Скачать .docx | Скачать .pdf |
Реферат: Теорема Безу
Этьен Безу –
французский математик, член Парижской Академии Наук( с 1758 года ), родился в Немуре 31 марта 1730 года и умер 27 сентября 1783 года.
С 1763 года Безу преподавал математику в училище гардемаринов, а с 1768 года и в королевском артиллерийском корпусе.
Основные работы Этьена Безу относятся к высшей алгебре, они посвящены созданию теории решения алгебраических уравнений. В теории решения систем линейных уравнений он содействовал возникновению теории определителей , развивал теорию исключения неизвестных из систем уравнений высших степеней, доказал теорему (впервые сформулированную К. Маклореном ) о том , что две кривые порядка m и n пересекаются не более чем в mn точках. Во Франции и за её границей вплоть до 1848 года был очень популярен его шеститомный“Курс математики “, написанный им в 1764-69 годах. Безу развил метод неопределённых множителей, в элементарной алгебре его именем назван способ решения систем уравнений, основанный на этом методе . Часть трудов Безу посвящена внешней баллистике. Именем учёного названа одна из основных теорем алгебры.
Теорема Безу.
Остаток от деления полинома P n ( x )
на двучлен ( x - a ) равен значению
этого полинома при x = a .
Пусть :
P n ( x ) – данный многочлен степени n ,
двучлен ( x - a ) - его делитель,
Q n -1 ( x ) – частное от деления P n ( x ) на x - a (многочлен степени n-1 ) ,
R – остаток от деления ( R не содержит переменной x как делитель первой степени относительно x ).
Доказательство :
Согласно правилу деления многочленов с остатком можно записать :
P n (x) = (x-a)Q n-1 (x) + R .
Отсюда при x = a :
P n (a) = (a-a)Q n-1 (a) + R =0*Q n-1 (a)+R=
=0+ R = R .
Значит , R = P n ( a ) , т.е. остаток от деления полинома на ( x - a ) равен значению этого
полинома при x = a , что и требовалось доказать .
Следствия из теоремы .
Следствие 1 :
Остаток от деления полинома P n ( x )
на двучлен ax + b равен значению
этого полинома при x = - b / a ,
т . е . R=P n (-b/a) .
Доказательство :
Согласно правилу деления многочленов :
P n (x)= (ax + b) * Q n-1 (x) + R .
При x= -b/a :
Pn (-b/a) = (a(-b/a) + b)Qn-1(-b/a) + R = R. Значит , R = Pn (-b/a) , что и требовалось доказать.
Следствие 2 :
Если число a является корнем
многочлена P ( x ) , то этот
многочлен делится на ( x - a ) без
остатка .
Доказательство :
По теореме Безу остаток от деления многочлена P ( x ) на x - a равен P ( a ) , а по условию a является корнем P ( x ) , а это значит , что P ( a ) = 0 , что и требовалось доказать .
Из данного следствия теоремы Безу видно , что задача решения уравнения P ( x ) = 0 равносильна задаче выделения делителей многочлена P , имеющих первую степень ( линейных делителей ) .
Следствие 3 :
Если многочлен P ( x ) имеет
попарно различные корни
a 1 , a 2 , … , a n , то он делится на
произведение ( x - a 1 ) … ( x - a n )
без остатка .
Доказательство :
Проведём доказательство с помощью математической индукции по числу корней . При n =1 утверждение доказано в следствии 2 . Пусть оно уже доказано для случая , когда число корней равно k , это значит , что P(x) делится без остатка на ( x - a 1 )( x - a 2 ) … ( x - a k ) , где
a 1 , a 2 , … , a k - егокорни .
Пусть P ( x ) имеет k +1 попарно различных корней .По предположению индукции a 1 , a 2 , a k , … , a k +1 являются корнями многочлена, а , значит, многочлен делится на произедение ( x - a 1 ) … ( x - a k ) , откуда выходит , что
P(x) = (x-a 1 ) … (x-a k )Q(x).
При этом a k +1 – корень многочлена P ( x ) , т. е. P ( a k +1 ) = 0 .
Значит , подставляя вместо x a k +1 , получаем верное равенство :
P(a k+1 ) = (a k+1 -a 1 ) … (a k+1 -a k )Q(a k+1 ) =
=0 .
