Реферат: Лекции по линейной алгебре (МГИЕМ, ФПМ)

ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

1.Перемещения

Пусть X - множество всех точек прямой , плоскости или трехмерного пространства . Обозначим через d(P, Q) расстояние между точками P и Q множества X. Отображение f: X ® X f(P) = P называется перемещением, если для всех P и Q d(P, Q) = d(P, Q).

Примеры.

1. Пусть в выбрана правая декартова прямоугольная система координат (x, y) с началом О. Поворот плоскости на угол j вокруг точки О задается формулами R = R. Здесь R = , R = . Очевидно, поворот является перемещением плоскости.

Отметим, что (О) =О, то есть точка О остается неподвижной при повороте. Аналогично, в можно рассмотреть поворот на угол j вокруг оси, заданной единичным вектором v и точкой О. Легко проверить, что это перемещение задается формулой: R =Rcosj + (Rґv)sinj +v(1-cosj)(RЧv) . Все точки оси поворота являются неподвижными.

2. Перемещением будет и параллельный перенос на вектор v , Очевидно,

R = R +v . Неподвижных точек перенос не имеет.

3. Пусть l некоторая прямая в . (Зеркальное) отражение относительно этой прямой является перемещением. Если в декартовой прямоугольной системе координат уравнение прямой имеет вид y = tg(j/2) x , то отражение задается формулой : R = R . Аналогично, если p некоторая плоскость в , то отражение относительно этой плоскости будет перемещением. Если n единичный вектор нормали к плоскости p , проходящей через начало координат, то R = R - 2(RЧn)n .

Переносы и отражения (примеры 2 и 3) можно рассматривать и в .

4. Композиция U*V (последовательное выполнение ) двух перемещений U и V снова будет перемещением: (U*V)(P) = U(V(P)). Например, = * = I - тождественное перемещение.

2. Связь с линейными операторами.

Теорема 1

Пусть f: X ® X - перемещение, A, B, C, D - точки X, f(A) = A и т.д. Если AB = CD (как свободные векторы), то AB = CD .

Доказательство.

Достаточно проверить, что в условиях теоремы четырехугольник ABDC является параллелограммом. Пусть О точка пересечения диагоналей AD и BC. Принадлежность точки О отрезку АD равносильно равенству: d(A, O) + d(O, D) = d(A, D). Поскольку для образов этих точек имеет место аналогичное равенство d(A , O) + d(O, D) = d(A , D) , мы видим, что O лежит на отрезке AD и делит его пополам, поскольку d(A , O) = d(A ,O) = 1/2 d(A ,D) = 1/2 d(A , D) . Аналогично, O лежит на CD и делит его пополам. Следовательно, ABDC - параллелограмм.

Из теоремы 1 следует, что если - пространство свободных векторов, то для всякого перемещения f: X ® X определено отображение: f*: V ® V.

Отметим, что если О - некоторая фиксированная точка X, то для любой точки P точка f(P) получается из O переносом на вектор f*(OP). Отсюда вытекает, что перемещение f однозначно определяется отображением f* и точкой O .

Теорема 2.

Отображение f* является линейным оператором в V и сохраняет скалярное произведение.

Доказательство.

Свойство f*(u + v) = f*(u) +f*(v) следует из определения сложения векторов : если u = AB , v = BC , то u + v = AC. Так как при перемещении любой треугольник ABC переходит в равный треугольник, то сохраняются не только длины, но и углы между векторами, а значит и скалярное произведение. Наконец, использую сохранение скалярного произведения, имеем: = -2+ = - 2+ =0. Следовательно, f*(lv) = lf*(v) , то есть отображение f* линейно.

Следствие

Отображение евклидова пространства V, обладающее свойством является линейным оператором и сохраняет скалярное произведение.

Как известно, оператор в конечномерном пространстве определяется своей матрицей. Матрица A оператора, сохраняющего скалярное произведение, называется ортогональной и имеет следующие свойства:

1. Матрица А невырождена, более того det(A) = 1. Операторы с определителем 1 сохраняют ориентацию пространства, а с определителем (-1) меняют ее на противоположную.

2. Все собственные значения A - комплексные числа по модулю равные 1.

Кроме того, известны простейшие формы ортогональных матриц в ортонормированном правом базисе. Эти простейшие формы указаны в следующей таблице:

Замечание 1.

Учитывая связь между перемещением f и оператором f*, можно утверждать, что в подходящей декартовой системе координат имеет место формула:

R = АR + v , где А - одна из матриц из таблицы, а v - некоторый вектор. Следовательно, всякое перемещение f имеет обратное , которое задается формулой R = (R - v ) = R - v. Поскольку матрица - ортогональна, обратное отображение также является перемещением. Отметим еще, что для всякой ортогональной матрицы P и любого вектора w преобразование R = PR + w является перемещением.

Замечание 2.

Имеется существенное различие между математическим понятием перемещения и физическим понятием движения. Во втором случае имеется в виду непрерывное во времени изменение положения точки, в то время как в первом фиксируются только ее начальное и конечное положения.

