Реферат: Елементи логіки

Пошукова робота

на тему:

Елементи логіки

1. Висловлення та формули

Одним з основних понять логіки є висловлення – розповідне речення, про яке можна стверджувати, що воно є або істинним, або хибним.

Звичайно, в мові існують речення, про які не можна сказати, істинні вони чи хибні. Наприклад, речення "Це речення є хибним". Якщо припустити, що воно є істинним, то з нього випливає його хибність, а якщо воно є хибним, то маємо, що воно істинне. Отже, це речення не можна розглядати як висловлення. Насправді воно є варіантом відомого парадокса брехуна : неможливо сказати, чи є істинною або хибною фраза брехуна "Я брешу".

Проте наявність таких парадоксальних речень не заважатиме нам далі, оскільки математичні знання формулюються саме висловленнями.

Хибність чи істинність висловлень може змінюватися, наприклад, у часі ("Зараз ніч"), у просторі ("Ми летимо над Африкою") тощо. Будемо дивитися на висловлення як на змінну, що може мати одне з двох значень – "хибність" або "істина", позначені 0 і 1 відповідно. Ці значення вважаються протилежними одне до одного.

Означення. Змінна з можливими значеннями "хибність" або "істина" називається пропозиційною .

Будемо позначати пропозиційні змінні великими літерами A , B , C , …, можливо, з індексами. Ці літери також називаються пропозиційними .

З висловлень можна одержувати інші висловлення, пов'язуючи їх сполучниками "та", "або", "якщо …, то …" та іншими. Ці сполучники позначаються спеціальними знаками й називаються пропозиційними зв'язками . Означимо їх.

Означення. Висловлення вигляду "Не A " записується ØA й називається запереченням висловлення A . Його значення є протилежним до значення A .

Означення. Висловлення вигляду "A та B " записується як A &B або A ÙB або A ×B і називається кон'юнкцією висловлень A і B , або їх логічним добутком . Висловлення A і B називаються співмножниками кон'юнкції. Вона істинна, коли кожний із співмножників істинний. Якщо ж хоча б один із них хибний, то й вона хибна. Її ще записують у вигляді .

Означення. Висловлення вигляду "A або B " записується як A ÚB і називається диз'юнкцією висловлень A і B , або логічною сумою (доданків диз'юнкції). Вона істинна, коли хоча б один із доданків істинний (можливо, і обидва). Якщо ж обидва доданки хибні, то й вона хибна. Її ще записують у вигляді .

Означення. Висловлення вигляду "Якщо A , то B " записується як A ®B і називається імплікацією з засновком A і висновком B . Імплікація хибна, коли засновок істинний, а висновок хибний. В усіх інших випадках вона істинна. Наприклад, висловлення "Якщо 2*2=4, то Сонце обертається навколо Землі" за цим означенням є хибним, а висловлення "Якщо 2*2=5, то Сонце обертається навколо Землі" – істинним. Імплікацію часто позначають знаком "Þ": A ÞB .

Зауважимо, що запис A ®B читається також, як "B є необхідною умовою для A ", або як "A є достатньою умовою для B ", або як "З A випливає B ", або як "A тільки тоді , коли B ", або як "B тоді, коли A ".

Імплікація "З не B випливає не A ", що позначається (ØB )®(ØA ), називається висловленням, протилежним до висловлення A ®B . Імплікація "З B випливає A ", що позначається B ®A , називається висловленням, оберненим до висловлення A ®B .

Означення. Висловлення вигляду "A тоді й тільки тоді, коли B " записується як A «B і називається еквівалентністю висловлень A і B . Вона істинна, коли значення висловлень A і B збігаються. Якщо ж вони різні, то еквівалентність хибна. Наприклад, висловлення "Якщо 2*2=5, то Сонце обертається навколо Землі" є істинним. Еквівалентність часто позначають не знаком "«", а знаком "Û".

