Реферат: Как учатся математике во Франции

Франция - одна из ведущих математических держав, с давними математическими традициями и с процветающей ныне математической школой. Список великих французских математиков открывает в XV веке алгебраист (и дешифровщик тайнописи при дворе Генриха IV) Виет; в этом списке стоят такие известные вам имена как Паскаль, Декарт, Даламбер, Коши, Лагранж, Лаплас, Галуа, Пуанкаре, Борель, Лебег. За их успехами стоят многовековые традиции, централизованная и продуманная система обучения математике, очень не похожая на нашу. Об этих традициях и системе обучения - наш рассказ.

Традиции Школьные и университетские традиции во Франции восходят к глубокому средневековью и связаны с просветительской ролью католической церкви (знаменитая парижская Сорбонна была основана в XIII веке епископом де Сорбон). Реорганизация начальной, средней и высшей школы была осуществлена Наполеоном в начале XIX века, но свой современный вид ("внеконфессиональная, обязательная, бесплатная") французская школа приобрела лишь в конце прошлого века в результате реформ великого просветителя Жюля Ферри (1832-1893) и самозабвенных усилий целого поколения передовой антиклерикальной интеллигенции, учителей, " ушедших в народ" не на словах, а на деле.

Со времен Наполеона в традиции школы в целом входит высокая степень централизации, демократизм, рационализм, объективность и крайняя формализация процесса обучения, достаточно хороший и ровный уровень подготовки учителей. Эти черты очень заметно сказываются и на преподавании математики. Демократизм и централизация - в единой программе по математике для всех школ и учащихся " метрополии и заморских территорий", едином выпускном экзамене по математике для всех учащихся. В один и тот же день, час и минуту во всех школах Франции преподаватель, проводящий экзамен, разбивает сургучную печать присланного из Парижа конверта и раздает выпускникам единый вариант письменного экзамена, утвержденный министерством национального просвещения. Несколько сот тысяч учащихся по всей метрополии одновременно пишут на специальном зашифрованном бланке свой ответ на один и тот же вопрос по теории и решают один и тот же цикл задач возрастающей сложности. Формализм и объективность - как в характере изложения самого курса математики (значительно более абстрактного и формализованного, чем в России), так и во взаимоотношениях между учителями и школьниками, в частности при проверке знаний (где всё тоже очень регламентировано, притом достаточно четко). Демократизм и рационализм -- во вседоступности и бесплатности не только школьного, но и вузовского образования, в единообразии подготовки учителей. Обстановка на уроке, особенно в старших классах, как правило, достаточно жесткая, и сводится либо к опросу, либо к монологу учителя (во время которого большинство учеников ведет аккуратные записи), либо к письменной контрольной.

Учитель Преподаватель школы и вуза во Франции -- это достаточно престижная профессия (в отличие, скажем, от США, где социальная оценка учителя очень проста: "неудачник"). Окончивший педвуз (Eсоlе Normale) становится государственным чиновником, ему гарантирована работа (правда, не обязательно по месту жительства и с не слишком высоким окладом). Учитель, особенно в сельской местности и в малых городах, -- весьма уважаемая фигура. Школьники называют его Monsieur le professeur (слово "профессор" относится в равной степени к учителям и к вузовским преподавателям), его (или ее), как правило, боятся и уважают. Эмоциональные, человеческие контакты между учениками и учителем практически исключены: соблюдается дистанция, и работа с учащимися, как правило, ведется строго в рамках учебного расписания и утвержденной министерством программы. Правда, в отличие от учителей российских государственных школ, учителя во Франции не получают централизованного поурочного расписания: порядок и хронологию изложения тем, входящих в программу данного учебного года, определяет учитель. Он же выбирает учебник.

