Реферат: Тригонометрия

Действительные числа:

Теорема: R - несчётное множество.

Док-во: метод от противного. Несчётность (0;1)

X₁ =0,n₁₁ n₁₂ n₁₃ …n_1k … m₁ Î{0,1,…,9}\{9,n₁₁ }

X₂ =0,n₂₁ n₂₂ n₂₃ …n_2k … m₂ Î{0,1,…,9}\{9,n₂₂ }

……………………… ………………………

X_k =0,n_k1 n_k2 n_k3 …n_kk … m_k Î{0,1,…,9}\{9,n_kk }

a=0,m₁ m₂ …m_k … Þa¹x₁ a¹x₂ a¹x₃ …… a¹x_k

aÏ(0;1) Противоречие.

0<a<1 Þ R - несчётное множество.

Теорема: Q - Счётное множество.

Док-ть: Q⁺ - счётное, т.к. Q=Q^- U{0}UQ⁺

Док-во:

Q⁺ - счётное множество, т.к. оно есть объединение счётного семейства счётных

множеств. Q^- - Тоже, что и Q⁺ только все элементы множества отрецательные

. По теореме: Всякое множество счётных одмножеств явл. Само счётным ÞQ - сч. мн.

Предел числовой последовательности:

Пусть aÎR, e>0 {x:| x-a|<e}

Последовательность {X_n } имеет конечный предел если сущ. такое число a?R, что кокого

бы нибыло e>0 почти все члены этой последовательности e- окрестность точки a.

Почти все - это значит за исключением быть может конечного числа.

$n₀ =n₀ (e)ÎN: n>n₀ Þ|x_n -a|<e a=limx_n , при n®¥

Свойства:

1. Единственность (Если предел есть, то только один)

Док-во: Метод от противного. a=limx_n , b=limx_n , при n®¥, a>b, a-b=e>0

$n₀ =n₀ (e/3):|x_n -a|<e/3 и|x_n -b|<e/3

e=a-b=(a-x_n )-(b-x_n )

e=|(a-x_n )-(b-x_n )|£|(a-x_n )|+|(b-x_n )|£2e/3

e£2e/3 Противоречие.

2. Ограниченность (Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена)

Дано: $limx_n =a, при n®¥ - конечный предел

Док-ть:$M>0:|x_n |<M "n

Док-во: limx_n =a, при n®¥:"e>0 $n₀ =n₀ (e):a-e<x_n <a+e, при n>n₀

Пусть e=1, тогда при n>n₀ (1) будет выполняться a-1<x_n <a+1 или |x_n -a|<1

Тогда |x_n |<|(x_n -a)+a|<|x_n -a|+|a|<|a|+1 "n>n₀ (1)

P=max{|a₁ |,|a₂ |,…,|a_no |}

M=max{P,|a|+1}Þ|x_n |<M "n

3. Предел п одпоследовательности (Если последовательность имеет предел а, то любая

её подпоследовательность имеет тоже предел а)

Свойства предельного перехода связанные с неравенствами :

Теорема 1. Пусть $limx_n =x, при n®¥ - конечный (1 последовательность)

$limy_n =y, при n®¥ - конечный (2 последовательность)

Если x<y, то для почти всех n x_n <y_n

Док-во: e=y-x>0

$n^| =n^| (e/3): |x_n -x|<e/3 "n>n^|

$n^|| =n^|| (e/3): |y_n -y|<e/3 "n>n^|

n₀ =max{n^| ,n^|| }, n>n₀

x-e/3<x_n <x+e/3 î

y-e/3<y_n <y+e/3 ìÞ x_n <x+e/3<y-e/3<y_n Þ"n>n₀ x_n <y_n Что и т. док-ть.

Следствие: Если последовательность имеет предел отличный от нуля, то

эта последовательность отделена от нуля. Эта последовательность при больших n

сохраняет знак своего предела)

x=limx_n , x¹0

1) x>0 Предположим x>0 x/2>0Þx>x/2

limx_n >x/2, при n®¥Из Т.1. следует, что $n₀ :"n>n₀ x_n >x/2>0

Теорема 2. Предположим, что $limx_n =x и$limy_n =y, при n®¥

Если для почти всех n:x_n £y_n , то и x£y

Док-во: Метод от противного. x>y по Т.1. Þx_n >y_n для почти всех n

Противоречие.

