со всей очевидностью выяснилось, что все опасения, сомнения и упрёки в адрес синергетики несостоятельны.

3. Что такое синергетика?

Современная синергетика стала признанными междисциплинарным направлением научных исследований. Она занимается изучением сложных систем, состоящих из многих элементов, частей, компонентов, подсистем, взаимодействующих между собой сложным (нелинейным) образом.

Свой выбор термина «синергетика» проф. Г. Хакен объясняет следующим образом:

«Я выбрал слово «синергетика» потому, что за многими дисциплинами в науке закреплены греческие термины. Я искал такое слово, которое выражало бы совместную деятельность, общую энергию что-то сделать, так как системы самоорганизуются, и поэтому может показаться, что они стремятся порождать новые структуры. Я обратился тогда за советом к моему школьному другу Гансу Кристофу Вольфу, который хорошо разбирался в греческом, и мы с ним обсудили различные понятия. Я преследовал цель привести в движение новую область науки, которая занимается вышеуказанными проблемами. Уже тогда я видел, что существует поразительное сходство между совершенно различными явлениями, например между излучениями лазера и социологическими процессами или эволюцией, и что это должно быть только вершиной айсберга. Правда, в то время я не подозревал, что эта область может оказать влияние на столь многие и отдалённые области исследования, как, например, психология и философия» [1 , с. 53].

В отличие от других научных направлений, обычно возникавших на стыке двух наук (например, физической химии, химической физики и даже астроботаники), когда одна наука давала новому направлению предмет, а другая — метод исследования, синергетика опирается, так сказать, на «внутренние точки» наук— на сходство математических моделей, описывающих процессы, происходящие в системах совершенно различной природы; в силу этого синергетика наряду с познанием нового — когнитивной функцией, присущей истинной науке, выполняет, причём весьма естественно, не менее важную коммуникативную функцию, осуществляя «перевод» понятий одной области науки на язык понятий, возможно, весьма далёкой от неё совершенно другой области науки. В этом смысле синергетику, как уже упоминалось выше, с полным основанием можно считать истинной преемницей теории колебаний, которая занимается изучением колебательных процессов в системах различной природы — по словам Л.И. Мандельштама, «говорит на интернациональном языке науки».

Разумеется, изучением сложных систем занимается не только синергетика, но используемые синергетикой идеи и методы делают синергетический подход уникальным, причём не только в концептуальном, но и в операциональном плане. В книге «Принцип работы головного мозга» в разделе 1.2 «Цели синергетики» Герман Хакен так характеризует специфичность синергетического подхода. «Сложные системы состоят из большого числа отдельных частей, элементов или подсистем, нередко сложным образом взаимодействующих между собой. Один классический рецепт, позволяющий «справиться» с такими системами, принадлежит Декарту. Он предложил разлагать сложную систему на всё более мелкие детали до тех пор, пока не будет достигнут уровень, на котором эти детали, или части, станут понятными. Нетрудно видеть, что такого подхода придерживается молекулярная биология. С другой стороны, взаимодействию на макроскопическом уровне присуще наличие качественно новых свойств и особенностей. Не подлежит сомнению, что в нашем понимании взаимосвязей между микроскопическим и макроскопическим уровнями всё ещё остаётся огромный разрыв. Цель синергетики состоит в том, чтобы преодолеть его. Вместе с тем, как будет показано, в большинстве случаев структуры создаются не какой-то организующей рукой, а самими системами, действующими без всякого воздействия извне. В рамках подхода, который можно было бы назвать декартовым, существует ещё одна трудность. Для описания отдельных частей необходимо огромное количество информации, обработать которое никто не в состоянии. Это вынуждает нас создавать адекватные методы сжатия информации. Простым примером того, как достигается такая цель, может служить наше ощущение температуры. Как известно, газ, например воздух, состоит из мириад молекул, движения каждой из которых в отдельности мы не замечаем. Вместо этого мы каким-то образом интегрируем по их движению и ощущаем только некоторую температуру. Аналогично этому в большинстве случаев отдельные слова означают целые классы, категории объектов или сложные действия.

Можно ли развить общую теорию, которая позволит адекватно сжимать информацию совершенно автоматически? Как будет показано в дальнейшем, такое сжатие информации происходит в тех случаях, когда система качественно изменяет своё макроскопическое состояние. В неорганическом мире существует ряд таких резких изменений, называемых фазовыми переходами. Примерами таких переходов могут служить замерзание, когда вода (жидкость) переходит в твёрдое состояние (лёд), возникновение намагниченного состояния или наступление сверхпроводимости. Как мы увидим из дальнейшего, аналогичные качественные изменения, хотя и на гораздо более высоком уровне сложности, в изобилии встречаются в биологии» [2 , с. 14–15].

Бич всех направлений, занимающихся изучением сложных систем, состоящих из большого числа взаимодействующих частей, — обилие информации, подлежащей обработке для получения детального описания поведения системы. Чтобы уменьшить объём информации до сколько-нибудь приемлемого объёма, прибегают к так называемому «сжатию информации», которое, как правило, сопровождается её частичной потерей. Например, в кинетической теории газов вместо отслеживания траектории отдельных частиц переходят к усреднённым характеристикам, например, вместо импульса, передаваемого частицами стенке сосуда, предпочитают говорить о давлении, создаваемом газом. Синергетический подход осуществляется путём перехода от многочисленных параметров состояния к гораздо менее многочисленным параметрам порядка в силу так называемого принципа подчинения. Такое сжатие информации обратимо: после решения задачи от параметров порядка обратным преобразованием можно вернуться к исходным параметрам состояния.

Синергетический подход позволяет не только переформулировать в новых терминах известные истины и факты, т.е. по существу объяснить специалистам, работающим в различных областях науки, что они «говорят прозой», но и способствует новому, порой неожиданному пониманию старого материала. Например, проведённый Г. Хакеном и физиологом Келсо анализ моторной деятельности животных и человека выявил ранее неизвестные факты, а проведённый А. Баблоянц и его сотрудниками анализ хаотической электрической активности головного мозга спящего человека позволил совершить неожиданное открытие: выяснилось, что число управляющих параметров столь сложного состояния удивительно мало.

Несмотря на зрелый по человеческим меркам возраст, синергетическое направление всё ещё продолжает формироваться, обогащаясь новыми идеями и методами [3 , 4 , 5 , 6 ].

4. Перспективы

Французскому географу Буржелю синергетика помогла в решении проблем урбанистики, греческому специалисту по средствам связи Джону (Иоаннису) Николису — в создании новой концепции передачи информации, социологу А.П. Назаретяну — в разработке модели антропогенных кризисов.