Программы и учебники Как было указано выше, учебные программы централизованно разрабатываются министерством и обязательны для всех государственных школ. Во Франции есть и частные школы, например католические, но в среднем их уровень ниже государственных (к примеру, в США -- наоборот). Учебники, напротив, издаются частными книгоиздательствами, и их успех определяет рынок, т. е. в конечном итоге мнение учителей. Они очень привлекательно оформлены, красочны, с бросающимися в глаза выделениями основных формулировок и формул. Как правило, они выходят циклами для двух-трех, иногда четырех, классов, под общей редакцией одного известного педагога-математика. Довольно часто к ним прикладываются пособия для учителя. Стоят они сравнительно дорого: обучение в школе бесплатное, но экипировка школьника в начале учебного года -- тяжелое финансовое бремя для малоимущих семей.

Французы, как и русские, очень любят всякие реорганизации. В последние 40 лет каждый новый министр просвещения считает своим долгом коренным образом изменить действующие программы. Наиболее радикальное изменение программ произошло в 60-е годы, в период всемирной "бурбакизации", когда, по мнению многих специалистов, французская школа напрасно отказалась от того накопленного опыта преподавания математики, который привел к небывалому расцвету математической науки во Франции в сороковые и пятидесятые годы. Сейчас очередная реформа стремится к синтезу абстрактного подхода Бурбаки с интуицией и приложениями, к увеличению удельного веса вероятности и статистики в программах старших классов. Для сравнения отметим, что вероятность и статистика составляют почти половину объема курса математики в старших классах в Великобритании и почти полностью отсутствуют в курсе математики в России.

Отметим еще, что, после многих изменений, сейчас в двух старших классах выделены четыре основных потока, отличающиеся по количеству часов занятий по математике (от шести до двух в неделю) и содержанием курса; эти потоки условно можно назвать: математический, естественно-научный, инженерно-деловой и гуманитарный. Для примера приведем оглавление одного из учебников "Алгебра и геометрия" выпускного класса:

Перестановки

Исчисление вероятностей

Комплексные числа

Системы линейных уравнений

Проекции и координаты

Барицентрическое исчисление

Ориентированные углы на плоскости

Векторное произведение

Параметризация кривых на плоскости

Конические сечения

Изометрии плоскости

Преобразования плоскости

Элементарные преобразования пространства

Конкурсы Старейший конкурс во французской школе, Concours Genral, проводится в старших классах по всем основным предметам и по неизменным (с наполеоновских времен!) правилам. И здесь все формализовано и централизовано: в один и тот же день и час по всей Франции лучшие ученики всех классов одновременно выполняют одну и ту же работу. По математике эта работа состоит в решении цикла задач возрастающей трудности. В отличие от наших олимпиад, важное значение придается аккуратности оформления работы, решение задач скорей требует высокой техники, чем математической смекалки. Получение первой премии (как правило, ее получает только один конкурсант) чрезвычайно престижно. К примеру, А. Н. Колмогоров рассказывал, как разволновался великий Ж. Адамар, вспоминая в 90-летнем возрасте о своем участии в Concours Genral, где он занял "лишь" второе место, хотя, как он взволновано объяснял, он был объективно сильнее своего более удачливого конкурента, не достигшего затем больших высот в науке. Победители -- обычно хорошо тренированные "школьные отличники" -- не очень сильно выступают на привычных для нас олимпиадах, скажем на Международных математических. В целом рейтинг Франции на ММО намного ниже, чем ее ранг среди ведущих математических держав. Это не удивительно, ибо школьников учат в первую очередь теории и технике вычислений и рассуждений. Аналога наших кружков, матклассов, матшкол и летних школ во Франции нет. Нет и широкомасштабных олимпиад в нашем понимании этого слова. Существующие в некоторых учебных округах региональные олимпиады, проводимые по восточноевропейским традициям, проходят не всюду и не пользуются большим успехом.

В последние годы, однако, массовое распространение получила французская версия австралийского конкурса "Кенгуру", компьютерно проверяемого теста с множественными ответами. Достаточно сказать, что в 1993 году в нем участвовало более 500000 французских школьников! Есть и другие оригинальные соревнования, например Парижский конкурс по математике и информатике. Но самое главное для будущих математиков соревнование -- это конкурс для поступления в одну из престижных Grandes coles (буквально: больших школ), обычно происходящий в начале третьего года университетского образования. Но об этом -- ниже.