Перемещения с det(A) = 1 можно представлять себе и как движения, в то время как при det(A)= -1 такое представление невозможно, если оставаться в пределах исходного пространства X.

3. Классификация перемещений.

Напомним, что нам уже известны некоторые перемещения. Перемещениями прямой являются тождественное преобразование I, перенос на вектор v и отражение относительно точки О .

Для случая плоскости перемещениями будут уже упомянутые I и , а также поворот вокруг точки О на угол j и отражение относительно прямой l . Определим дополнительно скользящее отражение как комбинацию отражения относительно прямой l с переносом на вектор vЅЅl .

Наконец, для пространства мы имеем перемещения I и , а, кроме того поворот вокруг оси, заданной точкой О и единичным направляющим вектором w на угол j и отражение относительно плоскости p. Определим дополнительно зеркальный поворот как комбинацию отражения относительно плоскости, заданной точкой О и вектором нормали n с поворотом и скользящее отражение - композицию отражения . относительно плоскости p и переноса на вектор vЅЅp. Наконец, определим винтовое перемещение как комбинацию поворота и параллельного переноса на вектор hw.

Отметим, что некоторые из указанных выше перемещений являются частными случаями других. Например, тождественное перемещение можно рассматривать как перенос на нулевой вектор (или как поворот на нулевой угол), отражение является частным случаем скользящего отражения при v = 0 и т. д.

Теорема 3 .

Каждое перемещение f в (n = 1, 2, 3 ) суть одно из следующих :

1. n = 1 ,

2. n = 2 , ,

3. n = 3 , , .

Доказательство.

Как уже отмечалось, можно выбрать такой ортонормированный базис, что перемещение f имеет вид R = АR + v , где v - некоторый вектор. Если изменить начало координат : R = r + u , R = r + u , получаем: r = Ar + v , где v = Au -u +v = (A - E)u + v .Мы видим, что если число 1 не является собственным значением матрицы А (или, если угодно, оператора f*) , то можно выбрать u так, что в новой системе координат v = 0 . (Поскольку матрица A - E невырождена). Тем самым утверждение теоремы доказано при n=1 и при n=2 в случае det(A) = 1 (так как собственные значения суть exp(ij)№ 1 при j№2pn ).

В случае матрицы можно добиться, чтобы v = , что приводит к скользящему отражению . Для матрицы при j№2pn получаем v = , и мы приходим к винтовому перемещению . (При j=2pn мы приходим к переносу). Наконец, для при j№2pn можно считать v = 0 , что приводит к зеркальному повороту , а при j=2pn - v = и получается скользящее отражение .

Замечание. ( о параметрах перемещений)

Параметр для поворота плоскости будем считать изменяющимся mod 2p т. е. = . Такое же соглашение будем использовать и для винтового перемещения при h > 0. Если же h = 0 , и речь идет о повороте в пространстве, надо учитывать, что = . В частности, = (отражение относительно прямой параллельной v и проходящей через О). Аналогично, = . Если при этом j=p это преобразование не зависит от вектора n и является отражением относительно точки О.

4* Композиции 1.

Теорема 4

Если f и g два перемещения X, а f*, g* - соответствующие операторы в V, то (f·g)* = f*g*(Символом · обозначена композиция перемещений).

Доказательство.

Используем координатную форму записи: f( R) = AR + v, g( R) = BR + w. Тогда: (f·g)( R) = f( (g( R)) = f( BR + w) = A( BR +w) +v = ( AB)R + ( Aw + v). Следовательно, (f·g)* = AB = f*g*.

Следствие.

Композиция двух перемещений с определителями одного знака имеет определитель (+1); если знаки определителей противоположны, композиция имеет определитель (-1).

Вычисление композиции перемещений пространства не вызывает затруднений. Отметим только, что · = ,где v =2AB.

Для случая пространства удобно использовать комплексные числа. Отождествляя их с точками плоскости, получаем удобный способ записи перемещений. Например, поворот можно записать в виде: z ®z + c. Точка О является неподвижной и соответствующее комплексное число находится из уравнения = + с, откуда = с/(1-). Таким образом, Отметим, что = при j+y№0 (mod 2p) . В то же время при j+y = 0 указанная композиция будет переносом на вектор AD, где D = .

Преобразование z®+c является скользящим отражением относительно прямой Im(= 0 на вектор 0,5 (с + ). Если прямая l проходит через точку и ее направляющий вектор (рассматриваемый как комплексное число) имеет аргумент , то перемещение можно записать в виде

Композиция двух скользящих отражений относительно пересекающихся прямых будет поворотом. В то же время, если прямые параллельны, композиция - перенос.

ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

(продолжение)

5.Кватернионы

Удобный способ аналитической записи перемещений в пространстве дают кватернионы , являющиеся обобщением комплексных чисел. Чтобы подчеркнуть аналогию между способами построения кватернионов из комплексных чисел и построением комплексных чисел из вещественных сравним обе конструкции.