Выше мы уже упоминали о коммуникативной функции синергетики. Синергетика Г. Хакена — это язык, на котором естественно и удобно описывать эволюцию и жизнь систем различной природы, в частности, специфическое явление самоорганизации — спонтанное явление более сложных, чем существовавшие ранее структур, а концептуальный аппарат синергетики позволяет прослеживать все перипетии эволюции сложных систем, наблюдая за ними «сверху вниз», холистически — от целого (системы) к деталям, а не «снизу вверх», от деталей и частностей к целому, как это принято при редукционистском (декартовском) подходе. Обратимое сжатие информации — отличительная черта синергетического подхода — позволяет, минуя детали, описывать и понимать эмержентные свойства и самоорганизацию сложной системы, что особенно важно при изучении столь сложных систем, как человек, его нервная система, в частности головной мозг, способный к самопознанию, и различные — культурные, социальные, экономические и т.д. сообщества, где далеко не все детали известны и понятны.

В интервью с проф. Г. Хакеном по случаю тридцатилетия синергетики [1 ], ему был задан вопрос: «Ещё в своих книгах 70-х годов Вы указывали на далеко идущие и широкомасштабные возможности применения синергетики, включая применение к пониманию сугубо человеческих социальных процессов. Было ли в ходе развития синергетики что-нибудь неожиданное для Вас? Возможно, обнаружились новые возможности применения, которые Вы первоначально не предполагали?»

Ответ Г. Хакена гласил: «Хотя синергетика возникла в рамках естественных наук, мне всегда представлялось, что её важнейшие приложения будут касаться специфических человеческих и социальных процессов. Причём для меня уже неоднократно возникали сюрпризы в развитии синергетики. Например, интересные эксперименты по исследованию движения пальцев, проведённые Келсо, которые удалось очень хорошо объяснить с помощью понятий синергетики [3 ]. Ещё одним неожиданным приложением стал синергетический компьютер [3 , с. 286–315]. Оба новых понятия синергетики могут применяться в информатике» [1 , с. 59].

И далее: «Какие области применения Вы рассматриваете как наиболее перспективные и многообещающие? Какие проблемы остаются ещё открытыми для исследования?»

Проф. Г. Хакен: «Очень важной областью является, на мой взгляд, медицина, где проводятся увлекательные фундаментальные исследования. На первый план для меня выступают исследования головного мозга: мы изучаем МЭГ (магнитоэнцефалограммы) и ЭЭГ (электроэнцефалограммы), применяя методы анализа нового типа, и я очень рад, что эти методы всё более совершенствуются, а также заменяются новыми».

Для дальнейшего исследования существует, несомненно, огромное число проблем, и я бы не взялся перечислить их здесь все. К ним относятся, например, развитие новых компьютеров, которые работают по синергетическим принципам, более скрупулёзное исследование экономических процессов, которые являются в высшей степени сложными и одновременно кооперативными, т.е. синергетическими, и многие другие проблемы» [1 , с. 59–60].

5. Угроза расширительного понимания синергетики

Сейчас, когда поубавилось число скептиков, сомневающихся в наличии у синергетики своего предмета исследования, своего метода исследования и прогностической силы, над этим перспективным междисциплинарным направлением научных исследований нависла новая угроза чрезмерно расширительного толкования её терминов и понятий, приводящего к размыванию основ синергетики и появлению иллюзорных представлений как о своего рода панацее. Наш труд, по крайней мере в его трети, предназначен для того, чтобы избавить тех, кто видит в синергетике ключ к решению всех проблем современной науки, от несбыточных иллюзорных надежд, вернуть их на твёрдую основу реальных возможностей предложенного Г. Хакеном междисциплинарного подхода и придать синергетическим идеям и понятиям их первоначальный естественнонаучный смысл.

6. Тезаурус: основные понятия синергетики

Л.И. Мандельштам предостерегал от введения строгих определений на раннем этапе развития теории. По его словам, вводить строгие определения — всё равно, что заворачивать новорождённого младенца в колючую проволоку. Приводимые ниже определения не претендуют на математическую строгость. Это скорее пояснения, позволяющие понять суть понятия и правильно использовать соответствующий термин.

Динамическая система — система любой природы, состояние которой эволюционирует во времени.

Параметры (переменные) состояния — параметры (переменные), набор значений которых однозначно определяет состояние системы.

Управляющие параметры — те из параметров состояния, изменение которых позволяет изменять состояния системы (управлять состоянием).

Параметры порядка — функции параметров состояния, значения которых, как и значения самих параметров порядка, определяют состояние системы.

Принцип подчинения — принцип утверждающий, что существуют функции параметров состояния (параметры порядка), которые, как и сами параметры состояния, определяют состояние системы.

Число параметров порядка, как правило, много меньше числа параметров состояния. Переход от параметров состояния к параметрам порядка позволяет осуществлять сжатие информации о системе.

Круговая причинность — принцип, утверждающий, что существуют функции, обратные тем, которые задают параметры порядка в зависимости от значений параметров состояния. Круговая причинность делает сжатие информации (см. п. 5) в синергетике обратимым.

Линейная система — система, удовлетворяющая принципу суперпозиции состояний, если в системе существуют режимы u1 и u2, то существует и режим αu1 + βu2 — произвольная линейная комбинация (суперпозиция) состояний u1 и u2.

Теорема единственности — теорема, доказанная для линейных систем: при данных начальных или краевых условиях в системе существует только один режим.

Нелинейная система — система, воздействующая на себя; состояние на выходе системы служит её начальным состоянием. Связь выхода системы с её входом называется обратной связью. Для нелинейных систем — систем с обратной связью — принцип суперпозиции не выполняется.

Устойчивость (по Ляпунову) — система называется устойчивой по Ляпунову, если режимы, мало отличающиеся (на ε) в начальный момент времени отличаются на конечную величину (ε) в любой последующий момент времени.

Эффект бабочки — присущая нелинейным системам чувствительная зависимость от начальных условий (неустойчивость по Ляпунову), режимы, мало отличающиеся в начальный момент времени, в последующем экспоненциально быстро расходятся. (Название эффекта заимствовано из рассказа «И грянет гром» Брэдбери.)

Горизонт событий (предсказуемость) — временной интервал, на протяжении которого поведение динамической системы предсказуемо, т.е. детерминировано.

Случайность — строго математического определения случайности не существует даже для последовательности нулей и единиц.

Случайность по фон Мизесу — по мере продвижения по последовательности доля нулей и единиц стремится к 1/2.

Случайность по А.Н. Колмогорову — последовательность сложно устроена, если её описание не проще самой последовательности. Случайность по Колмогорову эквивалентна сложноустроенности.

