Реферат: Операторы в вейвлетном базисе

Белорусский государственный университет

Факультет прикладной математики и информатики

Кафедра математической физики

ГРОМОВА МАРИЯ МИХАЙЛОВНА

ОПРЕАТОРЫ В ВЕЙВЛЕТНОМ БАЗИСЕ

Курсовая работа студентки 4 курса

Научный руководитель:

Глушцов Анатолий Ильич

кафедры МФ

кандидат физ.-мат. наук

Минск 2004

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ………..………………………………………………………..3

1. МНОГОМАСШТАБНЫЙ АНАЛИЗ И ВЕЙВЛЕТЫ………………...5

2. БЫСТРОЕ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ….……………………...9

3. ДВУМЕРНЫЕ ВЕЙВЛЕТЫ…………………………………………..12

4. МАТРИЧНЫЕ ОПЕРАЦИИ………………………………………….13

4.1. Матричное умножение………………………………………...13

4.2. Обращение матрицы…………………………………………...16

4.3. Вычисление экспоненты, синуса и косинуса от матрицы.….16

ЛИТЕРАТУРА……………………………………………………………18

ВВЕДЕНИЕ

Вейвлет-преобразование сигналов (wavelet transform) , теория которого оформилась в начале 90-х годов, является не менее общим по областям своих применений, чем классическое преобразование Фурье. Принцип ортогонального разложения по компактным волнам состоит в возможности независимого анализа функции на разных масштабах ее изменения. Вейвлет-представление сигналов (функций времени) является промежуточным между полностью спектральным и полностью временным представлениями.

Компактные волны относительно независимо были предложены в квантовой физике, физике электромагнитных явлений, математике, электронике и сейсмогеологии. Междисциплинарные исследования привели к новым приложениям данных методов, в частности, в сжатии образов для архивов и телекоммуникаций, в исследованиях турбулентности, в физиологии зрительной системы, в анализе радарных сигналов и предсказании землетрясений. К сожалению, объем русскоязычной научной литературы по тематике вейвлет-преобразований (да и нейронных сетей) относительно невелик.

Базовая идея восходит к временам 200-летней давности и принадлежит Фурье: аппроксимировать сложную функцию взвешенной суммой простых функций, каждая из которых, в свою очередь, получается из одной функции-прототипа. Эта функция-прототип выполняет роль строительного блока, а искомая аппроксимация получается комбинированием одинаковых по структуре блоков. При этом, если "хорошая" аппроксимация получается при использовании небольшого числа блоков, то тем самым достигается значительное уплотнение информации. В качестве таких блоков Фурье использовал синусоиды с различными периодами.

Что прежде всего отличает вейвлет-анализ от анализа Фурье? Основным недостатком Фурье-преобразования является его "глобальная" чувствительность к "локальным" скачкам и пикам функции. При этом модификация коэффициентов Фурье (например, обрезание высоких гармоник с целью фильтрации шума) вносит одинаковые изменения в поведение сигнала на всей области определения. Это особенность оказывается полезной для стационарных сигналов, свойства которых в целом мало меняются со временем.

При исследовании же нестационарных сигналов требуется использование некоторых локализованных во времени компактных волн, коэффициенты разложения по которым сохраняют информацию о дрейфе параметров аппроксимируемой функции. Первые попытки построения таких систем функций сводились к сегментированию сигнала на фрагменты ("окна") с применением разложения Фурье для этих фрагментов. Соответствующее преобразование - оконное преобразование Фурье - было предложено в 1946-47 годах Jean Ville и, независимо, Dennis Gabor. В 1950-70-х годах разными авторами было опубликовано много модификаций времени-частотных представлений сигналов.

В конце 70-х инженер-геофизик Морли (Jean Morlet) столкнулся с проблемой анализа сигналов, которые характеризовались высокочастотной компонентой в течение короткого промежутка времени и низкочастотными колебаниями при рассмотрении больших временных масштабов. Оконные преобразования позволяли проанализировать либо высокие частоты в коротком окне времени, либо низкочастотную компоненту, но не оба колебания одновременно. В результате был предложен подход, в котором для различных диапазонов частот использовались временные окна различной длительности. Оконные функции получались в результате растяжения-сжатия и смещения по времени гаусиана. Морли назвал эти базисные функции вейвлетами (wavelets) - компактными волнами. В дальнейшем благодаря работам Мейера (Yves Meyer), Добеши (Ingrid Daubechies), Койфмана (Ronald Coifman), Маллы (Stephane Mallat) и других теория вейвлетов приобрела свое современное состояние.

Среди российских ученых, работавших в области теории вейвлетов, необходимо отметить С.Б. Стечкина, И.Я. Новикова, В.И. Бердышева.

