Реферат: Некоторые Теоремы Штурма

Быков В.В. bikov@rambler.ru

Содержание

Введение…………………………………………………………………………………………3

§1. Предварительные сведения……………………………………5

§2. Основные факты………………………………………………………………8

§3. Теоремы Штурма……………………………………………………………18

Использованная литература…………………………………………27

Введение

Тема дипломной работы “Теорема Штурма”, связана с именем французского математика Жака Шарля Франсуа Штурма.

Штурм Жак Шарль Франсуа (Sturm J. Ch. F. – правильное произношение: Стюрм), родился 29 сентября 1803 года в Женеве. Был членом Парижской академии наук с 1836, а также иностранным членом – корреспондентом Петербургской академии наук с того же года. С 1840 года был профессором Политехнической школы в Париже.

Штурм (1824/25) и Раабе (1827) ввели главные формулы сферической тригонометрии при помощи пространственных координат.

Теорему Фурье ( Теорема о числе действительных корней между двумя данными пределами ), математика Жозефа Фурье (Joseph Fourier, 1768-1830), затмила более общая теорема, опубликованная Штурмом в Bull. mathem., 1829. Доказательство сам Штурм представил только в одной премированной работе 1835г. Коши Огюстен (Cauchy Augustin, 1789-1857) распространил теорему Штурма на комплексные корни (1831). Дополнение к ней дал также Сильвестр Джемс Джозеф (Sylvester Y.Y., 1814-1897) в 1839 году и позже.

Основные работы Жана Шарля Штурма относятся к решению краевых задач уравнений математической физики и связанной с этим задачей о разыскивании собственных значений и собственных функций для обыкновенных дифференциальных уравнений. (Задача Штурма-Лиувилля, о нахождении отличных от нуля решений дифференциальных уравнений :

-(p(t)u¢)¢+q(t)u=lu,

удовлетворяющих граничным условиям вида:

А₁ u(a)+B₁ u¢(a)=0,

A₂ u(b)+B₂ u¢(b)=0,

(так называемых собственных функций), а также о нахождении значений параметра l (собственных значений), при которых существуют такие решения. При некоторых условиях на коэффициенты p(t), q(t) задача Штурма-Лиувилля сводилась к рассмотрению аналогичной задачи для уравнения вида: -u¢¢+q(x)u=lu).

Эта задача была впервые исследована Штурмом и Жозефом Лиувиллем (Joseph Liouville, 1809-1882) в 1837г. и закончена в 1841 г.

Также Жак Штурм дал общий метод для определения числа корней алгебраических уравнений, лежащих на заданном отрезке, названный правилом Штурма, который позволяет находить непересекающиеся интервалы, содержащие каждый по одному действительному корню данного алгебраического многочлена с действительными коэффициентами (уже упоминалось выше).

Ему принадлежат ряд работ по оптике и механике.

Штурм Жак Шарль Франсуа умер 18 декабря 1855года.

§ 1. Предварительные сведения

Среди дифференциальных уравнений, наиболее часто исполь­зуемых в математике и физике, следует выделить линейное уравне­ние второго порядка, имеющее вид

u"+ g(t)u' + f(t)u=h(t) (1.1)

или

(р (t) и')' + q (f) и = h(t) . (1.2)

Как правило, если не оговорено противное, предполагается, что функции (t), g (f), h (f) и р (f) ¹0, q (t), входящие в эти урав­нения, являются непрерывными (вещественными или комплекс­ными) на некотором t -интервале J , который может быть как огра­ниченным, так и неограниченным. Причина, по которой предпола­гается, что р(t)¹ 0, скоро станет ясной.

Из двух выражений (1.1) и (1.2) последнее является более общим, поскольку уравнение (1.1) может быть записано в виде

(p(t) и')' + р(t) f(t)u= р (t) h (t), (1.3)

если определить p(t) следующим образом:

(1.4)

при некотором a€J. Частичное обращение этого утверждения также верно, поскольку если функция р(t) непрерывно дифференци­руема, уравнение (1.2) можно записать в виде

,

а это уравнение имеет вид (1.1).