Случайность по Мартин-Лёфу — последовательность нулей и единиц случайна, если она типична, т.е. не содержит никаких «особых примет» — не принадлежит малому множеству последовательностей с особыми примерами.

Хаос детерминированный — сложный режим, возникающий в нелинейной динамической системе вследствие её внутренней неустойчивости — система действует не как усилитель внешнего шума, а как генератор хаотического режима.

Меры хаоса — числовые характеристики, позволяющие (по различным критериям) сравнивать хаотические режимы динамических систем, выяснять, какой из двух хаотических режимов хаотичнее.

Самоорганизация — спонтанное (без воздействия извне) возникновение в динамической системе более сложных по сравнению с ранее существовавшими структур или состояний. Иногда синергетику называют теорией самоорганизации.

7. Возникновение и эволюция понятия «самоорганизация»

Понятие «самоорганизация» возникло в 1970-х годах — первоначально как собирательное название многочисленных явлений, наблюдавшихся в сложных системах, изучением которых занимается синергетика. Осознание центральной роли самоорганизации в круге проблем, изучаемых синергетикой, равно как и понимание того, что и как происходит в системе при возникновении новых пространственных, временных и пространственно-временных структур, пришло позже. Первоначально исследователи ограничивались «комплектованием зоопарка»— составлением более или менее подробных перечней явлений самоорганизации в системах различной природы. И лишь по завершении периода «первоначального накопления» синергетику стали называть направлением, занимающимся изучением самоорганизации [2 ].

На начальном этапе внимание исследователей было почти всецело сосредоточено на том обстоятельстве, что самоорганизация, как о том свидетельствует само название этого явления, происходит без какого бы то ни было воздействия извне. Предыдущее состояние системы утрачивает устойчивость, и вместо него появляется («самоорганизуется») новое, первоначально устойчивое состояние, которое в ходе дальнейшей эволюции также может потерять устойчивость и, в свою очередь, уступить место новому состоянию. Важная особенность самоорганизации — сжатие информации — оставалась незамеченной. Между тем сжатие информации при самоорганизации происходит весьма специфическим образом. Множество параметров состояния отходит на задний план, уступая место гораздо более малочисленным параметрам порядка, характеризующим самообразовавшиеся новые структуры. Можно сказать, что самоорганизация основополагающих принципов синергетики — принцип подчинения.

Анализ обширного эмпирического материала позволил сделать неожиданное открытие — обнаружить своего рода «структурный базис» эволюции — набор простейших структур, или паттернов, из которых по определённым сценариям система синтезирует более сложные структуры. Это открытие оказалось тем более неожиданным, что самоорганизующиеся системы нелинейные, и принцип суперпозиции — принципиальная отличительная особенность линейных систем — в них не действует.

Разумеется, этим неожиданности, подстерегавшие исследователей нелинейных систем, не исчерпывались. Выяснилось, что вопреки традиционным представлениям о хаосе как о синониме беспорядка хаос может обладать тонкой и сложной организацией.

8. Фракталы

Ярким примером хаоса, наделённого тонкой структурой, могут служить самоподобные и самоаффинные объекты, получившие с лёгкой руки Бенуа Мандельброта название фракталы и мультифракталы.

В трёх своих книгах «Фрактальные объекты: форма, случай и размерность» (изд-во «Фламмарион», 1975), «Фракталы: форма, случай и размерность» (изд-во «Фримен», 1977), «Фрактальная геометрия природы» (изд-во «Фримен», 1977), Бенуа Мандельброт предложил изумлённому научному миру, по существу, новую неевклидову геометрию — неевклидову не в смысле отказа от аксиомы о параллельности, принятой в традиционной евклидовой геометрии, а замены её другой аксиомой, как это было сделано в геометрии Н.И. Лобачевского и Я. Бойяи, а в смысле отказа от незримо присутствовавшего в «Началах» Евклида требования гладкости; геометрии — в соответствии с определением геометрии как науки об инвариантах группы преобразований, данным в 1872 г. в «Эрлангенской программе» Феликса Клейна, — фрактальная геометрия занимается изучением объектов, инвариантных относительно самоаффинных и самоподобных преобразований, образующих группы.

Бенуа Мандельброт создал неевклидову геометрию негладких, шероховатых, изъеденных причудливыми ходами, порами, трещинами и отверстиями, извилистых и т.п. объектов, бывших до этого своего рода математическими критериями. По молчаливому уговору, ранее такие объекты исключались из рассмотрения в пользу более «благообразных» усреднённых, сглаженных отполированных объектов. Между тем именно такие неправильные объекты составляют большинство объектов, встречающихся в природе. Гордые слова Галилея «Философия записана в этой огромнейшей книге Природы, которая всегда открыта перед нами (я говорю о Вселенной), но понять написанное невозможно, пока не изучишь язык и не распознаешь письмена, которыми она написана. А написана она на математическом языке, и письменами её являются треугольники, круги и другие геометрические фигуры...», из его сочинения «Пробирных дел мастер» ныне надлежит трактовать так: «...треугольники, круги, фракталы и другие геометрические фигуры...»

Сам Бенуа Мандельброт охарактеризовал созданную им теорию как морфологию бесформенного: «Почему геометрию часто называют «холодной» и «сухой»? Одна из причин заключается в её неспособности описать форму облака, горы, береговой линии или дерева. Облака — не сферы, горы — не окружности, древесная кора — не гладкая, молния распространяется не по прямой.

В более общем плане я утверждаю, что многие объекты в Природе настолько нерегулярны и фрагментированы, что по сравнению с Евклидом — термин, который в этой работе означает всю стандартную геометрию, — природа обладает не просто большой сложностью, а сложностью совершенно иного уровня. Число различных масштабов длины природных объектов для всех практических целей бесконечно велико». Сверхсложная геометрия фрактальных сред накладывает свой отпечаток на разыгрывающиеся в них процессы. На фракталах по-новому, чем в традиционных сплошных средах, происходит диффузия, протекают химические реакции, происходит рассеяние акустических и электромагнитных волн. Но фракталы с их самоподобной и самоаффинной структурой служат регулярными моделями случайных (хаотических) сред — своего рода аналогом вполне интегрируемых систем классической механики. (Хотя вполне интегрируемые системы являются скорее исключениями, чем правилом, все учебники аналитической динамики заполнены именно вполне интегрируемыми системами: рассмотрение их позволяет развить интуицию, столь необходимую для анализа общих, не вполне интегрируемых систем. Фракталы с их тонкой самоаффинной и самоподобной структурой позволяют развить интуицию, необходимую для работы со случайными средами.)