Построение комплексных чисел Построение кватернионов

6. Связь с векторной алгеброй в .

В этом параграфе нам придется рассматривать одновременно несколько разных произведений. Крестом (ґ) будем обозначать векторное произведение в ,точкой (Ч) - скалярное произведение, а звездочка (*) будет использована для умножения кватернионов. Пусть q =bi + cj +dk - чисто мнимый кватернион. Пользуясь формулами предыдущего параграфа, нетрудно подсчитать, что , ij = -ji = k, jk = -kj = i, ki = - ik = j. Если кватернионам i , j ,k поставить в соответствие правый ортонормированный базис (i, j, k) пространства, то чисто мнимый кватернион q = bi + cj + dk можно интерпретировать как вектор в пространстве и мы видим, что умножение двух чисто мнимых кватернионов сводится к операциям векторного и скалярного умножения в : q*r = -qЧr + qґr . Отсюда следует, что q*r +r*q =-2qЧr - вещественное число, а q*r - r*q =2 qґr - чисто мнимое число.

Следствие

Пусть p и q - мнимые части кватернионов P и Q соответственно. Кватернионы P и Q коммутируют (то есть P*Q = Q*P ) тогда и только тогда, когда векторы p и q коллинеарны.

В самом деле, поскольку вещественные числа коммутируют с любым кватернионом, P*Q = Q*P p*q = q*p то есть -pЧq + pґq = -qЧp + qґp pґq = qґp pґq =0.

Используя кватернионы можно вывести некоторые свойства векторного произведения.

Теорема 5.

1. Для любых трех векторов p , q , r имеет место равенство (pґq) ґr + (qґr) ґp + (rґp) ґq =0 (Тождество Якоби)

2. (pґq) ґr = (rЧp)q - (qЧr)p

Доказательство.

Поскольку qґr = q*r + qЧr, имеем: (pґq) ґr=(pґq)*r +(pґq)Чr = (p*q) *r + (pЧq)r + (pґq)Чr ; последнее слагаемое - смешанное произведение (pqr). Производя круговую перестановку, получим: (qґr)ґp = (q*r)*p + (qЧr)p + (pqr).Сложим эти формулы и учтем ассоциативность умножения кватернионов: (pґq) ґr + (qґr)ґp = (p*(q*r)) + (q*r)*p) + (pЧq)r + (qЧr)p + 2(pqr). (1) Заменяя обратно q*r = - qЧr + qґr, преобразуем первую скобку A = -2 (qЧr)p + [p*(qґr) + (qґr)*p]. В квадратной скобке стоит произведение чисто мнимых кватернионов и потому она будет вещественным числом. Учитывая, что левая часть формулы (1) - чисто мнимое число, получаем окончательно: (pґq) ґr + (qґr)ґp = (pЧq)r - (qЧr)p. Производя круговые перестановки, получаем 2 аналогичных равенства:

(qґr) ґp + (rґp)ґq = (qЧr)p - (rЧp)q (2)

(rґp) ґq + (pґq)ґr = (rЧp)q - (pЧq)r. Складывая все 3 равенства, получаем тождество Якоби: (pґq) ґr + (qґr) ґp + (rґp) ґq =0 Вычитая из этого тождества равенство (2) , получим: (pґq) ґr = (rЧp)q - (qЧr)p.

7. Связь с перемещениями в .

Пусть p - чисто мнимый кватернион, а s№0 - любой кватернион. Пусть q = . Тогда . Учитывая, что и , получаем , то есть этот кватернион чисто мнимый. Таким образом возникает отображение : .Заметим, что Поскольку , - линейный оператор, сохраняющий скалярное произведение.

Теорема 6.

Det() = 1.

Доказательство.

Пусть e = (i,j,k). Тогда = () и Det() равен определителю этой матрицы то есть смешанному произведению ее столбцов . Имеем:

= +. Второе слагаемое равно 0 так как =0, а первое преобразуется следующим образом: = . Поэтому, ()==1.

Как нам известно, ортогональная матрица с определителем 1 задает поворот в . Вектор v параллельный оси вращения удовлетворяет условию ( v )=v Интерпретируя v как чисто мнимый кватернион, заметим, что условие означает, что v и s коммутируют. Значит, если Im(s) №0, v = lIm(s).Подсчитаем теперь угол поворота j. Пусть s = a + v, где v№0. Пусть вектор p ортогонален оси вращения v. Тогда v*p =vґp .Имеем: = (a - v) p(a + v) = + 2apґv - (vґp)ґv. Используя формулы предыдущего параграфа, получаем: (vґp)ґv = . Итак, = () Второе слагаемое в скобке можно записать как . Значит, cosj = , sinj =.Если определить угол y = arccos(), то j = 2y +2pn. Таким образом, поворот на уголвокруг оси, заданной единичным вектором n задается формулой , где s = cos(j/2) + n sin(j/2). Композиция двух поворотов , заданных кватернионами s и t = cos(a/2) + m sin(a/2) задается формулой и, следовательно, равна . Находим: s*t = cos(j/2) cos(a/2)-(nЧm) sin(j/2) sin(a/2) + n sin(j/2) cos(a/2) + m cos(j/2) sin(a/2) + (nґm) sin(j/2) sin(a/2). Вещественная часть этого кватерниона равна косинусу половины угла поворота, а мнимая часть определяет направление оси вращения.