Зауважимо, що запис A «B читається також як "B є необхідною і достатньою умовою для A ", а також як "Якщо A , то B , і якщо B , то A ". Заперечення еквівалентності Ø(A «B ) читається як "Або A , або B ". Складений сполучник "або …, або …" інколи називається "виключне або ". Підкреслимо, що диз'юнкція A ÚB відрізняється від заперечення еквівалентності Ø(A «B ).

Означення. Висловлення записують у вигляді формул за такими правилами:

1) пропозиційна літера є формулою;

2) якщо X і Y – формули, то (ØX ), (X ÙY ), (X ÚY ), (X ®Y ), (X «Y ) також є формулами;

3) інших формул немає.

За цими правилами, наприклад, Ø(A ®B ), ((A «B )&(Ø(A ÚB ))) є формулами, A ÚB ÙC – ні. Далі ми розглянемо узгодження, які дозволяють скорочувати запис формул. Зокрема, ці узгодження дозволяють розглядати A ÚB ÙC як формулу. Тут лише зауважимо, що можна не записувати зовнішні дужки формул, наприклад, писати X ®Y .

2. Таблиці істинності формул і закони

Формула є словом , тобто послідовністю символів – імен пропозиційних змінних, знаків зв'язок і дужок. Це слово має певну структуру, обмежену правилами побудови формул. Підслово цього слова, яке є формулою, називається підформулою . Наприклад, у формулі ((A «B )&(Ø(A ÚB ))) є підформули A , B , (A «B ), (A ÚB ), (Ø(A ÚB )).

Формула, що позначає висловлення, складене з інших, простіших, має значення, яке залежить від значень цих складових висловлень. Для його обчислення спочатку кожній пропозиційній змінній ставиться у відповідність одне зі значень "хибність" чи "істина" (0 чи 1). Далі за означеннями пропозиційних зв'язок обчислюється значення підформул, починаючи від найпростіших і закінчуючи всією формулою. Значення формул з однією двомісною зв'язкою при всіх можливих наборах значень змінних наведено в таблиці:

Обчислимо значення формули, наприклад, (A ®B )&(B ®A ) при всіх можливих наборах значень змінних A і B . Обчислення подамо такою таблицею:

Таблиці, в яких представлено залежність значень формул від пропозиційних змінних, називаються таблицями істинності .

Розглянемо узгодження, які дозволяють скорочувати запис формул. Пропозиційні зв'язки упорядковуються за "силою тяжіння до формул " подібно до знаків арифметичних операцій. Всі розуміють, що вираз 1+2´3 позначає суму 1 і 2´3, а не добуток 1+2 і 3, тобто знак множення "притягується" сильніше за знак додавання. Зв'язка Ø вважається найсильнішою, тобто ØA ÙB є скороченням від (ØA )ÙB , а не від Ø(A ÙB ). Далі за спаданням "сили тяжіння" двомісні зв'язки ідуть у такому порядку: &, Ú, ®, º. Отже, формулу A ÚB ÙC можна розглядати, як скорочений запис формули A Ú(B ÙC ), а формулу A ºB ®C ÚA – як A º(B ®(C ÚA )).

Всі двомісні зв'язки мають властивість лівобічного зв'язування . Це означає, що якщо праворуч і ліворуч від підформули записано без дужок знаки двомісних зв'язок, "сила тяжіння" яких однакова, то першою до підформули застосовується ліва з них. Наприклад, A ÚB ÚC є скороченим записом формули (A ÚB )ÚC .

Означення. Дві формули називаються еквівалентними , або рівносильними , якщо приймають однакові значення при всіх можливих значеннях пропозиційних змінних. Рівносильність формул позначається знаком º і в логіці називається законом .

