Реферат: Поверхности второго порядка

Содержание.

· Понятие поверхности второго порядка.

1. Инварианты уравнения поверхности второго порядка.

· Классификация поверхностей второго порядка.

1. Классификация центральных поверхностей.

-1°. Эллипсоид.

-2°. Однополостный гиперболоид.

-3°. Двуполостный гиперболоид.
-4°. Конус второго порядка.

2. Классификация нецентральных поверхностей.

-1°. Эллиптический цилиндр, гиперболический цилиндр, эллиптический параболоид, гиперболический параболоид.

-2°. Параболический цилиндр

•Исследование формы поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям.

1. Эллипсоид.
2. Гиперболоиды.

- 1°. Однополостный гиперболоид.

-2°. Двуполостный гиперболоид.

3. Параболоиды.

-1°. Эллиптический параболоид.
-2°. Гиперболический параболоид.

4 . Конус и цилиндры второго порядка.

- 1°. Конус второго порядка.
-2°. Эллиптический цилиндр.
-3°. Гиперболический цилиндр.
-4°. Параболический цилиндр.

Список использованной литературы.

§ 1. Понятие поверхности второго порядка.

Поверхность второго порядка - геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

a₁₁ х² + а ₂₂ у² +a ₃₃ z² +2a ₁₂ xy +2 a ₂₃ уz + 2a ₁₃ xz + 2а ₁₄ x + 2а ₂₄ у+2а ₃₄ z +а ₄₄ = 0 (1)

в котором по крайней мере один из коэффициентов a₁₁ , а ₂₂ , a ₃₃ , a₁₂ , a_{23 ,} a₁₃ отличен от нуля.

Уравнение (1) мы будем называть общим уравнением поверхности второго порядка .

Очевидно, поверхность второго порядка, рассматриваемая как геометрический объект, не меняется, если от данной декартовой прямоугольной системы координат перейти к другой декартовой системе координат. Отметим, что исходное уравнение (1) и уравнение, полученное после преобразования координат, алгебраически эквивалентны.

1. Инварианты уравнения поверхности второго порядка.

Справедливо следующее утверждение.

являются инвариантами уравнения (1) поверхности второго-порядка относительно преобразований декартовой системы координат.

Доказательство этого утверждения приведено в выпуске «Линейная алгебра» настоящего курса.

§ 2. Классификация поверхностей второго порядка

1. Классификация центральных поверхностей. Пусть S — центральная поверхность второго порядка. Перенесем начало координат в центр этой поверхности, а затем произведем стандартное упрощение уравнения этой поверхности. В результате указанных операций уравнение поверхности примет вид

a₁₁ х² + а ₂₂ у² +a ₃₃ z² + а ₄₄ = 0 (2)

Так как инвариант I₃ для центральной поверхности отличен от ноля и его значение, вычисленное для уравнения (2) , равно a₁₁ • а ₂₂ • a ₃₃ , то коэффициенты a₁₁ ,а ₂₂ , a ₃₃ удовлетворяют условию :

Возможны следующие случаи:

-1°. Коэффициенты a₁₁ ,а ₂₂ , a ₃₃ одного знака, а коэффициента ₄₄ отличен от нуля. В этом случае поверхность S называется эллипсоидом.

Если коэффициенты a₁₁ ,а ₂₂ , a ₃₃ , а ₄₄ одного знака, то левая часть (2) ни при каких значениях х, у, z не обращается в нуль, т. е. уравнению поверхности S не удовлетворяют координаты никакой точки. В этом случае поверхность S называется мнимым эллипсоидом .

Если знак коэффициентов a₁₁ ,а ₂₂ , a ₃₃ противоположен знаку коэффициента а ₄₄ , то поверхность S называется вещественным эллипсоидом . В дальнейшем термином «эллипсоид» мы будем называть лишь вещественный эллипсоид.

Обычно уравнение эллипсоида записывают в канонической форме. Очевидно, числа

положительны. Обозначим эти числа соответственно а ² , b² , с² . После несложных преобразований уравнение эллипсоида (2) можно записать в следующей форме:

Уравнение (3) называется каноническим уравнением эллипсоида .

Если эллипсоид задан своим каноническим уравнением (3), то оси Ох, Оу и Оz . называются его главными осями.

-2°. Из четырех коэффициентов a₁₁ ,а ₂₂ , a ₃₃ , а ₄₄ два одного знака, а два других—противоположного. В этом случае поверхность S называется однополостным гиперболоидом .

