Скачать .zip |
Реферат: Интеграл по комплексной переменной. Операционное исчисление и некоторые его приложения
Интеграл по комплексной переменной.
Определение 1: Кривая Г называется гладкой ,если она имеет непрерывно изменяющуюся касательную.
Определение 2: Кривая называется кусочно-гладкой ,если она состоит из конечного числа гладких дуг.
Основные свойства : Пусть на комплексной плоскости Z задана кусочно-гладкая кривая С длиной , используя параметрическое задание кривой С зададим tи (t), где иявляются кусочно-гладкими кривыми от действительной переменной t. Пусть <= t<=причем и могут быть бесконечными числами .
Пусть и удовлетворяют условию : [‘(t)]2 + [‘(t)]2 0. Очевидно, что задание координат =tи (t), равносильно заданию комплексной функции (t)= (t) i(t).
Пусть в каждой точке (t) кривой С определена некоторая функция f ( ). Разобьем кривую С на n – частичных дуг точками деления 0 , 1 , 2 , …, n-1 соответствующие возрастающим значениям параметра t, т.е. t0, t1, …, t i+1 > t i.
i =
i –
i-1.
Составим
интегрируемую
функцию S
= f
(*)
i .
(1)
где
*–
производная
точки этой
дуги.
Если при стремлении max | i | 0 существует предел частных сумм не зависящий ни от способа разбиения кривой С на частичные дуги, ни от выбора точек i , то этот предел называется интегралом от функции f ( ) по кривой С.
(2)
f (i* ) = u (Pi*) + iv (Pi*) (3)
где i = (t) i(t) ((t) и(t) - действительные числа)
Подставив (3) в (1) получим :
(4)
Очевидно, что (4) состоит из суммы двух частных сумм, криволинейных интегралов действительной переменной. Переходя в (4) к пределу при и 0 и предполагая, что данные пределы существуют, получаем :
(5)
Заметим, что для существования криволинейного интегралов, входящих в (5), а тем самым и для существования интеграла (2) достаточно кусочной непрерывности функций u и v. Это означает, что (2) существует и в случае неаналитичности функции f ( ).
Сформулируем некоторые свойства интеграла от функции комплексной переменной. Из равенства (5) следуют свойства :
О
ограниченности
интеграла.
П
ри
этом z =
(
).
7.) Пусть Cp – окружность радиуса , с центром в точке Z0. Обход вокруг контура Cp осуществляется против часовой стрелки. Cp : = Z0 + ei, 0 2, d = iei d .
К
усочно-гладкую
замкнутую
кривую будем
называть замкнутым
контуром, а
интеграл по
замкнутому
контуру – контурным
интегралом.
ТЕОРЕМА КОШИ.
В качестве положительного обхода контура выберем направление при котором внутренняя область, ограниченная данным замкнутым контуром остается слева от направления движения :
Д
ля
действительной
переменной
имеют место
формулы Грина.
Известно, что
если функции
P(x, y) и Q(x, y)
являются
непрерывными
в некоторой
заданной области
G, ограниченны
кусочно-гладкой
кривой С, а их
частные производные
1-го порядка
непрерывны
в G, то имеет
место формула
Грина:
( 8 )
ТЕОРЕМА : Пусть в односвязной области G задана аналитическая функция f(Z), тогда интеграл от этой функции по замкнутому контуру Г целиком лежащему в G , равен нулю.
Доказательство : из формулы (5) следует:
Т
.к.
f(
) аналитическая
всюду, то U(x,
y), V(x, y) - непрерывны
в области,
ограниченной
этим контуром
и при этом
выполняются
условия Коши-Римана.
Используя
свойство
криволинейных
интегралов:
А
налогично
:
По условию Коши-Римана в последних равенствах скобки равны нулю, а значит и оба криволинейных интеграла равны нулю. Отсюда :
ТЕОРЕМА 2 (Вторая формулировка теоремы Коши) : Если функция f() является аналитической в односвязной области G, ограниченной кусочно-гладким контуром C, и непрерывна в замкнутой области G, то интеграл от такой функции по границе С области G равен нулю.
TEOPEMA 3 (Расширение теоремы Коши на многосвязную область) :
Пусть f () является аналитической функцией в многосвязной области G, ограниченной извне контуром С0, а изнутри контурами С1, С2, .. ,Сn (см. рис.). Пусть f () непрерывна в замкнутой области G, тогда :
, где С – полная граница области G, состоящая из контуров С1, С2, .. , Сn. Причем обход кривой С осуществляется в положительном направлении.