Преобразование является зеркальным поворотом. Особо отметим случай вещественного s . В этом случае оно имеет вид: (зеркальный поворот на 180 градусов) и является центральной симметрией. Обозначим его буквой Z и отметим, что оно перестановочно с любым оператором.

Переходя к перемещениям мы видим, что формула , где как и выше s = cos(j/2) + n sin(j/2) задает поворот на угол j вокруг оси, заданной единичным вектором n и точкой , а та же формула со знаком (-) задает зеркальный поворот.

8. Перемещение как произведение отражений.

Теорема 7

1. Всякое ортогональное преобразование n- мерного векторного пространства можно представить в виде композиции не более чем n отражений.

2. Всякое перемещение n - мерного точечного пространства можно представить в виде композиции не более чем (n+1) отражений.

Доказательство.

Условимся, что произведение пустого множества преобразований является тождественным отображением. Приняв это соглашение, мы видим, что при n = 1 первое утверждение очевидно. При n = 2 для доказательства того же утверждения достаточно заметить, что композиция двух отражений относительно осей, составляющих угол a/2, будет вращением на угол a. Таким же образом пространственное вращение представляется в виде композиции двух отражений относительно плоскостей, проходящих через ось вращения. Наконец, зеркальный поворот требует еще одного дополнительного отражения относительно плоскости перпендикулярной оси.

Для доказательства второго утверждения отметим прежде всего, что перенос (скажем на плоскости) на вектор h можно представить в виде композиции двух отражений относительно параллельных осей, перпендикулярных h. Поскольку всякое перемещение можно рассматривать как композицию перемещения, сохраняющего начало координат(которое можно отождествить с соответствующим ортогональным оператором) и параллельного переноса, второе утверждение доказано для всех таких перемещений, для которых соответствующая матрица представляется в виде композиции

ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

(продолжение)

9. Группы преобразований

Пусть X некоторое множество, Sym(X) - множество всех взаимно однозначных отображений X на себя. Элементы называются преобразованиями множества X.. Композиция двух таких преобразований будет называться их произведением. Таким образом , (fg)(x) = f(g(x)). Отметим, что это произведение ассоциативно: (fg)h = f(gh).Для каждого преобразования f имеется обратное преобразование . Непустое множество G преобразований X называется группой преобразований, если:

Заметим, что каждая группа преобразований G содержит тождественное преобразование i. В самом деле, пусть - любой элемент. Тогда и значит . Число элементов в G, если оно конечно, называется порядком группы преобразований. Если H и G две группы преобразований множества X и , то H называется подгруппой G.

Приведем два основных примера групп преобразований. Пусть - любое подмножество и любая группа преобразований.

1. Множество всех таких преобразований , что f(y) =y образует подгруппу (сиационарные на Y преобразования).

2. Множество всех таких преобразований , что образует подгруппу (G - симметрии множества Y).

Приведем теперь более конкретные примеры.

1. Если X ={ 1, 2, ... , n } то группа Sym(X) обозначается и состоит из всех подстановок степени n . Эта группа состоит из n! элементов.

2. Множество всех перемещений n - мерного пространства образует группу преобразований . - подгруппа.

3. Пусть некоторая точка (начало координат). Группа состоит из всех перемещений сохраняющих начало координат. Как нам известно, такие перемещения можно отождествить с ортогональными операторами в . Эта группа называется группой ортогональных преобразований n - мерного пространства и обозначается . Каждое перемещение имеет определитель ±1 . Множество перемещений с определителем 1 образует группу, которая обозначается (специальная группа). Аналогичный смысл имеет обозначение .

4. Пусть Y - прямоугольник (не квадрат!) на плоскости . Группа состоит из четырех преобразований: тождественного, поворота на 180° и двух отражений относительно взаимно перпендикулярных осей. Стандартное обозначение этой группы . Аналогично, группа из двух элементов и обозначается .

5. Пусть Y - правильный n - угольник ( n = 3, 4, ... ) на плоскости. Группа состоящая из 2n элементов обозначается , а - и состоит из n элементов. Первая из них называется диэдральной, а вторая - циклической . Смысл этих названий будет пояснен в дальнейшем. По определению будем считать, что группа состоит из одного тождественного перемещения i.

6. Пусть Y - фигура, образованная бесконечной в обе стороны последовательностью букв Г: ...Г Г Г Г ...Если h - вектор, начало которого совпадает с «углом» одной из этих букв, а конец с «углом» соседней, то группа состоит из переносов на векторы равные nh , где n = 0, ±1, ±2, ... . Эта группа называется бесконечной циклической и обозначается .