9. Специфические особенности синергетики

В интервью по случаю тридцатилетия созданного им междисциплинарного направления Г. Хакен так охарактеризовал специфические особенности синергетики [1 ]:

Исследуемые системы состоят из нескольких или многих одинаковых или разнородных частей, которые находятся во взаимодействии друг с другом.

Эти системы нелинейны.

При рассмотрении физических, химических и биологических систем речь идёт об открытых системах, далёких от теплового равновесия.

Эти системы подвержены внутренним и внешним колебаниям.

Системы могут быть нестандартными.

В системах происходят качественные изменения.

В этих системах обнаруживаются эмержентные новые качества.

Возникают пространственные, временные, пространственно-временные или функциональные структуры.

Структуры могут быть упорядоченными или хаотическими.

Во многих случаях возможна математизация.

10. Сложное поведение простых систем

Заголовок этого раздела по существу представляет собой «формулу открытия», совершённого в русле синергетических исследований и развеявшего долго державшийся миф о том, что сложное поведение якобы является исключительной прерогативой сложных систем. Обилие элементов, частей или деталей в сложных системах означает, что для их описания требуется огромное количество информации, нередко превышающее объём памяти и возможности её обработки. Возникает неполнота описания и, как следствие, непредсказуемость (и, следовательно, сложность) поведения системы.

На мифе (или добросовестном заблуждении?) о монополии сложных систем на сложное поведение зиждились попытки отождествить сложность системы с числом её элементов — мощностью системы как множества. Несостоятельность такого понимания сложности была убедительно продемонстрирована теорией самовоспроизводящихся автоматов фон Неймана. В его книге [7 ], реконструированной Берксом по отрывочным записям лекций фон Неймана (Беркс совершил научный подвиг, сравнимый с реконструкцией давно вымерших животных по крохотной детали их скелета, выполненной Кювье), первоначально была описана система, способная к сложному поведению — самовоспроизведению, которая состояла из более чем 200 деталей, но позднее был построен пример самовоспроизводящегося автомата, состоявшего из на порядок меньшего числа деталей.

Сложность — одно из тех интуитивно ясных, но упорно не поддающихся формализации понятий, которые играют важную роль в концептуальном аппарате синергетики. В эпоху Ньютона полагали, будто детерминированность поведения динамической системы исключает возможность сложности. Радость от обретения возможности описания величин не статичных, а изменяющихся во времени (по терминологии Ньютона — флюксий), их производных (по терминологии Ньютона — флюент) и возможности восстановления флюксий по известному соотношению между флюентами, т.е. с помощью решения дифференциальных уравнений, была столь велика, что самая мысль о сложном поведении флюксий казалось кощунственной. Ньютоновская вселенная функционировала наподобие хорошо отлаженного часового механизма, и сложность (тем более хаотичность), казалось, напрочь исключалась из репертуара возможных вариантов поведения динамических систем. Наиболее яркая формулировка ньютоновского детерминизма принадлежит Лапласу и известна под названием «демона Лапласа». Суть её сводится к следующему: «Состояние системы Природы в настоящий момент есть, очевидно, следствие того, каким оно было в предыдущий момент, и если мы представим себе разум («демон»), который в данное мгновенье постиг все связи между объектами Вселенной, то он сможет установить соответствующие положения, движения и общие воздействия этих объектов в любое время в прошлом или в будущем» (1776).

Прозрение пришло много позднее — в конце XIX века. В работе на соискание премии короля Норвегии Оскара Анри Пуанкаре установил причину неинтегрируемости знаменитой проблемы трёх тел — сложное поведение сепаратрис гиперболических особых точек: «Если попытаться представить себе фигуру, образованную этими двумя кривыми [устойчивым и неустойчивым многообразиями седловой особой точки] и их бесчисленными пересечениями, каждое из которых соответствует двояко-асимптотическому решению, то эти пересечения образуют нечто вроде решётки, сети с бесконечно тесными петлями; ни одна из двух кривых никогда не должна пересекать самоё себя, но она должна навиваться на самоё себя очень сложным образом, чтобы пересечь бесконечно много раз все петли сети.

Поражаешься сложности этой фигуры, которую я даже не пытаюсь изобразить. Ничто не является более подходящим, чтобы дать нам представление о сложности задачи трёх тел и, вообще, всех задач динамики, в которых нет однозначного интеграла и в которых ряды Болина расходятся» [8 ].

На смену старому, ньютоновскому, пониманию детерминизма пришло новое понимание, не исключающее сложное, хаотическое поведение динамических систем и проводившее такой физико-математический оксиморон как «детерминистический или динамический хаос».

В «жизни» динамической системы регулярная динамика не отделена непроницаемой стеной от сложных режимов — от хаоса. Между регулярной динамикой и хаосом существуют переходы, происходящие по тем или иным сценариям. Первоначально устойчивое состояние динамической системы претерпевает бифуркацию — теряет устойчивость и сменяется новым состоянием, которое первоначально устойчиво, но при изменении параметров состояния в дальнейшем также может потерять устойчивость, т.е. претерпеть новую бифуркацию и уступить место новому состоянию. Серия бифуркаций, претерпеваемых динамической системой на пути от регулярной динамики к хаосу, называется сценарием перехода к хаосу.

Отправным пунктом в исследовании проблем перехода к хаосу по общему признанию принято считать работу Ландау [9 ] «К теории турбулентности» (1944). В ней Л.Д. Ландау рассмотрел возникновение турбулентности при увеличении числа Рейнольдса (основного управляющего параметра в задачах гидродинамики). По сценарию, предложенному Ландау, первичное течение теряет устойчивость относительно колебательного возмущения, воздействующего на течение с некоторой частотой, возникшее осциллирующее вторичное течение, в свою очередь, теряет устойчивость при воздействии на него другого колебательного возмущения с другой частотой. В итоге после многочисленных бифуркаций, которые сопровождаются возникновением всё новых и новых частот, образующих иррациональные отношения, возникает сложный динамический режим — турбулентность.

Хотя Л.Д. Ландау рассматривал гидродинамическую задачу, нарисованная им картина носит столь общий характер, что её с равным основанием можно отнести ко всем динамическим диссипативным системам. Позднее (1948) аналогичные представления были развиты Эбергардом Хопфом в работе «Математический пример, демонстрирующий особенности турбулентности» [10 ]. Такую картину турбулентности принято называть сценарием Ландау–Хопфа.