Но a k +1 отлично от чисел a 1 , … , a k , и потому ни одно из чисел a k +1 - a 1 , … , a k +1 - a k не равно 0 . Следовательно , нулю равно Q ( a k +1 ) , т. е. a k +1 – корень многочлена Q ( x ) . А из следствия 2 выходит , что Q ( x ) делится на x - a k + 1 без остатка .
Q ( x ) = ( x - a k +1 ) Q 1 ( x ) , и потому
P(x) = (x-a1) … (x-ak)Q(x) =
=( x - a 1 ) … ( x - a k )( x - a k +1 ) Q 1 ( x ) .
Это и означает , что P ( x ) делится на ( x - a 1 ) … ( x - a k +1 ) без остатка .
Итак, доказано , что теорема верна при k =1 , а из её справедливости при n = k вытекает , что она верна и при n = k +1 . Таким образом, теорема верна при любом числе корней , что и требовалось доказать .
Следствие 4 :
Многочлен степени n имеет не более
n различных корней .
Доказательство :
Воспользуемся методом от противного: если бы многочлен P n ( x ) степени n имел бы более n корней - n + k (a 1 , a 2 , … , a n + k - его корни ) , тогда бы по ранее доказанному следствию 3 он
бы делился на произведение ( x - a 1 ) … ( x - a n + k ) , имеющее степень n + k , что невозможно .
Мы пришли к противоречию , значит наше предположение неверно и многочлен степени n не может иметь более , чем n корней , что и требовалось доказать .
Следствие 5 :
Для любого многочлена P ( x )
и числа a разность
( P ( x )- P ( a )) делится без
остатка на двучлен ( x - a ) .
Доказательство :
Пусть P ( x ) – данный многочлен степени n , a - любое число .
Многочлен P n ( x ) можно представить в виде : P n ( x )=( x - a ) Q n -1 ( x )+ R ,
где Q n -1 ( x ) – многочлен , частное при делении P n ( x ) на ( x - a ) ,
R – остаток от деления P n ( x ) на ( x - a ) .
Причём по теореме Безу :
R = P n (a) , т.е.
P n (x)=(x-a)Q n-1 (x)+P n (a) .
Отсюда
Pn(x) - Pn(a) = (x-a)Qn-1(x) ,
а это и означает делимость без остатка ( P n ( x ) – P n ( a ) )
на ( x - a ) , что и требовалось доказать .
Следствие 6 :
Число a является корнем
многочлена P ( x ) степени
не ниже первой тогда и
только тогда , когда
P ( x ) делится на ( x - a )
без остатка .
Доказательство :
Чтобы доказать данную теорему требуется рассмотреть необходимость и достаточность сформулированного условия .
1. Необходимость .
Пусть a – корень многочлена P ( x ) , тогда по следствию 2 P ( x ) делится на ( x - a ) без остатка .
Таким образом делимость P ( x ) на ( x - a ) является необходимым условием для того , чтобы a являлось корнем P ( x ) , т.к. является следствием из этого .
2. Достаточность .
Пусть многочлен P ( x ) делится без остатка на ( x - a ) ,
тогда R = 0 , где R – остаток от деления P ( x ) на ( x - a ) , но по теореме Безу R = P ( a ) , откуда выходит , что P ( a ) = 0 , а это означает , что a является корнем P ( x ) .
Таким образом делимость P ( x ) на ( x - a ) является и достаточным условием для того , чтобы a являлось корнем P ( x ) .
Делимость P ( x ) на ( x - a ) является необходимым и достаточным условием для того, чтобы a являлось корнем P ( x ) , что и требовалось доказать .
Следствие 7(авторское) :
Многочлен , не имеющийй действи-
тельных корней , в разложении
на множители линейных множителей
не содержит .
Доказательство :
Воспользуемся методом от противного: предполо-жим , что не имеющий корней многочлен P ( x ) при разложении на множители содержит линейный множитель ( x – a ) :
P(x) = (x – a)Q(x) ,
тогда бы он делился на ( x – a ) , но по следствию 6 a являлось бы корнем P ( x ) , а по условию он корней не содержит . Мы пришли к противоречию , значит наше предположение неверно и многочлен ,
не имеющий действительных корней , в разложении на множители линейных множителей не содержит , что и требовалось доказать .
На основании теоремы Безу и следствия 5 можно доказать следующие утверждения:
1. Разность одинаковых натуральных степеней на разность их оснований делится без остатка :
ПустьP(x) = xn , P(a) = an ,
тогда xn – an – разность одинаковых натуральных степеней .