Математика в джинсах В последние годы французские математики-исследователи, в основном молодые, ощущая оторванность исследовательской математики от школы и общества, придумали оригинальный новый жанр взаимодействия ученого и школы, направленный на пропаганду математической деятельности среди учащихся. В отличие от наших кружков, ориентированных на способных ребят, интересующихся математикой, программа "Математика в джинсах" имеет своей целью дать представление о математическом поиске не только будущим ученым и инженерам, но и тем, кто хочет стать литератором или бизнесменом. Организационно для этого нужен математик-исследователь, заинтересованная учительница и несколько любознательных ребят из ее класса. Общими усилиями, обычно с помощью компьютеров, они изучают в течение учебного года выходящую за рамки школьной программы проблему. Например, занимаясь компьютерным моделированием бильярдов, обнаруживают при этом закономерности теории хаоса, или рисуют на цветных экранах изумительные цветные картинки, встречающиеся в теории фракталов, или же большим компьютерным счетом экспериментально подтверждают непонятно откуда взявшиеся стохастические свойства распределения простых чисел. Это происходит во внеурочное время в несвойственной французской школе неформальной обстановке: в джинсах на занятиях могут быть не только школьники и школьницы, но даже работающий с ними университетский математик.

Вузы Получив аттестат зрелости, называемый baccalaur (не путайте со степенью бакалавра, присуждаемой в англо-саксонских странах после 4-х лет учебы в университете), французский школьник имеет право обучаться в университете (бесплатно и без вступительных экзаменов). Но если он интересуется математикой, целью его первых двух лет обучения в университете будет скорей всего подготовка к конкурсу для поступления в cole Normale Suprieure (ENS), желательно парижской, на rue d`Ulm, 25. Раньше более престижной для математиков считалась cole Polytechnique, но в наше время туда скорее идут будущие супер-инженеры, а не чистые ученые. Конкурсные испытания (разумеется, централизованные) состоят из нескольких математических экзаменов, письменных и устных, с максимальной суммой баллов около 600 очков, и служат одновременно для поступления во все педвузы Франции (ENS есть не только в Париже, а еще в Лионе, Бордо, Тулузе, Страсбурге и в других больших городах). Происходит это так. Первый (по сумме полученных на экзамене баллов) абитуриент выбирает любую ENS (почти всегда он/она выбирает ENS rue d`Ulm), второй тоже, а все последующие выбирают любую еще не укомплектованную более удачливыми конкурентами высшую школу.

На отделение математики и информатики ENS rue d`lm принимают всего 40--45 человек. В последние годы это означает, что для поступления в эту элитарную школу приходится выдержать конкурс от 3000 до 4000 человек на место (здесь нет опечатки: более трех тысяч человек на место!)

В случае неудачи на конкурсе (полного провала или получения места лишь в не очень хорошей, провинциальной ENS) студент может продолжить математическое образование в обычном университете, например в той же самой Сорбонне, окончить его и даже защитить диссертацию, но в этом случае его рейтинг как ученого будет несравненно ниже окончивших элитарную ENS.

Хотя изначально парижская ENS была задумана как педвуз, школьными учителями ее выпускники становятся очень редко. Это удел выпускников менее престижных Эколь Нормаль. Отметим, что окончание такого педвуза еще не дает права работать в старших классах. Чтобы это право получить, нужно успешно сдать конкурсный экзамен на agrgation. Этот экзамен -- читатель уже догадался -- уже более ста лет производится ежегодно в один и тот же день и час и расставляет конкурсантов по местам -- от первого до n-тысячного. По порядку номеров, получившие звание agrg выбирают любую из оставшихся вакансий в лицеях метрополии и заморских территорий. Первые 2-3 счастливчика попадают в Париж, последующие выбирают из оставшихся позиций. Впрочем, на agrg по математике довольно большой спрос в промышленности, и многие получившие это звание так в школу и не попадают. Как, видимо, не попадет туда лауреат медали Филдса Йоккоз, занявший первое место на agrgation в середине 80-х годов (видимо, из чисто спортивного интереса) и установивший тем самым своеобразный рекорд: 1-е место на конкурсе в ENS rue d`Ulm, 1-е место на конкурсе в cole Polytechnique (где он не стал учиться) и 1-е место на agrgation!

