| Скачать .docx | Скачать .pdf |
Доклад: Филлотаксис и последовательность Фибоначчи
В. Березин
Реальные соцветия подсолнуха два семейства логарифмических спиралей Спирали одного семейства закручиваются к центру против хода часовой стрелки, другого — по ходу. В ботанике такое сочетание двух семейств спиралей называют филлотаксисом (в переводе с греческого слово это означает «устройство листа»).
Оказывается, числа спиралей в соцветиях подсолнечника приближенно равны двум соседним членам так называемой последовательности Фибоначчи: 34 и 55 или 89 и 144.
Филлотаксис подсолнечника — одна из многих неожиданных встреч с последовательностью Фибоначчи. Впервые с ней столкнулся в прошлом столетии французский математик Эдуард Люка. Читая книгу «Искусство абака» знаменитого итальянского математика эпохи Возрождения Леонардо Пизанского, известного больше по прозвищу Фибоначчи, и решая одну из задач Леонардо, Люка составил последовательность 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ..., в которой
Fn = Fn–1 + Fn–2 .
Неожиданная встреча с этой последовательностью состоится сейчас и у нас. Предположим, что α2 = 1 – α.
Выразим значения степеней α3 , α4 , α5 , ... через 1 = α0 и α:
| α3 = | α·α2 = 2α – 1, |
| α4 = | 2 – 3α, |
| α5 = | 5α – 3, ... |
Вы узнали в коэффициентах последовательность Фибоначчи, начиная с члена F1 ? По-видимому, и для любого n можно записать формулу
αn = (–1)n (Fn–1 – Fn α),
где Fn–1 и Fn — члены последовательности Фибоначчи. Докажем это методом математической индукции:
| αn+1 = αn ·α | = (–1)n (Fn–1 α – Fn α2 ) = (–1)n (Fn–1 α – Fn (1 – α)) = |
| = (–1)n (–Fn + (Fn–1 + Fn )α) = (–1)n+1 (Fn – Fn+1 α). |
У уравнения α2 = 1 – α два корня — положительный α = (√5 – 1)/2 и отрицательный α = –(√5 + 1)/2. Как мы убедились,
| | (–1)n α1 n = Fn–1 – Fn α1 , |
| | |
| | (–1)n α2 n = Fn–1 – Fn α2 . |
Решая эту систему относительно Fn , получаем, что
| Fn = | 1 √5 |
( | 1 + √5 2 |
) | n | – | ( | 1 – √5 2 |
) | n | . |
И этот результат довольно неожидан — последовательность целочисленная, а общий её член выражается через квадратные радикалы.
Следующую неожиданность получим, если вычислим
|
Fn Fn+1 |
= | √5 – 1 2 |
. |
Это знаменитое «золотое сечение» (о нём см., например, «Квант», 1973, №8, с.22 и далее). Прямоугольный предмет с таким отношением сторон наиболее приятен для глаза.
Существует много формул, связывающих между собой члены последовательности Фибоначчи. Вот некоторые из них:
| n | n | |||
| Fn+2 = 1 + | ∑ | Fk , F2n = | ∑ | F2k–1 , |
| k=1 | k=1 |
| n | 2n–1 | |||
| F2n+1 = 1 + | ∑ | F2k , F2n–2 = –1 + | ∑ | (–1)k–1 Fk , |
| k=1 | k=1 |
| 2n–1 | ||||||||
| F | 2 2n |
= | ∑ | Fk Fk+1 , F2n–1 = F | 2 n |
+ F | 2 n–1 |
. |
| k=1 |
Выкладывание этой скромной по размеру статьи преследует несколько целей. Во-первых, «всякое может быть». Возможно, эту публикацию увидит школьник, впервые услышавший о числах Фибоначчи и желающий узнать о них побольше. Он сможет здесь найти названия книг для дальнейшего чтения. Во-вторых, данная статья упоминалась в другой, уже выложенной статье о сопряжённых числах, и я постарался (в меру сил), чтобы тем, кто добрался до тамошнего списка дополнительной литературы, не пришлось далеко ходить. :) И наконец, главное: этот файл содержит линк на видеоролик, в котором рассказывается и про подсолнух, и про прямоугольник, «приятный глазу», и про золотое сечение. В общем, почти видеоверсия данной статьи. А то, что закадровый комментарий на английском, так это и неплохо — лишний повод поупражняться в языке.