В случае, если функция р (t) непрерывна, но не имеет непрерыв­ной производной, уравнение (1.2) не может быть записано в виде (1.1). Тогда уравнение (1.2) можно интерпретировать как линейную систему из двух уравнений первого порядка для неизвестного двумерного вектора :

, . (1.5)

Другими словами, решение и = и (t) уравнения (1.2) должно быть такой непрерывно дифференцируемой функцией, что функция р(t) u'(t) имеет непрерывную производную, удовлетворяющую (1.2). Если р(t) ¹ 0 и q(t), h(t) непрерывны, к системе (1.5), а потому и к уравнению (1.2) применимы стандартные теоремы существования и единственности для линейных систем (Мы можем рассматривать также более общие (т. е. менее гладкие) типы решений, если предполагать, например, только, что функции 1/p(t), q (t), h (t) локально интегрируемы.)

Частному случаю уравнения (1.2) при соответствует уравнение

и" + q(t) u = h(t). (1.6)

Если функция принимает вещественные значения, урав­нение (1.2) может быть приведено к такому виду с помощью замены независимых переменных

, т.е. (1.7)

при некотором a € J. Функция s = s (t) имеет производную и потому строго монотонна. Следовательно, функция s = s (t) имеет обратную t= t (s), определенную на некотором s-интервале. После введения новой независимой переменной s урав­нение (1.2) переходит в уравнение

(1.8)

где аргумент t выражений p(f)q(t) и p(t) h(f) должен быть заме­нен функцией t = t(s). Уравнение (1.8) является уравнением типа (1.6).

Если функция g (t) имеет непрерывную производную, то урав­нение (1.1) может быть приведено к виду (1.6) с помощью замены неизвестной функции и на z :

(1.9)

при некотором a € J. В самом деле, подстановка (1.9) в (1.1) приводит к уравнению

(1.10)

которое имеет вид (1.6).

В силу сказанного выше, мы можем считать, что рассмат­риваемые уравнения второго порядка в общем случае имеют вид (1.2) или (1.6). Утверждения, содержащиеся в следующих упраж­нениях, будут часто использоваться в дальнейшем.

§ 2. Основные факты

Прежде чем перейти к рассмотрению специальных вопросов, мы получим следствия, касающиеся однородного и неоднородного уравнений

(2.1)

(2.2)

Для этого перепишем скалярные уравнения (2.1) или (2.2) в виде системы двух уравнений

(2.3)

(2.4)

где векторы х= (х¹ , х² ), у == (у¹ , y² ) совпадают с векторами , , A(t)- матрица второго порядка:

(2.5)

Если не оговорено противное, то предполагается, что , q (t), h (t) и другие коэффициенты являются непрерывными ком­плексными функциями на t -интервале J (который может быть зам­кнутым или незамкнутым, ограниченным или неограниченным).

(i) Если и , - произвольные комплексные числа, то задача Коши для уравнения (2.2)

, (2.6)

имеет единственное решение, существующее при всех , см. лемму IV. 1.1.

(ii) В частном случае (2.1) уравнения (2.2) и при соответствующим единственным решением служит функция . Поэтому, если есть решение уравнения (2.1), то нули функции и (t) не могут иметь предельной точки в J.

(iii) Принцип суперпозиции. Если , - решения урав­нения (2.1), a , -постоянные, то функция является решением уравнения (2.1). Если - решение урав­нения (2.2), то функция также является решением уравнения (2.2) тогда и только тогда, когда функция удовлетворяет уравнению (2.1).

(iv) Если , - решения уравнения (2.1), то соответ­ствующие векторные решения системы (2.3) , линейно независимы (в каждой точке t ) тогда и только тогда, когда функции , линейно

независимы в том смысле, что равенство , где и - постоянные, влечет за собой .

(v) Если , - решения уравнения (2.1), то существует постоянная с, зависящая от и (t) и v (t) и такая, что для их врон­скиана W (t) = W (t; и, v) выполняется тождество

.(2.7)

Поскольку матричным решением системы (2.3) является

,

detX(t)=p(t)W(t) и trA(t )=0.

(vi) Тождество Лагранжа. Рассмотрим пару уравнений

, , (2.8)

где f=f(t), g =g (t) - непрерывные функции на J. Если умножить второе уравнение на и, первое-на v и результаты вычесть, мы получим, что

, (2.9)

так как . Соотношение (2.9) назы­вается тождеством Лагранжа. Его интегральная форма

(2.10)

где , называется формулой Грина.