7. Орбиты и стационарные подгруппы.

   
   

   Пусть G группа преобразований множества X, некоторая точка. Множество называется орбитой точки x. Подгруппа называется стационарной подгруппой точки x. Приведем некоторые примеры.

   1. Рассмотрим группу G = вращений плоскости вокруг некоторой точки P. Если x некоторая точка плоскости отличная от P, то ее орбита представляет собой окружность с центром P радиусом d(x , P). Орбита же точки P состоит из этой единственной точки. Стационарная подгруппа в первом случае тривиальна (то есть состоит из одного тождественного перемещения), а во втором совпадает со всей группой .

   2. Возьмем группу G = симметрий правильного треугольника ABC на плоскости (см. пример 5 выше). Пусть оси симметрии треугольника, пересекающиеся в центре треугольника точке P. Если точка x плоскости не лежит ни на одной из осей симметрии, то ее орбита состоит из 6 точек, являющихся вершинами шестиугольника со сторонами перпендикулярными этим осям. Стационарная подгруппа в этом случае тривиальна. Если x лежит на одной из осей, но не совпадает с P, то - правильный треугольник с вершинами на осях симметрии, а группа St(x) совпадает с . Наконец, состоит из единственной точки P, а St(P) совпадает со всей группой .

3.Пусть X ={ 1, 2, ... , n }, G = . Орбита любой точки совпадает со всем множеством X. В этом случае группа называется транзитивной на множестве.

Установим теперь некоторые общие свойства орбит и стационарных подгрупп.

Теорема 8

Пусть G группа преобразований множества X. Тогда:

Доказательство.

Как отмечалось выше, тождественное преобразование i содержится в любой группе преобразований. Следовательно, i(x) = x и первое утверждение доказано. Если , то y = g(x) для некоторого g. Если любой элемент, то (y) = и потому . Но поскольку x =(y) и значит справедливо и обратное включение. Тем самым доказано и второе утверждение. Наконец, если и z =g(y) = (x), то y = (x), то есть , что доказывает третье утверждение.

Следствие.

Любая группа G преобразований множества X задает разбиение D этого множества на непересекающиеся непустые подмножества - орбиты : .

Теорема 9.

Пусть, как и выше G группа преобразований множества X. Если x = g(y), то отображение является взаимно однозначным соответствием между подгруппами St(x) и St(y).

Доказательство.

Поскольку , отображение j имеет обратное: и потому взаимно однозначно на множестве X. Если то есть h(x) = x, то j(h)(y) = = (h(g(y))) = (h(x)) = (x) = y. Следовательно, . Аналогично, , что и требовалось.

Следствие.

Если x и y точки одной орбиты и St(x) конечная группа из k элементов, то и St(y) - конечная группа из k элементов. Число k называется порядком стабилизатора орбиты.

Теорема 10.

Пусть G конечная группа преобразований множества X . Число элементов орбиты равно , где - число преобразований в G, а k - порядок стабилизатора орбиты.

Доказательство.

Пусть y любой элемент, y = g(x). Если, то (gh)(x) = g(h(x)) = g(x) = y. Обратно, если (gh)(x) = y, то h(x) = (y) = x и, следовательно, . Итак, количество элементов G, переводящих x в y равно порядку стабилизатора орбиты k. Следовательно, общее число элементов G равно числу элементов орбиты, умноженному на k, что и требовалось доказать.

ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

(продолжение)

11. Конечные группы перемещений.

В этом параграфе будут установлены некоторые общие свойства конечных подгрупп группы , n = 1, 2, 3 .Пусть G - такая подгруппа.

Теорема 11.

Все перемещения из группы G имеют общую неподвижную точку: .

Доказательство.

Пусть задан набор чисел и система точек в пространстве . Выберем начало координат и зададим точки радиусами векторами . Положим . Если выбрать другое начало координат, то радиусы векторы изменятся: . Следовательно, . Мы видим, что положение точки P с радиусом вектором r не зависит от выбора начала при условии, что . В частности можно взять . Соответствующая точка называется центром тяжести данной системы точек.

Пусть . Выберем любую точку и пусть О центр тяжести орбиты точки P: . Пусть теперь произвольный элемент. Поскольку орбиты точек P и g(P) совпадают, имеем: , что и требовалось.

Замечание.

Если выбрать неподвижную точку O за начало координат, то можно считать, что G - подгруппа группы .

Теорема 12.

Пусть - все те перемещения группы G, которые имеют определитель 1. Предположим, что в G содержится также перемещение g с определителем (-1). Тогда все элементы попарно различны и задают полный список перемещений из G с определителем (-1).

Доказательство.

Умножая равенство на , получаем: и потому указанные элементы различны между собой. Поскольку определитель произведения равен произведению определителей, все эти перемещения имеют определитель (-1). Остается проверить, что данный список содержит все перемещения с определителем (-1). Пусть такое перемещение. Элемент имеет определитель 1 и потому равен одному из элементов . Но тогда .