Неопределенный интеграл.
С
ледствием
формулы Коши
является следующее
положение :
пусть f(Z)
аналитична
в односвязной
области G,
зафиксируем
в этой области
точку Z0
и обозначим:
интеграл по какой-либо кривой, целиком лежащей в области G, содержащей Z0 и Z, в силу теории Коши этот интеграл не зависит от выбора кривой интегрирования и является однозначной функцией Ф(Z). Аналитическая функция Ф(Z) называется первообразной от функции f(Z) в области G, если в этой области имеет место равенство : Ф (Z) = f( Z).
Определение: Совокупность всех первообразных называется неопределенным интегралом от комплексной функции f(Z). Так же как и в случае с функцией действительного переменного имеет место равенство :
( 9)
Это аналог формулы Ньютона-Лейбница.
Интеграл Коши. Вывод формулы Коши.
Ранее была сформулирована теорема Коши, которая позволяет установить связь между значениями аналитической функции во внутренних точках области ее аналитичности и граничными значениями этой функции.
П
усть
функция f(Z)
– аналитическая
функция в односвязной
области G,
ограниченной
контуром С.
Возьмем внутри
этой области
произвольную
точку Z0
и в области
G вокруг
этой точки
построим замкнутый
контур Г. Рассмотрим
вспомогательную
функцию
(Z). Эта
функция аналитична
в области G
всюду, кроме
точки Z=Z0.
Проведем
контур
с достаточным
радиусом,
ограничивающий
точку Z0,
тогда функция
будет аналитична
в некоторой
двусвязной
области, заключенной
между контурами
Г и .
Согласно теореме
Коши имеем :
По свойствам интегралов :
(2 )
Так как левый интеграл в (2) не зависит от выбора контура интегрирования, то и правый интеграл также не будет зависеть от выбора контура. Выберем в качестве окружность с радиусом . Тогда:
(3)
Уравнение окружности : = Z0 + ei (4)
Подставив (4) в (3) получим :
( 5 )
( 6 )
(7)
Устремим 0, т.е. 0.
Тогда т.к. функция f() аналитична в точке Z=Z0 и всюду в области G, а следовательно и непрерывна в G, то для всех >0 существует >0, что для всех из –окрестности точки Z0 выполняется | f() – f(Z0) | < .
(8)
Подставив ( 7) в ( 6) с учетом ( 8) получаем :
П
одставляя
в ( 5) и выражая
f(Z0) имеем :
(9)
Это интеграл Коши.
Интеграл, стоящий в (9) в правой части выражает значение аналитической функции f() в некоторой точке Z0 через ее значение на произвольном контуре , лежащем в области аналитичности функции f() и содержащем точку Z0 внутри.
Очевидно, что если бы функция f() была аналитична и в точках контура С, то в качестве границы в формуле (9) можно было использовать контур С.
Приведенные рассуждения остаются справедливыми и в случае многосвязной области G.
Следствие : Интеграл Коши, целиком принадлежащий аналитической области G имеет смысл для любого положения Z0 на комплексной плоскости при условии, что эта точка есть внутренней точкой области Г. При этом если Z0 принадлежит области с границей Г, то значение интеграла равно (9), а если т. Z0 принадлежит внешней области, то интеграл равен нулю :
П
ри
Z0
Г указанный
интеграл не
существует.
Интегралы, зависящие от параметра.
Рассматривая интеграл Коши, видим, что подинтегральная функция зависит от 2-х комплексных переменных : переменной интегрирования и Z0. Таким образом интеграл Коши может быть рассмотрен как интеграл, зависящий от параметра, в качестве которого выбираем точку Z0.
Пусть задана функция двух комплексных переменных (Z, ), причем Z= x + iy в точке, принадлежащей некоторой комплексной плоскости G. = + i С. (С - граница G).
Взаимное расположение области и кривой произвольно. Пусть функция (Z, ) удовлетворяет условиям : 1) Функция для всех значений С является аналитической в области G. 2) Функция (Z, ) и ее производная являются непрерывными функциями по совокупности переменных Z и при произвольном изменении области G и переменных на кривой С. Очевидно, что при сделанных предположениях :
И
нтеграл
существует
и является
функцией комплексной
переменной.