Наприклад, неважко переконатися, що за довільних формул A , B , C наступні рівносильності є законами (праворуч указано назви деяких з них):

(1) A ÙB º B ÙA , A ÚB º B ÚA – закони комутативності

(2) A Ù(B ÙC ) º (A ÙB )ÙC , A Ú(B ÚC ) º (A ÚB )ÚC – закони асоціативності

(3) A Ù(B ÚC ) º (A ÙB )Ú(A ÙC ), A Ú(B ÙC ) º (A ÚB )Ù(A ÚC ) – закони дистрибутивності кон'юнкції відносно диз'юнкції та диз'юнкції відносно кон'юнкції

(4) A ÙA º A , A ÚA º A – закони ідемпотентності

(5) A Ú(A ÙB ) º A , A Ù(A ÚB ) º A

(6) Ø(A ÚB ) º ØA ÙØB , Ø(A ÙB ) º ØA ÚØB – закони Де Моргана

(7) ØØA º A – закон подвійного заперечення

(8) A Ù0 º 0, A Ù1 º A , A Ú0 º A , A Ú1 º 1 – закони поглинання

(9) A ÚØA º 1 – закон виключеного третього

(10) A ÙØA º 0 – закон суперечності

(11) A ®B º ØB ®ØA – закон контрапозиції

Корисно також пам'ятати ще два закони:

(12) A ®B º ØA ÚB

(13) A «B º (A ®B )Ù(B ®A ).

На законах грунтуються так звані рівносильні перетворення формул, коли формула або її підформула заміняється на рівносильну їй. В результаті одержується формула, рівносильна початковій. Такі перетворення бувають потрібні для спрощення формул. Наприклад, формула A Ú(ØA ®B ) має рівносильні формули A Ú(ØØA ÚB ), A Ú(A ÚB ), (A ÚA )ÚB , A ÚB , що одержуються послідовним застосуванням законів (12), (7), (2), (4).

3. Нормальні форми висловлень

Розглянемо два різновиди формул, що мають певні структурні особливості. Саме структура цих формул зумовлює їх використання у таких важливих галузях застосування математичної логіки, як автоматизація доведення тверджень і логічне програмування.

Закони (2) стверджують асоціативність зв'язок кон'юнкції. Звідси формула вигляду ((…((A ₁ ÙA ₂ )ÙA ₃ )Ù…)ÙA_n ) має еквівалентний запис A ₁ ÙA ₂ ÙA ₃ Ù…ÙA_n . Формула в такому записі називається кон'юнкцією формул A ₁ , A ₂ , A ₃ , …, A_n .

Означення. Елементарною кон'юнкцією називається кон'юнкція формул, кожна з яких є або пропозиційною змінною, або запереченням такої. Наприклад, A ₁ ÙØA ₂ ÙA ₃ .

Означення. Диз'юнктивною нормальною формою (скорочено ДНФ ) називається диз'юнкція елементарних кон'юнкцій. Наприклад, формула A ÙB ÚB ÙC ÚD . Зауважимо, що її структуру краще видно в записі A ×B ÚB ×C ÚD або в записі .

Будь-яка формула може бути перетворена до ДНФ. Ми не будемо доводити це твердження, а лише опишемо потрібні рівносильні перетворення. Застосуванням законів (13) і (12) можна позбутися зв'язок « і ®, тобто перетворити формулу до рівносильної, у якій є лише зв'язки Ø, Ú і Ù. Далі, якщо у формулі є заперечення диз'юнкцій чи кон'юнкцій, то вони "спускаються" до пропозиційних змінних застосуванням законів Де Моргана (6). Далі, якщо у формулі є множники-диз'юнкції, то їх можна позбутися застосуванням першого з законів дистрибутивності (3). В результаті всі множники у кон'юнкціях формули є елементарними, і вона являє собою ДНФ. Застосування законів (1), (2), (4), (5), (7)-(10) може скоротити цей процес.