1. МНОГОМАСШТАБНЫЙ АНАЛИЗ И ВЕЙВЛЕТЫ

Определение 1. Многомасштабный анализ ( multiresolutional analysis) – разложение гильбертова пространства L² ( R ^d ) , d ³1 , в последовательность замкнутых подпространств

, (1.1)

обладающих следующими свойствами:

1. , и полно в L² ( R ^d ) ,

2. Для любого f Î L² ( R ^d ) , для любого j Î Z , f( x) Î V_j тогда и только тогда, когда

f(2 x) Î V_{j -1} ,

3. Для любого f Î L² ( R ^d ) , для любого k Î Z ^d , f( x) Î V₀ тогда и только тогда, когда f( x- k) Î V₀ ,

4. Существует масштабирующая ( scaling) функция j Î V₀ , что { j( x- k)} _{k Î Z} ^d образует

базис Ритца в V₀ .

Для ортонормальных базисов можно переписать свойство 4 в виде:

4’. Существует масштабирующая функция j Î V₀ , что { j( x- k)} _{k Î Z} ^d образует ортонормальный базис в V₀ .

Определим подпространство W_j как ортогональное дополнение к V_j в V_{j -1} ,

, (1.2)

и представим пространство L² ( R ^d ) в виде прямой суммы

(1.3)

Выбирая масштаб n , можем заменить последовательность (1.1) следующей последовательностью:

(1.4)

и получить

(1.5)

Если имеем конечное число масштабов, то, не нарушая общности, можно положить j=0 и рассматривать

, V₀ Î L² ( R ^d ) (1.6)

вместо (1.4). В числовой реализации подпространство V₀ конечномерно.

Функция j - так называемая масштабирующая (скейлинг-) функция. С ее помощью можно определить функциюy - вейвлет - такую, что набор { y( x- k)} _{k Î Z} образует ортонормальный базис в W₀ . Тогда

, m=0.. M-1 . (1.7)

Из свойства 4’ непосредственно следует, что, во-первых, функция j может быть представлена в виде линейной комбинации базисных функций пространства V_-1 . Так как функции { j _{j, k} ( x)=2^{- j/2} j(2^{- j} x- k)} _{k Î Z} образуют ортонормальный базис в V_j , то имеем

. (1.8)

Вообще говоря, сумма в выражении (1.8) не обязана быть конечной. Можно переписать (1.8) в виде

, (1.9)

где

, (1.10)

а 2p-периодическая функция m₀ определяется следующим образом:

. (1.11)

Во-вторых, ортогональность { j( x- k)} _{k Î Z} подразумевает, что

(1.12)

и значит

(1.13)

и . (1.14)

Используя (1.9), получаем

(1.15)

и, рассматривая сумму в (1.15) по четным и нечетным индексам, имеем

. (1.16)

Используя 2p-периодичность функции m₀ и (1.14), после замены x/2 на x , получаем необходимое условие

(1.17)

для коэффициентов h_k в (1.11). Заметив, что

(1.18)

и определив функцию y следующим образом:

, (1.19)

где

, k=0,…, L-1 , (1.20)

или преобразование Фурье для y

, (1.21)

где

, (1.22)

можно показать, что при каждом фиксированном масштабе j Î Z вейвлеты

{ y _{j, k} ( x)=2^{- j/2} y(2^{- j} x- k)} _{k Î Z} образуют ортонормальный базис пространства W_j .

Равенство (1.17) определяет пару квадратурных зеркальных фильтров (quadrature mirror filters, QMF) H и G , где и . Коэффициенты QMFH и G вычисляются с помощью решения системы алгебраических уравнений. Число L коэффициентов фильтра в (1.11) и (1.22) связано с числом исчезающих моментов М , и всегда четно.

Выбранный фильтр Н полностью определяет функции j и y и, таким образом, многомасштабный анализ. Кроме того, в правильно построенных алгоритмах значения функций j и y почти никогда не вычисляются. Благодаря рекурсивному определению вейвлетного базиса, все операции проводятся с квадратурными зеркальными фильтрами H и G , даже если в них используются величины, связанные с j и y .

4. ОПЕРАТОРЫ

Сжатие операторов или, другими словами, представление их в разреженном виде в ортонормированном базисе непосредственно влияет на скорость вычислительных алгоритмов.

Нестандартная форма оператора Т с ядром K( x, y) достигается вычислением следующих выражений:

(4.1)

(4.2)

(4.3)

4.1 Оператор d / dx в вейвлетном базисе

Нестандартные формы некоторых часто используемых операторов могут быть вычислены явно. Построим нестандартную форму оператора d/ dx . Матричные элементы , , матриц , , и матрицы , где i, l, j Î Z для оператора d/dx легко вычисляются как

(4.4)

(4.5)

(4.6)

(4.7)

где

(4.8)

(4.9)

(4.10)

(4.11)

Кроме того, используя (1.8) и (1.19), имеем

(4.12)

(4.13)

(4.14)

Таким образом представление d/ dx полностью определяется величинами или, другими словами, отображением d/ dx на подпространство V₀ .