(vii) В частности, из (v) следует, что и(t) и v(t) - линейно независимые решения уравнения (2.1) тогда и только тогда, когда в (2.7) . В этом случае всякое решение уравнения (2.1) является линейной комбинацией функций и(t) и v (t ) с посто­янными коэффициентами.

(viii) Если (например, ), то вронскиан любой пары решений и(t), v(t) уравнения (2.1) равен постоянной .

(ix) В соответствии с результатами общей теории, в случае, когда известно одно решение уравне­ния (2.1), отыскание других решений v(t) этого уравнения (по край­ней мере локально) сводится к решению некоторого скалярного дифференциального уравнения первого порядка. Если на подинтервале , этим уравнением служит уравнение (2.7), где и - известная функция, а v - искомая. Если поделить (2.7) на , то это уравнение запишется в виде

, (2.11)

а после интегрирования мы будем иметь

, (2.12)

где а, . Легко проверить, что если , - произвольные постоянные и а, , то функция (2.12) является решением уравнения (2.1), удовлетворяющим (2.7) на любом интервале J', где .

(х) Пусть и(t), v(t) - решения уравнения (2.1), удовлетворяю­щие (2.7) с . При фиксированном решением уравнения (2.1), удовлетворяющим начальным условиям и (s) = 0, p(s)u'(s) = 1, является . Поэтому решением урав­нения (2.2), удовлетворяющим условиям , слу­жит функция

; (2.13)

(проще проверить это непосредственно). Общее решение уравнения (2.2) получается прибавлением к (2.13) общего решения уравнения (2.1), что дает

. (2.14)

Если замкнутый ограниченный интервал [a,b] содержится в J, то, полагая

, ,

мы получаем из (2.14) частное решение

.(2.15)

Оно может быть записано в виде

, (2.16)

где

(2.17)

матрица С (t) зависит от , но не зависит от их про­изводных. В этом случае уравнение (2.1) и эквивалентная ему система (2.3) сводятся к системе

. (2.28)

(xii) Если известно частное решение уравнения (2.27), не равное нулю на J, то мы можем определить линейно независимые решения с помощью квадратур (см. (ix)) и затем найти матрицу, вхо­дящую в (2.28). В действительности, тот же результат можно полу­чить более прямым путем. Пусть уравнение (2.27) имеет решение на интервале J . Заменим неизвестную функцию и в (2.1) на z , так что

. (2.29)

Функция z удовлетворяет дифференциальному уравнению

.

Умножая его на , мы получаем, что

(2.30)

или, в силу (2.27), что

, (2.31)

т. е. подстановка (2.29) приводит уравнение (2.1) к (2.30) или к (2.31). Мы могли также начинать не с решения дифферен­циального уравнения (2.27), а с функции , имеющей непрерывную производную и такой, что непрерыв­но дифференцируема. При этом определяется равенством (2.27), так что . Подстановка (2.29) будет назы­ваться также вариацией постоянных.

(xiii) Подстановка Лиувилля. В качестве частного случая рас­смотрим (2.1) с р (t) = 1:

и" + q (t) и = 0. (2.32)

Предположим, что функция q (t) имеет непрерывную производную второго порядка, вещественна и не равна нулю, так что

±q (t) > 0, где ± = sgn q (t) (2.33)

не зависит от t. Рассмотрим вариацию постоянных

. (2.34)

Тогда (2.32) сводится к (2.30), где , т. е. к уравнению

(2.35)

Замена независимых переменных , определенная соотношением

, (2.36)

переводит (2.35) в уравнение

(2.37)

где

(2.38)

а аргументом функции q и ее производных служит функция t = t (s), обратная к функции s = s (f), определяемой из (2.36) с помощью квадратуры; см. (1.7). В этих формулах штрих означает дифферен­цирование по t , так что q' = dqldt.

Замена переменных (2.34), (2.36) называется подстановкой Лиувилля. Эта подстановка, или повторное применение ее, часто приводит к дифференциальному уравнению типа (2.37), в котором функция f (s) «близка» к постоянной. Простой предель­ный случай такой подстановки см. в упр. 1.1(с).