Обычно уравнение однополостного гиперболоида записывают в канонической форме. Пусть, ради определенности, a₁₁ > 0,а ₂₂ >0, a ₃₃ <0,а ₄₄ <0. Тогда числа

положительны. Обозначим эти числа соответственно а ² , b² , с² . После несложных преобразований уравнение (2) однополостного гиперболоида можно записать в следующей форме:

Уравнение (4) называется каноническим уравнением однополостного гиперболоида .

Если однополостный гиперболоид задан своим каноническим уравнением (4), то оси Ох, Оу иOz называются его главными осями.

-3° . Знак одного из первых трех коэффициентов a₁₁ ,а ₂₂ , a ₃₃ , а ₄₄ противоположен знаку остальных коэффициентов. В этом случае поверхность S называется двуполостным гиперболоидом.

Запишем уравнение двуполостного гиперболоида в канонической форме. Пусть, ради определенности, a₁₁ < 0,а ₂₂ <0, a ₃₃ >0,а ₄₄ <0. Тогда :

Обозначим эти числасоответственно через a² , b² , с² . Поcли несложных преобразований уравнение (2) двуполостного гиперболоида можно записать в следующей форме:

Уравнение (5) называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида .

Если двуполостный гиперболоид задан своим каноническим

уравнением, то оси Ох, Оу и Оz называются его главными осями.

- 4° . Коэффициент а ₄₄ равен нулю. В этом случае поверхность S называетсяконусом второго порядка .

Если коэффициенты a₁₁ ,а ₂₂ , a ₃₃ одного знака, то левая часть (2) обращается в нуль (а ₄₄ =0) лишь для х=у=z=0, т. е. уравнению поверхности S удовлетворяют координаты только едной точки. В этом случае поверхность S называется мнимым конусом второго порядка . Если коэффициенты a₁₁ ,а ₂₂ , a ₃₃ имеют разные знаки, то поверхность S является вещественным конусом второго порядка.

Обычно уравнение вещественного конуса второго порядка записывают в канонической форме. Пусть, ради определенности,

a₁₁ > o, а ₂₂ > 0,a ₃₃ <0. Обозначим

соответственно через а² , b² , с² . Тогда уравнение (2) можно записать в виде

Уравнение (6) называется каноническим уравнением вещественного конуса второго порядка .

2. Классификация нецентральных поверхностей второго порядка.

Пусть S — нецентральная поверхность второго порядка, т. е. поверхность, для которой инвариантI ₃ равен нулю. Произведем стандартное упрощение уравнения этой поверхности. В результате уравнение поверхности примет вид

a´₁₁ х ´ ² + а ´₂₂ у ´ ² +a´ ₃₃ z´ ² + 2а ´ ₁₄ x´ + 2а ´ ₂₄ у ´ +2а ´ ₃₄ z´ +а ´ ₄₄ = 0 (7)

для системы координат Ox´y´z´

Так как инвариант I ₃ =0 и его значение, вычисленное для уравнения (7), равно

a´₁₁ • а ´₂₂ • a´ ₃₃ , то один или два из коэффициентов a´₁₁ , а ´₂₂ , a´ ₃₃ равны нулю. В соответствии с этим рассмотрим следующие возможные случаи.

-1° . Один из коэффициентов a´₁₁ , а ´₂₂ , a´ ₃₃ равен нулю. Радиопределенности будем считать, чтоa´ ₃₃ =0(если равен нулю какой-либо другой из указанных коэффициентов, то можно перейти к рассматриваемому случаю путем переименования осей координат). Перейдем от координат х', у', z' к новым координатам х, у, z по формулам

Подставляях', у' и z', найденные из (8), в левую часть (7) и заменяя затем

a´₁₁ наa₁₁ , а ´₂₂ на а ₂₂ , а ´ ₃₄ на p и а ´ ₄₄ на q , получим следующее уравнение поверхности S в новой системе координатOxyz :

a₁₁ х² + а ₂₂ у² + 2pz + q = 0 (9)

1) Пусть р=0, q =0. Поверхность S распадается на пару плоскостей

При этом, очевидно, эти плоскости будут мнимыми, если знаки a₁₁ и а ₂₂ одинаковы, и вещественными, если знаки a₁₁ и а ₂₂ различны.