Элитарность, эгалитаризм, меритократия Идея социального равенства, провозглашенного Великой французской революцией, очень четко осуществлена в действующей ныне во Франции начальной и средней школе. Школьник может учиться только в школе того учебного округа, того микрорайона, где он проживает. Какие-то школы и лицеи, разумеется, лучше, чем соседние, но нет ничего похожего на наши "элитарные" английские или математические школы, в которые ежегодно происходит "конкурс родителей", стремящихся любой ценой запихнуть свое чадо в престижное заведение. Есть и некоторые исключения, например парижский лицей Louis-le-Grand (Людовика Великого), в котором традиционно работают лучшие учителя математики Франции, а ученики иногда составляли половину "сборной Франции" по математике на ММО. Формально, однако, это лишь лицей некоторого микрорайона Парижа. Интересно, что некоторые родители специально снимают квартиры в этом микрорайоне, чтобы их любимый ребенок мог учиться в замечательном лицее!

Важно отметить, что не все учащиеся, окончившие среднюю школу, получают аттестат зрелости. В итоге экзамена на бакалавра, происходящего в июле (и пересдачи осенью), от 10 до 15 процентов школьников получают не аттестат, а справку об окончании школы, не дающую права учиться в университете. (Повторяю: любой учащийся, получивший аттестат, имеет право продолжить свое образование в университете, притом бесплатно.) Поэтому завал экзаменов на аттестат (например, избалованным отпрыском богатых родителей) часто является семейной трагедией.

Отсутствие элитарных средних школ и полная эгалитарность и демократичность доступа к началу университетского образования вовсе не означает отсутствие во Франции "математической элиты". Напротив. Во Франции математики-исследователи четко делятся на две категории: те, кто учился в ENS rue d`Ulm, и все остальные. Выпускники этой престижной школы обвиняются в том, что они считают себя сливками французской математики, а всех других -- математиками второго сорта. Характерно, что выпускники rue d`Ulm, в том числе получившие высочайшие академические звания, на обложках своих математических книг после фамилии пишут только "бывший ученик ENS rue d`Ulm"! К сожалению, этот парижский снобизм, снобизм rue d`Ulm, действительно существует, а другие математики, в том числе известные во всем мире исследователи, так всю жизнь несут с собой комплекс неполноценности "не сумевших поступить".

Исключительность выпускников rue d`Ulm не следует преувеличивать. Мне приходилось работать с аспирантами этой элитарной школы -- это хорошо обученные, работоспособные молодые люди, но они, пожалуй, слабее, чем, скажем (более молодые) аспиранты Независимого Московского университета, с которыми мне тоже посчастливилось общаться. Для французских аспирантов с rue d`Ulm, как впрочем и для всей французской математической школы, характерен более абстрактно-формальный и алгебраически-структурный подход к математике, чем у аспирантов из России или, скажем, из США. Большинство французских аспирантов предпочитают не решать задачи, а строить математические теории, больше интересуются обобщениями, чем приложениями.

В академических кругах отмечают, что административную власть по математике во французской высшей школе и научных учреждениях "захватила парижская мафия с rue d`Ulm". Налицо полная победа меритократии. При этом критики системы отмечают ее излишнюю жесткость, приводящую к разбиению математиков на два лагеря; эту ситуацию объясняют недостаточной гибкостью, отсутствием высших школ " средней престижности" (каковые имеются, скажем, в США или Великобритании).

Такова французская математическая пирамида -- от скромного (но не лишенного чувства собственного достоинства) школьного учителя начальных классов до знающего себе цену (порой с преувеличением) математика-исследователя, выпускника Эколь Нормаль Сюперьёр. Отношение к математике французского школьника определяется четким и формализованным стилем ее преподавания на всех уровнях. Тех из них, кто интересуется этим предметом особо, ждет массовое, централизованное, жесткое соревнование за достижение вершины пирамиды.