Теорема 3. Теорема о двустороннем ограничении.

Пусь $limx_n =limy_n =a, при n®¥, и предположим, что x_n £z_n £y_n "n, тогда

1) Сущ. limz_n , при n®¥

2) limz_n =a, при n®¥

Док-во: $n^| =n^| (e):a-e£x_n £a+e, "n>n^|

$n^|| =n^|| (e):a-e£y_n £a+e, "n>n^||

n₀ =max{n^| ,n^|| }

n>n₀ Þ a-e£x_n £z_n £y_n £a+eÞ a-e£z_n £a+eÞ$limz_n =a

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности:

defû {x_n }-б.м. :=limx_n =0, при n®¥, т.е. "e>0 $n₀ =n₀ (e) n>n₀ Þ|x_n |<e

defû {x_n }-б.б. :=limx_n =¥, при n®¥, т.е. "e>0 $n₀ =n₀ (e) n>n₀ Þ|x_n |>e

Свойство 1. Произведение б.м. последов. на ограниченную даёт сного б.м.

{x_n }-б.м. {y_n }-ограниченная {x_n y_n }-б.м.

Док-во: $M>0:|y_n |£M "n - значит ограничена.

"e>0 $n₀ =n₀ (e/M):n>n₀ Þ|x_n |<e/M Þ

Þ n>n₀ |x_n y_n |=|x_n ||y_n |£e/M*M=eÞ {x_n y_n }-б.м.

Свойство 2. Произведение б.б. на посл. Отделённую от нуля даст б.б.

{x_n }-б.б. и {y_n }-отдел от нуля

Док-во: {1/x_n *1/y_n }=б.м.*огран.=б.м. (по 1-ому свойству)Þ{x_n y_n }-б.б.

Свойство 3. Сумма двух (любого кон. числа) б.м. послед. Даст снова б.м.

{x_n } и {y_n }-б.м. Þ{x_n +y_n }-б.м.

Док-во: "e$n^| =n^| (e/2):n>n^| |x_n |<e/2

$n^|| =n^|| (e/2):n>n^|| |y_n |<e/2

n₀ =max{n^| ,n^|| }

n>n₀ Þ|x_n +y_n |£|x_n |+|y_n |<e/2+e/2=e

Для того чтобы получить это св-во с любым числом последовательностей

нужно применить метод мат. индукции.

Свойство 4. Сумма б.б. одного знака снова б.б. того же знака

Док-во: Очивиднл.

Неопределённые интегралы.

def / F(x) называется первообразной

для f(x) на[a;b] если F ¢(x)=f(x)

У непрерывной функции первообразная

всегда есть.

Теорема: Различные первообразные

одной и той же функции отличаются

на одно и тоже постоянное слагаемое.

Док-во: F₁ (x) и F₂ (x) – первообразные для f(x)

F(x)= F₁ (x)- F₂ (x)

F ¢(x)= F₁ ¢(x)- F₁ ¢(x)=f(x)-f(x)=0

F(x)=const

Def / Совокупность всех первообразных одной

и той же функции называется её

неопределённым интегралом.

Св-ва линейности:

Замена переменных в неопределённом интеграле

или методом подстановки.

Теорема: Пусть функция x=

x(t): (a;b)®(a;b), xÎC¹ (a;b), fÎC(a;b)

1)

½x=x(t)

2) Если x¢(t) сохраняет знак, тогда

½t=t(x)

Док-во: 1) d/dxF(x(t))=F ¢(x(t))x¢(t)=f(x(t))x¢(t)

2) x(t) – строго монотонная Þ$обратная t=t(x)

½t=t(x)

Интегрирование по частям.

Рекуррентная формула.

y=a+bx² y¢=2bx xy¢=2bx² =2(y-a)

U=1/yⁿ dx=dV dU=(-ny¢/yⁿ⁺¹ )dx V=x

I_n =x/yⁿ +2nI_n -2naI_n+1

1) I_n+1 =(1/2na)(x/yⁿ +(2n-1)I_n ), n¹0, a¹0

2) I_n =(1/(2n-1))(2naI_n+1 -x/yⁿ ), n¹1/2, a¹0

Поле комплексных чисел.

(x;y)=(x;0)+(y;0)(0;1)=x+yi

– алгебраическая запись комплексного числа

Чертёж :