(xiv) Уравнения Риккати. В п. (xi), (xii) и (xiii) рассматривались преобразования уравнения (2.1) в различные линейные уравнения второго порядка или в соответствующие линейные системы двух уравнений первого порядка. Иногда удобно преобразовать (2.1) в соответствующее нелинейное уравнение или систему. Для этого чаще всего используется следующий метод. Пусть

, (2.39)

так что . Тогда после деления (2.1) на и результат можно записать в виде

. (2.40)

Это уравнение называется уравнением Риккати , соответствующим (2.1). (В общем случае уравнение вида , где правая часть является квадратичным полиномом от г, называется дифференциальным уравнением Риккати.)

Читателю предоставляется проверка того факта, что если и (t) - решение уравнения (2.1), не равное нулю на t - интервале , то функция (2.39) является решением уравнения (2.40) на J'; обрат­но, если - решение уравнения (2.40) на t -интервале , то, интегрируя (2.39), мы получаем решение

(2.41)

уравнения (2.1), не равное нулю ни в одной точке из J'.

(xv) Преобразование Прюфера. В случае, когда уравнение (2.1) имеет вещественные коэффициенты, часто используется следующее преобразование . Пусть -вещественное решение уравнения 2.1, и пусть

.

Поскольку и и и' не могут обратиться в нуль одновременно, то, фиксируя соответствующее значение функции в некоторой точке , мы определяем с помощью второго из равенств (2.42) непре­рывно дифференцируемую функцию . Соотношения (2.42) пере­водят уравнение (2.1) в систему

, (2.43)

(2.44)

В уравнение (2.43) входит лишь одна из неизвестных функций . Если решение уравнения (2.43) известно, то соответствую­щее решение уравнения (2.44) может быть найдено с помощью квадратуры.

Преимущество уравнения (2.43) по сравнению с (2.40) состоит в том, что всякое решение уравнения (2.43) существует на всем интервале J, где непрерывны р и q. Это видно из соотношения, свя­зывающего решения уравнений (2.1) и (2.43).

Упражнение 2.1 . Проверьте, что если функция непре­рывна на J и имеет локально ограниченную вариацию (т. е. имеет ограниченную вариацию на всех замкнутых ограниченных подин-тервалах из J) и если - вещественное решение уравнения (2.1), то равенства

(2.45)

при фиксированном значении для некоторого однозначно определяют непрерывные функции , имеющие локально ограниченную вариацию и

Соотношения (2.46) и (2.47) следует понимать так, что интегралы Римана - Стильтьеса от обеих их частей равны. Обратно, (непре­рывные) решения системы уравнений (2.46), (2.47) определяют реше­ния уравнения (2.1) с помощью соотношений (2.45). Заметим, что если q (t) > 0, р (t) > 0 и функция q(t) р (t ) имеет локально огра­ниченную вариацию, то, полагая , мы получаем q/ , а соотношения (2.45), (2.46) и (2.47) переходят в равенства

(2.48)

(2.49)

. (2.50)

§ 3. Теоремы Штурма

В этом параграфе мы будем рассматривать только уравнение вида (2.1) с вещественными непрерывными коэффициентами р (t) > 0, q (t). Под «решением» мы будем понимать «вещественное, не­тривиальное (т. е. ) решение». Нас будет интересовать множество нулей решения u (t). Для изучения этих нулей часто оказывается полезным преобразование Прюфера (2.42), поскольку тогда и только тогда, когда .

Лемма 3.1. Пусть - вещественное решение уравне­ния (2.1) при , где и вещественны и непре­рывны. Пусть функция и (t) имеет в точности нулей при . Предположим, что - непрерывная функция, определенная равенством (2.42), и . Тогда и при .

Доказательство. Заметим, что в той точке t, где u=0 , т. е. где , производная в силу (2.43). Следовательно, функция возрастает в окрестности точек, где для некоторого целого j . Отсюда следует, что если и , то при , а также что если , то при . Тем самым лемма дока­зана.

В теоремах этого параграфа будут рассматриваться два урав­нения

где функции вещественны и непрерывны на интервале J. и

. (3.2)

В этом случае уравнение (3.1) называется мажорантой Штурма для (3.1) на J, а уравнение (3.1)-минорантой Штурма для (3.1). Если дополнительно известно, что соотношения

(3.3₂ )

или

и (3.3₁ )

выполняются в некоторой точке , то уравнение (3.3₂ ) назы­вается строгой мажорантой Штурма для (3.3₁ ) на J.