По следствию 5
P(x) - P(a) = xn – an = (x – a)Q(x) ,
а это значит , что
(xn –an )/(x–a)=Q(x) , т.е. разность одинаковых натуральных степеней на разность их оснований делится без остатка , что и требовалось доказать .
Итак
(xn – an )/(x – a) = xn-1 + axn-2 + a2 xn-3 + … +an-2 x + an-1 .
2. Разность одинаковых чётных степеней на сумму их оснований делится без остатка .
ПустьP(x) = x2k , тогда P(a) = a2k .
Разность одинаковых чётных степеней x 2 k - a 2 k равна P ( x ) – P ( a ) .
P(a) = a2k = (-a)2k = P(-a) , т . е . x2k - a2k = P(x) – P(-a).
По следствию 5
P(x) - P(-a) = (x –(- a))Q(x)=
= (x + a)Q(x)
а это значит , что
x2k – a2k = (x + a)Q(x) или
(x2k – a2k )/(x + a) = Q(x) ,
т.е. разность одинаковых чётных степеней на сумму их оснований делится без остатка , что и требовалось доказать .
Итак ,
(x2k – a2k )/(x + a) = x2k-1 – ax2k-2 + … +a2k-2 x + a2k-1 .
3. Разность одинаковых нечётных натуральных степеней на сумму их оснований не делится .
Пусть P ( x ) = x 2 k +1 - a 2 k +1 – разность одинаковых нечётных степеней .
По теореме Безу при делении x2 k +1 - a2 k +1 на x + a = x – (- a ) остаток равен
R = P(-a) = (-a)2k+1 – a2k+1 = -2a2k+1
Т. к. остаток при делении не равен 0 , то разность одинаковыхнечётных натуральных степеней на сумму их оснований не делится , что и требовалось доказать .
4. Сумма одинаковых нечётных натуральных степеней на сумму их оснований делится без остатка .
Пусть P ( x ) = x 2л+1 , P (- a ) = (- a )2л+1 = -а2л+1 ,
тогда P ( x ) – P (- a ) = x 2 k +1 + a 2 k +1 – сумма одинаковых нечётных натуральных степеней .
По следствию 5
P(x) - P(-a) = x2k+1 + a2k+1 = (x –(- a))Q(x)=
= (x + a)Q(x),
а это значит , что
(x2k+1 + a2k+1 )/(x + a) = Q(x) ,
т.е. сумма одинаковых нечётных натуральных степеней на сумму их оснований делится без остатка , что и требовалось доказать .
Итак ,
(x2k+1 + a2k+1 )/(x + a) = x2k - ax2k-1 + … - a2k-1 x + a2k .
5. Сумма одинаковых чётных натуральных степеней на сумму их оснований не делится .
Пусть P ( x ) = x 2 k + a 2 k – сумма одинаковых чётных степеней .
По теореме Безу при делении x 2 k + a 2 k на x + a = x – (- a ) остаток равен
R = P(-a) = (-a)2k + a2k = 2a2k .
Т. к. остаток при делении не равен 0 , тосумма одинаковых чётных натуральных степеней на сумму
их оснований не делится, что и требовалось доказать.
Остановимся на рассмотрении некоторых случаев применения теоремы Безу к решению практических задач .
Пример 1.
Найти остаток от деления многочлена
x 3 – 3 x 2 + 6 x – 5
на двучлен x – 2 .
По теореме Безу
R = P3 (2) = 23 – 3*22 + 6*2 – 5 = 3 .
Ответ: R = 3 .
Пример 2.
Найти остаток от деления многочлена
32 x 4 – 64 x 3 + 8 x 2 + 36 x + 4
на двучлен 2 x – 1 .
Согласно следствию 1 из теоремы Безу
R=P4 (1/2)=32*1/24 –64*1/23 + 8*1/22 +36*1/2+4=
= 2 – 8 + 2 + 18 + 4 =18 .
Ответ: R = 18 .
Пример 3.
При каком значении a многочлен
x4 + ax3 + 3x2 – 4x – 4
делится без остатка на двучлен x – 2 ?
По теореме Безу
R = P 4 (2) = 16 + 8 a + 12 – 8 – 4 = 8 a +16.
Но по условию R = 0 , значит
8a + 16 = 0 ,
отсюда
a = -2 .
Ответ: a = -2 .