Предложение 4.1 . 1. Если существует интеграл (4.11), тогда коэффициенты , l Î Z в (5.8) удлвлетворяют следующей системе линейных алгебраических уравнений:

(4.15)

(4.16)

где

(4.17)

2. Если , тогда система (4.15)-(4.16) имеет единственное решение с конечным числом ненулевых , а именно с и .

Замечание. Если М =1 , тогда система (4.15)-(4.16) имеет единственное решение, но интеграл (4.11) может не быть абсолютно сходящимся. Для базиса Хаара () , мы получаем простейший конечный дифференциальный оператор .

Замечание 2. Заметим, что выражения (4.12) и (4.13) для и () могут быть упрощены с помощью смены порядка суммирования в (5.10) и (5.11) и введения коэффициентов корреляции , и . Выражение для особенно просто: .

Для доказательства Предложения 4.1 можно обратиться к [2].

Для решения системы (4.15)-(4.16) можно также воспользоваться итерационным алгоритмом. Начать можно с и , а дальше итерировать, используя (4.15) для вычисления .

4.2 Оператор d ⁿ / dx ⁿ в вейвлетном базисе

Так же как и для оператора d/ dx , нестандартная форма оператора dⁿ / dxⁿ полностью определяется своим отображением на подпространство V₀ , т.е. коэффициентами

, l Î Z , (4.18)

если интеграл существует.

Предложение 4.2. 1. Если интеграл в выражении (4.18) существует, тогда коэффициенты , l Î Z удовлетворяют следующей системе линейных алгебраических уравнений

(4.19)

(4.20)

где дано в формуле (4.17).

2. Пусть M≥ ( n+1)/2 , где М – число исчезающих моментов. Если интеграл в (4.18) существует, тогда система (4.19)-(4.20) имеет единственное решение с конечным числом нулевых коэффициентов , а именно для . Также для четных n

(4.21)

(4.22)

(4.23)

а для нечетных n

(4.24)

(4.25)

Замечание 3. Если M≥ ( n+1)/2 , тогда решение линейной системы в Предложении 2 может существовать, когда интеграл в (4.18) не является абсолютно сходящимся.

Интегральные уравнения второго рода

Линейное интегральное уравнение Фредгольма есть выражение вида

,

где ядро , а неизвестная функция f( x) и функция в правой части , . Для простоты будем рассматривать интервал и введём следующее обозначение для всех и :

Предположим, что { φ₁ , φ₁ ,…} – ортонормальный базис для ; ядро представимо в этом базисе в следующем виде:

где коэффициенты K_ij вычисляются по формуле

,

Аналогично функции f и g представимы в виде

, ,

где коэффициенты f_i и g_i вычисляются по формулам:

, , i=1,2,…

Интегральное уравнение в этом случае соответствует бесконечной системе уравнений

, i=1,2,…

Представление ядра может быть урезано до конечного числа слагаемых, что приводит к представлению интегрального оператора R :

, , ,

который аппроксимирует K . Тогда интегральное уравнение аппроксимируется системой n уравнений с n неизвестными:

, i=1,2,…, n

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

function [a,r]=dif_r(wname)

[LO_D,HI_D,LO_R,HI_R] = wfilters(wname);

% вычисление коэффициентов a_2k-1

len=length(LO_D);

a=zeros(len-1,1);

for k=1:len-1;

for i=0:len-2*k;

a(2*k-1)=a(2*k-1)+2*LO_D(i+1)*LO_D(i+2*k);

end;

end;

% вычисление коэффициентов r_l

f=zeros(len-2,1);

f(1)=-1/2;

R=zeros(len-2);

for l=len-2:-1:2;

R(l,l)=-1;

if (2*l<=len-2)

R(l,2*l)=2;

end;

for n=1:2:len-1;

if (abs(2*l-n)<len-2);

if ((2*l-n)<0);

R(l,abs(2*l-n))=-a(n)+R(l,abs(2*l-n));

else

R(l,2*l-n)=a(n)+R(l,2*l-n);

end;

end;

if (abs(2*l+n)<len-2);

if ((2*l+n)<0);

R(l,abs(2*l+n))=-a(n)+R(l,abs(2*l+n));

else

R(l,2*l+n)=a(n)+R(1,2*l+n);

end;

end;

end;

end;

for j=1:len-2;

R(1,j)=j;

end;

r=inv(R)*f;

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

function [al, bet, gam]=difcoef(wname,N)

% извлечение коэффициентов r_l

[LO_D,HI_D,LO_R,HI_R] = wfilters(wname);

[a,r]=dif_r(wname);

L=length(LO_D);