Приклад. Розглянемо перетворення (A ®B )«(C ®B ). Після знаків º у дужках указано номери законів, застосованих при черговому перетворенні:

(A ®B )«(B ®C ) º^{(13, 12)}

º(Ø(ØA ÚB )Ú(ØC ÚB ))×(Ø(ØC ÚB )Ú(ØA ÚB )) º^{(6, 7, 2)}

º (A ×ØB ÚØC ÚB )×(ØB ×C ÚØA ÚB ) º⁽³⁾

º A ×ØB ×ØB ×C ÚA ×ØB ×ØA ÚA ×ØB ×B ÚØC ×ØB ×C ÚØC ×ØA ÚØC ×B Ú

ÚB ×ØB ×C ÚB ×ØA ÚB ×B º^{(1, 4, 9, 8)}

º A ×ØB ×C ÚØA ×ØC ÚB ×ØC ÚB ×ØA ÚB º⁽⁵⁾

º A ×ØB ×C ÚØA ×ØC ÚB

За законами (2) зв'язки диз'юнкції також асоціативні, звідки формули ((…((A ₁ ÚA ₂ )Ú A ₃ )Ú …)ÚA_n ) і A ₁ ÚA ₂ ÚA ₃ Ú…ÚA_n також є еквівалентними. Остання з них називається диз'юнкцією формул A ₁ , A ₂ , A ₃ , …, A_n .

Означення. Елементарною диз'юнкцією називається диз'юнкція формул, кожна з яких є або пропозиційною змінною, або запереченням такої. Наприклад, A ₁ ÚØA ₂ ÚA ₃ .

Означення. Кон'юнктивною нормальною формою (скорочено КНФ ) називається кон'юнкція елементарних диз'юнкцій. Наприклад, формула (A ÚB )Ù(ØB ÚC ÚØD ), яку можна подати також у вигляді .

Будь-яка формула перетворюється до рівносильної їй КНФ з використанням тих самих законів, тільки замість першого з законів дистрибутивності (3) вживається другий: A Ú(B ÙC ) º (A ÚB )Ù(A ÚC ).

Приклад. Розглянемо перетворення формули (A ®B )«(C ®B ) після одержання формули (A ×ØB ÚØC ÚB )×(ØB ×C ÚØA ÚB ):

(A ×ØB ÚØC ÚB )×(ØB ×C ÚØA ÚB ) º⁽³⁾

º (A ×ØB ÚØC )(A ×ØB ÚB )×(ØB ×C ÚØA )×(ØB ×C ÚB ) º⁽³⁾

º (A ÚØC )×(ØB ÚØC )×(A ÚB )×(ØB ÚB )×(ØB ÚØA )×(C ÚØA )×

×(ØB ÚB )×(C ÚB ) º⁽⁹⁾

º (A ÚØC )×(ØB ÚØC )×(A ÚB )×(ØB ÚØA )×(C ÚØA )×(C ÚB )

4. Тавтології, суперечності та логічні висновки

Означення. Формула називається тотожньо істинною , або тавтологією , якщо має значення 1 при всіх можливих значеннях пропозиційних змінних.

Наприклад, A ÚØA чи (A ®B )Ú(B ®A ). Неважко також переконатися, що заміною знаків º на зв'язку « у законах (1)-(13), наведених у п.1.1, одержуються саме тавтології.

Тавтології характерні тим, що коли всі входження тієї самої літери замінити на будь-яке, але одне й те саме висловлення, то нове висловлення буде істинним. Наприклад, підставимо у тавтологію ((A ÚB )ÙØB )®A замість літери A висловлення "світить сонце", а замість літери B – "світять зорі". Одержане висловлення "Якщо світить сонце або світять зорі, і не світять зорі, то світить сонце" є істинним. Підкреслимо, що сама по собі структура цього висловлення вже забезпечує його істинність.

Неважко переконатися, що якщо тавтологіями є деяка формула X і формула X ®Y , то Y також є тавтологією.

Означення. Формула називається тотожньо хибною , або суперечністю , якщо має значення 0 при всіх можливих значеннях пропозиційних змінних.

Одним із характерних прикладів суперечності є висловлення A ÙØA . Ця суперечність використовується у доведенні тверджень вигляду A ®B методом "від супротивного ". Припускають істинність заперечення Ø(A ®B ), тобто істинність A ÙØB . З істинності ØB виводять ØA , одержуючи суперечність A ÙØA . Вона свідчить про хибність A ÙØB , тобто істинність A ®B .