Теорема 3.1 (первая теорема сравнения Штурма). Пусть коэффициенты уравнения непрерывны на интервале J: , и пусть уравнение (3.3₂ ) является мажорантой Штурма для (3.1₁ ). Предположим, что функция является решением уравнения (3.1₁ ) и имеет точно нулей при ,а функция удовлетворяет уравне­нию (3.1₂ ) и

(3.4)

при . [Выражение в правой (соответственно левой) части нера­венства (3.4) при полагается равным , если (соответственно если ) ; в частности, соотношение (3.4) справедливо при , если .] Тогда имеет при пo крайней мере n нулей. Более того, имеет по крайней мере n нулей при , если при в (3.4) имеет место строгое неравенство или если уравнение (3.1 г) является стро­гой мажорантой Штурма для (3.1₁ ) при .

Доказательство. В силу (3.4) можно определить при пару непрерывных функций с помощью соотношений

(3.5)

Тогда справедливы аналоги соотношения (2.43):

(3.6_j )

Поскольку непрерывные функции , гладким образом зависят от , решения системы (3.6) однозначно определяются своими начальными условиями. Из (3.2) следует, что при и всех . Поэтому последняя часть (3.5) и следствие III.4.2 означают, что

для В частности, из следует, что , и первая часть теоремы вытекает из леммы 3.1.

Чтобы доказать последнюю часть теоремы, предположим вна­чале, что при в (3.4) имеет место строгое неравенство. Тогда . Обозначим через решение уравнения (3.6₂ ), удовлетворяющее начальному условию , так что . Поскольку решение уравнения (3.6₂ ) однозначно определяется начальными условиями, при . Неравенство, аналогичное (3.7), означает, что потому . Следовательно, имеет n нулей при .

Рассмотрим теперь тот случай, когда в (3.4) имеет место равен­ство, но в некоторой точке из выполняется либо (3.3₁ ), либо (3.3₂ ). Запишем (3.6₂ ) в виде

,

где

Если доказываемое утверждение неверно, то из уже рассмотрен­ного случая следует, что при .Поэтому и при . Так как только в нулях функции , то отсюда следует, что при и .

Следовательно, если при некотором t, то , т. е. . Если (3.3₁ ) не выполняется ни при каком t из отрезка , то при некотором t имеет место (3.3₂ ), и потому (3.3₂ ) справедливо на неко­тором подинтервале из . Но тогда на этом интервале и потому . Однако это противоречит условию . Доказательство закончено.

Следствие 3.1 (теорема Штурма о разделении нулей). Пусть урав­нение (3.1₂ ) является мажорантой Штурма для (3.1₁ ) на интервале J, и пусть - вещественные решения уравнений, (3.3_j ). Пусть обращается в нуль в двух точках интер­вала J. Тогда имеет по крайней мере один нуль на . В частности, если и вещественные линейно независимые решения уравнения (3.1₁ ) (3.1₂ ). То нули функции разделяют нули функции и разделяются ими.

Заметим, что, последнее утверждение этой теоремы имеет смысл, поскольку нули функций и не имеют на J предельных точек. Кроме того, , не могут иметь общего нуля , так как в противном случае в силу того, что решения урав­нения (3.1₁ ) единственны, , где (так что и не являются линейно независимыми).

Упражнение 3.1 . (Другое доказательство теоремы Штурма о разделении нулей, когда p₁ (t)ºp₂ (t)>0, q₂ (t)³q₁ (t).)

Предположим, что u₁ (t)>0 при t₁ <t₂ <t₃ и утверждение неверно: например, u₂ (t)>0 при t₁ £ t£t₂ . Умножая (p₁ (t)u¢)¢+q₁ (t)u=0, где u=u₁ , на u₂ , а (p₂ (t)u¢)¢+q₂ (t)u=0, где u=u₂ , на u₁ , вычитая и интегрируя по [t_1, t₂ ], получаем:

p(t)(u₁ ¢u₂ -u₁ u₂ ¢)³0, при t₁ £t£t₂ , где p=p₁ =p₂ . Это означает, что (u₁ /u₂ )¢³0; поэтому u₁ /u₂ >0 при t₁ <t£t₂ , т.е. получается, что u₁ (t₂ )>0 чего быть не может.