В 1963 году американский метеоролог Эдвард Лоренц опубликовал статью «Детерминированное непериодическое течение», в которой изложил результаты численного решения системы трёх нелинейных дифференциальных уравнений», моделирующих динамику жидкости в подогреваемом снизу слое [11 ]. Основной акцент в анализе полученных результатов Лоренц сделал на взаимосвязи между сложной динамикой и присущей системе неустойчивостью траекторий. Именно в этой работе Лоренц ввёл термин «эффект бабочки».

В 1971 году, опираясь на достижения математического аппарата синергетики —так называемой нелинейной динамики, Давид Рюэль и Флорис Такенс в 1971 г. опубликовали работу «О природе турбулентности» [12 ]. В ней они подвергли критике сценарий Ландау–Хопфа, указав на то, что уже после 3–4 бифуркаций динамика может стать турбулентной, в частности, у системы может возникнуть характерный для случайного процесса сплошной спектр. Рюэль и Такенс связывали это обстоятельство с возникновением в фазовом пространстве «странного аттрактора» и неустойчивостью траекторий на странном аттракторе. Разумеется, работа Рюэля и Такенса, историческое значение которой отчасти определялось предложенным ими ключевым термином «странный аттрактор», также оказалась уязвимой для критики. Многие вопросы, возникающие в связи с предложенным ими сценарием перехода к турбулентности, пока остаются открытыми.

Особо подчеркнём, что работы Ландау, Хопфа, Рюэля и Такенса, посвящённые гидродинамическим системам, в действительности носят общий характер, и их результаты и выводы распространяются на все динамические диссипативные системы.

Изучение динамического хаоса привлекло внимание исследователей к важному классу математических моделей, в силу исторических причин не пользовавшихся должным вниманием, — к дискретным отображениям, задаваемым рекуррентными соотношениями. К традиционным математическим моделям — дифференциальным уравнениям — дискретные отображения относятся, как часы с дискретной индикацией времени (в роли показаний таких часов выступает индекс, нумерующий последовательные приближения) к часам с непрерывной индикацией времени: зависимость решения дифференциального уравнения непрерывна и (в классических случаях) даже дифференцируема.

При всей своей (во многом кажущейся) примитивности дискретные отображения служат удобными моделями для изучения и демонстрации многих синергетических эффектов и явлений, позволяющих исследователям понять, что происходит в более сложных ситуациях. Динамический хаос возникает уже в простейших нелинейных дискретных отображениях, например, в кусочно-линейных (треугольное отображение или отображение «зуб пилы») и квадратичных (логистическом отображении, или отображении Ферхюльста). Кроме того, на дискретные отображения не распространяется теорема Пуанкаре–Бендиксона, доказанная для дифференциальных уравнений и ограничивающая возможные варианты двумерных динамических систем (недаром А.А. Андронов, стремясь избавиться от ограничительных пут теоремы Пуанкаре–Бендиксона, провозгласил лозунг: «Выйти из плоскости!», честь реализовать который выпала в 1963 г. Эдварду Лоренцу): двумерные дискретные отображения отличаются несравненно бо́льшим разнообразием режимов по сравнению с двумерными динамическими системами, описываемыми дифференциальными уравнениями.

Над соотношением простого и сложного размышляют многие современные исследователи. Так, лауреат Нобелевской премии Илья Романович Пригожин и его сотрудник Грегуар Николис видят элементы сложного поведения в «неравновесности, обратных связях, переходных явлениях, эволюции», или более подробно: это — «возникновение бифуркационных переходов вдали от равновесия и при наличии подходящих нелинейностей, нарушение симметрии выше точки бифуркации, а также образование и поддержание корреляций макроскопического масштаба» [13 , с. 53, 96].

По мнению Джона (Иоанниса) Николиса, сложность связана с субординации уровней, иерархическим принципом построения и, кроме того, с необходимостью должна рассматриваться в эволюционном аспекте» [14 ].

Один из основателей института в Санта-Фе (1984), ставшего признанным центром по изучению сложного, Мюррей Гелл-Манн в своей книге «Кварк и ягуар» [15 ] стремится показать, что мир кварков имеет, как ни странно, много общего с миром блуждающего в ночи ягуара. Два полюса — простое и сложное — взаимосвязаны. «Кварк символизирует фундаментальные физические законы, которые управляют универсумом и всем веществом в нём... Ягуар символизирует сложность окружающего нас мира, в особенности то, как мир проявляет себя в сложных адаптивных системах...».

Гелл-Манн предложил новый термин «plectics», который, по его мнению, удачно выражает взаимоотношения простого и сложного во всём их многообразии. Этот термин имеет греческое происхождение и семантически связан с «искусством переплетения», «составления», «усложнения».

Таким образом, в современной теории сложности происходит переход «from complexity to perplexity».

По мнению президента Немецкого общества по изучению сложных систем и нелинейной динамики К. Майнцера (почётным президентом этого Общества избран профессор Герман Хакен), описание сложного невозможно без представления о нелинейности и современных нелинейных моделей (т.е. без «нелинейного мышления» в смысле Л.И. Мандельштама).

«Стоит ещё раз подчеркнуть, — пишет Майнцер, — что линейное мышление может быть опасным в нелинейной сложности реальности... Наши врачи и психологи должны научиться рассматривать людей как сложных нелинейных существ, обладающих умом и телом. Линейное мышление может терпеть неудачу в установлении правильных диагнозов... Мы должны помнить, что в политике и истории многокаузальность может вести к догматизму, отсутствию толерантности и фанатизму... Подход к изучению сложных систем порождает новые следствия в эпистемологии и этике. Он даёт шанс предотвратить хаос в сложном нелинейном мире и использовать креативные возможности синергетических эффектов» [16 ].

11. Самоорганизация и сложность

Г.Г. Малинецкий и А.Б. Потапов предложили дифференцировать понятие «сложность». По их мнению, «термин "сложность" имеет двоякий смысл. С одной стороны, его можно понимать как сложность устройства, т.е. наличие в некоторой системе большого числа элементов и/или нетривиальных связей между ними. А с другой стороны, речь может идти о сложности внешних проявлений системы безотносительно её внутреннего устройства, т.е. в нетривиальном поведении. Хотя эти две "сложности" во многом взаимосвязаны, они не эквивалентны, и мы будем употреблять понятие "сложность" только во втором из упомянутых значений, если не оговорено обратное» [17 , с. 287].

На математическом уровне сложность неразрывно связана с нелинейностью описания, поскольку к линейным системам применим принцип суперпозиции, позволяющей независимо рассматривать различные действующие факторы, части системы и т.п., что гарантирует её простоту.