Зауважимо, що для доведення істинності A ®B достатньо з ØB вивести ØA , тобто довести істинність протилежного твердження ØB ®ØA . Адже за законом контрапозиції (11) A ®B º ØB ®ØA

Очевидно, що заперечення будь-якої тавтології є суперечністю, і навпаки. На відміну від тавтологій, підстановка висловлень у суперечності породжує хибні висловлення.

Тепер розглянемо поняття логічного висновку . У математиці, як і у звичайному житті, доводиться з'ясовувати, чи випливає деяке твердження з одного або кількох інших, тобто чи є це твердження їх логічним висновком .

Приклад. Припустимо, що купівельна спроможність грошей падає, якщо зростають податки, і що люди незадоволені, коли падає купівельна спроможність грошей. Припустимо також, що податки зростають. Звідси можна дійти висновку, що люди незадоволені.

Для цього позначимо висловлення літерами:

A – "податки зростають",

B – "купівельна спроможність грошей падає",

C – "люди незадоволені".

Припущення прикладу висловимо формулою:

(A ®B )Ù(B ®C )ÙA .

Доведемо, за істинності такої умови істинним буде висловлення C . Перетворимо (A ®B )Ù(B ®C )ÙA до ДНФ:

(A ®B )Ù(B ®C )ÙA º (ØA ÚB )Ù(ØB ÚC )ÙA º A Ù(ØA ÚB )Ù(ØB ÚC ) º

º (A ÙØA )Ù(A ÙB )Ù(ØB ÚC ) º (A ÙB )Ù(ØB ÚC ) º

º (A ÙB ÙØB )Ú(A ÙB ÙC ) º A ÙB ÙC .

Отже, маємо, що істинною є формула A ÙB ÙC . Але вона істинна лише тоді, коли кожний співмножник істинний. Звідси висловлення C є істинним.

Таким чином, з істинності формул (A ®B ), (B ®C ) і A випливає істинність C . У такому випадку C називається логічним висновком цих формул.

Означення. Формула Y називається логічним висновком формул X ₁ , X ₂ , …, X_n , якщо з істинності X ₁ ÙX ₂ Ù…ÙX_n випливає істинність формули Y . Формули X ₁ , X ₂ , …, X_n називаються засновками Y .

Перевірити, чи є одна формула логічним висновком інших, можна за допомогою порівняння таблиць істинності цієї формули та кон'юнкції інших. Але можна діяти зовсім іншим способом на основі двох наступних тверджень.

Теорема 1 . Формула Y є логічним висновком формул X ₁ , X ₂ , …, X_n тоді й тільки тоді, коли формула (X ₁ ÙX ₂ Ù…ÙX_n )®Y є тавтологією.

Доведення. 1 (Необхідність). Припустимо, що формула Y є логічним висновком формул X ₁ , X ₂ , …, X_n . Якщо за деяких значень літер у формулах X ₁ , X ₂ , …, X_n хоча б одна з них хибна, то за означенням імплікації (X ₁ ÙX ₂ Ù…ÙX_n )®Y істинна. Якщо ж за деяких значень літер у формулах X ₁ , X ₂ , …, X_n всі вони істинні, X ₁ ÙX ₂ Ù…ÙX_n також істинна. Але формула Y є логічним висновком формул X ₁ , X ₂ , …, X_n , тому вона також істинна. Тоді істинна і формула (X ₁ ÙX ₂ Ù…ÙX_n )®Y . Отже, за будь-яких значень літер (X ₁ ÙX ₂ Ù…ÙX_n )®Y істинна, тобто є тавтологією.

2 (Достатність). Припустимо, що (X ₁ ÙX ₂ Ù…ÙX_n )®Y є тавтологією. Тоді якщо за якихось значень літер у формулах X ₁ , X ₂ , …, X_n всі вони істинні, то Y також істинна, тобто є їх логічним висновком.