2) Пусть р=0, q ≠ 0. Уравнение (9) принимает вид

a ₁₁ х² + а ₂₂ у² + q = 0 (10)

Известно, что уравнение (10) является уравнением цилиндра с образующими, параллельными оси Оz . При этом если a₁₁ , а ₂₂ , q имеют одинаковый знак, то левая часть (10) отлична от нуля для любых х и y, т. е. цилиндр будет мнимым . Если же среди коэффициентов a₁₁ , а ₂₂ , q имеются коэффициенты разных знаков, то цилиндр будет вещественным . Отметим, что в случае, когда a₁₁ и а ₂₂ имеютодинаковые знаки, a q — противоположный, то величины

положительны.

Обозначая их соответственно через а ² и b² , мы приведем уравнение (10) к виду

Таким образом, в отмеченном случае мы имеем эллиптический цилиндр . В случае, a₁₁ и а ₂₂ имеют различные знаки, мы получим гиперболический цилиндр . Легко убедиться, что уравнение гиперболического цилиндра может быть приведено к виду

3) Пусть р ≠0. Произведем параллельный перенос системы координат, выбирая новое начало в точке с координатами

(0, 0, ).

При этом оставим старые обозначения координатх, у, z. Очевидно, для того чтобы получить уравнение поверхности S в новой системе координат, достаточно заменить в уравнении (9)

Получим следующее уравнение:

a ₁₁ х² + а ₂₂ у² + 2pz = 0 (13)

Уравнение (13) определяет так называемые параболоиды . Причем если a₁₁ и а ₂₂ имеют одинаковый знак, то параболоид называется эллиптическим . Обычно уравнение эллиптического параболоида записывают в канонической форме:

Уравнение (14) легко получается из (13). Если a₁₁ и а ₂₂ имеют разные знаки, то параболоид называется гиперболическим . Каноническое уравнение гиперболического параболоида имеет вид

Это уравнение также легко может быть получено из (13).

-2°. Два из коэффициентов a´₁₁ , а ´₂₂ , a´ ₃₃ равны нулю. Ради определенности будем считать, чтоa´₁₁ = 0 и а ´₂₂ = 0 Перейдем отх,', у', z' к. новымкоординатам х, у, z по формулам :

Подставляя х', у' и z' , найденные из (16) в левую часть (7) и заменяя затем a´ ₃₃ на a _{33 ,} a´ ₁₄ на р , a´ ₂₄ наq и a´ ₄₄ на r , получим следующее уравнение поверхности S в новой системе координат Охуz :

a ₃₃ z² + 2px + 2qy + r = 0 (17)

1) Пусть р=0, q=0 . Поверхность Sраспадается на пару параллельных плоскостей

При этом, очевидно, эти плоскости будут мнимыми , если знаки a ₃₃ и r одинаковы, и вещественными , если знаки a ₃₃ и r различны, причем при r = 0 эти плоскости сливаются в одну.

2) Хотя бы один из коэффициентов р или q отличен от нуля. В этом случае повернем систему координат вокруг осиOz так, чтобы новая ось абсцисс стала параллельной плоскости 2рх+ 2qy+r=0 . Легко убедиться, что при таком выборе системы координат, при условии сохранения обозначения х, у и z для новых координат точек, уравнение (17) примет вид

a ₃₃ z² + 2q´y = 0 (19)

которое является уравнением параболического цилиндра с образующими, параллельными новой оси Ох.

§ 3. Исследование формы поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям

1. Эллипсоид.

Из уравнения (3) вытекает, что координатные плоскости являются плоскостями симметрии эллипсоида, а начало координат—центром симметрии. Числа а, b, с называются полуосями эллипсоида и представляют собой длины отрезков, от начала координат до точек пересечения эллипсоида с осями координат. Чтобы более наглядно представить себе формуэллипсоида, выясним форму линий пересечения его плоскостями, параллельными какой-либо из координатных плоскостей.

Ради определенности рассмотрим линииL_h пересечения эллипсоида с плоскостями

z = h(20)

параллельными плоскости Оху. Уравнение проекцииL^* _h линииL_h на плоскость Оху получается из уравнения (3), если положить в немz = h. Таким образом, уравнение этой проекции имеет вид

Если положить

то уравнение (21) можно записать в виде

т. е.L^* _h представляет собой эллипс с полуосями а* и b*, которые могут быть вычислены по формулам (22). Так как L_h получается «подъемом»L^* _h на высоту h по оси О z (см. (20)), то и L_h представляет собой эллипс.