Решение:

(p₁ (t)u¢)¢+q₁ (t)u=0, u=u₁

(p₁ (t)u₁ ¢)¢+q₁ (t)u₁ =0.

Умножим левую часть равенства на u₂ , получим:

u₂ (p₁ (t)u₁ ¢)¢+q₁ (t)u₁ u₂ =0.

Во втором уравнении проделаем соответствующие операции:

(p₂ (t)u¢)¢+q₂ (t)u=0, u₂ =u

(p₂ (t)u₂ ¢)¢+q₂ (t)u₂ =0.

Умножим левую часть равенства на u₁ , получим:

u₁ (p₂ (t)u₂ ¢)¢+q₂ (t)u₁ u₂ =0.

Вычитаем из первого уравнения второе, получим:

u₂ (p₁ u₁ ¢)¢+q₁ u₁ u₂ -u₁ (p₂ u₂ ¢)¢-q₂ u₁ u₂ =0, p=p₁ =p₂

u₂ (pu₁ ¢)¢+q₁ u₁ u₂ -u₁ (pu₂ ¢)¢-q₂ u₁ u₂ =0

(u₂ (pu₁ ¢)¢-u₁ (pu₂ ¢)¢)+u₁ u₂ (q₁ -q₂ )=0

Упростим это уравнение,

u₂ (p¢u₁ ¢+pu₁ ¢¢)-u₁ (p¢u₂ ¢+pu₂ ¢¢)+u₁ u₂ (q₁ -q₂ )=0

Раскроем скобки, получим:

p¢u₁ ¢u₂ + pu₁ ¢¢u₂ - p¢u₁ u₂ ¢-pu₁ u₂ ¢¢+u₁ u₂ (q₁ -q₂ )=0.

Сравнивая с формулой (2.2), получаем:

(p(u₁ ¢u₂ -u₁ u₂ ¢))¢+u₁ u₂ (q₁ -q₂ )=0

(p(u₁ ¢u₂ -u₁ u₂ ¢))¢-u₁ u₂ (q₂ -q₁ )=0

(p(u₁ ¢u₂ -u₁ u₂ ¢))¢=u₁ u₂ (q₂ -q₁ )=0.

Проинтегрируем это уравнение по [t₁ ,t], получим:

[p(u₁ ¢u₂ -u₂ ¢u₁ )]¢dt = u₁ u₂ (q₂ -q₁ )dt, где

u₁ u₂ >0, q₂ -q₁ ³0. Значит p(u₁ ¢u₂ -u₁ u₂ ¢)³0.

Т.о.(u₁ /u₂ )¢³0 Þ u₁ /u₂ >0.

Упражнение 3.2. с) Проверьте, что вещественные решения u(t) ¹0 уравнения u¢¢+m/t² u=0 (1/17) имеет не более одного нуля при t>0, если m£, и эти решения имеют бесконечно много нулей при t>0, если m>. В последнем случае множество нулей имеет две предельные точки t=0 и t=¥.

Решение: в §1 было рассмотрено упражнение 1.1 с), где показали, что функция u=t^l является решением уравнения u¢¢+m/t² u=0 тогда и только тогда, когда l удовлетворяет уравнению l(l-1)+ m=0. Решая его получили : l=±m.

Если m>1/4, то корни l₁ и l₂ – комплексные, т.е.

u=t^1/2 [cos (m-1/4 ln t)c₁ +c₂ sin(m-1/4 ln t)]

имеют бесчисленное множество нулей. В частности, если положить:

c₁ =sinu ,c₂ =cosu,

то получим:

u= t^1/2 [sin u cos (m-1/4 ln t)+cos u sin (m-1/4 ln t)]=

t^1/2 [sin (u+m-1/4 ln t)].

Если m<1/4, то решение

u=с₁ t^1/2+ +c₂ t^1/2-

имеют не более одного нуля.