% вычисление значений α_l, β_l, γ_l

J=length(r):-1:1;

R=[-r(J);0; r];

K=L+1;

al=zeros(2*L+1,1);

bet=al;

gam=al;

for i=-L+1:L+1;

for k=L+1:2*L;

for k1=L+1:2*L;

if(((2*i+k-k1+L)<length(R)+1)&&((2*i+k-k1+L)>0))

al(i+L)=HI_D(k-L)*HI_D(k1-L)*R(2*i+k-k1+L)+al(i+L);

bet(i+L)=HI_D(k-L)*LO_D(k1-L)*R(2*i+k-k1+L)+bet(i+L);

gam(i+L)=LO_D(k-L)*HI_D(k1-L)*R(2*i+k-k1+L)+gam(i+L);

end;

end;

end;

end;

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

1. Вейвлет Добеши с M=2.
a₁ =1.1250 a₃ =-0.1250
r₁ =-0.6667 r₂ =0.0833

2. Вейвлет Добеши с M=3.
a₁ =1.1719 a₃ =-0.1953 a₅ =0.0234

r₁ =-0.7452 r₂ =0.1452 r₃ =-0.0146 r₄ =-0.0003

3. Вейвлет Добеши с M=4.
a₁ =1.19628906249870 a₃ =-0.23925781249914
a₅ =0.04785156250041 a₇ =-0.00488281249997

r₁ =-0.79300950497055 r₂ =0.19199897079726 r₃ =-0.03358020705113

r₄ = 0.00222404967066 r₅ =0.00017220619000 r₆ =-0.00000084085054

4. Вейвлет Добеши с M=5.
a₁ =1.21124267578280 a₃ = -0.26916503906311 a₅ =0.06921386718738

a₇ =-0.01235961914130 a₉ =0.00106811523422

r₁ =-0.82590601185686 r₂ =0.22882018706986 r₃ =-0.05335257193327

r₄ =0.00746139636621 r₅ =-0.00023923581985 r₆ =-0.00005404730164

r₇ =-0.00000025241171 r₈ =-0.00000000026960

5. Вейвлет Добеши с M=6.

a₁ =1.22133636474683 a₃ =-0.29079437255810 a₅ =0.08723831176674

a₇ =-0.02077102661228 a₉ =0.00323104858448 a₁₁ =-0.00024032592766

r₁ =-0.85013666156022 r₂ =0.25855294414318 r₃ =-0.07244058999853

r₄ =0.01454551104340 r₅ =-0.00158856154379 r₆ =0.00000429689148

r₇ =0.00001202657519 r₈ =0.00000042069120 r₉ =-0.00000000289967

r₁₀ =0.00000000000070

6. Вейвлет Койфмана с M=2.
a₁ =1.20035616471068 a₃ =-0.24753371156550 a₅ =0.05401594511476

a₇ =-0.00724698442340 a₉ =0.00043220193586 a₁₁ =-0.00002361577240

r ₁ =-0.80177838961957 r₂ =0.20214744976459 r₃ =-0.03943577686925

r₄ =0.00404789045961 r₅ =-0.00008445623632 r₆ =0.00000255044096

r₇ =0.00000088836508 r₈ =0.00000000237860 r₉ =-0.00000000002099

r₁₀ =0.00000000000000

7. Симлет с M=2.

a₁ =1.12499999999971 a₃ =-0.12499999999971

r₁ =-0.66666666666616 r₂ =0.08333333333308

8. Симлет с M=3.

a₁ =1.17187500000666 a₃ =-0.19531250000432 a₅ =0.02343749999766
r₁ =-0.74520547946903 r₂ =0.14520547945865 r₃ =-0.01461187214494
r₄ =-0.00034246575336

9. Симлет с M=4.

a₁ =1.19628906249990 a₃ =-0.23925781249985 a₅ =0.04785156249993

a₇ =-0.00488281249998

r₁ =-0.79300950497424 r₂ =0.19199897079876 r₃ =-0.03358020705098

r₄ =0.00222404967071 r₅ =0.00017220619000 r₆ =-0.00000084085054

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

1. Вейвлет Добеши с M=2.

2. Вейвлет Добеши с M=3.

Вейвлет Добеши с M=4.

3. Симлет с M=2.

ЛИТЕРАТУРА

1. Beylkin G. Wavelets and Fast Numerical Algorithms

2. Beylkin G. Wavelets, Multiresolution Analysis and Fast Numerical Algorithms

3. Beylkin G. In The Representation.of Operators in Bases of Compactly Supported Wavelets

4. Bradley K. Alpert A Class of Bases in L² for the Sparse Representation of Integral Operators

5. Дремин И.М., Иванов О.В., Нечитайло В.А. Вейвлеты и их использование // Успехи физических наук – 2001, №5. – С.465-500