Пример 4.
При каких значениях a и b многочлен
ax3 + bx2 – 73x + 102
делится на трёхчлен
x 2 – 5 x + 6 без остатка ?
Разложим делитель на множители :
x2 – 5 x + 6 = ( x – 2)( x – 3) .
Поскольку двучлены x – 2 и x – 3 взаимно просты , то данный многочлен делится на x – 2 и на x – 3 , а это значит , что
по теореме Безу
R1 = P3 (2) = 8a + 4b – 146 + 102 =
= 8a + 4b – 44 = 0
R2 = P3 (3) = 27a+9b – 219 + 102 =
= 27a +9b -117 =0
Решим систему уравнений :
8a + 4b – 44 = 0
27a + 9b – 117 = 0
2a + b = 11
3a + b = 13
Отсюда получаем :
a = 2 , b = 7 .
Ответ: a = 2 , b = 7 .
Пример 5.
При каких значениях a и b многочлен
x4 + ax3 – 9x2 + 11x + b
делится без остатка на трёхчлен
x2 – 2x + 1 ?
Представим делитель так :
x 2 – 2 x + 1 = ( x – 1)2
Данный многочлен делится на x – 1 без остатка ,
если по теореме Безу
R1 = P4 (1) = 1 + a – 9 + 11 + b = a + b + 3 = 0.
Найдём частное от деления этого многочлена на x – 1 :
_ x4 + ax3 –9x2 + 11x–a –3 x – 1
x4 – x3 x3 +(a+1)x2 +(a–8)x+(a+3)
_(a + 1)x3 – 9x2
(a + 1)x3 – (a + 1)x2
_(a – 8)x2 + 11x
(a – 8)x2 – (a –8)x
_(a + 3)x – a – 3
(a + 3)x – a – 3
0
Частное
x3 +(a+1)x2 +(a–8)x+(a+3)
делится на ( x – 1) без остатка , откуда
R2 = P3 (1) = 1 + (a + 1)*1 +(a – 8)*1 + a+3 =
=3a – 3 = 0 .
a + b + 3 = 0
3a – 3 = 0
a + b =-3
a = 1
Из системы : a = 1 , b = -4
Ответ: a = 1 , b = -4 .
Пример 6.
Разложить на множители многочлен P ( x ) = x 4 + 4 x 2 – 5 .
Среди делителей свободного члена число 1 является корнем данного многочлена P ( x ) , а это значит , что по следствию 2 из теоремы Безу P ( x ) делится на ( x – 1) без остатка :
_ x 4 + 4 x 2 – 5 x – 1
x 4 – x 3 x 3 + x 2 + 5x + 5
_ x 3 + 4 x 2 – 5
x 3 – x 2
_5 x 2 – 5
5 x 2 – 5 x
_5 x – 5
5 x – 5
0
P ( x )/( x – 1) = x 3 + x 2 + 5 x + 5 , значит
P(x) = (x – 1)(x3 + x2 + 5x + 5).
Среди делителей свободного члена многочлена x 3 + x 2 + 5 x + 5 x = -1 является его корнем , а это значит , что по следствию 2 из теоремы Безу x 3 + x 2 + 5 x + 5 делится на ( x + 1) без остатка :
_ x 3 + x 2 +5 x + 5 x + 1
x 3 + x 2 x 2 +5
_5x + 5
5 x + 5
0
( x 3 + x 2 +5 x + 5)/( x + 1) = x 2 +5 ,
значит
x 3 + x 2 +5 x + 5 = ( x +1)( x 2 +5) .
Отсюда
P(x) = (x – 1)(x +1)(x2 +5) .
По следствию 7 ( x 2 + 5) на множители не раскладывается , т.к. действительных корней не имеет , поэтому P ( x ) далее на множители не раскладывается .
Ответ : x 4 + 4 x 2 – 5 = ( x – 1)( x +1)( x 2 +5) .
Пример 7.
Разложить на множители многочлен P ( x ) = x 4 + 324 .
P ( x ) корней не имеет , т.к. x 4 не может быть равен -324 , значит , по следствию 7 P ( x ) на множители не раскладывается .
Ответ : многочлен на множители не раскладывается .
Пример 8.
Какую кратность имеет корень 2 для многочлена
P(x) = x5 - 5x4 + 7x3 – 2x2 + 4x – 8 .