На физическом уровне описание, как правило, возможно лишь в статистических терминах, как то: плотность вероятности, коррекция, ляпуновские показатели, математическое ожидание, дисперсия и т.п. Это происходит в силу характерного для многих нелинейных систем хаотического поведения, ограничивающего возможности детерминированного описания, либо в силу очень большого числа составляющих систему элементов, делающего такое описание практически бесполезным.

На философском уровне наиболее существенным является осознание того обстоятельства, что чем более изощрён и специфичен механизм некоторого явления, тем реже оно должно реализовываться. А поскольку практически всё сколько-нибудь важное или интересное в природе так или иначе связано со сложностью, то лежащие в её основе механизмы должны быть просты и универсальны» [17 , с. 287–288].

Мы неоднократно использовали термин «система». Настала пора уточнить его. Существует термодинамическая классификация систем, связанная с детализацией энергетического обмена и обмена веществом между системой и окружающей средой. Согласно этой классификации системы подразделяются на открытые (обменивающиеся энергией и, возможно, веществом с окружающей средой) и закрытые (нет обмена веществом). Последние, в свою очередь, подразделяются на изолированные (нет и обмена энергией), адиабатически изолированные (нет теплообмена, но возможно изменение объёма при совершении работы) и замкнутые (возможен теплообмен при постоянстве объёма).

Как показали эксперименты и весь опыт синергетических исследований, во многих открытых нелинейных системах вдали от равновесия происходит самоорганизация. При этом обычно возникают либо пространственно неоднородные стационарные (т.е. не изменяющиеся со временем) образования, которые И.Р. Пригожин предложил называть диссипативными структурами [18 ], либо возникают периодические или непериодические колебания, которые по предложению Р.В. Хохлова стали называть автоволновыми процессами [19 ].

В основе образования диссипативных структур и возникновения автоволновых процессов лежит явление самоорганизации, т.е. выделение из большого, иногда бесконечно большого числа переменных (параметров состояния), описывающих систему, небольшого числа величин (называемых параметрами порядка), к которым по истечении достаточно продолжительного промежутка времени подстраиваются остальные степени свободы системы. Параметры порядка не обязательно должны совпадать с какими-то параметрами состояния. Они могут быть новыми, возникшими в ходе самоорганизации, т.е. эмержентными.

По мнению Г.Г. Малинецкого и А.Б. Потапова [17 ], в настоящее время на смену эре диссипативных структур и автоволновых процессов в синергетике приходит эра самоорганизованной критичности, поставщиками идей которой становятся нейронаука, теория риска, биология, психология, теоретическая история (Big History) и другие области, связанные с анализом сложных систем.

12. Тезаурус-2 (продолжение)

Ни Тезаурус-1, ни Тезаурус-2, ни теоретико-множественное объединение любого конечного числа тезаурусов, содержащих конечное число терминов, не может исчерпывающим образом охватить все понятия и термины синергетики. Сознавая это, мы тем не менее представляем в помощь читателю-гуманитарию по необходимости ограниченный набор терминов, понимание которых важно для чтения литературы по синергетике, нелинейной динамике и другим разделам нелинейной науки.

Аттрактор — притягивающее множество в фазовом пространстве.

Бассейн — область притяжения аттрактора — та часть фазового пространства, из которой траектории стремятся к аттрактору.

Гетероклиническая структура — структура, образованная пересечением устойчивого и неустойчивого многообразий двух различных седловых особых точек.

Гомоклиническая структура (гомоклиника) — структура, образованная пересечением устойчивого и неустойчивого многообразий одной и той же седловой точки.

Гомоклинический хаос — сложное (хаотическое) поведение динамической системы, обусловленное спецификой геометрии гомоклинической структуры. Наиболее подробно исследован в работах Л.П. Шильникова и его учеников и сотрудников.

Стрела времени — однонаправленность времени. Термин «стрела времени» предложен в 1928 году Эддингтоном в его книге — «The Nature of the Physical World» («Природа физического мира») — Ann Arbor: University of Michigan Press, 1958. Наиболее глубоко различные аспекты стрелы времени — от физических до философских — исследованы в трудах И.Р. Пригожина и его сотрудников (см, например, [20 ]).

Бифуркация:

а) потеря устойчивости предыдущим режимом динамической системы и смена его (обычно двумя) новыми первоначально устойчивыми режимами;

б) точка, в которой происходит бифуркация в смысле п. а).

H-теорема Больцмана — теорема, согласно которой при временно́й эволюции к равновесному состоянию энтропия системы возрастает и остаётся неизменной при достижении равновесного состояния. (H от английского heat — тепло.)

Энтропия является мерой неопределённости (хаотичности). По теореме Больцмана при временной эволюции к равновесному состоянию степень хаотичности монотонно возрастает и достигает максимального значения в равновесном состоянии.

S-теорема Ю.Л. Климонтовича — критерий относительности упорядоченности открытых систем. (S от английского слова self-organization — самоорганизация.)

КАМ-теория — предложенная в 1950-х годах А.Н. Колмогоровым, В.И. Арнольдом и Юргеном Мозером теория, описывающая регулярное и хаотическое поведение динамических систем.

Реакция Белоусова–Жаботинского — колебательная химическая реакция в гомогенной системе, открытая Б.П. Белоусовым в 1951 г.; A.M. Жаботинский выяснил кинетику реакции, построил её математическую модель и уточнил первоначальную гипотезу Б.П. Белоусова. Реакция Белоусова–Жаботинского породила мощную волну исследований гомогенных химических и биохимических исследований, лёгших в основу теории биологических часов.

Система Тьюринга — математическая модель, состоящая из системы двух дифференциальных уравнений, описывающих реакцию между двумя гипотетическими веществами-морфогенами и диффузию продуктов этой реакции. По мысли Алана Тьюринга, такая модель призвана была объяснить периодичность в строении некоторых животных, например кольчатых червей, и растений.

Модель Тьюринга породила множество аналогов, созданных для описания периодических твердотельных структур и химических реакций. Названия таких моделей строились по единому образцу: название географического пункта, где работают создатели модели, плюс окончание слова осциллятор, например, орегонатор (модель, созданная в университете штата Орегон) или брюсселятор (модель, созданная школой И.Р. Пригожина в Международных институтах химии и физики Сольвэ в Брюсселе).

Брюсселятор — частный случай модели Тьюринга — одно дифференциальное уравнение диффузии с кубическим нелинейным членом, описывающим химическую реакцию, происходящую при тройном столкновении молекул реагирующих веществ, — событии гораздо более редком, чем парное столкновение. Выбор кубической нелинейности, аналогичной нелинейности в предложенной Гейзенбергом теории ферромагнетизма, обусловил успешное применение брюсселятора для описания динамики различных физических систем, но создал определённые трудности при подыскании удовлетворяющей модели химической реакции. Такой реакцией оказалась реакция Чепмена — образование молекул озона O3 в верхних слоях атмосферы.