Представление об эллипсоиде можно получить следующим образом. Рассмотрим на плоскости Оху семейство эллипсов (23) (рис. 1), полуоси а* и b* которых зависят отh (см. (22)), и каждый такой эллипс снабдим отметкой h, указывающей, на какую высоту по оси Оz должен быть «поднят» этот эллипс. Мыполучим своего рода «карту» эллипсоида. Используя эту «карту», легко представить себе пространственный вид эллипсоида.

(Метод представления формы фигуры путем получения «карты» фигуры я привожу только для эллипсоида, представить форму других фигур этим методом можно аналогично)

Наглядное изображение эллипсоида находится на следующей странице.

Эллипсоид
.

2. Гиперболоиды.

-1° . Однополостный гиперболоид. Обратимся к каноническому

уравнению (4) однополостного гиперболоида

Из уравнения (4) вытекает, что координатные плоскости являются плоскостями симметрии, а начало координат — центром симметрии однополостного гиперболоида.

-2° . Двуполостный гиперболоид. Из канонического уравнения (5)двуполостного гиперболоида вытекает, что координатные плоскости являются его плоскостями симметрии, а начало координат — его центром симметрии.

3. Параболоиды.

-1°. Эллиптический параболоид. Обращаясь к каноническому уравнению (14) эллиптического параболоида

мы видим, что для негоOxz и Оуz являются плоскостями симметрии. Ось Oz, представляющая линию пересечения этих плоскостей, называется осью эллиптического параболоида.

-2°. Гиперболический параболоид. Из канонического уравнения (15)

гиперболического параболоида вытекает, что плоскости Oxz и Оуz являются плоскостями симметрии. ОсьOz называется осью гиперболического п aраболоида .

Прим. : получение «карты высот» для гиперболического п aраболоида несколько отличается от аналогичной процедуры для вышеприведенных поверхностей 2-го порядка, поэтому я также включил его в свой реферат.

Линииz=h пересечения гиперболического параболоида плоскостямиz=h представляют собой при h>0 гиперболы

с полуосями

а приh < 0 —сопряженные гиперболы для гипербол (24)

с полуосями

Используя формулы (24)—(27), легко построить «карту» гиперболического параболоида. Отметим еще, плоскость z=0 пересекает гиперболический параболоид по двум прямым :

Из формул (25) и (27) вытекает, что прямые (28) являются асимптотами гипербол (24) и (26).
Карта гиперболического параболоида дает представление о его пространственной форме. Как и в случае эллиптического параболоида, можно убедиться в том, что гиперболический параболоид может быть получен путем параллельного перемещения параболы, представляющей собой сечение плоскостьюOxz (Оу z ), когда ее вершина движется вдоль параболы, являющейся сечением параболоида плоскостьюOyz (Oxz).

Прим.: Изображение гиперболического пaраболоида дано на следующей странице.

Гиперболический параболоид.

4. Конус и цилиндры второго порядка.

-1°. Конус второго порядка

Убедимся, что вещественный конус S образован прямыми линиями, проходящими через начало О координат. Естественно называть точку О вершиной конуса.

Для доказательства сформулированного утверждения, очевидно, достаточно установить, что прямая L, соединяющая произвольную, отличную от начала координат точку
М ₀ (х ₀ , у ₀ , z ₀ ) конуса (6) и начало координат О , целиком располагается на конусе, т. е. координаты (х, у, z) любой точки М прямойL удовлетворяют уравнению (6).

Так как точка М ₀ (х ₀ , у ₀ , z ₀ ) лежит на конусе (6), то :

Координаты (х, у, z) любой точки М прямой L равны соответственноtx ₀ , ty ₀ , tz ₀ , гдеt — некоторое число. Подставляя эти значения для х, у иz в левую часть (6), вынося затем t² за скобку и учитывая (29), мы убедимся в том, что М лежит на конусе. Таким образом, утверждение доказано. Представление о форме конуса может быть получено методом сечений. Легко убедиться, что сечения конуса плоскостями z = h представляютсобой эллипсы с полуосями :

-2° . Эллиптический цилиндр.

Состоит из прямых линий, параллельных оси Oz.

-3° . Гиперболический цилиндр.

Состоит из прямых линий, параллельных оси Oz.

-4° . Параболический цилиндр.

a ₃₃ z² + 2q´y = 0 (19)
Путем переименования осей координат и простых арифметических операций из уравнения, (19) мы получим новое, компактное уравнение параболического цилиндра.

Реферат: Поверхности второго порядка

Гиперболический пара­болоид.

Похожие рефераты:

Гиперболический параболоид.