Доклад: Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени
Валентин Подвысоцкий
Уравнение:
| X4
+ TX2
+ PX + Q = 0 |
(1) |
имеет четыре корня X1
, X2
, X3
, X4
.
Известно, что:
| X1
+ X2
+ X3
+ X4
= 0, |
(2) |
| X1
X2
+ X1
X3
+ X1
X4
+ X2
X3
+ X2
X4
+ X3
X4
= T, |
(3) |
| X1
X2
X3
+ X1
X2
X4
+ X1
X3
X4
+ X2
X3
X4
= –P, |
(4) |
Путем простых алгебраических преобразований из соотношений (2), (3), (4) получаем:
| X1
X2
+ X3
X4
= T + (X1
+ X2
)2
, |
(6) |
| (X1
+ X2
)(X1
X2
– X3
X4
) = P. |
(7) |
Составляем квадратное уравнение:
| Y2
– (X1
X2
+X3
X4
)Y + X1
X2
X3
X4
= 0, |
(8) |
где Y1
= X1
X2
, Y2
= X3
X4
.
Используя ф-лы (5), (6), (7) и обозначая A = (X1
+ X2
)2
перепишем уравнение (8) в виде:
Y2
– (T + A)Y + Q = 0.
Решая уравнение (8) получаем:
| X1
X2
= 1
/2
(T + A2
+ ([T + А]2
– 4Q)1/2
), |
(9) |
| X3
X4
= 1
/2
(T + A2
– ([T + A]2
– 4Q)1/2
). |
(10) |
Таким образом, используя ф-лы (9), (10) получаем:
| X1
X2
– X3
X4
= ([T + A]2
– 4Q)1/2
. |
(11) |
Учитывая, что A1/2
= X1
+ X2
перепишем формулу (7) в виде:
| X1
X2
– X3
X4
= Р/А1/2
. |
(12) |
Подставляя в ф-лу (12) ф-лу (11) получаем
| P/A1/2
= ([T + A]2
– 4Q)1/2
. |
(13) |
Путем простых алгебраических преобразований из ф-лы (13) получаем кубическое уравнение относительно переменной А:
| A3
+ 2TA2
+ (T2
– 4Q)A – P2
= 0. |
(14) |
Таким образом решение уравнение четвертой степени (1) сводится к решению кубического уравнения (13), где A=(X1
+X2
)2
и двух квадратных уравнений:
| X2
– (X1
+ X2
)X + X1
X2
= 0, |
(15) |
| X2
– (X3
+ X4
)X + X3
X4
= 0. |
(16) |
Используя ф-лы (9), (10) и учитывая, что X1
+ X2
= – (X3
+X4
) перепишем ф-лы (15), (16) в виде:
| X2
– A1/2
X + 1
/2
(T+A + ([T + A]2
– 4Q)1/2
) = 0, |
(17) |
| X2
+ A1/2
X + 1
/2
(T+A – ([T + A]2
– 4Q)1/2
) = 0. |
(18) |
Полное уравнение четвертой степени X4
+ KX3
+ TX2
+ PX + Q = 0 сводится уравнению (1) путем замены переменной X на переменную Y = X + K/4.