13. Отказ от описания на уровне траекторий

Каждая из двух «тучек» на горизонте классической науки, о которых упомянул в своих «Балтиморских лекциях» Уильям Томпсон (лорд Кельвин), разрастаясь, превратилась в новую неклассическую науку. Рождение каждой из этих наук повлекло за собой отказ от каких-то классических представлений: квантовая механика — отказ от представления о безграничной делимости энергии (по Планку, электромагнитная энергия могла поглощаться и излучаться только конечными порциями — квантами, а Эйнштейн понял, что электромагнитная энергия может и распространяться только квантами), специальная теория относительности (СТО) — отказ от представления о бесконечной скорости распространения сигнала (согласно СТО, ни один сигнал не может распространяться быстрее света).

Естественно возникает вопрос: к отказу от какого классического представления привело рождение нелинейной науки и, в частности, синергетики? Такое представление действительно есть в классике. Это представление о траектории как о геометрической линии, т.е. по Евклиду, «длина без ширины». Физически описание поведения динамической системы на языке траекторий означало бы, что у нас имеется прибор со столь высокой разрешающей способностью, что он позволяет нам «видеть» геометрическую линию. Разумеется, в действительности разрешающая способность любого прибора конечна, а это означает, что мы можем «видеть» не индивидуальную траекторию, а только целый пучок индивидуальных траекторий, находящихся в трубке, поперечное сечение которой определяется разрешающей способностью прибора. Все траектории внутри пучка для нас неразличимы. Имеет смысл говорить лишь о некотором вероятностном распределении траекторий внутри пучка, причём, по терминологии И.Р. Пригожина и И. Стенгерс, это вероятностное распределение несводимо, т.е. траектории внутри пучка невозможно индивидуализировать, — от распределения вероятностей невозможно перейти к отдельным траекториям, распределение вероятностей несводимо.

Несводимые вероятностные распределения коренным образом изменяют описание динамических систем и даже понимание физических законов.

Вот что говорят об этом И.Р. Пригожин и И. Стенгерс: «Традиционно существовали две формулировки физических законов: одна — в терминах траекторий или волновых функций, другая — в терминах статистических ансамблей. Но такая статистическая формулировка не была несводимой. Она была вполне применима к отдельным траекториям или волновым функциям. Иначе говоря, при статистическом подходе не появлялись новые динамические свойства. В результате необратимое приближение к равновесию традиционно было принято связывать с приближённостью, «крупнозернистостью» описания, а стрелу времени приписывать неполноте нашего знания. Предложенная нами несводимая формулировка порывает с этой ситуацией. Необратимость и вероятность становятся объективными свойствами. Они выражают то обстоятельство, что наблюдаемый нами физический мир не может быть сведён к отдельным траекториям или отдельным волновым функциям. Переход от ньютоновского описания в терминах траекторий или шрёдингеровского описания в терминах волновых функций к описанию в терминах ансамблей не влечёт за собой потери информации. Наоборот, такой подход позволяет включить новые существенные свойства в фундаментальное описание неустойчивых хаотических систем. Свойства диссипативных систем перестают быть только феноменологическими, а становятся свойствами, не сводимыми к тем или иным особенностям отдельных траекторий или волновых функций.

Но существуют классические системы, устойчивые и обратимые во времени. Как мы теперь понимаем, они соответствуют предельным ситуациям, исключительным случаям. В квантовой механике ситуация ещё более сложная, так как нарушение симметрии во времени явно признаётся необходимым для наблюдения квантового мира, т.е. для перехода от амплитуд вероятности к вероятности. В нашей формулировке законов природы характерные (представляющие) ситуации принадлежат к классу неустойчивых хаотических систем, которые мы отождествили с существованием несводимых вероятностных представлений. Это новое определение динамического хаоса включает в себя его обычное определение (в простых ситуациях, например в случае дискретных отображений, оба определения эквивалентны) и допускает обобщение на более сложные ситуации, соответствующие подавляющему большинству случаев, представляющих физический интерес» [20 , с. 253–254].

14. Что такое нелинейная динамика?

Итак, мы познакомились с важным разделом нелинейной физики — синергетикой, её основными понятиями и узнали, какое место она занимает в системе современных наук. Богатая свежими физическими и философскими идеями, синергетика использует новый математический аппарат — нелинейную динамику, которая также отличается от классического математического анализа Ньютона и Лейбница. В этом разделе мы постараемся, не вдаваясь в детали, помочь читателю составить общее представление о нелинейной динамике.

Нелинейная динамика — раздел современной математики, который занимается исследованием нелинейных динамических систем.

Под динамической системой условились понимать систему любой природы (физическую, химическую, биологическую, социальную, экономическую и т.п.), состояние которых определяется набором величин, называемых параметрами состояния, или динамическими переменными, такими, что их значения в любой последующий момент времени по определённому правилу получаются из их значений в начальный момент времени. Это правило осуществляет оператор эволюции.

Нелинейная динамика использует при изучении систем нелинейные модели — чаще всего дифференциальные уравнения и дискретные отображения.

Дать точное определение того, что составляет предмет нелинейной динамики, ничуть не легче, чем определить, что составляет предмет теории колебаний. Перефразируя Л.И. Мандельштама («Лекции по теории колебаний»), можно сказать, что «было бы бесплодным педантизмом стараться «точно» определить, какими именно процессами занимается теория колебаний. Важно не это. Важно выделить руководящие идеи, основные общие закономерности».

Следует подчеркнуть, что нелинейной называется теория, в частности нелинейная теория динамических систем, или нелинейная динамика, использующая нелинейные математические модели. Но нелинейная теория не обязательно ограничивается изучением нелинейных явлений или закономерностей.

Мир нелинейных закономерностей, или функций, так же как и стоящий за ним мир нелинейных явлений, страшит, покоряет и неотразимо манит своим неисчерпаемым разнообразием. Здесь нет места чинному стандарту, здесь безраздельно господствует изменчивость и буйство форм. То, что точно схватывает и переходит характерные особенности одного класса нелинейных функций, ничего не говорит даже о простейших особенностях типичного представителя другого класса нелинейных функций. Геометрический образ нелинейной функции — кривая на плоскости, искривлённая поверхность или гиперповерхность в пространстве трёх или большего числа измерений. На одинаковые приращения независимой переменной одна и та же нелинейная функция откликается по-разному в зависимости от того, какому значению независимой переменной придаётся приращение. Почти полным «безразличием» к изменению одних и повышенной, острой чувствительностью к изменению других значений независимой переменной нелинейные функции поразительно контрастируют с линейными функциями. Любая линейная функция откликается на приращение независимой переменной одним и тем же приращением своего значения, в какой бы части области определения ни находилось то значение независимой переменной, которой придаётся приращение. Именно здесь и проходит демаркационная линия между миром линейных и нелинейных явлений и зависимостей.