Определение: Если многочлен P ( x ) делится без остатка на ( x – a ) k , но не делится на ( x – a ) k +1 , то говорят , что число a является корнем кратности k для P ( x ).
_x5 - 5x4 + 7x3 – 2x2 + 4x – 8 x – 2
x 5 - 2 x 4 x 4 – 3 x 3 + x 2 + 4
_-3 x 4 + 7 x 3 – 2 x 2 + 4 x – 8
-3x4 + 6x3
_x3 – 2x2 + 4x – 8
x 3 – 2 x 2
_4x – 8
4x – 8
0
_x4 – 3x3 + x2 + 4 x – 2
x4 – 2x3 x3 – x2 – x – 2
_-x3 + x2 + 4
-x3 +2x2
_-x2 + 4
-x2 + 2x
_-2x + 4
-2x + 4
0
_ x3 – x2 – x – 2 x – 2
x3 – 2x2 x2 + x + 1
_x2 – x – 2
x2 – 2x
_x – 2
x – 2
0
x 2 + x + 1 на x – 2 не делится , т.к. R =22 + 2 + 1=
=7 .
Значит , P ( x )/( x – 2)3 = x 2 + x + 1 , т.е. корень 2 имеет кратность 3 для многочлена P ( x ) .
Ответ: корень 2 имеет кратность 3 для многочлена P ( x ) .
Пример 9.
Составить кубический многочлен , имеющий корень 4 кратности 2 и корень -2 .
По следствию 3 , если многочлен P ( x ) имеет корень 4 кратности 2 и корень –2 , то он делится без остатка на ( x – 4)2 ( x + 2) , значит
P(x)/(x – 4)2 (x + 2) = Q(x) ,
т.е. P(x) = (x – 4)2 (x + 2)Q(x) =
= (x2 – 8x +16)(x + 2)Q(x) =
= (x3 – 8x2 + 16x +2x2 – 16x + 32)Q(x) =
= (x3 – 6x2 + 32)Q(x).
( x 3 – 6 x 2 + 32) - кубический многочлен , но по условию P ( x ) – также кубический многочлен, следовательно , Q ( x ) – некоторое действительное число .
Пусть Q ( x ) = 1 , тогда P ( x ) = x 3 – 6 x 2 + 32 .
Ответ: x 3 – 6 x 2 + 32 .
Пример 10.
Определите a и b так , чтобы -2 было корнем многочлена P( x) = x 5 + a x 2 + bx + 1 , имеющим по крайней мере кратность два .
Если -2 – корень многочлена P ( x ) кратности два , то по следствию 3 P ( x ) делится на ( x + 2)2 без остатка ( R = 0)
( x + 2)2 = x 2 + 4 x + 4
_x5 + a x2 + bx + 1 x2 + 4x + 4
x5 + 4x4 + 4x3 x3 – 4x2 + 12x – (a + 32)
_-4x4 –4x3 –ax2 +bx+1
-4x4 – 16x3 – 16x2
_12x3 + (16 – a)x2 + bx + 1
12x3 +48x2 + 48x
_-(a + 32)x2 + (b – 48)x + 1
-(a + 32)x2 – 4(a + 32)x – 4(a + 32)
(4a +b – 48 + 128)x + 4a + 129
R = (4a +b – 48 + 128)x + 4a + 129 =
= (4a +b + 80)x + 4a + 129
НоR = 0 , значит
(4a +b + 80)x + 4a + 129 = 0 прилюбыхx .
Это возможно при условии , что
4a +b + 80 = 0 ,
4a + 129 = 0
Решим систему двух уравнений :
4a +b + 80 = 0 a = -32,25
4a + 129 = 0 b = 49
Ответ: a = -32,25 , b = 49 .
Из рассмотренных примеров видно , что теорема Безу находит применение при решении задач , связанных с делимостью многочленов (нахождение остатка при делении многочленов , определение кратности многочленов и т.д. ) , с разложением многочленов на множители , с определением кратности корней и многих других .
Теорема Безу находит применение при рассмотрении одной из важнейших задач математики – решении уравнений .
Литература.
1. Бородин А.И., Бугай А.С.
Биографический словарь деятелей в области математики.
2. Математическая энциклопедия.
3. Яремчук Ф.П., Рудченко П.А.
Алгебра и элементарные функции.
4. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварц- бурд С.И.
Алгебра и математический анализ.
5. Курош А.Г.
Курс высшей алгебры.