Справедлива
формула :
(2)
Эта формула устанавливает возможность вычисления производной от исходного интеграла путем дифференцирования подинтегральной функции по параметру.
ТЕОРЕМА. Пусть f(Z) является аналитической функцией в области G и непрерывной в области G (G включая граничные точки ), тогда во внутренних точках области G существует производная любого порядка от функции f(Z) причем для ее вычисления имеет место формула :
(3)
С помощью формулы (3) можно получить производную любого порядка от аналитической функции f (Z) в любой точке Z области ее аналитичности. Для доказательства этой теоремы используется формула (2) и соответственные рассуждения, которые привели к ее выводу.
ТЕОРЕМА МОРЕРА. Пусть f(Z) непрерывна в односвязной области G и интеграл от этой функции по любому замкнутому контуру, целиком принадлежащему G равен 0. Тогда функция f (Z) является аналитической функцией в области G. Эта теорема обобщается и на случай многосвязной области G.
Разложение функции комплексного переменного в ряды.
Если функция f(x, y) определена и непрерывна вместе с частными производными (до n-го порядка ), то существует разложение этой функции в ряд Тейлора :
Итак, если задана функция f (z) комплексного переменного, причем f (z) непрерывная вместе с производными до n-го порядка, то:
(2) – разложение в ряд Тейлора.
Формула
(2) записана для
всех Z принадлежащих
некоторому
кругу | Z-Z0 | Функция
f (z), которая
может быть
представлена
в виде ряда (2)
является
аналитической
функцией.
Неаналитическая
функция в ряд
Тейлора не
раскладывается.
(3)
(4)
(5) Причем
| Z | < R, R
.
Формулы ЭЙЛЕРА. Применим
разложение
(3) положив, что
Z = ix
и Z= - ix;
(6) Аналогично
взяв Z = - ix
получим :
(7) Из
(6) и (7) можно выразить
т.н. формулы
Эйлера :
(8) В
общем случае
:
(9) Известно,
что :
(10) Тогда
из (9) и (10) вытекает
связь между
тригонометрическими
и гиперболическими
косинусами
и синусами:
Ряд ЛОРАНА. Пусть
функция f(z) является
аналитической
функцией в
некотором круге
радиусом R, тогда
ее можно разложить
в ряд Тейлора
(2). Получим тот
же ряд другим
путем. ТЕОРЕМА
1.
Однозначная
функция f(Z) аналитическая
в круге радиусом
|Z-Z0| < R раскладывается
в сходящийся
к ней степенной
ряд по степеням
Z-Z0. Опишем
в круге радиусом
R окружность
r, принадлежащую
кругу с радиусом
R.
Возьмем
в круге радиуса
r точку Z,
а на границе
области точку
,
тогда f(z) будет
аналитична
внутри круга
с радиусом r
и на его границе.
Выполняется
условие для
существования
интеграла Коши
:
(13)
(11) Поскольку
,
то выражение
можно представить
как сумму бесконечно
убывающей
геометрической
прогрессии
со знаменателем
,
т.е. :
(12) Представим
равномерно
сходящимся
рядом в круге
радиуса r,
умножая (12) на
1/(2i)
и интегрируя
по L при
фиксированном
Z, получим
: слева интеграл
(13) который равен
f (Z), а справа
будет сумма
интегралов
: Обозначая
,
получим :
(14) Это
разложение
функции f
(Z) в круге R в ряд
Тейлора. Сравнивая
(14) с рядом (2) находим,
что
(15) ТЕОРЕМА
2. Если
однозначная
функция f(Z)
аналитична
вне круга с
радиусом r с
центром в точке
Z0 для всех Z
выполняется
неравенство
r < |Z-Z0 |, то она
представляется
рядом :
(16) где
h - ориентированная
против часовой
стрелки
окружность
радиуса r
(сколь угодно
большое число).
Если обозначить
(17) , получим :
(18) ТЕОРЕМА
3. Если
однозначная
функция f(Z)
аналитическая
в кольце Z< |Z-Z0
|
(19) f1
и f2
можно представить
в виде двух
рядов :
(20)
(21) Ряд
(19) – ряд Лорана,
при этом ряд
(20) сходится в
круге радиуса
R, ряд (21) сходится
вне круга радиуса
R функции
f2(Z). Общая область
сходимости
ряда – кольцо
между r и R. f1(Z)
– правильная
часть. f2(Z)
– главная часть
ряда Лорана. Ряд
Тейлора – частный
случай ряда
Лорана при
отсутствии
главной его
части.