Теорема 2. Формула Y є логічним висновком формул X ₁ , X ₂ , …, X_n тоді й тільки тоді, коли формула (X ₁ ÙX ₂ Ù…ÙX_n ÙØY ) є суперечністю.

Доведення. За теоремою 1, формула Y є логічним висновком формул X ₁ , X ₂ , …, X_n тоді й тільки тоді, коли формула (X ₁ ÙX ₂ Ù…ÙX_n )®Y є тавтологією. Звідси Y є логічним висновком формул X ₁ , X ₂ , …, X_n тоді й тільки тоді, коли заперечення Ø((X ₁ ÙX ₂ Ù…ÙX_n )®Y )є суперечністю. Але

Ø((X ₁ ÙX ₂ Ù…ÙX_n )®Y ) º Ø(Ø(X ₁ ÙX ₂ Ù…ÙX_n )ÚY ) º

º Ø(Ø(X ₁ ÙX ₂ Ù…ÙX_n ))ÙØY º X ₁ ÙX ₂ Ù…ÙX_n ÙØY .

Таким чином, твердження теореми істинне.

Розглянемо приклад застосування наведених теорем. Доведемо, що формула B є логічним висновком формул A ®B і A . Перетворимо формулу (A ®B )ÙA ÙØB :

(A ®B )ÙA ÙØB º (ØA ÚB )ÙA ÙØB º (ØA ÙA ÙØB )Ú(B ÙA ÙØB ) º 0Ú0 º 0.

Отже, формула (A ®B )ÙA ÙØB суперечлива, і за теоремою 2 формула B є логічним висновком формул A ®B і A .

Той факт, що формула B є логічним висновком формул A ®B і A , відіграє в математиці дуже важливу роль. Він дозволяє з уже відомих істинних тверджень A ®B і A одержати нове істинне твердження B . Зауважимо, що такий спосіб одержання, або виведення нових тверджень у математичній логіці є одним із основних. Таке виведення задається спеціальним правилом виведення , яке має вигляд і назву modus ponens (правило відокремлення ). Воно дозволяє одержати висновок B твердження A ®B як окреме висловлення, тобто відокремити його вид засновку A . У математичній логіці існують і інші правила виведення, але тут ми їх не розглядаємо.

Підіб'ємо невеличкий неформальний підсумок. Ми познайомилися з двома принципово різними способами одержання нових висловлень. Перший полягає в тому, що ми будуємо складні висловлення з простіших за допомогою логічних зв'язок, а також "перебудовуємо" їх, виконуючи рівносильні перетворення на основі законів. Описані способи побудови та перетворення висловлень складають основу алгебри висловлень .

Другий спосіб одержання нових істинних висловлень полягає в застосуванні згаданих правил виведення до вже відомих істинних висловлень. При цьому формулюється система висловлень-тавтологій, що складає основу для виведення інших. Вони називаються аксіомами , а висловлення, що виводяться, – теоремами . Прикладом аксіоми може служити висловлення AÚØA, яке називається законом виключеного третього. Такий спосіб породження висловлень називається численням висловлень .

Підкреслимо ще раз, що в цьому розділі нашою метою є лише знайомство з основними поняттями і мовою позначень логіки, тому ми не торкаємося її суттєвих питань. Вони розкриваються у багатьох джерелах (див. список рекомендованої літератури).

5. Неформальне знайомство з кванторами

У математиці, як і у повсякденному житті, виникають твердження зі специфічною структурою. Ця структура робить можливими міркування, які не можна відтворити виведенням висловлень. Класичним прикладом таких міркувань є:

Кожна людина смертна.

Сократ – людина.

Звідси випливає, що Сократ смертний.

Очевидно, що висловлення "Сократ смертний" не є логічним висновком засновків "Кожна людина смертна" і "Сократ – людина". Проте коректність наведених міркувань ні в кого не викликає сумніву. Очевидно, що вона зумовлена якимсь особливим змістом слова "кожна".