12. Конечные группы перемещений плоскости.

Теорема 13.

Пусть подгруппа, состоящая из n элементов. Тогда G совпадает с циклической группой .

Доказательство.

Будем интерпретировать как множество всевозможных поворотов плоскости на угол a вокруг некоторой точки O. Пусть любая точка отличная от О. Если , то - тождественное преобразование. Следовательно, St(A,G) - тривиальная подгруппа и по теореме 10 орбита состоит из n точек, расположенных на окружности радиуса d(O,A) с центром О. Будем проходить окружность в положительном направлении и последовательно нумеровать точки орбиты : (). Из всех углов = выберем наименьший .Если , то преобразование и переводит точку в точку , то есть g = . Но тогда, если - любая точка орбиты, то также точка орбиты и, поскольку внутри дуги нет точек орбиты, из предположения следовало бы, что угол меньше j, что невозможно. Итак, . Отсюда следует, что j=2p/n, точки орбиты - вершины правильного n -угольника Y и G совпадает с множеством всех поворотов, которые переводят Y в себя, что и требовалось.

Замечание.

Мы не исключаем случаи n = 1 или 2. В первом случае - тривиальная группа, а во втором она содержит тождественное перемещение и поворот на 180°.

Теорема 14

Всякая конечная группа G перемещений плоскости совпадает с одной из групп или ( - группа, состоящая из тождественного преобразования и отражения относительно некоторой прямой.).

Доказательство.

По теореме 11 можно считать, что все преобразования из G имеют общую неподвижную точку О так что . Если все преобразования из G имеют определитель 1 , по предыдущей теореме G совпадает с одной из циклических групп. Пусть в G имеется преобразование g с определителем (-1). По теореме 12 полный список элементов G включает n поворотов и n отражений . Повороты, входящие в G, образуют подгруппу , совпадающую с по предыдущей теореме. Пусть - прямые, относительно которых происходят отражения (зеркала из G). Заметим, что все эти прямые проходят через начало координат О. Если и g - любой элемент этой группы, то - отражение относительно прямой g(l). Значит, G - группа преобразований множества . Отсюда следует, что - диагонали правильного 2n - угольника с центром О. Поэтому - правильный n угольник и G реализуется как его группа симметрий то есть .(Случаи n = 1 и n = 2 следует рассмотреть отдельно).

13. Лемма Бернсайда

Чтобы продвинуться дальше в изучении конечных групп преобразований установим важный результат о количестве орбит такой группы. В следующей теореме предполагается, что G - конечная группа преобразований конечного множества X. Знак модуля используется для обозначения числа элементов соответствующего множества. Обозначим через Fixg множество неподвижных точек преобразования g: .

Теорема 15.

Число N = N(X,G) орбит группы G на X дается формулой:

.

Доказательство.

Напомним, что по теореме 10 , где k порядок стабилизатора орбиты, то есть число элементов группы St(x,G). Пусть - все орбиты G и - любой элемент. Тогда и потому . Как нам известно, , если x и точки одной орбиты. Поэтому формулу можно записать в виде: (1) Для всех и определим функцию q(x,g) =. Заметим, что ; . Поэтому (1) можно переписать: , что и требовалось.

Пример

Стандартный пример применения леммы Бернсайда - перечисление объектов, обладающих определенной симметрией. Подсчитаем, например, количество правильных шестиугольников вершины которых помечены символами 1 и 2, причем одинаковыми считаются такие помеченные фигуры, которые совмещаются при некотором повороте («проблема ожерелья с 6 бусинками»). Здесь элементами множества X являются правильные шестиугольники (в некотором стандартном расположении на плоскости), у которых в вершинах расставлены символы 1 и 2. Ясно, что всего имеется =64 таких фигур. Группа является группой преобразований X и надо подсчитать число орбит. Используя лемму Бернсайда, сводим задачу к вычислению для каждого . Принадлежность некоторого помеченного шестиугольника этому множеству означает, что те его вершины, которые переходят друг в друга при повороте g имеют одинаковую метку. Если g - тождественное преобразование, то и содержит 64 элемента. Если g поворот (в ту или другую сторону) на 60°, то все вершины шестиугольника из имеют одинаковые метки и потому их количество равно 2. Аналогично, для поворота на 120° состоит из 4, а для поворота на 180° - из 8 элементов. Отсюда находим число орбит: N=1/6*(64+2*2+2*4+8) = 14. Если помеченные шестиугольники можно не только поворачивать, но и подвергать отражению, то группа преобразований увеличивается до , а число орбит, как нетрудно подсчитать, уменьшается до 13.

Другой пример применения леммы Бернсайда будет дан в следующем параграфе.

ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

(окончание)

14. Группы правильных многогранников.