Классификация
изолированных
особых точек.
Вычеты. Определение
1. Особой точкой
функции f(Z) определенной
в области (замкнутой)
G, ограниченной
Жордановой
кривой, называется
точка Z=Z0
G в которой
аналитичность
функции f1(Z) нарушается.
Рабочая точка
Z=Z0 функции
f(Z), ограниченной
в круге |Z-Z0| Устранимые
особые точки.
Ими называются
особые точки,
для которых
существует
,
где А – конечное
число. Если
для особой
точки существует
предел
,
то такая особая
точка называется
полюсом. Если
не существует,
то точка Z=Z0
называется
существенной
особой точкой. Если
С-n=0,
то особая
точка есть
устранимая
особая точка. Пусть
f(Z0)=C0
и C-n для
всех n=1,2,3,..,m отличного
от 0, а для всех
n m+1
C-n=0, тогда
Z=Z0 будет
являться полюсом
порядка m. При
m>1 такой полюс
будет называться
простым. ,
если m
, то в этом случае
в точке Z=Z0
имеем существенную
особенность. Определение
2. Вычетом функции
f(Z) в круге
|Z-Z0| Если
полюс имеет
кратность m
1, то для
определения
вычетов используется
формула :
(3) при
m=1 : Основная
теорема о вычетах. Пусть
f(z) аналитическая
в области G
кроме конечного
числа полюсов
Z = a1,
a2,
…, ak.
–произвольный,
кусочно-гладкий
замкнутый
контур содержащий
внутри себя
эти точки и
целиком лежащий
внутри области
G. В этом
случае интеграл
равен
сумме вычетов
относительно
a1,
a2,
…, ak
и т.д. умноженный
на 2i
:
(5) Пример
: Найти
вычет
Особые
точки : Z1=1,
Z2=
- 3. Определим
порядок полюсов
– все полюсы
первого порядка. Используем
формулу (3) : Интегральные
преобразования. Операционное
исчисление
и некоторые
его приложения.
Пусть задана
функция действительного
переменного
t, которая
удовлетворяет
условиям :
Функция f(t)
кусочно-непрерывная
(имеет конечное
число точек
разрыва первого
рода).
Для любого
значения параметра
t>0 существует
M>0 и S00
такие, что
выполняется
условие : |f(t)|
Рассмотрим
функцию f(t)e-pt
, где р – комплексное
число р = ( а +
i b).
(1)
Применим к
этому соотношению
формулу Эйлера
:
Проинтегрировав
это равенство
получим :
(2)
Оценим левую
часть равенства
(2) :
А согласно
свойству (3) |f(t)|
< Me S0t
В случае если
a>S0
имеем :
Аналогично
можно доказать,
что существует
и сходится
второй интеграл
в равенстве
(2).
Таким образом
при a>S0
интеграл, стоящий
в левой части
равенства (2)
также существует
и сходится.
Этот интеграл
определяет
собой функцию
от комплексного
параметра р
:
(3)
Функция F(p)
называется
изображением
функции f(t)
по Лапласу,
а функция f(t)
по отношению
к F(p) называется
оригиналом.
f(t)
F(p), где F(p) – изображение
функции f(t)
по Лапласу.
- это оператор
Лапласа. Смысл
введения интегральных
преобразований.
Этот смысл
состоит в следующем
: с помощью перехода
в область изображения
удается упростить
решение многих
задач, в частности
свести задачу
решения многих
задач дифференциального,
интегрального
и интегро-дифференциального
уравнения к
решению алгебраических
уравнений.
Теорема единственности:
если две функции
tиt
имеют одно и
то же изображение
F(p), то эти
функции тождественно
равны.
Смысл теоремы
: если при решении
задачи мы определим
изображение
искомой функции,
а затем по
изображению
нашли оригинал,
то на основании
теоремы единственности
можно утверждать,
что найденная
функция является
решением в
области оригинала
и причем единственным.
Изображение
функций 0(t),
sin (t), cos (t).
Определение:
называется
единичной
функцией.
Единичная
функция удовлетворяет
требованиям,
которые должны
быть наложены
на функцию для
существования
изображения
по Лапласу.