Введемо додаткові позначення. Нехай x позначає деяку змінну, значення якої можуть мати деяку властивість P . Такі змінні називаються предметними . Висловлення "x має властивість P " позначимо P (x ). Наприклад, висловлення "Ціле число x є парним" позначимо E (x ). Значення такого висловлення залежить від значення цієї змінної. При x =1 висловлення E (x ) хибне, при x =2 – істинне. Замість літери x можна записати її значення, наприклад, E (2).

Речення "Кожне значення x має властивість P ", або "Всі значення x мають властивість P ", або "Всі x мають властивість P ", або "При всіх x справджується властивість P " позначимо записом "x P (x ). У цьому записі частина "x називається квантором загальності . Слово "квантор" походить від слова "квантифікація", що означає "кількісне вираження". Продовжуючи приклад про парні числа, зауважимо, що твердження "x E (x ) є хибним.

Речення "Існує значення x , що має властивість P ", або "Деякі значення x мають властивість P ", або "При деякому значенні x справджується властивість P ", або "Деякі x мають властивість P " позначимо записом $x P (x ). У цьому записі частина $x називається квантором існування . Очевидно, що у прикладі про парні числа твердження $x E (x ) є істинним.

Очевидно, що

"x P (x ) ® $x P (x ),

причому твердження "x P (x ) і $x P (x ) нерівносильні.

Розглянемо деякі з можливих застосувань пропозиційних зв'язок до виразів із кванторами. Заперечення Ø("x P (x )) читається як "неістинно, що всі значення x мають властивість P ", тобто як "існує значення x , що не має властивості P ". Таке речення можна позначити як $x ØP (x ). Таким чином,

Ø("x P (x )) º $x ØP (x ).

Аналогічно

Ø($x ØP (x )) º "x ØP (x ).

Висловлення "x P (x ) Ù "x Q (x ) читається як "всі значення x мають властивість P і всі значення x мають властивість Q ", тобто "всі значення x мають властивість P і властивість Q ". Таким чином,

("x P (x ))Ù("x Q (x )) º "x (P (x )ÙQ (x )).

Висловлення "x P (x ) Ú "x Q (x ) читається як "усі значення x мають властивість P або всі значення x мають властивість Q ". З цього речення випливає, що "усі значення x мають властивість P або властивість Q ", але ці два речення не рівносильні. Таким чином, "x (P (x )ÚQ (x )) є логічним висновком висловлення ("x P (x ))Ú("x Q (x )), тобто

(("x P (x ))Ú("x Q (x ))) ® "x (P (x )ÚQ (x )),

але вони нерівносильні.

Приклад. Якщо P (x ) позначає речення "x – парне число", а Q (x ) – "x – непарне число", то висловлення "x (P (x )ÚQ (x )) є істинним, а ("x P (x ))Ú("x Q (x )) – хибним.

Насамкінець, розглянемо речення з двома й більше кванторами. Вони з'являються, коли йдеться про властивості пар, трійок тощо змінних. Наприклад, речення "При будь-якому натуральному значенні x існує значення y , таке, що x є дільником y " можна записати як

"x ($y D (x , y )),

де D (x , y ) позначає речення "x є дільником y ".

Речення вигляду "При будь-якому значенні x справджується, що при будь-якому значенні y істинно A (x , y )" можна позначити так:

"x ("y A (x , y )).

Будемо опускати дужки, записуючи, наприклад, "x $y D (x , y ) або "x "y A (x , y ). Останній вираз можна прочитати також, як "При будь-якому значенні x і при будь-якому значенні y істинно A (x , y )".

Аналогічно речення вигляду " При будь-якому значенні x і при будь-якому значенні y і при будь-якому значенні z істинно A (x , y , z )" можна позначити виразом

"x "y "z A (x , y , z ).

І так далі. Розглянемо, наприклад, твердження великої теореми Ферма:

Рівняння zⁿ = xⁿ + yⁿ , де n – ціле число, більше 2, не має розв'язків у цілих додатних числах .

Одним із можливих записів цього твердження є такий:

"x "y "z "n ((n >2) ® (zⁿ ¹xⁿ +yⁿ )).