Хорошо известно (по крайней мере со времен Евклида), что в пространстве существует ровно 5 правильных многогранников . Это - тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Названия этих многогранников происходят от латинских числительных, указывающих количество граней этих фигур. В переводе это 4-, 6-,8-,12-, и 20- гранники. Некоторые авторы причисляют к числу правильных многогранников еще и диэдр - многогранник с 2 гранями, которые являются правильными n-угольниками. Эта фигура удовлетворяет всем условиям, которые задают правильный многогранник, за исключением того, что его объем равен 0. Опишем кратко группу -симметрий каждого из этих многогранников.

1. Диэдр. Пусть диэдр реализован в виде правильного n- угольника в плоскости p и l - прямая, перпендикулярная p , проходящая через его центр симметрии. Группа симметрий диэдра содержит повороты на углы, кратные 2p/n вокруг l. Кроме того, если m -любая ось симметрии многоугольника, то поворот вокруг этой оси на 180° переводит диэдр в себя и действует на многоугольник так же как отражение относительно этой оси в плоскости многоугольника. Таким образом, группа симметрии диэдра на многоугольнике совпадает с диэдральной группой , но все ее элементы в рассматриваемом случае реализуются вращениями. Эта группа обозначается и называется пространственной диэдральной.(заметим, что ).

2. Тетраэдр. Тетраэдр имеет 4 грани, 6 ребер и 4 вершины. Это единственный правильный многогранник не имеющий центра симметрии . Повороты, переводящие тетраэдр в себя это, прежде всего, вращения на углы, кратные 2p/3 вокруг 4 осей, проходящих через вершину и центр противоположной грани (ось L на рисунке 1). Кроме того тетраэдр само совмещается при поворотах на угол 180° вокруг осей, соединяющих середины противоположных ребер (ось M на рисунке 1). Таким образом группа тетраэдра T содержит 12 элементов.

3. 
   

4. Октаэдр и куб. Эти два многогранника двойственны в следующем смысле: центры граней куба являются вершинами октаэдра и наоборот - центры граней октаэдра суть вершины куба (рис. 2, 3) Куб имеет 6 граней, 12 ребер и 8 вершин, а октаэдр соответственно 8,12 и 6.Перечислим повороты, которые переводят куб в себя. Прежде всего это вращения на углы кратные p/2 вокруг трех осей, проходящих через центры противоположных граней (ось L). Затем это вращения на углы кратные 2p/3 вокруг 4-х осей, проходящих через противоположные вершины (ось N). Наконец имеется еще 6 поворотов на углы p вокруг осей, проходящих через середины противоположных ребер (ось M).Добавляя тождественное преобразование мы получаем группу октаэдра W (она же группа куба) из 24 элементов.

5. Икосаэдр и додекаэдр. Эти два многогранника находятся в такой же двойственности, как куб и октаэдр - центры граней одного из них являются вершинами другого и поэтому их группы симметрий совпадают. Икосаэдр имеет 20 граней, 30 ребер и 12 вершин, а додекаэдр соответственно 12, 30 и 20. Группа икосаэдра содержит повороты на углы кратные 2p/3 вокруг 10 осей, проходящих через центры противоположных граней, повороты на углы кратные 2p/5 вокруг 6 осей, проходящих через противоположные вершины и, наконец, повороты на p вокруг 15 осей, проходящих через середины противоположных ребер. Вся группа икосаэдра P содержит 60 элементов.

Замечание 1.

По теореме 12 полные группы симметрии многогранников (включающие и перемещения с определителем (-1) ) содержат ровно вдвое больше элементов, чем группы - симметрий. Это группы, , содержащие соответственно 4n, 24, 48 и 120 элементов- поворотов и зеркальных поворотов.

Замечание 2.

Группы правильных многогранников можно задавать соответствующим набором кватернионов. Напомним, что поворот на угол a вокруг оси, заданной единичным вектором задается кватернионом q = cosa/2 +nsina/2. Приведем (без обоснования ) описание групп T, W и P с помощью кватернионов.

Группа T.

Выберем оси координат так, чтобы они проходили через середины противоположных ребер тетраэдра (эти прямые попарно ортогональны). Рассмотрим 16 единичных кватернионов вида , а также 8 кватернионов Оказывается, что произведение любых двух кватернионов указанного вида снова будет кватернионом такого же вида. Всего мы имеем 24 кватерниона. Если рассмотреть повороты, заданные этими кватернионами, то учитывая, что q и (-q) задают одинаковые вращения, получаем группу вращений из 12 элементов. Оказывается, что это в точности группа T.

Группа W.

Здесь естественно выбрать оси, параллельные ребрам куба. К рассмотренным выше 24 кватернионам добавим еще 24 вида , где s и t какая то пара (различных) единиц 1, i, j, k. Всего получаем 48 кватернионов, которые задают группу вращений пространства из 24 элементов. Оказывается, что это в точности группа W. Отметим, что, по построению - подгруппа. Это включение возникает потому, что тетраэдр можно вписать в куб - две пары противоположных вершин параллельных граней куба являются вершинами тетраэдра и каждый поворот, входящий в группу T переводит куб в себя, то есть содержится в группе W.

Группа P.