Найдем это
изображение
:
Изображение
единичной
функции
Рассуждая
аналогичным
образом получим
изображение
для функции
sin(t) :
интегрируя
по частям получим
:
т.е.
Аналогично
можно доказать,
что cos (t) переходит
в функцию
в
области преобразований.
Откуда :
Изображение
функции с измененным
масштабом
независимого
переменного.
где
а – константа.
Таким образом
:
и
Свойства
линейности
изображения.
Теорема :
изображение
суммы нескольких
функций умноженное
на постоянные
равны сумме
изображений
этих функций
умноженных
на те же постоянные.
Если
,
то
,
где
Теорема смещения
: если функция
F(p) это изображение
f(t), то F(+p)
является
изображением
функции e-t
f(t) (4)
Доказательство
:
Применим оператор
Лапласа к левой
части равенства
(4)
Что и требовалось
доказать. Таблица
основных изображений: Изображение
производных.
Теорема. Если
,
то справедливо
выражение :
(1)
Доказательство
:
(2)
(3)
Подставляя
(3) в (2) и учитывая
третье условие
существования
функции Лапласа
имеем :
Что и требовалось
доказать.
Пример: Решить
дифференциальное
уравнение :
Если x(0)=0
и x’(0)=0
Предположим,
что x(t)
– решение в
области оригиналов
и
,
где
-
решение в области
изображений.
Изображающее
уравнение :
Теорема о
интегрировании
оригинала.
Пусть
находится в
области оригиналов,
,
тогда
также
оригинал, а его
изображение
.
Таким образом
операции
интегрирования
в области оригиналов
соответствует
операция деления
в области
изображений.
Теорема о
интегрировании
изображений
: Пусть
– функция
оригинал, которая
имеет изображение
и
также оригинал,
а
-
является сходящимся
интегралом,
тогда
.
Толкование
теоремы : операция
деления на
аргумент в
области оригиналов
соответствует
операции
интегрирования
в пределах от
р до
в области
изображений. Понятие
о свертке функций.
Теорема о свертке.
Пусть заданы
две функции
a(t) и b(t),
удовлетворяющие
условиям
существования
изображения
по Лапласу,
тогда сверткой
таких функций
называется
следующая
функция :
(1)
Свертка обозначается
следующим
образом :
(1’)
Равенства (1) и
(1’) идентичны.
Свертка функции
подчиняется
переместительному
закону.
Доказательство:
Теорема о
умножении
изображений.
Пусть
и
,
тогда произведение
изображений
представляется
сверткой оригиналов
.
Доказательство
:
Пусть изображение
свертки
(1)
Интеграл (1)
представляет
собой повторный
интеграл относительно
переменных
t и
. Изменим порядок
интегрирования.
Переменные
t и
входят в выражение
симметрично.
Замена переменной
производится
эквивалентно.
Если в последнем
интеграле
сделать замену
переменной,
то после преобразований
последний
интеграл
преобразуется
в функцию F2(p).
Операция умножения
двух функций
в пространстве
изображений
соответствует
операции свертки
их оригиналов
в области оригиналов.
Обобщением
теоремы о свертке
есть теорема
Эфроса.
Теорема Эфроса.
Пусть функция
находится в
области оригиналов,
,
а Ф(р) и q(р)
– аналитические
функции в области
изображений,
такие, что
,
тогда
.
В практических
вычислениях
важную роль
играет следствие
из теоремы о
свертке, наз.
интеграл Дюамеля.
Пусть все условия
теоремы выполняются,
тогда
(2)
Соотношение
(2) применяется
при решении
дифференциальных
уравнений. Обратное
преобразование
Лапласа.
- Это прямое
преобразование
Лапласа.
Обратное
преобразование
есть возможность
получить
функцию-оригинал
через известную
функцию-изображение
:
,
где s
– некоторая
константа.
Пользоваться
формулой для
обратного
преобразования
можно при
определенном
виде функции
F(p), либо для
численного
нахождения
функции-оригинала
по известному
изображению. Теоремы
разложения.
Известная
методика разложения
дробно-рациональных
функций на
сумму элементарных
дробей (1)-(4) может
быть представлена
в виде двух
теорем разложения.
Первая теорема
разложения.
Пусть F(p) –
изображение
некоторой
функции, тогда
эта функция
представляется
в виде
,
k – постоянная,
может быть
сколь угодно
большим числом,
,
то возможен
почленный
переход в
пространство
оригиналов
с помощью формулы
:
.