Так же, если m=1/4, то решение

u=c₁ t^1/2 +c₂ t^1/2 ln t

имеют не более одного нуля.

d) Рассмотрим уравнение Бесселя:

v¢¢+v¢/t+(1-m² /t² )v=0, (3.10)

где m-вещественный параметр. Вариация постоянных u=t^1/2 /v переводит уравнение (3.10) в уравнение:

u¢¢+(1-a/t² )u=0, где a=m² -1/4 (3.11)

Проверим истинность этого утверждения u=t^1/2 v, следовательно:

v=u/t^1/2 =ut^-1/2.

Найдём первую производную:

v¢=(ut^-1/2 ) ¢=u¢t^-1/2 +u(t^-1/2 )¢=u¢t^-1/2 -1/2ut^-3/2 .

Теперь вторую производную:

v¢¢=(u¢t^1/2 ) ¢-1/2(ut^-3/2 ) ¢=u¢¢t^-1/2 +u¢(t^-1/2 ) ¢-1/2(u¢t^-3/2 +u(t^-3/2 ) ¢)=

=u¢¢t^-1/2 –1/2u¢t^-3/2 -1/2u¢t^-3/2 +3/4uut^-5/2 =

=u¢¢t^-1/2 -u¢t^-3/2 +3/4ut^-5/2 .

Подставляя в уравнение (3.10), получим:

v¢¢+v¢/t+(1-m² /t² )v=0.

u¢¢t^-1/2 -u¢t^-3/2 +3/4ut^-5/2 +1/t(u¢t^-1/2 -1/2ut^-3/2 )+(1-m² /t² )ut^-1/2 =0

t^-1/2 (u¢¢-u¢t^-1 +3/4ut^-2 +u¢t^-1 -1/2ut^-2 +u(1-m² /t² ))=0

u¢¢+1/4ut^-2 +u(1-m² /t² )=0

u¢¢+u-m² u/t² +1/4ut^-2 =0

u¢¢+u-(m² u-1/4u)/t² =0

u¢¢+u-((m² -1/4)u)/t² =0

u¢¢+u-au/t² =0

u¢¢+(1-a/t² )u=0, где a=m² -1/4.

Покажем, что нули вещественного решения v(t) уравнения (3.10) образуют при t>0 такую последовательность t₁ <t₂ <…, что t_n -t_n-1 ®p при n®¥.

Так как в уравнении

u¢¢+(1-a/t² )u=0, т.е. уравнение

u¢¢+(1-(m² -1/4)/t² )u=0

m - постоянное число, то при m³1/4 и при t – достаточно большое, то выражение

1-(m² -1/4)/t² ®1, т.е. если уравнение

u¢¢+(1-(m² -1/4)/t² )u=0

сравнить с уравнением u¢¢+u=0, то расстояние между последовательными нулями стремится к p, т.е. t_n -t_n-1 ®p при n®¥.

Теорема 3.2 (вторая теорема сравнения Штурма). Пусть выпол­нены условия первой части теоремы 3.1 и функция имеет точно n нулей при . Тогда соотношение (3.4) выполняется при [где выражение в правой (соответственно левой) части (3.4) при полагается равным , если (соответственно, )]. Кроме того, при в (3.4) имеет место строгое неравенство, если выполнены условия последней части теоремы 3.1.

Доказательство этого утверждения содержится по существу в доказательстве теоремы 3.1, если заметить, что из предположения о числе нулей функции вытекает последнее неравенство в сле­дующей цепочке: . Аналогично, в предположениях последней части теоремы доказательство тео­ремы 3.1 дает неравенство .

Использованная литература:

1. Ф. Хартман. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Учебн. пособие./ Пер. с англ. И.Х.Сабитова, Ю.В.Егорова; под ред. В.М.Алексеева.-М.: изд.”Мир”, 1970г.-720 с.

2. В.В.Степанов. Курс дифференциальных уравнений. Гос.изд. “Технико-теор. литер.”-М., 1953г.-468 с.

3. Большая Советская Энциклопедия. /Под ред. А.М.Прохорова. Изд. 3-е., М., “Советская Энциклопедия”, 1978г., т.29. “Чачан-Эне-ле-Бен.” – 640 с.

4. Г.Вилейтнер. “История математики от Декарта до середины 19-го столетия.” М., изд. “Наука.”, 1966г. – 508 с.

5. История математики с древнейших времён до начала 19-го столетия. /Под ред. Юшкевича А.П., т.3 /Математика 18-го столетия/., изд. “Наука.”, М., 1972г. – 496 с.