В качестве координатных осей выберем диагонали трех смежных граней додекаэдра. Рассмотрим 24 кватерниона из первого примера. Присоединим к ним еще 96 единичных кватернионов, которые получаются следующим образом. Рассмотрим 4 числа , , , . Заметим, что Пусть - четная перестановка индексов 1, 2, 3, 4 . Рассмотрим числа Их действительно 96, поскольку . Всего получается 120 кватернионов, задающих группу P из 60 элементов.

15.Классификация конечных групп вращений в пространстве.

Теорема 16.

Всякая конечная подгруппа совпадает с одной из групп ;

Доказательство.

Мы докажем только, что всякая такая группа содержит столько же элементов, что и одна из групп указанных в списке. Остающуюся (чисто геометрическую!) часть рассуждений мы оставляем читателю.

Пусть G состоит из N элементов. Каждый элемент , отличный от тождественного представляет собой вращение вокруг некоторой оси, проходящей через начало координат О. Назовем полюсами точки пересечения этих осей со сферой радиуса 1 с центром О. Пусть - множество всех полюсов. Если s -вращение вокруг оси l, проходящей через полюс x , то s(x) = x. Если g(x) = y , то , то есть - вращение с полюсом y. Значит, G - группа преобразований множества X. Пусть орбиты G на X. Число полюсов в орбите согласно теореме 10 равно , где - порядок стабилизатора орбиты. Значит, . Заметим, что . По лемме Бернсайда .Отсюда получаем: . Если N=1, то . Пусть N>1. Тогда правая часть последнего равенства - число a между 1 и 2 (1Јa<2). Поэтому k>1. Но, поскольку , каждое слагаемое слева не меньше 1/2. Поэтому, 4 или больше слагаемых слева быть не может. Итак, k =2 или k =3. Если k =2 , то или , откуда . Два полюса (на одной оси!) порядка N соответствуют случаю группы . Пусть теперь k = 3. Соотношение принимает вид: . Пусть . Если , то сумма слева меньше 1, что невозможно. Значит, и равенство принимает вид: . Если , то сумма не больше 1/2, что невозможно. Итак, или =3. Если , то . Это случай группы . Пусть, наконец, . Имеем: , откуда . Для находим N = 12, что соответствует случаю группы T. Для получаем N = 24 - случай группы W, Наконец при - N = 60 и мы приходим к группе P.

16.Пространственные группы, содержащие зеркальные отражения.

Пусть S конечная группа перемещений в пространстве содержащая преобразования с определителем (-1). По теореме 12 такая группа содержит 2n элементов , причем первые n ее элементов имеют определитель 1 и составляют подгруппу G=G(S) , а последние n имеют определитель (-1) и получаются из элементов подгруппы путем их умножения на любой фиксированный элемент g с определителем (-1): Напомним, что буквой Z была обозначена симметрия относительно начала координат (зеркальный поворот на p). Это перемещение перестановочно с любым другим и .

Теорема 17.

Пусть S конечная группа перемещений в пространстве и . Если G(S) = {}, то S = {}.

Доказательство.

Теорема очевидна, так как det(Z) = -1.

Замечание.

Группа S в этом случае обозначается

Теорема 18.

Пусть S конечная группа перемещений в пространстве и . Если G(S) = {}, то множество является группой - преобразований . Обратно, если Г любая группа вращений из 2n элементов, содержащая G, то, домножая все элементы из Г-G на Z, получаем группу перемещений S, для которой G(S) = G.

Доказательство.

Надо проверить, что и . Если , то эти условия выполнены поскольку G - группа преобразований. Если ,то ни один из элементов не входит в G и потому это множество совпадает с множеством { }. Поэтому . Аналогично, поскольку ни один из элементов не входит в G, все произведения и потому . Таким же образом убеждаемся, что и, значит, . Обратное утверждение теоремы проверяется точно таким же образом.

Замечание.

Стандартное обозначение для S в этом случае - .

Следствие.

Конечная группа перемещений пространства, содержащая зеркальные вращения совпадает с одной из групп ( в скобках указаны их порядки):

(2n), (4n), (24), (48), (120);

(2n), (2n), (4n), (24).

Замечание 1.

Полные группы симметрий правильных многогранников получаются по способу, указанному в теореме 17, если этот многогранник имеет центр симметрии. В противном случае используется конструкция теоремы 18.

Следовательно, это следующие группы:

, , , , .

Замечание 2.

Назовем флагом многогранника тройку (D, R, v), где D- некоторая его грань, R - одно из ребер, ограничивающих эту грань и v - вершина, лежащая на этом ребре. Многогранник называется правильным (это одно из возможных определений ), если для любых двух его флагов и существует перемещение, переводящее многогранник в себя и отображающее первый флаг во второй. Поскольку перемещение оставляющее флаг неподвижным очевидно является тождественным, мы видим, что порядок группы G правильного многогранника совпадает с количеством его флагов. Таким образом, =2Гr, где Г - количество его граней, r - количество ребер, ограничивающих некоторую грань, 2 - количество вершин на ребре.