Что же касается границы между линейными и нелинейными теориями, то её принято проводить по иному признаку. Теория считается линейной или нелинейной в зависимости от того, какой — линейный или нелинейный — математический аппарат, какие — линейные или нелинейные — математические модели она использует.

Неповторимая отличительная особенность линейной теории, безвозвратно утрачиваемая при переходе к нелинейной теории» — принцип суперпозиции — позволяет физику конструировать любое состояние из определённого набора частных состояний, образуя их линейные комбинации, или суперпозиции.

Физики, делавшие первые, ещё неуверенные шаги в области нелинейного, где всё было «не так», всё или по крайней мере многое противоречило устоявшимся линейным представлениям и линейной интуиции, питали несбыточную надежду, что милый их сердцу привычный математический аппарат путём различного рода ухищрений (малых добавочных членов) удастся приспособить к решению новых нелинейных задач. Тех, кто питал такие надежды, ожидало разочарование: линейный математический аппарат отторгал чужеродную ткань нелинейных включений. «Искусственная линеаризация» оказывалась малоэффективной и «большей частью ничему не научила, а иногда бывала прямо вредной» (Л.И. Мандельштам).

Особенностью нелинейной теории было не только отсутствие принципа суперпозиции, но и наличие обратной связи: система воздействовала на самоё себя.

Неправильное перенесение линейного опыта и линейной интуиции на нелинейную почву не только лишено последовательности и наносит ущерб эстетической привлекательности теории (тем самым сигнализируя о нарушении сформулированного П.A.M. Дираком критерия математической красоты физической теории), но и чревато грубым искажением существа происходящих процессов. Руководствуясь обманчивыми показаниями ставшего ненадёжным компаса линейной теории, нетрудно впасть в ошибку и проглядеть важный эффект, не имеющий линейных аналогов.

Ещё на дальних подступах к бескрайним просторам нелинейности исследователь вынужден отказаться от линейных вех, способных скорее дезориентировать, чем указывать верное направление. Не располагая готовым математическим аппаратом или не успев выбрать подходящее оружие в обширном арсенале математических средств и методов, физик порой был вынужден становиться на путь своего рода «математического старательства» и приниматься решать нелинейные задачи «поштучно», используя их специфические индивидуальные особенности и полагаясь больше на удачу — пресловутый старательский «фарт». «Тот путь, конечно, сам по себе правилен, — писал Л.И. Мандельштам в предисловии к знаменитой (и многострадальной) «Теории колебаний» А.А. Андронова, А.А. Витта и С.Э. Хайкина. — Идя по нему, ряд исследователей получил весьма ценные результаты, сохранившие своё значение и в настоящее время. И сейчас, иногда, удобно в том или ином случае идти по этому пути».

Но не говоря уже о том, что фактически такие решения разрозненных отдельных задач не имели достаточного математического обоснования, весь этот путь в качестве, так сказать, большой дороги вряд ли целесообразен, так как он не ведёт к установлению тех общих точек зрения, той базы, как математической, так и физической, которая необходима для достаточно полного и всестороннего охвата области нелинейных колебаний в уже известной нам её части, и, что ещё важнее, для успешного дальнейшего планомерного развития».

Выделенные курсивом слова «нелинейных колебаний» не умаляют общности утверждения. Их вполне можно заменить словами «нелинейной физики», ведь они принадлежат Л.И. Мандельштаму.

Чтобы не влачить жалкое существование приживалки линейной теории и не быть низведённой до положения учёной хранительницы обширного собрания разрозненных решённых задач, нелинейная физика должна была обрести внутреннее единство и автономию от своей предшественницы — линейной физики. Необходимо создать «нелинейную культуру, включающую надёжный математический аппарат и физические представления, адекватные новым задачам, выработать нелинейную интуицию, годную там, где оказывается непригодной интуиция, выработанная на линейных задачах» (А.А. Андронов).

Основоположником и создателем нелинейного физического мышления стал замечательный физик — наш соотечественник академик Леонид Исаакович Мандельштам.

Список литературы

1. Синергетике 30 лет. Интервью с профессором Хакеном. Проведено Е.Н. Князевой // Вопросы философии. 2000. № 3. С. 53–61.

2. Хакен Г. Принципы работы головного мозга. М.: Per Se, 2001.

3. Синергетическая парадигма. Многообразие поисков и подходов. М.: Прогресс-Традиция, 2000.

4. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1980.

5. Хакен Г. Синергетика. Иерархия неустойчивостей в самоорганизующихся системах. М.: Мир, 1985.

6. Хакен Г., Хакен-Крелль М. Тайны восприятия. М.: Институт компьютерных исследований, 2002.

7. Нейман Дж. фон. Теория самовоспроизводящихся автоматов. М.: Мир, 1971.

8. Пуанкаре А. Избранные труды. Т. 2. М.: Наука, 1972. С. 339.

9. Ландау Л.Д. К проблеме турбулентности // ДАН СССР. 1944. Т. 44. № 8. С. 339–342.

10. Hopf E. A mathematical example displaying the features of turbulence // Comm. Pure Appl. Math. 1948. V. 1. P. 303–322.

11. Лоренц Э. Детерминированное непериодическое течение // В сб. «Странные аттракторы» (Под ред. Я.Г. Синая и Л.П. Шильникова). М.: Мир, 1981. С. 88–116.

12. Ruelle D., Takens F. On the nature of turbulence // Comm. Math. Phys. 1971. V. 20. P. 167–192.

13. Николис Г., Пригожин И. Познание сложного. М.: Мир, 1990.

14. Николис Дж. Динамика иерархических систем. Эволюционное представление. М., 1989.

15. Gell-Mann M. Quark and the Jaguar. Adventures in the Simple and the Complex. London: Abacus, 1995. P. 11.

16. Mainzer K. Thinking in Complexity. The Complex Dynamics of Matter, Mind, and Mankind. Berlin; Springer-Verlag, 1994. P. 13.

17. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М.: УРСС, 2002.

18. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. М.: Мир, 1979. С. 152.

19. Зыков B.C. Моделирование волновых процессов в возбудимых средах. М.: Наука, 1984. С. 166.

20. Пригожин И., Стенгерс И. Время, хаос, квант. М.: Прогресс, 1999.