Вторая теорема
разложения.
Если изображение
представляется
дробно-рациональной
функцией
.
Степень числа
s меньше
степени знаменателя
n, знаменатель
имеет корни
1,
2,
…,
n
соответствующий
кратности k1,
k2, …,
kn ,
при этом k1+
k2 +…+
kn =
n. В этом случае
оригинал функции
определяется
по формуле :
(3)
Например :
Связь
между преобразованиями
Фурье и Лапласа.
Преобразование
Лапласа имеет
вид :
(1)
На f(t)
наложены
условия :
f(t) определена
и непрерывна
на всем интервале:
(- ;
)
f(t)
0 , t
(-
;0)
При M,
S0 >0
, для всех t
> 0 выполняется
условие |f(t)|
Если отказаться
от условий 2 и
3, и считать, что
f(t) принимает
произвольное
значение при
t < 0, то вместо
(1) можно рассмотреть
следующий
интеграл :
(2)
Формула (2) –
двустороннее
преобразование
Лапласа.
Пусть в (1) и (2)
p =a + in,
где a
и n
– действительные
числа.
Предположим,
что Re(p)
= a = 0, т.е.
(4)
(5)
и (5) соответственно
односторонние
и двусторонние
преобразования
Фурье.
Для существования
преобразования
Фурье, функция
должна удовлетворять
условиям :
Должна быть
определена
на промежутке
(- ;
) , непрерывна
всюду, за исключением
конечного
числа точек
разрыва первого
рода.
Любой конечный
промежуток
оси t можно
разделить на
конечное число
промежутков,
в каждом из
которых функция
либо кусочно-гладкая,
либо кусочно-монотонная.
Функция абсолютно
интегрируема
:
,
это условие
выполняется,
если |f(t)|
Из существования
преобразования
Лапласа не
следует преобразование
Фурье. Преобразования
Фурье существуют
для более узкого
класса функций.
Преобразования
Фурье не существуют
для постоянной
и ограниченной
функции : f(t)
= C
Аналогично
преобразования
Фурье не существуют
и для гармоничных
функций :
т.к.
Если f(t)
= 0 при t>0
и преобразование
для этой функции
существует,
то оно может
быть получено
из таблицы
оригиналов
и изображений
для преобразования
Лапласа путем
замены параметра
t на iu,
но при этом
необходимо
убедиться, что
F(p) не
обращается
в число справа
от мнимой оси.
Если f(t)
0, t<0
(6)
Обозначим
Очевидно, что
(6’)
Функция (6) называется
спектральной
плотностью
В связи с изложенным
можно указать
два пути отыскания
спектральной
плотности :
Вычисление
интеграла (5)
Использование
преобразования
Лапласа или
Фурье. Непосредственное
вычисление
спектральной
плотности для
абсолютно
интегрируемой
функции.
Функция F(iu)
может быть
представлена,
как комплексная
функция действительной
переменной
(7)
|F(iu)| -
амплитудное
значение спектральной
плотности,
(u) – фазовый
угол.
В алгебраической
форме : F(iu) =
a(u) +ib(u)
(8)
(9)
Для непосредственного
вычисления
спектральной
плотности
вычисляется
интеграл (6), а
затем по формулам
(8) и (9) определяется
амплитудное
значение |F(iu)|
и фазовый угол
(u).
Пример.
Найти спектральную
плотность
импульса :
откуда
,
далее
Отыскание
спектральной
плотности для
неабсолютно
интегрируемых
функций.
Прямое преобразование
Фурье для таких
функций не
существует,
существует
преобразование
Лагранжа.
Прямое преобразование
Фурье необходимо
:
Для облегчения
процесса решения
дифференциальных
и интегральных
уравнений.
Для исследования
амплитудной
и частотной
характеристик
спектральной
плотности,
определенной
всюду на числовой
оси.
Введем следующее
определение
спектральной
плотности для
неабсолютно
интегрируемых
функций:
Если для заданной
функции y=f(t)
существует
непрерывное
изображение
по Лапласу
F(p), то
спектральной
плотностью
функции называется
изображение
функции по
Лапласу при
p = iu.
Спектральной
плотностью
F1(iu)
неабсолютно
интегрируемой
функции называется
предел от
спектральной
плотности
F2(iu)
абсолютно
интегрируемой
функции.
F(p)
f(t)
F(p)
f(p)
1